8.2 单个正态总体的假设检验
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正态总体均值的假设检验
t 检验 用 t 分布
2 用 分布
检验
下，若能求得检验统计量的 极限分布，依据它去决定临界值C.
例 1 (用例中数据,但未知)
n=10, =0.05, 0=10 t10-1(/2)=t9(0.025)=2.2622
X 10.05,S2 0.05, S 0.224 X 10 0.05 , 即未落入拒绝域为 S 10 2.262 0.160 S 10 2.262
抽取 样本
检验 假设
拒绝还是不能 拒绝H0
P(T W)=
类错误的概率， W为拒绝域
对差异进行定量的分析， 确定其性质(是随机误差 显著性 水平
还是系统误差. 为给出两 者界限，找一检验统计量T， 在H0成立下其分布已知.）
-----犯第一
一般说来，按照检验所用的统计量的分布, 分为 U 检验 用正态分布
以上检验法叫U检验法.
X ～tn 1 S/ n
0
于是当原假设 H0:μ =μ X 0 ～tn 1 S/ n
成立时,有:
X 0 P tn 1 2 S / n S 即P X 0 tn 1 n 2 S 拒绝域为 X 0 tn 1 n 2 以上检验法叫t检验法.
第八章 第二节
正态总体均值的假设检验
一、单个正态总体N(,2)均值的检验
(I) H0:μ = μ
0
H1:μ ≠ μ
0
设X1,X2, ,Xn为来自总体N(,2)的样本. 求:对以上假设的显著性水平=的假设检验. 方差2已知的情况
根据第一节例1,当原假设 H0:μ =μ , 有:
2 用 分布
检验
下，若能求得检验统计量的 极限分布，依据它去决定临界值C.
例 1 (用例中数据,但未知)
n=10, =0.05, 0=10 t10-1(/2)=t9(0.025)=2.2622
X 10.05,S2 0.05, S 0.224 X 10 0.05 , 即未落入拒绝域为 S 10 2.262 0.160 S 10 2.262
抽取 样本
检验 假设
拒绝还是不能 拒绝H0
P(T W)=
类错误的概率， W为拒绝域
对差异进行定量的分析， 确定其性质(是随机误差 显著性 水平
还是系统误差. 为给出两 者界限，找一检验统计量T， 在H0成立下其分布已知.）
-----犯第一
一般说来，按照检验所用的统计量的分布, 分为 U 检验 用正态分布
以上检验法叫U检验法.
X ～tn 1 S/ n
0
于是当原假设 H0:μ =μ X 0 ～tn 1 S/ n
成立时,有:
X 0 P tn 1 2 S / n S 即P X 0 tn 1 n 2 S 拒绝域为 X 0 tn 1 n 2 以上检验法叫t检验法.
第八章 第二节
正态总体均值的假设检验
一、单个正态总体N(,2)均值的检验
(I) H0:μ = μ
0
H1:μ ≠ μ
0
设X1,X2, ,Xn为来自总体N(,2)的样本. 求:对以上假设的显著性水平=的假设检验. 方差2已知的情况
根据第一节例1,当原假设 H0:μ =μ , 有:
概率论与数理统计第8章(公共数学版)
则犯弃真错误的概率为
P (弃真)
P(拒 绝H0
|
H
为
0
真)
P(
A
|
H
为
0
真)
小概率事件发生的概率就是犯弃真错误的概率
越大,犯第一类错误的概率越大, 即越显著. 故在检验中,也称为显著性水平
20
2.第二类错误:纳伪错误
如
果
原
假
设H
是
0
不
正
确
的, 但
却
错
误
地
接
受
了Hቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
此时我们便犯了“纳伪”错误,也称为第二类错误
统计量观测值 u 57.9 53.6 2.27 6 10
该批产品次品率 p 0.04 , 则该批产品不能出厂.
11
若从一万件产品中任意抽查12件发现1件次品
p 0.04 代入
取 0.01，则 P12(1) C112 p1(1 p)11 0.306 0.01
这不是小概率事件,没理由拒绝原假设,从而接受 原假设, 即该批产品可以出厂.
13
例2 某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2, 而实际
称其中的一个为原假设,也称零假设或基本假设 记 为H0 称另一个为备择假设,也称备选假设或对立假设 记为H1 一般将含有等号的假设称为原假设
7
二、假设检验的基本原理
假设检验的理论依据是“小概率原理” 小概率原理:如果一个事件发生的概率很小,那么在一 次实验中,这个事件几乎不会发生. 如: 事件“掷100枚均匀硬币全出现正面”
（三）对给定（或选定）的显著性水平 ，由统计
量的分布查表确定出临界值，进而得到H0的拒绝域 和接受域.
P (弃真)
P(拒 绝H0
|
H
为
0
真)
P(
A
|
H
为
0
真)
小概率事件发生的概率就是犯弃真错误的概率
越大,犯第一类错误的概率越大, 即越显著. 故在检验中,也称为显著性水平
20
2.第二类错误:纳伪错误
如
果
原
假
设H
是
0
不
正
确
的, 但
却
错
误
地
接
受
了Hቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
此时我们便犯了“纳伪”错误,也称为第二类错误
统计量观测值 u 57.9 53.6 2.27 6 10
该批产品次品率 p 0.04 , 则该批产品不能出厂.
11
若从一万件产品中任意抽查12件发现1件次品
p 0.04 代入
取 0.01，则 P12(1) C112 p1(1 p)11 0.306 0.01
这不是小概率事件,没理由拒绝原假设,从而接受 原假设, 即该批产品可以出厂.
13
例2 某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2, 而实际
称其中的一个为原假设,也称零假设或基本假设 记 为H0 称另一个为备择假设,也称备选假设或对立假设 记为H1 一般将含有等号的假设称为原假设
7
二、假设检验的基本原理
假设检验的理论依据是“小概率原理” 小概率原理:如果一个事件发生的概率很小,那么在一 次实验中,这个事件几乎不会发生. 如: 事件“掷100枚均匀硬币全出现正面”
（三）对给定（或选定）的显著性水平 ，由统计
量的分布查表确定出临界值，进而得到H0的拒绝域 和接受域.
北京工业大学《概率论与数理统计》课件 第8章 正态总体均值的假设检验
● 建立一个假设：H0: μ =10。并且要经过样 本来检验该假设是否成立(其实为可以接受)。
在数理统计中，把 “ X 的均值 μ =10” 这样
的一个欲检验的假设称为 “原假设” 或 “零 假设”，记成 “ H0：μ =10”。这里的“H”是 从英文“ hypothesis ”的字头而来，“ 0 ” 是从 “null”或“zero” 含义而生。
该检验称为两样本 t 检验。
说明
上面，我们假定 12=22。当然，这是个 不得已而强加上去的条件。因为，如果不加 这个条件，就无法使用简单易行的 t 检验。
在实用中，只要我们有理由认为12和22 相差不是太大，就可使用上述方法。通常的 做法是：如果方差比检验未被拒绝(见下节)， 就认为12和22相差不是太大。
又如：考察一项新技术对提高产品质量是 否有效，就把新技术实施前后生产的产品质量
指标分别看成正态总体 N(1, 12)和 N(2, 22)。
这时，所考察的问题就归结为检验这两个正态
总体的均值 1和 2是否相等的问题。
设X1, X2, …, Xm与Y1, Y2, …, Yn 分别为抽
自正态总体 N(1, 12) 和N(2, 22) 的样本，记
的大小检验 H0 是否
成立。
合理的做法应该是：找出一个界限 c，
这里的问题是：如何确定常数 c 呢？ 细致地分析：根据定理 6.3.1，有
于是，当原假设 H0：μ =10 成立时，有
为确定常数 c，我们考虑一个很小的正数， 如 =0.05。当原假设H0：μ =10 成立时，有
于是，我们就得到如下检验准则:
即新技术或新配方对提高产品质量确实有效。
单边检验 H0: μ =μ0 ‹–› H1: μ >μ0
在数理统计中，把 “ X 的均值 μ =10” 这样
的一个欲检验的假设称为 “原假设” 或 “零 假设”，记成 “ H0：μ =10”。这里的“H”是 从英文“ hypothesis ”的字头而来，“ 0 ” 是从 “null”或“zero” 含义而生。
该检验称为两样本 t 检验。
说明
上面，我们假定 12=22。当然，这是个 不得已而强加上去的条件。因为，如果不加 这个条件，就无法使用简单易行的 t 检验。
在实用中，只要我们有理由认为12和22 相差不是太大，就可使用上述方法。通常的 做法是：如果方差比检验未被拒绝(见下节)， 就认为12和22相差不是太大。
又如：考察一项新技术对提高产品质量是 否有效，就把新技术实施前后生产的产品质量
指标分别看成正态总体 N(1, 12)和 N(2, 22)。
这时，所考察的问题就归结为检验这两个正态
总体的均值 1和 2是否相等的问题。
设X1, X2, …, Xm与Y1, Y2, …, Yn 分别为抽
自正态总体 N(1, 12) 和N(2, 22) 的样本，记
的大小检验 H0 是否
成立。
合理的做法应该是：找出一个界限 c，
这里的问题是：如何确定常数 c 呢？ 细致地分析：根据定理 6.3.1，有
于是，当原假设 H0：μ =10 成立时，有
为确定常数 c，我们考虑一个很小的正数， 如 =0.05。当原假设H0：μ =10 成立时，有
于是，我们就得到如下检验准则:
即新技术或新配方对提高产品质量确实有效。
单边检验 H0: μ =μ0 ‹–› H1: μ >μ0
单正态总体的参数假设检验
单正态总体的参数假设检验一、引言在统计学中，参数假设检验是一种常用的统计推断方法，用于对总体参数的假设进行验证。
在本文中，我们将讨论单正态总体的参数假设检验方法。
单正态总体是指样本来自一个服从正态分布的总体。
二、参数假设检验的基本步骤参数假设检验的基本步骤包括以下几个方面：1. 提出假设：在进行参数假设检验时，首先需要提出原假设和备择假设。
原假设（H0）是对总体参数的一个特定取值或一组取值的陈述，备择假设（H1）是对原假设的补充或对立假设。
2. 选择检验统计量：检验统计量是一个用于判断是否拒绝原假设的量。
在单正态总体的参数假设检验中，常用的检验统计量有样本均值、样本比例等。
3. 确定显著性水平：显著性水平是在进行假设检验时所允许的犯第一类错误的概率。
通常情况下，显著性水平取0.05或0.01。
4. 计算检验统计量的观察值：根据样本数据，计算检验统计量的观察值。
5. 确定拒绝域：拒绝域是一组检验统计量的取值，如果观察到的检验统计量的取值落在这个区域内，则拒绝原假设。
6. 做出决策：根据观察到的检验统计量的取值和拒绝域的关系，做出接受或拒绝原假设的决策。
三、单正态总体均值的参数假设检验在单正态总体均值的参数假设检验中，常用的检验方法有Z检验和t检验。
1. Z检验：当总体的标准差已知时，可以使用Z检验。
Z检验的检验统计量为样本均值与总体均值之差除以标准差的样本标准差。
根据中心极限定理，当样本容量较大时，检验统计量近似服从标准正态分布。
2. t检验：当总体的标准差未知时，使用t检验。
t检验的检验统计量为样本均值与总体均值之差除以标准误差的样本标准差。
根据学生t分布的性质，当样本容量较小时，检验统计量服从t分布。
四、实例分析为了更好地理解单正态总体的参数假设检验方法，我们以某电商平台的订单发货时间为例进行分析。
假设我们关注的是该电商平台订单的平均发货时间。
我们提出如下的原假设和备择假设：原假设（H0）：订单的平均发货时间为3天。
正态总体均值的假设检验
上一段中， H0:μ=μ0 ; H1: μ≠μ0 的对立假设为H1:μ≠μ0 ,该假设称为双边对立假设。
2. 单边检验 H0: μ=μ0; H1: μ>μ0而现在要处理的对立假设为 H1: μ>μ0, 称为右边对立假设。
类似地，H0: μ=μ0; H1: μ<μ0 中的对立假设H1: μ<μ0，假设称为左边对立假设。
右边对立假设和左边对立假设统称为单边对立假设，其检验为单边检验。
例如：工厂生产的某产品的数量指标服从正态分布，均值为μ0 ；采用新技术或新配方后，产品质量指标还服从正态分布，但均值为µ。
我们想了解“µ是否显著地大于μ”,即产品的质量指标是否显著地增加了。
8.2.2 两个正态总体N(µ1, σ12) 和N(µ2, σ22)均值的比较在应用上，经常会遇到两个正态总体均值的比较问题。
例如：比较甲、乙两厂生产的某种产品的质量。
将两厂生产的产品的质量指标分别看成正态总体N(µ1, σ12) 和N(µ2, σ22)。
比较它们的产品质量指标的问题，就变为比较这两个正态总体的均值µ1和µ2的的问题。
上面，我们假定 σ12=σ22。
当然，这是个不得已而强加上去的条件，因为如果不加此条件，就无法使用简单易行的 t 检验。
在实用中，只要我们有理由认为σ12和σ22相差不是太大，往往就可使用上述方法。
通常是：如果方差比检验未被拒绝(见下节), 就认为σ12和σ22相差不是太大。
J 说明小结本讲首先介绍假设检验的基本概念；然后讨论正态总体均值的各种假设检验问题，给出了检验的拒绝域及相关例题。
8.2.1 单个正态总体均值
解 此为已知方差=3.5的右边单侧检验，其假设为 H0：μ=54；H1：μ>54
n=10，σ=3.5，所以
x 57.12 57.12 54 u 2.8189 3.5 / 10
u 2.8189 u 1.645
所以拒绝H0，认为本年度的株产量较往年有较大提高。
5
第8章
§8.2 单个正态总体均值与方差的检验
(n 1) S 2
2
f ( x)
~ 2 (n 1)
2 P({ 2 2 (n)}{ 2 (n)}) 1 2 2
X ~ 2 ( n)
12 2 (n)
2 2 (n)
x
2
第8章
§8.2 单个正态总体均值与方差的检验
第3页
8.2.1 单个正态总体均值的假设检验
X X 1. u ~ N (0 ,1) ; t ~ t (n 1) n S/ n
P{| u | u } ; P{| t | t a (n 1)}
2 2
n
(x)
/2
1-
/2
-u/2
0
u/2 x
2. 2
1
2 2 2 ( X ) ~ ( n ) ; i 2 i 1
x 1052 x 0 1052 1000 t 4.65 s/ n 50 / 20 t a (n 1) t 0.05 (19) 1.7291
t t (n 1)
所以接受H0，认为该县已经达到了吨粮县的标准。
1
n
~ t ( n 1)
已知
2
2
2 2 ( x ) ~ ( n) i i 1
n=10，σ=3.5，所以
x 57.12 57.12 54 u 2.8189 3.5 / 10
u 2.8189 u 1.645
所以拒绝H0，认为本年度的株产量较往年有较大提高。
5
第8章
§8.2 单个正态总体均值与方差的检验
(n 1) S 2
2
f ( x)
~ 2 (n 1)
2 P({ 2 2 (n)}{ 2 (n)}) 1 2 2
X ~ 2 ( n)
12 2 (n)
2 2 (n)
x
2
第8章
§8.2 单个正态总体均值与方差的检验
第3页
8.2.1 单个正态总体均值的假设检验
X X 1. u ~ N (0 ,1) ; t ~ t (n 1) n S/ n
P{| u | u } ; P{| t | t a (n 1)}
2 2
n
(x)
/2
1-
/2
-u/2
0
u/2 x
2. 2
1
2 2 2 ( X ) ~ ( n ) ; i 2 i 1
x 1052 x 0 1052 1000 t 4.65 s/ n 50 / 20 t a (n 1) t 0.05 (19) 1.7291
t t (n 1)
所以接受H0，认为该县已经达到了吨粮县的标准。
1
n
~ t ( n 1)
已知
2
2
2 2 ( x ) ~ ( n) i i 1
单个正态总体的假设检验
计算统计量 Z 的观察值
z0
x 0
n
.
(8.3)
如果：( a ) | z0 |> zα/2，则在显著性水平 α 下，拒绝原假设 H0
(接受备择假设H1)，所以| z 0|> zα/2 便是 H0 的拒绝域。
( b ) | z0 | z /2 ，则在显著性水平 α 下，接受原假设 H0，认
=0.05 下 否 定 H0 ， 即 不 能 认 为 这 批 产 品 的 平 均 抗 断 强 度 是
32.50kg·cm-2。
把上面的检验过程加以概括，得到了关于方差已知的正态总体期
望值 μ 的检验步骤:
( a )提出待检验的假设 H0 ：μ = μ0； H1：μ ≠ μ0。
( b )构造统计量 Z ，并计算其观察值 z0 :
1277°(可看作温度的真值)，试问此仪器间接测量有无系统偏差?
这里假设测量值 X 服从 X ~ N ( μ , σ2) 分布。
解
①问题是要检验
提出假设 H0 ：μ = μ0=1227； H1：μ ≠ μ0。
由于
σ2
未知( 即仪器的精度不知道 )，我们选取统计量 T
当 H0 为真时，T ~ t ( n -1) ，T 的观察值为
X
X 0
N ( , ) ,
n
Z
n
X 0
n
N (0,1) ,
(8.2)
作为此假设检验的统计量，显然当假设 H0 为真(即μ = μ0正确)
时, Z ~ N ( 0 , 1)，所以对于给定的显著性水平 α ，可求出 zα/2，
使
P{| Z | z 2 } .
见图8-3，即
一个正态总体均值和方差假设检验
0.6685
1.7531
16
故接受H0 ，即认为元件的平均寿命不大于225小时。
12
二. 未知期望,检验方差
1.双边假设检验
未知期望, H0: 2 = 02 , H1: 202
(1) 提出原假设H0: 2 = 02 ，H1: 202.
(2)
选择统计量
2
(n
1)S
2
2
(3) 在假设H0成立的条件下，确定该统计量服从的 分布：2～2(n-1),自由度为n-1.
当
2 0
2 (n
1)时， 则拒绝H0
；
当
2 0
2 (n
1)时，则接受H0
.
19
例5 某种导线要求其电阻的标准差不得超0.005欧. 今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007欧. 问在＝0.05条件下,能认为这批导线的方差显著的 偏大吗？
解 提出原假设H0: 2 (0.005)2 ，H1: 2>(0.005)2.
选择统计量 T X
S
n
如果假设H0成立，那么
T
X
12 S
77
~
t(4)
5
9
取＝0.05，得t0.025(4)=2.776,则
P{|
X
S
1277 |
2.776}
0.05
4
根据样本值计算得x =1259, s2=570/4.所以
x 1277
| t0 || 570
|
45
| 1259 1277| 3.37 2.776
1)时，
2
2
则拒绝H0 ；
当
2 1
(n 1)
2 0
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显然
2.7 02 19.023
则H0相容，接受H0 。
可信这批延期药的静止燃烧时间T的方差为
例2
某次统考后随机抽查26份试卷, 测得平均成绩:
试分析该次考试成绩标准差是否为
已知该次考试成绩
解: 提出假设
（=0.05）
取统计量 查表 根据样本值算得
显然
则H0相容，故接受H0 。
表明考试成绩标准差与12无显著差异。
解: H 0 : 4.55 （ 4.55） X 4.55 统计量 Z 0.11 5
H1 : 4.55
由 p{Z z } α
得水平为的拒绝域为
Z z 1.645
这里
4.364 4.55 Z0 3.78 1.645 拒绝H0 0.11 5
由样本算得
543 549 这里 | T0 || | 1.77 t0.025 (4) 2.776 7.58 5 H0相容，接受H0。
即这批新罐的平均爆破压力与过去无显著差别。
二、关于σ 2假设检验
在显著性水平条件下检验假设 其中σ 0是已知常数， 例1 已知某种延期药静止燃烧时间T, T ~ N ( , 2 ) 今从一批延期药中任取10副测得静止燃烧时间（单位
S n
例2
拒绝域为
Tt0.05(9)=1.8331
这里
10631.4 10620 T0 0.45 1.8331 81 10
接受H0
例2（续） 某厂生产镍合金线，其抗拉强度X的均值为
10620 (kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽 取10根,测得抗拉强度(kg/mm2)为: 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 10581, 10666, 10670. 认为 X ~ N ( , 2 ) ,取=0.05 ,问 新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合 金线抗拉强度要高? 如假设: H0： 10620; H1：<10620 结论如何？ X 0 H 0 真时 : T X 10631.4
S n
拒绝域为 T -t0.05(9)=-1.8331 10631.4 10620 0.45＞－1.8331 接受H0 这里 T0 81 10
同一个问题，因为不同的假设结论完全相反，怎么解释？ 这涉及到如何进行原假设的设计问题 原假设的设立带有一定的倾向性，可从下列问题来体会
有一生产厂家向超市供货，质量指标服从正态分布 N ( , 2 ), 越大质量越好，而0为合格界限
即x 0 t ( n 1)
s n
请大家分析一下商场和生产厂家希望哪个原假设?
从以上的分析也可看出：否定原假设通常比较困难 通常所说,假设检验具有保护原假设的特点 确定原假设时要 体现倾向性,通常假定保持原来的状况不变 或者采用保守的观点
2 2 2 对于单边问题H 0： 2 （ 2 0）；H1： 2 0， 0
0。
之外的两侧，
此检验称为双侧检验。
2、未知σ 2，检验
H 0 : 0
H1 : 0
（H1可以不写）
2
1 n 未知σ 2，可用样本方差 S 2 ( X k X ) 2 代替σ n 1 k 1 检验步骤
第一步：
提出原假设和备择假设
第二步：取一检验统计量，在H0成立下求出它的分布 X 0 T ~ t (n 1) S n 第三步： 确定H0的否定域。 对给定的显著性水平 , 查表确定临界值 t 2 (n 1) 使
1
[ 2 (n 1)]
2 2 2
是小概率事件。
因此， 在样本值
下计算
若
若
或
则否定H0。
则H0相容。
本题 1 (n 1)
2
(9) 2.7 2 2 2 9 0.023 2 7.6176 根据样本值算得 0 2 0.025
2 0.975
2 (n 1) 02.025 (9) 19.023
即“
得 H0否定域
”是一个小概率事件 .
或 代入算出统计量 则H0相容，接受H0 则否定H0，接受H1
第四步： 将样本值 第五步：判断
故称其为t 检验法。 由于取用的统计量服从t分布，
例3
某工厂生产的一种螺钉， 标准要求长度是32.5
毫米. 实际生产的产品其长度 X 假定服从正态分布 ， 2 2 现从该厂生产的一批产品中 X ~ N ( , ), 未知， 抽取6件, 得尺寸数据如下:
可解得拒绝域： 2 12 ( n 1)；
2 2 2 而对单边问题 H 0： 2 （ 2 0）；H1： 2 0， 0 2 可解得拒绝域： 2 ( n 1)。
（n 1)s 2＝ 2
2
0
例5
取10根测得其熔化 电工器材厂生产一批保险丝， 59, 57, 68, 54, 55, 71.
为了解释方便，假设 H 0 : 0 H1 : 0
另外 x
Z X 0
如要接受H1 : 0
/ n
应该比较小 否定域在左边, 形式为Z<?
z0 z
思考
例4
某织物强力指标X的均值
公斤.
改进
工艺后生产一批织物，今从中取30件，测得
X ~ N ( , 2 ),且已知 公斤.假设强力指标服从正态分布 1.2 公斤，问在显著性水平 0.01 下，新生产
时间（min）为 42, 65, 75, 78,
问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差大于
80?(=0.05) , 熔化时间
X ~ N ( , 2 )
2
解
2
H 0： 80；H1： 80
2
2 2
这里
9S 80 时 ~χ 2 (9) 80
9S 2 2 2 σ0
四.单边检验及其拒绝域
双边假设检验
H 0 : 0
单边检验
H1 : 0
双边备择假设
H 0 : 0 （＝0）H1 : 0
右边检验
H 0 : 0 （＝0）H1 : 0
左边检验
H 0 : 0 （＝0）H1 : 0
某厂生产镍合金线，其抗拉强度X的均值为 10620 (kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽 取10根,测得抗拉强度(kg/mm2)为: 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 10581, 10666, 10670. 认为 X ~ N ( , 2 ) ,取=0.05 ,问 新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合 金线抗拉强度要高? 解: H0：≤10620; H1：>10620 X 0 H 0 真时 : T X 10631.4
第八章
假设检验
一 、假设检验的基本概念
二、正态总体均值与方差 的假设检验
§8。2
正态总体均值与方差的假设检验
设总体 X ~ N ( , 2 ) X 1 , X 2 ,, X n 为X的样本。 我们对μ ,σ 2作显著性检验 1、单个正态总体均值的假设检验
X ~ N ( , 2 ), 已知
x 0 Z0 n 第五步：判断
(x )
2
| Z 0 | Z | Z 0 | Z
2 2
则H0相容，接受H0
z
2
0
z x
2
则否定H0，接受H1 故称其为 由于取用的统计量服从 Z(U)分布， Z(U) 检验法。 选择假设H1 表示Z可能大于μ 0，也可能小于μ 如图，拒绝域是是区域
T0 2.997 4.0322
故不能拒绝H0 .
没有落入 拒绝域
这并不意味着H0一定对，只是差异还不够显著,
不足以否定H0 .
例5
对一批新的某种液体存储罐进行耐裂试验, 545 530 550 545
重复测量5次，测得爆破压力数据为（单位斤/寸2）: 545
过去该种液体存储罐的平均爆破压力为549斤寸(可
秒）数据为 1.3405 1.4059 1.3836 1.857 1.3804
1.3760 1.4053 1.3789 1.4021 1.3424
问：是否可信这批延期药的静止燃烧时间T的方差为
2 0.0252. ( 0.05) 我们的任务是根据所得的样本值检验
我们先讨论一般的检验法。
提出假设
9 121.8 13.7 80
由 p{ χ (9)}
2 2
得水平为
2 2
=0.05
2 0.05
· 左边检验问题 方差未知 H0： 0 ；H1： <0,
说明:有些教材上
用“H0： =0 ；H1： <0 ,”表示
X 0 统计量 : T S n
由
P{T t (n 1)}
得水平为的拒绝域为
T t (n 1)
· 右边检验问题 H0： ≤ 0 ；H1： ＞0 或 H0： =0 ；H1： ＞0,
2
已知，检验假设 的过程分为五个步骤：
第一步： 提出原假设和备择假设
第二步：取统计量，在H0成立下求出它的分布
Z
X 0
n
~ N (0 , 1)
第三步： 对给定的显著性水平 查表确定临界值 k Z ,使
2
P{| Z | Z 2 }
得H0否定域 第四步：将样本值
x1 , x2 ,, xn代入算出统计量
织物比过去的织物强力是否有提高?
解: 提出假设: