8-2正态总体参数的假设检验
概率论与数理统计(8)假设检验
概率论与数理统计(8)假设检验第八章假设检验第一节假设检验问题第二节正态总体均值的假设检验第三节正态总体方差的检验第四节大样本检验法第五节 p值检验法第六节假设检验的两类错误第七节非参数假设检验第一节假设检验问题前一章我们讨论了统计推断中的参数估计问题，本章将讨论另一类统计推断问题——假设检验.在参数估计中我们按照参数的点估计方法建立了参数的估计公式，并利用样本值确定了一个估计值，认为参数真值。
由于参数是未知的，只是一个假设（假说，假想），它可能是真，也可能是假，是真是假有待于用样本进行验证（检验）.下面我们先对几个问题进行分析，给出假设检验的有关概念，然后总结给出检验假设的思想和方法.一、统计假设某大米加工厂用自动包装机将大米装袋,每袋的标准重量规定为10kg，每天开工时，需要先检验一下包装机工作是否正常. 根据以往的经验知道,自动包装机装袋重量X服从正态分布N( )．某日开工后，抽取了8袋，如何根据这8袋的重量判断“自动包装机工作是正常的”这个命题是否成立？请看以下几个问题：问题1引号内的命题可能是真，也可能是假，只有通过验证才能确定．如果根据抽样结果判断它是真，则我们接受这个命题，否则就拒绝接受它，此时实际上我们接受了“机器工作不正常”这样一个命题．若用H0表示“”，用H1表示其对立面，即“”，则问题等价于检验H0：是否成立，若H0不成立，则H1：成立．一架天平标定的误差方差为10-4(g2)，重量为的物体用它称得的重量X服从N( )．某人怀疑天平的精度，拿一物体称n次，得n 个数据，由这些数据(样本)如何判断“这架天平的精度是10-4(g2)”这个命题是否成立？问题2记H0: =10-4，H1: ，则问题等价于检验H0成立，还是H1成立．某种电子元件的使用寿命X服从参数为的指数分布，现从一批元件中任取n个，测得其寿命值（样本），如何判定“元件的平均寿命不小于5000小时”这个命题是否成立？记问题3则问题等价于检验H0成立，还是H1成立．某种疾病，不用药时其康复率为，现发明一种新药（无不良反应），为此抽查n位病人用新药的治疗效果，设其中有s人康复，根据这些信息，能否断定“该新药有效”？记问题4则问题等价于检验H0成立，还是H1成立．自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中，全世界记录到震级4级及以上的地震共计162次，问相继两次地震间隔的天数X是否服从指数分布？问题5记服从指数分布，不服从指数分布．则问题也等价于检验H0成立，还是H1成立．在很多实际问题中，我们常常需要对关于总体的分布形式或分布中的未知参数的某个陈述或命题进行判断，数理统计学中将这些有待验证的陈述或命题称为统计假设，简称假设．如上述各问题中的H0和H1都是假设.利用样本对假设的真假进行判断称为假设检验。
8.2-0单正态假设检验
u X 0 . S/ n
拒绝域为| u | u / 2 ．查表得 u / 2 = u0.025 = 1.96 ．
由于
| u | | x 0 | 0.4 50 1.22 1.96 , s/ n 4
所以接受H0，即认为总体的均值μ=0．
147，150，149，154，152，153，148，151, 155
假设零件长度服从正态分布，问这批零件是否
合格（取 = 0.05）？
解 这里是在总体方差 2 未知的情况下，检验假设 H0： 0 150 ，H1： 150 ．
在H0成立时，检验统计量
T X 0 ~ t(n 1) .
| t | | x 0 | 1.096 2.306 .
s/ n
所以接受H0，即认为这批零件合格．
三、正态总体方差的假设检验— 2 检验
设总体 X ~ N (, 2 ) 平 ．
, (X1，X2，…，Xn)为X 的样本，给定显著性水
1．当 已知时，方差 2的假设检验
H0： 2
(5)由数据计算得x 112.8, s 1.1358
故T 112.8 112.6 0.4659 2.4469 1.1358 7
故接受H 0 ,即可认为用热敏电阻测温仪间接测量温度无系统 误差。
例2 某车间加工一种零件，要求长度为150mm， 今从一批加工后的这种零件中抽取 9 个，测得长度如 下：
2
2 (n)
或 2
2 1
2 (n)
2
2 0
2
2 0
2
2
正态总体的假设检验
n
(Xi μ)2
P { i1
σ
2 0
χ
2 1
α 2
(
n)}
P{
i 1
σ
2 0
χ
2
α
(
n)}
α
2
所以拒绝域为： W
{
χ2
χ
2 1
α 2
(
n)
，χ
2
χ
2
α
(n)
}
2
2. μ未知时，总体方差σ2的假设检验 χ2 检验法
类型 原假设 备择假设
H0
H1
检验统计量
双边 检验
σ2
σ
2 0
σ2
得s=0.007欧姆.设总体服从正态分布，参数均未知，
问在显著性水平α=0.05下，能否认为这批导线的
标准差显著地偏大？
解: s2 0.0072 0.0052
原假设 H 0 : σ 2 0.0052，备择假设 H1 : σ 2 0.0052
检验统计量： χ 2 (n 1)S 2
σ2
拒绝域：
第二节 正态总体的假设检验
一、单一正态总体均值μ的假设检验
二、单一正态总体方差σ2的假设检验 三、两个正态总体均值的假设检验 四、两个正态总体方差的假设检验
一、单一正态总体均值μ的假设检验
设总体X~N (, 2). X1 , X2 , … , Xn是取自X的样本，
样本均值 X样，本方差S2
1．已知
T t（α n 1）
例1. 设某次考试的考生的成绩服从正态分布，从中随
机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标 准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为在 这次考试中全体考生的平均成绩为70分？
概率ch8-2
t
( X Y ) ( 1 2 ) S w 1 n1 1 n2
(X Y ) S w 1 n1 1 n2
~ t ( n1 n2 2),
(1)检验 H 0 : 1 2 ，H 1 : 1 2 , 拒绝域为
t 检验法.
| t | t (n1 n2 2),
t t ( n 1);
2
t t ( n 1) t t ( n 1)
拒绝域
一、一个正态总体参数的假设检验
2 、单一正态总体方差2的检验 设总体 X ~ N ( , 2 ), X 1 , X 2 ,, X n 是取自X的一个样本，
X 与 S 2 分别为样本均值与样本方差. ( n 1) S 2 2 ~ 2 ( n 1) 2 检验法 检验统计量 2 0 2 2 (1) 检验 H 0 : 2 0 , H 1 : 2 0 .
拒绝域为 2 2 ( n 1)
1 2
2 或 2 2 ( n 1).
(2) 检验 H : 2 2 , H : 2 2 . 0 0 1 0
2 拒绝域为 2 ( n 1).
2 2 (3) 检验 H 0 : 2 0 , H 1 : 2 0 .
1. 正确理解如下基本概念：
--- 期末考试，将会有一定数量的直接考查概念理解的题目。
可参考大作业中的部分客观题。
复习纲要
• 随机事件的基本运算，概率的基本性质基本运算公式； （包括等可能概型） • 随机变量分布的基本性质，五种常用的分布及其特点； • 二维随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布三者的关系； （二维连续型随机变量函数的分布不作要求） • 期望、方差及相关系数的基本性质，常用分布的数字特征值； • 一般总体的样本均值与样本方差的分布；正态总体的常用 抽样分布； 统计学中常用的三种分布的特点； • 矩估计、最大似然估计、区间估计法的原理； • 参数检验的一般原理.
第二节 正态总体均值的假设检验8-2
14
三、基于成对数据的检验（t 检验）:
设X和Y是两个正态总体, 均值分别为 1 和 2 ， X 和 Y不是相互独立的。取成对样本 : (X1 , Y1) , (X2 , Y2) , … , ( Xn , Yn )。 要检验： H0 : 1 = 2 , H1 : 1 ≠ 2 . 可以把这个问题转化成单个总体的假设检验 ， 令Z = X - Y , 它服从 N ( , 2) , 这里 (= 1- 2) , 2 均未知。 Zi = Xi – Yi (i=1 , 2 , … , n)是来自该正态总体的样本。 显然 , 检验 H0 : 1= 2 , H1 : 1 ≠ 2 等价于检验 H0 : =0 , H1: ≠0,
11
例 2. 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建 议是否会增加钢的得率, 试验是在同一只平炉上进行 的. 每炼一炉钢时除操作方法外, 其它条件都尽可能 做到相同. 先用标准方法炼一炉, 然后用建议的方法 炼一炉, 以后交替进行, 各炼了10炉, 其得率分别为: 标准方法: 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 新方法: 79.1 76.0 81.0 75.5 76.7 77.3 80.0 77.3 79.1
16
解: 分别作各对数据的差 zi = xi - yi ，如上表 ,
并假设 z1 , z2 , … , z9 来自正态总体N ( , 2 ) ,
这里 , 2 均属未知 。若两台仪器的性能一样, 则各对数据的差异可看作是随机误差, 而随机误差可以认为服从正态分布, 其均值为零， 因此本题归结为检验假设: H0: =0 , H1: ≠ 0. 由前面的结论知，可取 T =
问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时?
解 : 按题意需检验 H 0 : 0 = 225 , H 1 : > 225 . X- 取 a = 0 .05，统计量： t = 。 S n 当 H 0 成立时，由 X - 0 S n X- S n ，
正态总体方差的假设检验
正态总体方差的假设检验一、引言假设检验是统计学中常用的一种方法，用于判断关于总体参数的某种陈述是否成立。
在实际应用中，我们经常需要对总体方差进行假设检验，以确定样本数据是否能够代表总体的特征。
二、正态总体方差的假设检验在正态总体方差的假设检验中，我们通常使用方差比检验来判断总体方差是否有显著差异。
具体而言，我们设立原假设H0和备择假设H1，然后利用样本数据进行检验。
1. 原假设和备择假设原假设H0通常为总体方差等于某个特定值，记为σ^2 = σ0^2；备择假设H1通常为总体方差不等于该特定值，记为σ^2 ≠ σ0^2。
2. 检验统计量在正态总体方差的假设检验中，我们使用F检验统计量来进行判断。
F检验统计量的计算公式为F = S^2 / σ0^2，其中S^2为样本方差。
3. 拒绝域和接受域在给定显著性水平α的情况下，我们可以根据F检验统计量的分布来确定拒绝域和接受域。
一般来说，当F检验统计量落在拒绝域内时，我们拒绝原假设；当F检验统计量落在接受域内时，我们接受原假设。
4. F分布表的使用由于F检验统计量的分布是F分布，因此我们可以利用F分布表来确定拒绝域和接受域的临界值。
F分布表中给出了不同自由度和显著性水平下的临界值。
5. 计算步骤进行正态总体方差的假设检验时，我们需要按照以下步骤进行计算：(1) 提出原假设H0和备择假设H1；(2) 选择适当的显著性水平α；(3) 根据样本数据计算样本方差S^2；(4) 根据样本量n和显著性水平α确定F分布的自由度；(5) 根据F分布表找到对应的临界值；(6) 比较计算得到的F检验统计量与临界值，判断是否拒绝原假设。
三、实例分析为了更好地理解正态总体方差的假设检验，我们以某电子产品的寿命为例进行实例分析。
假设我们对该电子产品的寿命进行了100次观测，得到样本方差为S^2 = 200。
现在我们想要判断该电子产品的寿命是否满足某个特定的标准。
我们设立原假设H0：电子产品的寿命方差等于标准值，备择假设H1：电子产品的寿命方差不等于标准值。
假设检验例题和习题
超过1cm3。如果达到设计要求 -0.6 0.7 -1.5 -0.2 -1.9
，表明机器的稳定性非常好。 -0.5 1 -0.2 -0.6 1.1
现从该机器装完的产品中随机
抽取25瓶，分别进行测定(用样
本减1000cm3)，得到如下结果
。检验该机器的性能是否达到
设计要求 (=0.05)
8 - 30
双侧检验
备择假设的方向为“<”(废品率降低) 建立的原假设与备择假设应为
H0: 2% H1: < 2%
8 -7
统计学
(第二版)
单侧检验
(原假设与备择假设的确定)
某灯泡制造商声称，该企业所生产的灯泡 的平均使用寿命在1000小时以上。如果 你准备进一批货，怎样进行检验
▪ 检验权在销售商一方
▪ 作为销售商，你总是想收集证据证明生产商 的说法(寿命在1000小时以上)是不是正确的
决策:
在 = 0.05的水平上拒绝H0
结论:
有证据表明新机床加工的零件 的椭圆度与以前有显著差异
统计学
(第二版)
2 已知均值的检验
(P 值的计算与应用)
第1步：进入Excel表格界面，选择“插入”下拉菜 单
第2步：选择“函数”点击
第3步：在函数分类中点击“统计”，在函数名的 菜
单下选择字符“NORMSDIST”然后确定
？( = 0.05)
统计学
(第二版)
均值的单尾 t 检验
(计算结果)
H0: 40000 H1: < 40000 = 0.05 df = 20 - 1 = 19 临界值(s):
拒绝域
.05
-1.7291 0
t
8 - 23
正态分布总体的区间估计与假设检验汇总表
（单侧检验）
2
(n
1)S 2
2 0
～2n1
2
2 /2
n
1
或
2
2 1- / 2
n 1
2 2 n 1
2
≥
2 0
2
<
2 0
（单侧检验）
2
2 1-
n
1
2. 两个正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平 α)
条件 原假设 H0 备择假设 H1
检验统计量
拒绝域
12
，
2 2
已知
1 =2 1 2 1 2
1 2
1 2
（单侧检验）
SW
(n1 1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
T < - t (n1 n2 2)
1，2
未知
2 1
=
2 2
2 1
≤
2 2
2 1
≠
2 2
（双侧检验）
2 1
>
2 2
（单侧检验）
F
S12 S22
～
F ( n1 - 1, n2 - 1)
F ≥ F /2 n1 1, n2 1
已知
0 / n
X
0 n
u
/2,
X
0 n
u
/2
2 未知 T X 0 ～ t(n 1) S/ n
X
S n 1
t / 2
n
1 ,
X
S n
1
t
/
2
n
1
方差 2
未知
2
(n 1)S 2
2 0
～2n1
(n 2 /
1)S 2
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解： 按题意需检验
H0 : 0 225, H1 : 225.
取 0.05。则拒绝域为
t
x 0
sn
t (n 1)
现在n=16, t0.05(15) 1.7531. 又算得 x 241.5, s 98.7259
即得
t x 0 0.6685 1.7531.
sn
t不落在拒绝域，故接受 寿命不大于225小时。
中，我们都是利用 H 0在为真时服从 N (0,1)分布
的统计量 x 0 来确定拒绝域。这种检验法常称 n
为 u 检验法。
应用统计学
下面还将给出一个有用的结果: 我们看到，如将例3中需要检验的问题写成以下的 形式，看来更为合理：
H0 : 0, H1 : 0
取显著性水平为 ，现在来求这个问题的拒绝域.
应用统计学
比较正态总体 N ( , 2 ) 在方差 2 已知时，对均值 的两种检验问题 H0 : 0, H1 : 0 和
H0 : 0, H1 : 0
应用统计学
我们看到尽管两者原假设 H0 的形式不同，实际
意义也不一样，但对于相同的显著性水平它们的
拒绝域是相同的。
对于下面将要讨论的有关正态总体的参数的 检验也有类似的结果。
应用统计学
例1 某种电子元件的寿命 X（以小时计）服从正态
分布，, 2均未知。现测得16只元件的寿命如下：
159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时 ）？
应用统计学
域了。
n
应用统计学
s 注意到 2是 2 的无偏估计，我们用 s 来代
替 ，采用 t x 0 作为检验统计量。当
sn
t x 0
过分大时就拒绝
H
,
0
拒绝域的
sn
形式为
t x 0 k
sn
பைடு நூலகம்
已知当
H
为真时，
0
x s
0
n
:
t(n 1)，故由
P {拒绝
H0
H0为真}＝ P0 {
x 0
sn
k}
分别求出标准方法和新方法的样本均值和样本方差
如下：
n1 10, x 76.23, s12 3.325, n2 10, y 79.43, s22 2.225.
应用统计学
第二节 正态总体的显著性检验
学习要求
掌握单个正态总体的均值和方差的双尾和单尾检验 会进行两个正态总体的均值和方差的双尾和单尾检验
对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用 “理解”、“了解”、“知道”三级来表述； 对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用 “熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来 表述。
应用统计学
例2 在平炉进行一项试验以确定改变操作方法的 建议是否会增加钢的得率，试验是在同一只平炉上 进行的。每炼一炉钢时除操作方法外，其它条件都 尽可能做到相同。先用标准方法炼一炉，然后用建 议的新方法炼一炉，以后交替进行，各炼了10炉， 其得率分别为
标准方法 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3
记样本方差为s12 , s22。设 1, 2 , 2 均为未知，要
特别引起注意的是，在这里假设两总体的方差是相
等的。
应用统计学
现在来求检验问题：
H0 : 1 2 , H1 : 1 2 .
（ 为已知常数）的拒绝域，取显著性水平为
0.05 引用下述 t 统计量作为检验统计量：
t (x y)
应用统计学
2. 2 未知，关于 的检验（t检验）
设总体 X : N ( , 2 )，其中 , 2未知，我们来
求检验问题 H0 : 0, H1 : 0
的拒绝域（显著性水平为 ）。
设 x1, x2 ,L , xn是来自正态总体X 的样本，
由于 2 未知，现在不能利用 x 0 来确定拒绝
应用统计学
第二节 正态总体均值的假设 检验
单个正态总体 均值的检验 两个正态总体均值差的检验 小结 布置作业
应用统计学
一、单个总体N( , 2)均值 的检验
1. 2已知，关于 的检验（u检验）
在上一小节中已讨论过正态总体 N( , 2), 当 2
已知时关于 0的检验问题.在这些检验问题
，
应用统计学
得 k t 2 (n 1) ， 即拒绝域为
t
x 0
sn
t 2 (n 1)
对于正态总体 N ( , 2 ) ，当 2未知时，关于
的单边检验得拒绝域在课本附表中已给出。
应用统计学
上述利用 t 统计量得出得检验法称为 t 检验法。在
实际中，正态总体的方差常为未知，所以我们常用
t 检验法来检验关于正态总体均值的检验问题。
y)
11 n1 n2
k}
应用统计学
可得 k t (n1 n2 2). 于是得拒绝域为
t (x y)
sw
11 n1 n2
t (n1 n2 2).
关于均值差的其它两个检验问题的拒绝域在书附表
中给出。常用的是 0 的情况。
当两种正态总体的方差均为已知时，我们可
用u检验法来检验两正态总体均值差的假设问题。
H
0
，即认为元件的平均
应用统计学
二.两个正态总体均值差的检验（t 检验）
我们还可以用t检验法检验具有相同方差的两个 正态总体均值差的假设。
设 x1, x2 ,L , xn1是来自正态总体 N (1, 2 )的样本
，y1, y2 ,L , yn2是来自正态总体 N (2, 2 ) 的样本且
设两样本独立。又分别记它们的样本均值为 x , y，
sw
1 1
n1
n2
其中
sw2
(n1
1)s12 (n2 1)s22 n1 n2 2
应用统计学
当 H0 为真时，已知 t : t(n1 n2 2)与单个总体
的 t 检验法相仿，其拒绝域的形式为
t (x y) k.
sw
11 n1 n2
P{拒绝 H0 H0为真}
＝
(x P { 1 2
sw
新方法 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1
应用统计学
设这两个样本相互独立，且分别来自正态总
体 N (1, 2 ) 和 N (2 , 2 ) , 1, 2 , 2 均未
知。问建议的新操作方法能否提高得率？
（取 0.05 ）
解：需要检验假设 H0 : 1 2 0, H1 : 1 2 0.