19 第七章2-单正态总体的假设检验
合集下载
正态总体方差的假设检验
方差计算公式为：$sigma^2 = frac{1}{N}sum_{i=1}^{N}(x_i mu)^2$，其中$N$是样本数量， $x_i$是每个样本值，$mu$是样本均 值。
方差的计算方法
简单方差
适用于数据量较小，且数据间相互独立的情况。
加权方差
适用于数据量较大，且数据间存在相关关系的 情况，需要考虑到每个数据点的重要程度。
配对样本方差检验
总结词
配对样本方差检验用于比较两个相关样本的方差是否相同。
详细描述
在配对样本方差检验中，我们首先需要设定一个零假设，即两个相关样本的方差无显著差异。然后， 通过计算检验统计量（如Wilcoxon秩和统计量或Stevens' Z统计量），我们可以评估零假设是否被拒 绝。如果零假设被拒绝，则可以得出两个相关样本方差不相同的结论。
方差齐性检验的目的是为了后续 的方差分析提供前提条件，确保 各组数据具有可比性。
方差分析
方差分析（ANOVA）是
1
用来比较多个正态总体均
值的差异是否显著的统计
方法。
4
方差分析的结果通常以p值 表示，若p值小于显著性水 平（如0.05），则认为各组 均值存在显著差异。
2
方差分析的前提条件是各
组数据具有方差齐性和正
正态总体方差假设检验的未来发展
改进假设检验方法
结合其他统计方法
结合其他统计方法，如贝叶斯推断、机器学习等， 可以更全面地分析数据和推断总体特征。
针对正态总体方差假设检验的局限性，未来 研究可以探索更灵活、适应性更强的检验方 法。
拓展应用领域
正态总体方差假设检验的应用领域可以进一 步拓展，特别是在大数据和复杂数据分析方 面。
数学表达式
方差的计算方法
简单方差
适用于数据量较小，且数据间相互独立的情况。
加权方差
适用于数据量较大，且数据间存在相关关系的 情况，需要考虑到每个数据点的重要程度。
配对样本方差检验
总结词
配对样本方差检验用于比较两个相关样本的方差是否相同。
详细描述
在配对样本方差检验中，我们首先需要设定一个零假设，即两个相关样本的方差无显著差异。然后， 通过计算检验统计量（如Wilcoxon秩和统计量或Stevens' Z统计量），我们可以评估零假设是否被拒 绝。如果零假设被拒绝，则可以得出两个相关样本方差不相同的结论。
方差齐性检验的目的是为了后续 的方差分析提供前提条件，确保 各组数据具有可比性。
方差分析
方差分析（ANOVA）是
1
用来比较多个正态总体均
值的差异是否显著的统计
方法。
4
方差分析的结果通常以p值 表示，若p值小于显著性水 平（如0.05），则认为各组 均值存在显著差异。
2
方差分析的前提条件是各
组数据具有方差齐性和正
正态总体方差假设检验的未来发展
改进假设检验方法
结合其他统计方法
结合其他统计方法，如贝叶斯推断、机器学习等， 可以更全面地分析数据和推断总体特征。
针对正态总体方差假设检验的局限性，未来 研究可以探索更灵活、适应性更强的检验方 法。
拓展应用领域
正态总体方差假设检验的应用领域可以进一 步拓展，特别是在大数据和复杂数据分析方 面。
数学表达式
正态总体的假设检验
(Xi μ)2
n
(Xi μ)2
P { i1
σ
2 0
χ
2 1
α 2
(
n)}
P{
i 1
σ
2 0
χ
2
α
(
n)}
α
2
所以拒绝域为： W
{
χ2
χ
2 1
α 2
(
n)
，χ
2
χ
2
α
(n)
}
2
2. μ未知时，总体方差σ2的假设检验 χ2 检验法
类型 原假设 备择假设
H0
H1
检验统计量
双边 检验
σ2
σ
2 0
σ2
得s=0.007欧姆.设总体服从正态分布，参数均未知，
问在显著性水平α=0.05下，能否认为这批导线的
标准差显著地偏大？
解: s2 0.0072 0.0052
原假设 H 0 : σ 2 0.0052，备择假设 H1 : σ 2 0.0052
检验统计量： χ 2 (n 1)S 2
σ2
拒绝域：
第二节 正态总体的假设检验
一、单一正态总体均值μ的假设检验
二、单一正态总体方差σ2的假设检验 三、两个正态总体均值的假设检验 四、两个正态总体方差的假设检验
一、单一正态总体均值μ的假设检验
设总体X~N (, 2). X1 , X2 , … , Xn是取自X的样本，
样本均值 X样，本方差S2
1．已知
T t（α n 1）
例1. 设某次考试的考生的成绩服从正态分布，从中随
机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标 准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为在 这次考试中全体考生的平均成绩为70分？
n
(Xi μ)2
P { i1
σ
2 0
χ
2 1
α 2
(
n)}
P{
i 1
σ
2 0
χ
2
α
(
n)}
α
2
所以拒绝域为： W
{
χ2
χ
2 1
α 2
(
n)
，χ
2
χ
2
α
(n)
}
2
2. μ未知时，总体方差σ2的假设检验 χ2 检验法
类型 原假设 备择假设
H0
H1
检验统计量
双边 检验
σ2
σ
2 0
σ2
得s=0.007欧姆.设总体服从正态分布，参数均未知，
问在显著性水平α=0.05下，能否认为这批导线的
标准差显著地偏大？
解: s2 0.0072 0.0052
原假设 H 0 : σ 2 0.0052，备择假设 H1 : σ 2 0.0052
检验统计量： χ 2 (n 1)S 2
σ2
拒绝域：
第二节 正态总体的假设检验
一、单一正态总体均值μ的假设检验
二、单一正态总体方差σ2的假设检验 三、两个正态总体均值的假设检验 四、两个正态总体方差的假设检验
一、单一正态总体均值μ的假设检验
设总体X~N (, 2). X1 , X2 , … , Xn是取自X的样本，
样本均值 X样，本方差S2
1．已知
T t（α n 1）
例1. 设某次考试的考生的成绩服从正态分布，从中随
机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标 准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为在 这次考试中全体考生的平均成绩为70分？
单个正态总体的假设检验
计算统计量 Z 的观察值
z0
x 0
n
.
(8.3)
如果：( a ) | z0 |> zα/2，则在显著性水平 α 下，拒绝原假设 H0
(接受备择假设H1)，所以| z 0|> zα/2 便是 H0 的拒绝域。
( b ) | z0 | z /2 ，则在显著性水平 α 下，接受原假设 H0，认
=0.05 下 否 定 H0 ， 即 不 能 认 为 这 批 产 品 的 平 均 抗 断 强 度 是
32.50kg·cm-2。
把上面的检验过程加以概括，得到了关于方差已知的正态总体期
望值 μ 的检验步骤:
( a )提出待检验的假设 H0 ：μ = μ0； H1：μ ≠ μ0。
( b )构造统计量 Z ，并计算其观察值 z0 :
1277°(可看作温度的真值)，试问此仪器间接测量有无系统偏差?
这里假设测量值 X 服从 X ~ N ( μ , σ2) 分布。
解
①问题是要检验
提出假设 H0 ：μ = μ0=1227； H1：μ ≠ μ0。
由于
σ2
未知( 即仪器的精度不知道 )，我们选取统计量 T
当 H0 为真时，T ~ t ( n -1) ，T 的观察值为
X
X 0
N ( , ) ,
n
Z
n
X 0
n
N (0,1) ,
(8.2)
作为此假设检验的统计量，显然当假设 H0 为真(即μ = μ0正确)
时, Z ~ N ( 0 , 1)，所以对于给定的显著性水平 α ，可求出 zα/2，
使
P{| Z | z 2 } .
见图8-3，即
假设检验
本的取值,按一定原则进行检验,然后作出接受或拒绝所作假设
的决定. 参数假设检验：对总体分布中参数做假设。 分类： 分布假设检验：对总体分布做假设。
假设检验的过程
提出假设
我认为人口的平 均年龄是50岁
作出决策 拒绝假设
别无选择!
总体
抽取随机样本
均值 x = 20
一、引例
X 68 可以确定一个常数c 使得 P c 3.6 / 6
取 0.05,则
c z z0.025 1.96
2
X 68 1.96 由 3 .6 6
X 69.18或 X 66.824
即区间( ,66.824 )与( 69.18 , + )为检验的拒绝域
2 设 X 1 , , X n是取自正态总体 N , 的一个样本， 其中 , 2 都是未知参数。
具体步骤：
（1）先考虑假设检验问题
H 0 : 0
H1 : 0
（2）选择检验统计量，在此处，由于， 2 未知，所以用总
1 n ( X i X ) 2 来代替，则采用 体方差 2 的无偏估计 S n 1 i 1
这是小概率事件 ,一般在一次试验中是不会发生的, 现一 次试验竟然发生, 故认为原假设不成立, 即该批产品次品 率 p 0.04 , 则该批产品不能出厂.
1 P (1) C12 p1 (1 p)11 0.306 0.3 12
这不是小概率事件,没理由拒绝原假设,而接受原假设, 即该批产品可以出厂. 注1 直接算 1 / 12 0.083 0.04
0.01 0.05,0.1 ,
第七章假设检验
5-2
引言
结论：企图肯定什么事情很难， 结论：企图肯定什么事情很难，而否定就容 易得多。 还记得上次那个例子吗？ 易得多。 （还记得上次那个例子吗？两个人 住一起，其中有一个人病了， 住一起，其中有一个人病了，另一个人天天 给他熬药还端到他床前，三个月过去了， 给他熬药还端到他床前，三个月过去了，突 然有一天那个人忙得很， 然有一天那个人忙得很，把药熬好了就对卧 病在床的人说，你自己去喝吧， 病在床的人说，你自己去喝吧，卧病的人心 里想： 这个人怎么这么坏呢？ 里想：“这个人怎么这么坏呢？”，他倒忘 了这个人对他的好， 了这个人对他的好，记住一个人的好总比记 住一个人的坏好，有时候想想， 住一个人的坏好，有时候想想，老师就像端 药的人，学生就是喝药的人，良药苦口， 药的人，学生就是喝药的人，良药苦口，我 也许一直是你们背后说你们的那个烂人， 也许一直是你们背后说你们的那个烂人，老 师也是弱势群体啊！！） 师也是弱势群体啊！！）
α
H 0 : µ ≤ 2% ↔ H 1 : µ > 2%
5-10
二、两种类型的错误
两类错误发生的概率 α与β之间是此消彼长的关系 接受
H0
拒绝
H0
H0
真实
判断正确 （1-α） ） 取伪错误( 取伪错误(第二类 错误或β 错误或 错误)
弃真错误( 弃真错误(第一 类错误或α 类错误或 错误 ) 判断正确 （1-β） ）
第七章 假设检验
第一节 假设检验概述 第二节 总体参数检验 第三节 卡方检验
参数估计是利用样本信息推断未知的总体参数， 参数估计是利用样本信息推断未知的总体参数， 而假设检验是先对总体参数提出一个假设， 而假设检验是先对总体参数提出一个假设，然后利 用样本信息判断这一假设是否成立。 用样本信息判断这一假设是否成立。
引言
结论：企图肯定什么事情很难， 结论：企图肯定什么事情很难，而否定就容 易得多。 还记得上次那个例子吗？ 易得多。 （还记得上次那个例子吗？两个人 住一起，其中有一个人病了， 住一起，其中有一个人病了，另一个人天天 给他熬药还端到他床前，三个月过去了， 给他熬药还端到他床前，三个月过去了，突 然有一天那个人忙得很， 然有一天那个人忙得很，把药熬好了就对卧 病在床的人说，你自己去喝吧， 病在床的人说，你自己去喝吧，卧病的人心 里想： 这个人怎么这么坏呢？ 里想：“这个人怎么这么坏呢？”，他倒忘 了这个人对他的好， 了这个人对他的好，记住一个人的好总比记 住一个人的坏好，有时候想想， 住一个人的坏好，有时候想想，老师就像端 药的人，学生就是喝药的人，良药苦口， 药的人，学生就是喝药的人，良药苦口，我 也许一直是你们背后说你们的那个烂人， 也许一直是你们背后说你们的那个烂人，老 师也是弱势群体啊！！） 师也是弱势群体啊！！）
α
H 0 : µ ≤ 2% ↔ H 1 : µ > 2%
5-10
二、两种类型的错误
两类错误发生的概率 α与β之间是此消彼长的关系 接受
H0
拒绝
H0
H0
真实
判断正确 （1-α） ） 取伪错误( 取伪错误(第二类 错误或β 错误或 错误)
弃真错误( 弃真错误(第一 类错误或α 类错误或 错误 ) 判断正确 （1-β） ）
第七章 假设检验
第一节 假设检验概述 第二节 总体参数检验 第三节 卡方检验
参数估计是利用样本信息推断未知的总体参数， 参数估计是利用样本信息推断未知的总体参数， 而假设检验是先对总体参数提出一个假设， 而假设检验是先对总体参数提出一个假设，然后利 用样本信息判断这一假设是否成立。 用样本信息判断这一假设是否成立。
7-2 正态总体均值与方差的假设检验
因为 X ~ N ( , 2 ), 0.15,
要检验假设 H 0 : 10.5, H1 : 10.5,
n 15,
x 10.48,
2
0.05,
x 0 10.48 10.5 0.516, 则 / n 0.15 / 15
查表得 u0.05 1.645,
H1 : 0 10
x 9.2
s 1.6
x 0 9.2 10 于是 T 3.54 2.01 t0.025 49 s n 1.6 50
故在 0.05 的水平下，丰产林的树高与10米的差异 有统计意义。（拒绝原假设）
例7 某车间生产某种化学纤维的强度服从正态分布，且原来
单边检验
2
得H0 的拒绝域为：
2 n 1 S 2 0
12 n
或
2 n 1 S 2 0
2 n
作业
• 习题七：3，5，9，12.
• 复习第七章（可做习题七之1~13题） • 复习5~7章，准备课堂测验
例5 P160 8 从某批矿砂中，抽取容量为 5 的一个样本，测得其 含镍量为（单位：%） 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测量值服从正态分布，问在 这批矿砂的含镍量为 3.25 ？
例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平 均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产品中 随机的抽取15段进行测量, 其结果如下（单位：cm） 10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 假定切割的长度X服从正态分布, 且标准差没有 变化, 试问该机工作是否正常? ( 0.1) 解
要检验假设 H 0 : 10.5, H1 : 10.5,
n 15,
x 10.48,
2
0.05,
x 0 10.48 10.5 0.516, 则 / n 0.15 / 15
查表得 u0.05 1.645,
H1 : 0 10
x 9.2
s 1.6
x 0 9.2 10 于是 T 3.54 2.01 t0.025 49 s n 1.6 50
故在 0.05 的水平下，丰产林的树高与10米的差异 有统计意义。（拒绝原假设）
例7 某车间生产某种化学纤维的强度服从正态分布，且原来
单边检验
2
得H0 的拒绝域为：
2 n 1 S 2 0
12 n
或
2 n 1 S 2 0
2 n
作业
• 习题七：3，5，9，12.
• 复习第七章（可做习题七之1~13题） • 复习5~7章，准备课堂测验
例5 P160 8 从某批矿砂中，抽取容量为 5 的一个样本，测得其 含镍量为（单位：%） 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测量值服从正态分布，问在 这批矿砂的含镍量为 3.25 ？
例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平 均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产品中 随机的抽取15段进行测量, 其结果如下（单位：cm） 10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 假定切割的长度X服从正态分布, 且标准差没有 变化, 试问该机工作是否正常? ( 0.1) 解
第七章 假设检验
参数估计
7-3
假设检验
经济、管理类 基础课程
统计学
学习目标
1. 了解假设检验的基本思想 2. 掌握假设检验的步骤 3. 能对实际问题作假设检验 4. 利用P - 值进行假设检验
7-4
经济、管理类 基础课程
统计学
一. 二. 三. 四. 五.
第一节 假设检验的一般问题
假设检验的概念 假设检验的步骤 假设检验中的小概率原理 假设检验中的两类错误 双侧检验和单侧检验
7 - 20
经济、管理类 基础课程
统计学
假设检验中的两类错误
（决策风险）
7 - 21
经济、管理类 基础课程
统计学
假设检验中的两类错误
1. 第一类错误（弃真错误）
原假设为真时拒绝原假设 会产生一系列后果 第一类错误的概率为 被称为显著性水平 原假设为假时接受原假设 第二类错误的概率为(Beta)
拒绝域 /2
接受域 H0值 样本统计量
临界值
7 - 32
临界值
经济、管理类 基础课程
双侧检验
（显著性水平与拒绝域 ）
置信水平 拒绝域 1- /2 接受域
统计学
抽样分布
拒绝域
/2
临界值
7 - 33
H0值
临界值
样本统计量
经济、管理类 基础课程
双侧检验
（显著性水平与拒绝域 ）
置信水平 拒绝域 1- 接受域 H0值 样本统计量 /2
7 - 37
属于研究中的假设 建立的原假设与备择假设应为 H0: 2% H1: 2%
经济、管理类 基础课程
单侧检验
（原假设与备择假设的确定）
第七章 假设检验
因为，把好人关在牢里的概率很小
4、不原意相信“牢外面的人一定是好人”
未发现犯罪不意味着就是好人
注：有证据可以放心定性坏人，断定好人要慎重
4 December 2010
宁波工程学院
理学院
第七章 假设检验
第15页 15页
三、选择显著性水平
假设检验中关键的小概率事件发生的概率α 称为该检验的显著性水平，简称水平。 注：按照小概率事件原理进行统计推断自然 可能犯错误。错误拒绝原假设 H 0 的概率为 α 。正确拒绝原假设 H 0 的可信度为1-α
宁波工程学院
理学院
第七章 假设检验
第7页
问题分析（续）
(5) 对于随机试验中参数的假设检验问题称为 参数假设检验问题 否则称为非参数假设检验问题。例如：后 面的聪明检验。 (6) 由样本去推断总体，判断差异是由总体 由样本去推断总体，判断差异是 变异引起，还是由于随机误差引起。这就 变异引起，还是由于随机误差引起。这就 是假设检验要解决的问题 (7) 参数估计和假设检验是二种不同的统计推断
4 December 2010
宁波工程学院
理学院
第七章 假设检验
第23页 23页
显著性水平a 和拒绝域(左侧检验 )
H0成立时的抽样分布 拒绝H0 置信水平
α
1-α
0
临界值
4 December 2010
观察到的样本统计量
宁波工程学院 理学院
第七章 假设检验
第24页 24页
显著性水平a和拒绝域(右侧检验 )
4 December 2010
宁波工程学院
理学院
第七章 假设检验
第8页
通俗的例子（1）
实例：箱子中有黑球和白球，总数100个，但 不知黑球白球各多少个。现提出假设H0：“箱 子中有99个白球或白球占绝大部分”，暂时设 H0正确，那么从箱子中任取一球，得黑球的概 率为0.01或很小，是一小概率事件。 检验：今取一球，居然取到黑球，自然会使人 对H0的正确性产生怀疑，从而否定H0。也就是 说箱中不止1个黑球。 问题：如果取到的是白球，说明什么？
4、不原意相信“牢外面的人一定是好人”
未发现犯罪不意味着就是好人
注：有证据可以放心定性坏人，断定好人要慎重
4 December 2010
宁波工程学院
理学院
第七章 假设检验
第15页 15页
三、选择显著性水平
假设检验中关键的小概率事件发生的概率α 称为该检验的显著性水平，简称水平。 注：按照小概率事件原理进行统计推断自然 可能犯错误。错误拒绝原假设 H 0 的概率为 α 。正确拒绝原假设 H 0 的可信度为1-α
宁波工程学院
理学院
第七章 假设检验
第7页
问题分析（续）
(5) 对于随机试验中参数的假设检验问题称为 参数假设检验问题 否则称为非参数假设检验问题。例如：后 面的聪明检验。 (6) 由样本去推断总体，判断差异是由总体 由样本去推断总体，判断差异是 变异引起，还是由于随机误差引起。这就 变异引起，还是由于随机误差引起。这就 是假设检验要解决的问题 (7) 参数估计和假设检验是二种不同的统计推断
4 December 2010
宁波工程学院
理学院
第七章 假设检验
第23页 23页
显著性水平a 和拒绝域(左侧检验 )
H0成立时的抽样分布 拒绝H0 置信水平
α
1-α
0
临界值
4 December 2010
观察到的样本统计量
宁波工程学院 理学院
第七章 假设检验
第24页 24页
显著性水平a和拒绝域(右侧检验 )
4 December 2010
宁波工程学院
理学院
第七章 假设检验
第8页
通俗的例子（1）
实例：箱子中有黑球和白球，总数100个，但 不知黑球白球各多少个。现提出假设H0：“箱 子中有99个白球或白球占绝大部分”，暂时设 H0正确，那么从箱子中任取一球，得黑球的概 率为0.01或很小，是一小概率事件。 检验：今取一球，居然取到黑球，自然会使人 对H0的正确性产生怀疑，从而否定H0。也就是 说箱中不止1个黑球。 问题：如果取到的是白球，说明什么？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
U
X 0
n
N (0,1)
(3)对于给定的显著性水平α=0.05 ，查标准正态分布表 u u0.025 1.96 W1 (, u ) (u , )
2
(4)计算统计量观察值
x 0 1637 1600 u 1.258 n 150 26
2
2
(5)结论 u 1.258 u 1.96
当μ= μ0时，统计量U服从标准正态分布N(0,1)。对 于给定的显著性水平α，有
(1) H0：μ= μ0，H1：μ≠μ0；检验规则为 当 当
U | X 0 |
n
u 时，拒绝H0
2
U
| X 0 |
μ≤μ0，H1：μ>μ0；检验规则为 X 0 当 U u 时，拒绝H0 n X 0 当 U u 时，接受H0 n
选取统计量
2
(n 1) S 2
2
当H0为真时，服从自由度为n-1的χ2分布。对于给
定的显著性水平α，有
(1) H0：σ2=σ02，H1：σ2≠σ02 ；检验规则为
2 2 或 当 (n 1) (n 1) 时，拒绝H0
2
2
1
2
2
当
2 2 (n 1) 2 (n 1) 时，接受H0 1 2 2
7.2 正态总体下参数的假设检验
一、单个正态总体下参数的假设检验 对于一个正态总体均值的检验，常见的有 以下三种类型：
(1) H0：μ= μ0，H1：μ≠μ0；
(2) H0：μ≤ μ0，H1：μ>μ0；
双边假设检验
(3) H0：μ≥ μ0，H1：μ<μ0；
单边假设检验
1、总体方差σ2已知，正态总体的均值检验 X 0 U 构造检验统计量 n
X 0 对于给定的显著性水平α=0.05 ， S n t (n 1) t0.025 (8) 2.3060
2
2 S 12.5 x 21 (4)由题意，计算得到样本均值和样本方差分别为 x 0 21 18 2.55 计算统计量观察值 t S n 12.5 9 (5)由于 t 2.55 t (n 1) 2.3060 所以拒绝原假设H0，而接受H1，
(3) H0：μ≥ μ0，H1：μ<μ0；检验规则为 当 T 当 T
X 0 S n t (n 1) 时，拒绝H0
X 0 S n
t (n 1) 时，接受H0
例7.6 某地区青少年犯罪年龄构成服从正态分布，现随机抽取9 名罪犯，其年龄如下： 22，17，19，25，25，18，16，23，24 试以95%的概率判断犯罪青少年的平均年龄是否为18岁。 解 (1)提出原假设： H0：μ=18，H1：μ≠18； (2)选取统计量 T (3)查t分布表得
(3) H0：μ≥μ0，H1：μ<μ0；检验规则为 当 U 当 U
X 0
n
u 时，拒绝H0
X 0
n
u 时，接受H0
例7.4 设某产品的某项质量指标服从正态分布，已知它的标准差 σ=150，现从一批产品中随机地抽取26个，测得该项指标的平均 值为1637。问能否认为这批产品的该项指标值为1600(α=0.05) ？ 解 (1)提出原假设： H0：μ=1600，H1：μ≠1600； (2)选取统计量
即认为这批罐头细菌含量大于62.0，质量不符合标准。
3、正态总体方差的检验
常见的正态总体方差的假设检验有以下三种类 型： (1) H0：σ2=σ02，H1：σ2≠σ02 ； (2) H0：σ2≤σ02，H1：σ2>σ02； (3) H0：σ2≥σ02，H1：σ2<σ02。 单边假设检验 双边假设检验
(1) H0：μ= μ0，H1：μ≠μ0；检验规则为
当 T 当 T
| X 0 | S n t (n 1) 时，拒绝H0
2
| X 0 | S n
t (n 1) 时，接受H0
2
(2) H0：μ≤ μ0，H1：μ>μ0；检验规则为 X 0 当 T t (n 1) 时，拒绝H0 S n X 0 当 T t (n 1) 时，接受H0 S n
(3)查χ2分布表得
2 2 (n 1) 0.01 (19) 36.191
(4)由题意，S=0.015，计算统计量观察值
2
(n 1) S 2
2
(20 1) 0.0152 42.75 2 0.01
2 (5)由于 2 42.75 (n 1) 36.191所以拒绝原假设H0，而接受H1，
即认为这批玻璃花瓶折射率的标准差显著地超过了标准，该超市 应该拒绝接受这批花瓶。
(2) H0：σ2≤σ02，H1：σ2>σ02；检验规则为
当 当
2 2 (n 1)
时，拒绝H0 时，接受H0
2 2 (n 1)
(3) H0：σ2≥σ02，H1：σ2<σ02；检验规则为 当 当
2
2 1
(n 1) 时，拒绝H0
2 12 (n 1) 时，接受H0
即能以95%的把握推断该地区青少年犯罪的平均年龄不是18岁。
2
例7.7 食品罐头的细菌含量按规定标准不能大于62.0，现从一批罐 头中抽取9个，检验其细菌含量，经计算得样本均值为62.5，样本 标准差为0.3。问这批罐头的质量是否完全符合标准(α=0.05 )？ （设罐头的细菌含量服从正态分布 ） 解 (1)由题意建立假设： H0：μ≤62.0，H1：μ>62.0； (2)选取统计量T
(5)由于 u 2 u 1.65 所以拒绝原假设H0，而接受H1， 即说明用新方法所需时间比用老方法所需时间短。
2、总体方差σ2未知，正态总体的均值检验
由于总体方差σ2未知，故选取统计量
X 0 T S n
当μ= μ0时，统计量T服从自由度为n-1的t分布。对
于给定的显著性水平α，有
2
接受原假设H0
即不能否定这批产品该项指标为1600。
例7.5 完成生产线上某件工作的平均时间不少于15.5分钟，标准 差为3分钟。对随机抽取的9名职工讲授一种新方法，训练期结束 后，9名职工完成此项工作的平均时间为13.5分钟。这个结果是 否说明用新方法所需时间比用老方法所需时间短？设α=0.05，并 假定完成这件工作的时间服从正态分布。 解（单边检验问题)(1)提出原假设H0：μ≥15.5，H1μ<15.5；
例7.8一家超市从生产玻璃器皿的厂家订购了一批玻璃花瓶，要 求其折射率的标准差不能超过0.01。货到后，随机抽出一个容量 为20的花瓶的样本进行检查，发现样本折射率的标准差为0.015。 试问在α=0.01的条件下，该超市应该是接受还是拒绝这批玻璃花 瓶？ 解 (1)由题意建立假设： H0：σ2≤0.012，H1：σ2>0.012 2 ( n 1 ) S 对于给定的显著性水平α=0.01 ， (2)选取统计量 2 2
X 0 对于给定的显著性水平α=0.05 ， S n (3)查t分布表得 t (n 1) t0.05 (8) 1.8595
(4)由题意， x 62 .5 S 0.3 计算统计量观察值 x 0 62.5 62.0 t 5 S n 0.3 9 (5)由于
t 5 t (n 1) 1.8595 所以拒绝原假设H0，而接受H1，
X 0 (2)选取统计量 U n
(3)查标准正态分布表
对于给定的显著性水平α=0.05 ，
W1 (, 1.645)
u u0.05 1.645,
(4)计算统计量观察值 x 0 13.5 15.5 u 2 n 3 9
已知n=9，σ=3，
x 13.5