两个正态总体参数的假设检验
两个正态总体的假设检验
由样本观察值算出的 F 满足
F0.95 (9 , 9) 1 3.18 F 1.95 3.18 F0.05 (9 , 9) .
可见它不落入拒绝域，因此不能拒绝原假设 H0 ：σ12 = σ22 ，
从而认为两个总体的方差无显著差异。
注意：在 μ1 与 μ2 已知时，要检验假设 H0 ：σ12 = σ22 ，其
检验方法类同均值未知的情况，此时所采用的检验统计量是：
1 n1
2
(
X
)
i 1
n1 i 1
F
1 n2
2
(
Y
)
i 2
n2 i 1
其拒绝域参看表8-5。
( 2 )单边检验可作类似的讨论。
F0.05 (n1 , n2 ) .
8-5
概率学与数理统计
体的样本，且 μ1 与 μ2 未知。现在要检验假设 H0 ： σ2 = σ02 ；
H1： σ2 ≠ σ02 。在原假设 H0 成立的条件下，两个样本方差的
比应该在1附近随机地摆动，所以这个比不能太大又不能太小。
于是我们选取统计量
S12
F 2.
S2
( 8.21 )
显然，只有当 F 接近1时，才认为有 σ12 = σ22 。
10 10 2
18
由( 8.20 )式计算得
2.063 2.059
t0
3.3 .
0.0000072 (2 10)
对于 α =0.01，查自由度为18的 t 分布表得 t 0.005( 18 )=2.878。
由于| t0|=3. 3 > t 0.005( 18 )=2.878 ，于是拒绝原假设 H0 ：μ1 = μ2 。
两个正态总体方差的假设检验
两个正态总体方差的假设检验1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊一个在统计学中非常重要，但听起来可能有点儿复杂的话题——两个正态总体方差的假设检验。
别担心，我们会用通俗易懂的方式，把这个问题掰开了揉碎了讲清楚。
你可能会问，“这跟我有什么关系呢？”其实，这些统计方法不仅仅是数学家的专属，很多实际问题都可以通过这些方法得到解决。
好比你买衣服时，会比较不同品牌的裤子，看哪个更适合你，其实也是在做“检验”。
所以，搞懂这个概念，绝对会让你在数据分析的世界里如鱼得水。
我们从最基本的概念开始聊起，循序渐进，一步一步深入。
2. 正态总体和方差2.1 正态总体是什么？首先，让我们搞清楚什么是“正态总体”。
简单来说，正态总体就是数据分布呈现钟形曲线的情况。
在生活中，很多自然现象都符合这种分布，比如人的身高、体重、考试分数等等。
正态分布的特点就是数据集中在中间，向两边渐渐减少，就像一个标准的山峰。
想象一下你在玩飞盘，飞盘从空中下落时的轨迹，就是一个典型的钟形曲线。
2.2 方差的作用接下来，我们来谈谈方差。
方差是用来衡量数据的离散程度的，换句话说，就是数据离中间值的远近程度。
方差大的话，数据就会分布得比较散，方差小的话，数据就比较集中。
好比你家里那只爱乱跑的猫，方差大，它就到处跑；而如果它安安静静地待在一个角落，那就是方差小了。
3. 假设检验的基本概念3.1 什么是假设检验？好，接下来进入正题：假设检验。
假设检验就像是在做一个“真心话大冒险”，我们要通过数据来验证某个“假设”是否成立。
比如你和朋友讨论哪家餐馆的菜最好，你们就会提出一个假设，然后用实际的体验来检验这个假设。
统计学中的假设检验也是类似的，只不过我们用的是数字和公式来做这个验证。
3.2 两个正态总体方差的假设检验现在，我们要做的是两个正态总体方差的假设检验。
这就像是比较两个篮球队的实力，看看哪个队更强。
假设我们有两个正态分布的数据集，我们的任务就是判断这两个数据集的方差是否相同。
第58讲 两个正态总体参数假设检验(比较两个正态总体均值的检验)
第58讲：两个正态总体参数的假设检验(比较两个正态总体均值的检验)例1：通常认为男女的脉搏率是没有显著差异的. 现在随机地抽取年龄都是25岁的16位男子和13位女子, 测得他们的脉搏率如下:男: 61, 73, 58, 64, 70, 64, 72, 60, 65, 80, 55,72, 56, 56, 74, 65,女: 83, 58, 70, 56, 76, 64, 80, 68, 78, 108,76, 70, 97.问题：假设男女脉搏率都是服从正态分布, 这些数据能否认为男女脉搏率的均值相同?()()12221212122221,,,,,,,,,,,n n X X X N Y Y Y N X Y S S μσμσ∙∙∙ 12假设：是来自的样本是来自的样本，两样本相互独立.并记,分别为两样本的均值和方差.()012112.:,:,H H μμμαμ=≠检验假设显著水平22121.σσ当和已知时2212012,.~(0X Y X Y C H X Y N n n σσ∙--≥∙-+ 检验统计量拒绝域形式 当成立时，，）.221212σσ-=+X YZ n n 记: 2α≥--Z z z 则检验拒绝域为：检验{}00002212122(1(),.σσ-=≥=-Φ-=+H P P Z z z x yz n n 其中:222122.σσσ当==但未知时2σ首先利用合样本给出参数的无偏估计量()()22112221211 .2wn S n SS n n -+-=+-1211-=+w X Y T S n n 可取检验统计量为：()21212211wX Y T t n n S n n α-=≥+-+检验拒绝域为：{}{}00120012||||2(2)||11--=≥=+-≥-=+H w P P T t P t n n t x yt P s n n 其中为::值——两样本精确t检验22123.σσ≠当且未知时221212.-=+X Y T S S n n 取检验统计量为:22221212.S S σσ以样本方差分，别代替，{}{}000||||2||,--=≥=≥H P P T t P Z P t 值为:(1)当两个样本量都很大时，利用中心极限定理{}/2||α≥T z 检验的拒绝域为:0221212~(01).-=+x y Z N t s sn n 其中: ，，12min(1,1),=--k n n (2)当两个样本为小样本时都很大时，统计量近似服从t 分布，自由度为22211222222112212(//)(/)(/)11+=+--S n S n k S n S n n n 或更精确的近似自由度{}/2||()α≥T t k 检验的拒绝域为: {}{}000||||2()||.--=≥=≥H P P T t P t k t P 值为: t ——两样本近似检验22112212221201,~(,),~(,),16,13,65.31,75.69,56.36,211.40,.X Y X N Y N n n x y s s H H μσμσμμμμ=======≠1212检验假设在例1中设分别表示男女的脉搏率，由已知数据计得:,:：算221256.36,211.40,s s t ==注意到相差很大，采用不等方差的检验法，结论：拒绝原假设，认为男女脉搏率的均值不相同。
双正态总体的假设检验
2 1 2 2
(1) 双侧检验 H 0 : 1 2 0 , H1 : 1 0 , 其中 0 为已知常数. 当 H 0 为真时，
x y 0 U ~ N (0,1), 2 2 1 专业课件讲义教材 / n1 2 / n文档 PPT 2
P{| U | k } 查标准正态分布表 k u / 2 u0.025 1.96, 从而拒绝域 为 | u | 1.96. 由于 x 1295, y 1230, 1 84, 2 96, 所以
u
x y
n1
2 1
n2
2 1
3.95 1.96,
x1 , x2 ,, xn1
和
专业课件讲义教材PPT文档
y1 , y2 ,, yn2 ,
3
计算出 U 的观察值 u,若 u u / 2 , 则拒绝原假设 H 0 , 若 u u / 2 , 则接受原假设 H 0 .
类似地，对单侧检验有： (2) 右侧检验 H 0 : 1 2 0 , H1 : 1 2 0 , 可得拒绝域为 其中 0 为已知常数，
H 0 : 1 2 2 , H1 : 1 2 2 ,
专业课件讲义教材PPT文档
8
解 检验假设 H 0 : 1 2 2 , 2 4 22 X 2Y ~ N 1 2 2 , . n1 n2
在 H 0 成立下
1
记其观察值为 u, 相应的检 选取 U 作为检验统计量， 验法称为 u 检验法. 由于 X 与 Y 是 1 与 2 的无偏估计量, 当 H 0 成立时,
u 不应太大, 当 H1 成立时, u 有偏大的趋势, 故拒绝
两个正态总体的假设检验
有时，我们需要比较两总体的参数 有时，我们需要比较两总体的参数 是否存在显著差异。比如， 是否存在显著差异。比如，两个农作物 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 两种加工工艺对产品质量的影响， 两种加工工艺对产品质量的影响，两地 区的气候差异等等。 区的气候差异等等。
Fα2 (n1 − 1, n2 − 1) 和 F12 α (n1 − 1, n2 − 1) ，使 −
2
( P (F
P F < Fα (n1 − 1, n2 − 1) =
2 2
2
2
> F12 α −
2
）、（3） 由（2）、（ ）式可得检验的拒绝域为 ）、（
F < F1−(α 2) ( n1 − 1, n2 − 1) 及 F > Fα 2 ( n1 − 1, n2 − 1)
拒绝H 两种灯泡的平均寿命 所以拒绝 假设， 所以拒绝 0假设，即认为 A、B两种灯泡的平均寿命 、 两种灯泡的 有统计意义。 有统计意义。
两个正态总体的方差检验 问题： 问题： X ~ N µ , σ 2 , Y ~ N µ ,σ 2 1 1
(
)
未知
µ1 , µ2 ，检验假设 0：σ 12 = σ 22 检验假设H
所以拒绝原假设 H20，即认为两种玉米的产量差异 有统计意义。 有统计意义。
(
2
2
)
F检验 检验
S12 σ 12 F = 2 2 ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) 由抽样分布知 S2 σ 2 2 S 若假设H 成立， 若假设 0成立，则 F = 12 ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) S2
f (x )
两个正态总体参数的假设检验 推导
两个正态总体参数的假设检验推导一、引言假设检验是统计学中常用的方法，用于检验两个正态总体参数是否具有显著差异。
本文将介绍两个正态总体参数的假设检验的推导过程，主要包括以下步骤：假设提出、样本收集、样本检验、推断结论、结果解释和误差分析。
二、假设提出假设检验的基本思想是通过样本数据对总体参数进行推断。
在这个过程中，首先需要提出假设，即对两个正态总体参数的关系做出假设。
通常，假设检验中包含两个假设：零假设（H0）和备择假设（H1）。
零假设通常表示两个总体参数无显著差异，备择假设则是与零假设相对的假设。
例如，我们可以在零假设中设定两个总体均数相等，备择假设则是均数不等。
三、样本收集在提出假设后，需要收集样本数据以进行检验。
样本收集应遵循随机抽样的原则，以确保样本的代表性。
在收集样本时，还需要注意样本量的大小，以保证推断结论的准确性。
四、样本检验样本检验是假设检验的核心步骤，包括计算样本统计量、确定临界值和做出推断结论等步骤。
样本统计量是根据样本数据计算出的量，用于推断总体参数。
临界值是用于判断样本统计量是否达到显著差异的标准。
在做出推断结论时，需要根据样本统计量和临界值进行比较，以确定零假设是否被拒绝。
五、推断结论根据样本检验的结果，可以做出推断结论。
如果样本统计量超过了临界值，则可以拒绝零假设，接受备择假设；否则，不能拒绝零假设。
推断结论是假设检验的关键步骤之一，要求谨慎和客观地做出判断。
六、结果解释推断结论做出后，需要对结果进行解释。
解释结果时需要关注以下几点：一是理解推断结论的含义，二是明确结果对于实践的意义，三是注意结果的局限性，即样本量和误差范围等因素对结果的影响。
结果解释要求清晰明了地传达结果的含义和应用范围。
七、误差分析误差分析是假设检验中不可或缺的一环。
误差分为两类：一类是随机误差，由随机抽样造成；另一类是系统误差，由样本设计和处理等环节造成。
误差分析的目的是评估结果的可靠性和精确性，从而确定结果在实际应用中的可信度。
两个总体参数的假设检验
Part
03
假设检验的注意事项
样本量
样本量过小
01
如果样本量过小，会导致检验结果不稳定，无法准确
推断总体参数。
样本量过大
两个总体参数的假设 检验
• 假设检验的基本概念 • 两个总体参数的假设检验 • 假设检验的注意事项 • 假设检验的实例分析 • 总结与展望
目录
Part
01
假设检验的基本概念
定义
01
假设检验是一种统计推断方法 ，通过对样本数据的分析，对 总体参数做出假设，并通过检 验假设是否成立来得出结论。
02
在假设检验中，通常会先提出 一个关于总体参数的假设，然 后通过样本数据对该假设进行 验证。
03
假设检验的目的是根据样本数 据对总体参数做出合理的推断 ，并尽可能减少因错误判断而 导致的误差。
目的
判断总体参数是否符合预期
通过假设检验，可以判断总体参数是否符合预 期，从而为进一步的研究或决策提供依据。
两个总体比例的比较
总结词
Fisher's exact test
详细描述
Fisher's exact test用于比较两个总体的分类比例是否存在显著差异，特别是当样本量较小时。它基于 Fisher's exact probability distribution，通过计算概率值来评估实际观测频数与期望频数之间的差异是 否具有统计学显著性。
两个总体方差的比较
01 总结词
Levene's test
两个正态总体均值的检验.
S
2 w
(n1
1)S1*2 (n2 1)S2*2 n1 n2 2
.
当H0为真时, 根据第六章§3定理2知,
T ~ t(n1 n2 2).
第八章 假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
对给定的 ， 由t分布的分位表可查得 t/ 2(n1 n2 2).
X Y
使得P{ Sw
1 1 t / 2 (n1 n2 2)}
,
2均为
2
未
知.
需要检验假设:
H0
:
2 1
22,
H1 :12 22 ,
第八章 假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
当 H0 为真时,
E
(
S1*
2
)
2 1
2 2
E(S2*2 ),
当 H1 为真时,
E(
S1*2
)
2 1
22
E(S2*2 ),
当 H1 为真时,
观
察
值S1*
S
* 2
2 2
有 偏
大
或
偏
小
的
趋
势
故拒绝域的形式为 s1*2 s2* 2
k1或
s1* 2 s2* 2
k2,
此处 k1和k2 的值由下式确定:
第八章 假设检验
P
S1* S2*
2 2
k1
S1*2 S2*2
k2
§8.3
两个正态总体参数的假设检验
为了计算方便, 习惯上取
P
S1* S2*
2 2
k1
,
2
P
P{| ( X Y ) /
故拒绝域为
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1 W {f 或 f F1 / 2 ( n1 1, n2 1)}. F1 / 2 (n2 1, n1 1)
内容小结
两个正态总体期望差的检验
条 件 拒 统 绝 计 域 量
2 12 , 2 已知 2 2 12 , 2 未知但 12 2
1
1 , 2 未知
(Y )
i 1 i 2 n2 2
H0
2 1
H1
n1
i 1
n2
2 F S12 / S2
2 2
2 12 2
f0 F1 / 2 (n1 , n2 ) 或
f0 1 F1 / 2 (n2 , n1 )
f F1 / 2 (n1 1, n2 1) 或
12
n1
2 2
n2
)
统计量 当原假设 H 0 成立时，
U
X Y
2 1
n1
2 2
~ N (0,1)
n2
否则， 故对给定的显著性水平 ,为使 U 有增大的趋势， 犯第二类错误的概率最小， 取拒绝域 W { u u
2 2 2 2 , 检验假设 未知， 但 2、方差 1 2 1 2, H0 : 1 2 ,H1 : 1 2 由抽样分布定理式知： 当原假设 H 0 成立时，
X ~ N ( 1 , 2 ), Y ~ N ( 2 , 2 )
乙种砌块造价低, 若其抗压强度不是显著低于甲种砌块的
抗压强度, 则可用乙种砌块代替甲种砌块.
即欲检验假设: H0 : 1 2 ,H1 : 1 2
由所给样本值可求得:
x 89.6
代入 T 得观测值
y 88
该问题属于已知方差检验期望值， 将所给数据代入统计量：
U
X Y
2 1
n1
2 2
,
得观测值:
u
0.081 0.060 0.0252 0.0622 200 150
,
n2
由 0.05, 查正态分布的分位数表得:
u1 / 2 u0.975 1.96.
因 u u1 / 2 , 即观测值落入拒绝域 W 内.
作业
P159 18； 19; 20
W {t t1 (n1 n2 2)}
对给定 0.05,
t1 (n1 n2 2) t0.95 (8) 1.8595
因 t t1 (n1 n2 2), 即样本值未落入其拒绝域内, 故 接受原假设, 认为抗压强度无明显降低,可以代替.
二、总体方差的比较－F 检验
1 0.025mm, 2 0.062mm, 今从甲、乙两车床加工的轴
y 0.060mm.试问这两台车床加工的轴的椭圆度是否有显 著差异？( 0.05)
解：由题目要求，欲检验假设
中分别抽出 n1 200 根， 测算得：x 0.081mm, n2 150 根，
H0 : 1 2 ,H1 : 1 2
1
2
}.
统计量
T
X Y
2 (n1 1) s12 (n2 1) s2
n1n2 (n1 n2 2) ~ t (n1 n2 2) n1 n2
n1
其中
1 2 s ( x x ) , i n1 1 i 1
2 1 n2 1 2 2 s2 ( yi y ) , n2 1 i 1
第八章
第三节 两个正态总体 参数的假设检验
一、总体期望值的比较
二、总体方差的比较－F 检验
2 设 X ~ N ( 1 , 12 ), Y ~ N ( 2 , 2 ), 且 X 与Y 相互独立. ( X 1 , X 2 , , X n1 ), (Y1 , Y2 , , Yn2 ) 分别为来自总体 X 与
2 S2
由抽样分布定理知, 当原假设 H 0成立时, F0 ~ F(n1 , n2 ). 否则, F0 的观测值 f 0 会有偏大或偏小的趋势, 故对给定的 显著性水平 , 为使犯第二类错误的概率最小，取拒绝域
W { f0 F / 2 (n1 , n2 ) 或 f0 F1 / 2 (n1, n2 )}.
s 4.3
2 1
2 2
s 5.5
2 2
X Y (n1 1) s(n1 n2 2) n1 n2
89.6 88 5 5(5 5 2) t 1.143. 55 4 4.3 4 5.5
该检验为单侧检验. 当原假设不成立时, 统计量 T 的观测值就会有增大的趋势, 因而其拒绝域应取为
考虑假设
2 2 H0 : 12 2 , H1 : 12 2
当总体的期望 1 , 2 均已知时, 选取统计量 F0 其中
n1 n2 1 1 2 2 2 2 S1 ( X i 1 ) ,S2 ( X i 2 ) n1 i 1 n2 i 1
S12
f 1 F1 / 2 (n2 1, n1 1)
2 2 12 2 12 2 2 2 12 2 12 2
f0 F1 (n1 , n2 ) f0 1/ F1 (n2 , n1 )
f F1 (n1 1, n2 1) f 1/ F1 (n2 1, n1 1)
U
X Y
H0
H1
2 1
n1
2 2
T
X Y
2 (n1 1) s12 (n2 1) s2
n2
n1n2 (n1 n2 2) n1 n2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
{ u u1 / 2 } {u u1 }
{u u1 }
{ t t1 / 2 (n1 n2 2)}
{t t1 (n1 n2 2)} {t t1 (n1 n2 2)}
两个正态总体方差的检验
条 件 1 , 2 已知 拒 统 绝 计 1 n 1 域 量 F0 ( X i 1 )2 /
S 当总体的期望 1 , 2 均未知时, 选取统计量 F S 若 H 0 成立, 则由抽样分布定理有 F ~ F(n1 1, n2 1).
则此时的拒绝域
2 1 2 2
W { f F / 2 (n1 1, n2 1) 或 f F1 / 2 (n1 1, n2 1)}.
否则， 故对给定的显著性水平 ,为使 T 有增大的趋势， 犯第二类错误的概率最小， 取拒绝域
W {t t
1
2
(n1 n2 2)}.
例1 甲、乙两车床加工同一种轴， 设甲加工的轴的椭圆
2 1
2 度 X ~ N ( 1 , ), 乙加工的轴的椭圆度 Y ~ N ( 2 , 2 ), 其中
Y 的两个样本.
一、总体期望值的比较
1、已知总体的方差 , , 检验假设
2 1 2 2
H0 : 1 2 ,H1 : 1 2
由抽样分布定理式知： 1 2 1 2 X ~ N ( 1 , 1 ), Y ~ N ( 2 , 2 ) n1 n2 又 X 与Y 独立， 从而有
X Y ~ N ( 1 2 ,
故拒绝原假设 H 0 , 认为这两台车床加工的轴的椭圆度
没有显著差异.
例2 设有甲、乙两种砌块, 彼此可以代用. 但乙砌块 比甲砌块的制作简单造价低. 经过实验获得抗压强度(Pa) 甲：88，87，92，90，91 乙：89，89，90，84，88 ( 0.05) 设抗压强 试问能用乙种砌块代替甲种砌块吗？ 度服从正态分布， 且方差不变. 则 解: 用 X ,Y分别表示甲、乙两种砌块的抗压强度，