两个正态总体参数的假设检验

S 当总体的期望 1 , 2 均未知时, 选取统计量 F S 若 H 0 成立, 则由抽样分布定理有 F ~ F(n1 1, n2 1).
则此时的拒绝域
2 1 2 2
W { f F / 2 (n1 1, n2 1) 或 f F1 / 2 (n1 1, n2 1)}.
1 0.025mm, 2 0.062mm, 今从甲、乙两车床加工的轴
y 0.060mm.试问这两台车床加工的轴的椭圆度是否有显 著差异？( 0.05)
解：由题目要求，欲检验假设
中分别抽出 n1 200 根， 测算得：x 0.081mm, n2 150 根，
H0 : 1 2 ,H1 : 1 2
U
X Y
H0
H1

2 1
n1


2 2
T
X Y
2 (n1 1) s12 (n2 1) s2
n2
n1n2 (n1 n2 2) n1 n2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
{ u u1 / 2 } {u u1 }
X ~ N ( 1 , 2 ), Y ~ N ( 2 , 2 )
乙种砌块造价低, 若其抗压强度不是显著低于甲种砌块的
抗压强度, 则百度文库用乙种砌块代替甲种砌块.
即欲检验假设: H0 : 1 2 ,H1 : 1 2
由所给样本值可求得:
x 89.6
代入 T 得观测值
y 88
作业
P159 18； 19; 20
由 F 分布的性质, 上式也可写成
1 W {f 或 f F1 / 2 ( n1 1, n2 1)}. F1 / 2 (n2 1, n1 1)
内容小结
两个正态总体期望差的检验
条 件 拒 统 绝 计 域 量
2 12 , 2 已知 2 2 12 , 2 未知但 12 2
2 S2
由抽样分布定理知, 当原假设 H 0成立时, F0 ~ F(n1 , n2 ). 否则, F0 的观测值 f 0 会有偏大或偏小的趋势, 故对给定的 显著性水平 , 为使犯第二类错误的概率最小，取拒绝域
W { f0 F / 2 (n1 , n2 ) 或 f0 F1 / 2 (n1, n2 )}.
12
n1

2 2
n2
)
统计量 当原假设 H 0 成立时，
U
X Y

2 1
n1


2 2
~ N (0,1)
n2
否则， 故对给定的显著性水平 ,为使 U 有增大的趋势， 犯第二类错误的概率最小， 取拒绝域 W { u u
2 2 2 2 , 检验假设 未知， 但 2、方差 1 2 1 2, H0 : 1 2 ,H1 : 1 2 由抽样分布定理式知： 当原假设 H 0 成立时，
否则， 故对给定的显著性水平 ,为使 T 有增大的趋势， 犯第二类错误的概率最小， 取拒绝域
W {t t
1

2
(n1 n2 2)}.
例1 甲、乙两车床加工同一种轴， 设甲加工的轴的椭圆
2 1
2 度 X ~ N ( 1 , ), 乙加工的轴的椭圆度 Y ~ N ( 2 , 2 ), 其中
s 4.3
2 1
2 2
s 5.5
2 2
X Y (n1 1) s (n2 1) s
2 1
n1n2 (n1 n2 2) n1 n2
89.6 88 5 5(5 5 2) t 1.143. 55 4 4.3 4 5.5
该检验为单侧检验. 当原假设不成立时, 统计量 T 的观测值就会有增大的趋势, 因而其拒绝域应取为
1
1 , 2 未知
(Y )
i 1 i 2 n2 2
H0
2 1
H1
n1
i 1
n2
2 F S12 / S2

2 2
2 12 2
f0 F1 / 2 (n1 , n2 ) 或
f0 1 F1 / 2 (n2 , n1 )
f F1 / 2 (n1 1, n2 1) 或
{u u1 }
{ t t1 / 2 (n1 n2 2)}
{t t1 (n1 n2 2)} {t t1 (n1 n2 2)}
两个正态总体方差的检验
条 件 1 , 2 已知 拒 统 绝 计 1 n 1 域 量 F0 ( X i 1 )2 /
考虑假设
2 2 H0 : 12 2 , H1 : 12 2
当总体的期望 1 , 2 均已知时, 选取统计量 F0 其中
n1 n2 1 1 2 2 2 2 S1 ( X i 1 ) ,S2 ( X i 2 ) n1 i 1 n2 i 1
S12
1

2
}.
统计量
T
X Y
2 (n1 1) s12 (n2 1) s2
n1n2 (n1 n2 2) ~ t (n1 n2 2) n1 n2
n1
其中
1 2 s ( x x ) , i n1 1 i 1
2 1 n2 1 2 2 s2 ( yi y ) , n2 1 i 1
Y 的两个样本.
一、总体期望值的比较
1、已知总体的方差 , , 检验假设
2 1 2 2
H0 : 1 2 ,H1 : 1 2
由抽样分布定理式知： 1 2 1 2 X ~ N ( 1 , 1 ), Y ~ N ( 2 , 2 ) n1 n2 又 X 与Y 独立， 从而有
X Y ~ N ( 1 2 ,
故拒绝原假设 H 0 , 认为这两台车床加工的轴的椭圆度
没有显著差异.
例2 设有甲、乙两种砌块, 彼此可以代用. 但乙砌块 比甲砌块的制作简单造价低. 经过实验获得抗压强度(Pa) 甲：88，87，92，90，91 乙：89，89，90，84，88 ( 0.05) 设抗压强 试问能用乙种砌块代替甲种砌块吗？ 度服从正态分布， 且方差不变. 则 解: 用 X ,Y分别表示甲、乙两种砌块的抗压强度，
第八章
第三节 两个正态总体 参数的假设检验
一、总体期望值的比较
二、总体方差的比较－F 检验
2 设 X ~ N ( 1 , 12 ), Y ~ N ( 2 , 2 ), 且 X 与Y 相互独立. ( X 1 , X 2 , , X n1 ), (Y1 , Y2 , , Yn2 ) 分别为来自总体 X 与
W {t t1 (n1 n2 2)}
对给定 0.05,
t1 (n1 n2 2) t0.95 (8) 1.8595
因 t t1 (n1 n2 2), 即样本值未落入其拒绝域内, 故 接受原假设, 认为抗压强度无明显降低,可以代替.
二、总体方差的比较－F 检验
f 1 F1 / 2 (n2 1, n1 1)
2 2 12 2 12 2 2 2 12 2 12 2
f0 F1 (n1 , n2 ) f0 1/ F1 (n2 , n1 )
f F1 (n1 1, n2 1) f 1/ F1 (n2 1, n1 1)
该问题属于已知方差检验期望值， 将所给数据代入统计量：
U
X Y

2 1
n1


2 2
,
得观测值:
u
0.081 0.060 0.0252 0.0622 200 150
,
n2
由 0.05, 查正态分布的分位数表得:
u1 / 2 u0.975 1.96.
因 u u1 / 2 , 即观测值落入拒绝域 W 内.