正态总体的参数检验
数理统计17：正态总体参数假设检验
数理统计17：正态总体参数假设检验现在，我们对正态分布的参数假设检验进⾏讨论，这也是本系列的最后⼀部分内容。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：基本步骤正态总体N (µ,σ2)参数的假设检验不外乎遵循以下的步骤：找到合适的统计量，⽤统计量的取值范围设计拒绝域。
假定原假设为真，考虑这个条件下统计量的分布。
根据统计量的分布，根据检验的⽔平要求设置拒绝域的边界值。
设计检验的核⼼在于假定原假设为真，这是因为检验的⽔平是基于弃真概率定义的，也就是说，要在第三步中写出检验的⽔平，就必须在H 0成⽴的情况下找出⼩概率事件的发⽣条件。
⽐如，对于均值的检验⼀共有三种：1.H 0:µ=µ0↔H 1:µ≠µ0;2.H 0:µ≥µ0↔H 1:µ<µ0;3.H 0:µ≤µ0↔H 1:µ>µ0.每⼀种⼜可以细分为⽅差σ2已知和⽅差σ2未知两种情况，但显然不论⽅差是否已知，最核⼼的统计量都应该是¯X，如果⽅差未知可能还要⽤到⽅差的替代：S 2。
以下，对于这三种问题，拒绝域分别应该是这样的：如果H 0被接受，则¯X 既不应该太⼤，也不应该太⼩，拒绝域的基础形式应该是{¯X >c 1}∪{¯X <c 2}.如果H 0被接受，则¯X 不应该太⼩，⽆论多⼤都可以，拒绝域的基础形式应该是{¯X <c }.如果H 0被接受，则¯X 不应该太⼤，⽆论多⼩都可以，拒绝域的基础形式应该是{¯X>c }.当然，这只是拒绝域的基础形式，实际情况下可能不⽌使⽤¯X，但基本思想应该是这样的。
对于⽅差的检验，则将检验统计量换成了S 2，或者均值已知情况下的离差平⽅和Q 2，步骤也和上⾯的差不多。
正态总体的参数检验简单总结
s22 0.5689
试判别两个样本均值的差异是仅由随机因素 造成的还是与来自不同的鸟巢有关(0.05).
解 H0 : 1 = 2 ； HA : 1 2
取统计量 T XY ~T(nm2)
1nm1Sw
拒绝域 0：T t0.02(522 )2.074
Sw
(n1)S12(m1)S22 0.718 nm2
t X 0 S n
~ t(n 1)
拒绝域
t t
t t2
t t2
（2）关于 2 的检验 2 检验法
原假设 备择假设
H0
HA
2=
2 0
2
2 0
2
2 0
2<
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 0
检验统计量及其在 H0为真时的分布
n
(X i )2
2 i1
2 0
~ 2(n)
拒绝域
2
2
1
2
(n)
或
2
2
(
n
)
2
2 12(n)
现从A生产的钢管中抽出18 根, 测得 s12 = 0.34, 从B生产的钢管中抽出13 根, 测得 s22 = 0.29,
设两样本相互独立. 问是否能认为两台机器生
产的钢管内径的稳定程度相同? ( 取 = 0.1 )
解
H0
:
2 1
=
2 2
；
HA
:
2 1
2 2
S12 S22
~
F(17,
12)
查表得 F( 17, 12 ) = 2.59,
2 1
/
2 2
的检验
原假设 备择假设 检验统计量及其在
第二节 正态总体均值的假设检验
σ
~ N(0,1)
n
（σ 2 已知)
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H0为真时的分布 H0 H1
=0 ≠0
X 0 T= ~ T(n 1) S n
接受域
x 0 s n
≤ tα
（σ 2未知）
2
待估参数
枢轴量及其分布 置信区间
X 0 T= ~ T(n 1) S n
( x tα
2
= 0 ≥ 0 ≤ 0
≠ 0 < 0 > 0
U=
X 0
σ
U ≥ zα
2
n
U ≤ zα
N(0,1)
U ≥ zα
未知) T 检验法 (σ2 未知) 原假设 备择假设 检验统计量及其 H0 H1 H0为真时的分布 拒绝域
= 0 ≥ 0 ≤ 0
≠ 0 < 0 > 0
X 0 T= S n ~ t(n 1)
（2）关于 σ
2
χ2检验法 的检验
拒绝域
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H1 H0为真时的分布 H0
σ
2=σ 2 0
σ
2≠σ 2 0
χ =
2
∑(X )
i=1 i
n
χ ≤ χ (n)
2 2 1α 2
2
或 χ 2 ≥ χα2 (n)
2
σ 2≥σ 02 σ 2<σ 02
σ
2 0
~ χ (n)
2
χ ≤ χ (n)
(1) 关于均值差 1 – 2 的检验
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H0为真时的分布 H0 H1
1 – 2 = δ 1 – 2 ≠ δ 1 – 2 ≥ δ 1 – 2 < δ 1 – 2 ≤ δ 1 – 2 > δ
8.3两个正态总体参数的假设检验
方差
12
2 2
2
未知
1.H0 : 1 2 0 H1 : 1 2 0
由于
Sw2
1 n1 n2
n1
[ 2 i1
(Xi
X )2
n2 i1
(Yi
Y )2]
是
2 的无偏估计
检验统计量：T
Sw
X Y 1 n1
1 n2
~ t(n1 n2 2)
检验问题的拒绝域为：| T | t (n1 n2 2)
X Y H0
2 1
2 2
~ N (0,1)
n1 n2
检验问题的拒绝域为：|U | Z
2
方差
12 ,
2 2
已知
2.
检验统计量：U
X Y
2 1
2 2
n1 n2
检验问题的拒绝域为：U Z1
3. H0 : 1 2 0
方差
12 ,
2 2
已知
H1 : 1 2 0
检验统计量：U
X Y
2 1
2 2
n1 n2
检验问题的拒绝域为：U Z
例：设可乐厂车间使用灌装机生产的可乐容量服从正态分布， 方差为1。某天计量检验人员随机抽取10瓶可乐，容量数据如下 （单位：毫升）：
499.5 496.3 500.5 499.1 499.3 499.2 499.0 500.2 500.1 499.8 另一可乐厂生产的可乐容量服从正态分布，方差为1.5。计 量检验人员随机抽取了的9瓶可乐，容量数据如下（单位：毫 升）：
2. H0 : 1 2 0 H1 : 1 2 0
3. H0 : 1 2 0 H1 : 1 2 0
问题1称为双侧检验问题，问题2、3称为单侧检验问题。
概率论与数理统计72正态总体的均值和方差的假设检验
（ = 0.05）?
解 以X表示物品在处理前的含脂率,Y表示物品在
处理后的含脂率,且 X ~ N ( μ1,σ12 ),Y ~ N ( μ2,σ22 )
样本(Y1,Y2, ,Yn2 )来自总体Y .
1. 已知方差时两个正态总体均值的检验
σ12,σ22为已知, μ1, μ2未知的检验（U检验法）
1 假设 H0 : 1 2 , H1 : 1 2;
2 取检验统计量为
U (X Y)/
σ12 σ22 n1 n2
~ N (0,1)
(当H0成立时)
3 取显著性水平为 α. P{ U u/2 } ,
~
t(n1 n2
2),
(当H0成立时)
其中 Sw2
( n1
1)S1*n21 (n2 1)S2*n22 n1 n2 2
.
3° 给定显著水平 ( 0< < 1)
P{ | T | t /2(n1 n2 2) } ，
查表可得 tα / 2(n1 n2 2). 拒绝域：
W1 {( x1, x2,, xn1; y1, y2,, yn2 ) :| t | t/2(n1 n2 2)}
X
~
N
(
1
,
2 1
),Y
~
N
(
2
,
2 2
),
为了考察温度对材料断裂强力的影响，在70 C与80 C
下，分别重复作了8次试验，得数据如下：
选择统计量
U X 800 9 40
当H0成立时,U~N(0,1).对于 = 0.05,由正态分布函
正态总体参数的假设检验matlab处理
正态总体参数的检验1 总体标准差已知时的单个正态总体均值的U检验某切割机正常工作时，切割的金属棒的长度服从正态分布N(100,4)。
从该切割机切割的一批金属棒中随机抽取15根，测得长度为：97 102 105 112 99 103 102 94 100 95 105 98 102 100 103假设总体的方差不变，试检验该切割机工作是否正常，即检验总体均值是否等于100？，取显著性水平a=0.05。
分析：这是总体标准差已知时的单个正态总体均值的检验，根据题目要求可写出如下假设：H0：u=u0=100，H1=u /=u0(u不等于u0)H0称为原假设，H1称为被择假设（或对立假设）MATLAB统计工具箱中的ztest函数用来做总体标准差已知时的单个正态总体均值的检验调用格式ztest[h,p,muci,zval]=ztest(x,mu0,Sigma,Alpha,Tail)x:是输入的观测向量mu0：假设的均值Sigma：总体标准差Alpha：显著性水平，默认0.05Tail：尾部类型变量,‘both’双侧检验（默认），u不等于uo；‘right’右侧检验，u>u0; ‘left’左侧检验,u<u0；返回值：h：假设的结果（0,1），h=0时，接受假设H0；h=1,拒绝假设H0p：检验的p值，p>Alpha时，接受原假设H0；p<=Alpha 时，拒绝原假设H0.muci：总体均值u的置信水平为1-Alpha的置信区间zval：检验统计量的观测值%定义样本观测值向量x=[97 102 105 112 99 103 102 94 100 95 105 98 102 100 103];mu0=100; %原假设中的mu0sigma=2; %总体标准差Alpha=0.05; %显著性水平%调用ztest函数做总体均值的双侧检验（默认）,%返回变量h，检验的p值，均值的置信区间muci，检验统计量的观测值zval[h,p,muci,zval]=ztest(x,mu0,sigma,Alpha)h =1p =0.0282muci =100.1212 102.1455zval =2.1947由ztest函数返回值可以看到，h=1，且p=0.0282<0.05，所以在显著性水平=0.05下拒绝的原假设H0:u=u0=100，因此认为该切割机不能正常工作，同时还返回了总体均值的置信水平为95%（1-0.05）的置信区间为[100.1212 102.1455]。
多元统计分析：第三章 多元正态总体参数的假设检验(补充)
第三章 多元正态总体参数的假设检验
所涉及的最大似然估计量—单个总体
ˆ X时 (4) 当 0 (0 0巳知)时, 取 似然函数达最大值:
L( X , 0 ) 2
np 2
0
n 2
n 1 etr - 0 A 2
19
第三章 多元正态总体参数的假设检验
15
第三章 多元正态总体参数的假设检验
所涉及的最大似然估计量—单个总体
单个p维正态总体Np(μ,Σ)，设X(i)(i=1,…,n)为来自p 维总体的随机样本.样本的似然函数为
L( , ) 2
np 2
1 ˆ A时, 似然函数达最大值 : ˆ X , (1)当 n n np A 2 A np L( X , ) 2 2 exp - n n 2
9
第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.6正态性检验--p维数据的正态性检验
D2(1)≤ D2(2) ≤…≤ D2(n) 统计量 D2 的经验分布函数取为
.
其中H(D2(t) |p)表示χ2 (p)的分布函数在D2(t)的值. 设χ2 分布的pt分位数为χt2 ,显然χt2满足: H(χt 2 |p)= pt. 即χ2 分布的pt 分位数χt2 ＝H-1(pt |p). 由经验分布得到样本的pt 分位数D2(t)=Fn-1(pt ). 若H(x|p)≌Fn(x)，应有D2(t) ≌ χt2 ,绘制点(D2(t) , χt2 )的散 布图,当X为正态总体时,这些点应散布在一条直线上. 10
(1) (1) ( 2) ( 2)
np 2
A1 A2 n
(t )
np 2 2
e
X )( X
7-2正态总体参数的检验
一、单个正态总体均值的检验 二、两个正态总体均值差的检验 三、正态总体方差的检验
同上节) 标准要求长度是32.5毫米 毫米. 例2(同上节 某工厂生产的一种螺钉 标准要求长度是 同上节 某工厂生产的一种螺钉,标准要求长度是 毫米
实际生产的产品，其长度 假定服从正态分布N( σ 未知， 实际生产的产品，其长度X 假定服从正态分布 µ,σ2 ) ,σ2 未知， 现从该厂生产的一批产品中抽取6件 得尺寸数据如下: 现从该厂生产的一批产品中抽取 件, 得尺寸数据如下
(1)与(4); (2)与(5)的拒绝域形式相同 与 的拒绝域形式相同. 与 的拒绝域形式相同
一、单个正态总体均值的检验
是来自N( σ 的样本 的样本, 设x1,…,xn是来自 µ,σ2)的样本 关于µ的三种检验问题是 (µ0是个已知数 是个已知数)
(1) H0 : µ ≤ µ0 vs H1 : µ > µ0 (2) H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0 (3) H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0
对于检验问题 对于检验问题
(2) H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0
x − µ0
仍选用u统计量 u = 选用 统计量 相应的拒绝域的形式为: 相应的拒绝域的形式为
取显著性水平为α 取显著性水平为α，使c满足 P 0 (u ≤ c) = α 满足 µ
由于μ = μ 0时，u ~ N(0,1),故 c = uα,如图 故 , 因此拒绝域为: 因此拒绝域为 或等价地: 或等价地 φ(x)
检 H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0 验
x − µ0 s/ n
接受域为: 接受域为
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拒绝域
1 – 2 = 1 – 2 1 – 2 1 – 2 < 1 – 2 1 – 2 >
U X Y
2 1
2 2
nm
~ N (0,1)
( 12，22 已知)
U z
2
U z
U z
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布
1 – 2 = 1 – 2 1 – 2 1 – 2 <
T X Y
1 n
1S m
w
~ T (n m 2)
ch8-17
拒绝域
T t
2
T t
1 – 2 1 – 2 >
12, 22未知
12
=
2 2
T t
其中
Sw
(n 1)S12 (m 1)S22 nm2
(2)
关于方差比
2 1
/
2 2
的检验
ch8-18
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
T X ~ T (15)
S / 16
查表得 t0.05(15) = 1.753, 故拒绝域为
x 0.8 1.753 x 0.8 1.753 0.32 0.94
s/ n
4
现 x 0.92 0.94
故接受原假设, 即不能否定厂方断言.
解二 H0 : 0.8 ； H1 : < 0.8 ch8-7
T X 0 ~ T (n 1)
S n
（ 2未知）
s ( x t ,
2 sn x t )
2n
原假设 备择假设检验统计量及其在
H0
H1 H0为真时的分布
ch8-28
接受域
2=
2 0
2
2 0
2
(n
1)S
2 0
2
~
2(n
1)
(未知)
2 1 2
(n
1)S 2
2 0
2
2
待估参数
2
枢轴量及其分布 置信区间
两样本 X , Y 相互独立, 样本 (X1, X2 ,…, Xn ), ( Y1, Y2 ,…, Ym ) 样本值 ( x1, x2 ,…, xn ), ( y1, y2 ,…, ym )
显著性水平
(1) 关于均值差 1 – 2 的检验 ch8-16
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布
§8.2 正态总体的参数检验 ch8-1
一个正态总体
（1）关于 的检验
拒绝域的推导
给定显著性水平与样本值(x1,x2,…,xn )
设 X ~N ( 2)，2 已知，需检验：
H0 : 0 ； H1 : 0
构造统计量
U
X
0
~
N (0,1)
n
ch8-2
P(拒绝HH0|0H0H为0真)
P ( X 0 k 0 ) PH0 ( X 0 k )
（2）关于 2 的检验 2检验法
ch8-10
原假设 备择假设 检验统计量及其在 拒绝域
H0
H1 H0为真时的分布
2=
2 0
2
2 0
n
(Xi )2
2
2
1
2
(n)
或
2
2
(n)
2 i1
2
2
2 0
2<
2 0
2 0
~ 2(n)
2
2 1
(n)
2
2 0
2>
2 0
( 已知)
2 2 (n)
ch8-11
ch8-31
解二 2的单侧置信区间为
(0,
(n 1)S 2
2 1
(n
1)
)
(
0
,
0.0081 ) (0, 3.325
0.0024 )
H0中的
2
2 0
1 900
0.0011
0.0024
则H0 成立, 从而接受原假设 , 即认为
满足设计要求.
ch8-32
样本容量的选取
虽然当样本容量 n 固定时, 我们不能 同时控制犯两类错误的概率, 但可以适当 选取 n 的值, 使犯取伪错误的概率 控制 在预先给定的限度内.
得样本方差S2=0.00066.已知老工艺生
产的活塞直径的方差为0.00040. 问
进一步改革的方向应如何？ ( P.244 例6 )
解 一般进行工艺改革时, 若指标 的方差显著增大, 则改革需朝相反方 向进行以减少方差；若方差变化不显 著, 则需试行别的改革方案.
设测量值
ch8-13
X ~ N( , 2 ) 2 0.00040
ch8-34
例7 (产品质量抽检方案)设有一大批
产品其质量指标 X ~ N( ,以, 2小)
者为佳. 对要实行的验收方案 厂方要求: 对高质量的产品 ( 能0)
以高概率 (1为)客户所接受； 客户要求: 对低质量产品 ( 能0 )
以高概率 (1 被) 拒绝.
ch8-35
设 0 0.11, 0.3, 0.09, 0.05. 问应怎样安排抽样方案.
样本容量 n 满足 如下公式：
n (z z ) /
单边检验
n (z z ) / 2
双边检验
ch8-33
U 检验法中 的计算公式
右边检验 左边检验 双边检验 其中
( z )
( z )
(z ) ( z ) 1
2
2
0 n
例6 详见教材 P.255 例12
上述两种解法的立场不同，因此 得到不同的结论. 第一种假设是不轻易否定厂方的结论；
第二种假设是不轻易相信厂方的结论.
ch8-9
由于假设检验是控制犯第一类错 误的概率, 使得拒绝原假设 H0 的决策 变得比较慎重, 也就是 H0 得到特别的 保护. 因而, 通常把有把握的, 经验的 结论作为原假设, 或者尽量使后果严 重的错误成为第一类错误.
21.5 22.0 22.0 22.1 22.3
x 22.20 s12 0.4225
y 21.12 s22 0.5689
ch8-20
试判别两个样本均值的差异是仅
由随机因素造成的还是与来自不同的
鸟巢有关 ( 0.05 ).
解 H0 : 1 = 2 ； H1 : 1 2
取统计量 T X Y ~ T (n m 2)
；H1
:
2 1
2 2
S
2 1
/
S
2 2
~ F(
17,
12
)
查表得 F0.05( 17, 12 ) = 2.59,
F0.95(
17,
12
)
=
1 F0.05 (12,17)
1 2.38
0.42
ch8-24
拒绝域为:
S12 S22
2.59
或
S12 S22
0.42
由给定值算得:
s12 s22
0.34 1.17 0.29
解 在显著性水平 0下.05进行 检U验
H0 : 0 ； H1 : 0
拒绝域为0：
X
0
z
n
由 பைடு நூலகம் (z z ) / 2z0.05 0.3/ 0.09 10.97
ch8-36
取 n 121
X 0 z0.05
0.111.645
n
0.3 0.1549 121
可安排容量为121的一次性抽样.
例3 杜鹃总是把蛋生在别的鸟巢中, 现从两种鸟巢中得到杜鹃蛋24个.其中 9个来自一种鸟巢, 15个来自另一种鸟 巢, 测得杜鹃蛋的长度(mm)如下:
n= 9
21.2 21.6 21.9 22.0 22.0 22.2 22.8 22.9 23.2
19.8 20.0 20.3 20.8 20.9 m = 15 20.9 21.0 21.0 21.0 21.2
PH0 (
X 0
k
) PH0 (
X 0
Z )
2
n
n
n
取k Z
2n
所以本检验的拒绝域为
0： U z
2
U 检验法
U 检验法 (2 已知)
ch8-3
原假设 备择假设 检验统计量及其
H0
H1
H0为真时的分布
拒绝域
0 0 0 < 0
~ N (0,1) n
U
X 0
U z
2
落在拒绝域外,故接受原假设, 即认为 内径的稳定程度相同.
ch8-25
假设检验与区间估计的联系
同一函数
假 统计量
设
检 接受域
验
枢轴量 区 间
置信区间 估
计
1
对偶关系
ch8-26
假设检验与置信区间对照
原假设 H0
0
备择假设 检验统计量及其在
H1
H0为真时的分布
0
U
X
0
~
N (0,1)
n
（ 2 已知)
当样本均值 x 0.1时54,9客户
拒绝购买该批产品；当 x 0.1时54，9
则购买该批产品.
ch8-37
例8 袋装味精由自动生产线包装，每
现随机抽取16台马达试验, 求得平均 消耗电流为0.92安培, 消耗电流的标准 差为0.32安培.
假设马达所消耗的电流服从正态分
布, 取显著性水平为 = 0.05, 问根据这
个样本, 能否否定厂方的断言?
解 根据题意待检假设可设为
ch8-6
H0 : 0.8 ； H1 : > 0.8 未知, 故选检验统计量: