第七章 两个总体的假设检验
两个正态总体的假设检验
由样本观察值算出的 F 满足
F0.95 (9 , 9) 1 3.18 F 1.95 3.18 F0.05 (9 , 9) .
可见它不落入拒绝域，因此不能拒绝原假设 H0 ：σ12 = σ22 ，
从而认为两个总体的方差无显著差异。
注意：在 μ1 与 μ2 已知时，要检验假设 H0 ：σ12 = σ22 ，其
检验方法类同均值未知的情况，此时所采用的检验统计量是：
1 n1
2
(
X
)
i 1
n1 i 1
F
1 n2
2
(
Y
)
i 2
n2 i 1
其拒绝域参看表8-5。
( 2 )单边检验可作类似的讨论。
F0.05 (n1 , n2 ) .
8-5
概率学与数理统计
体的样本，且 μ1 与 μ2 未知。现在要检验假设 H0 ： σ2 = σ02 ；
H1： σ2 ≠ σ02 。在原假设 H0 成立的条件下，两个样本方差的
比应该在1附近随机地摆动，所以这个比不能太大又不能太小。
于是我们选取统计量
S12
F 2.
S2
( 8.21 )
显然，只有当 F 接近1时，才认为有 σ12 = σ22 。
10 10 2
18
由( 8.20 )式计算得
2.063 2.059
t0
3.3 .
0.0000072 (2 10)
对于 α =0.01，查自由度为18的 t 分布表得 t 0.005( 18 )=2.878。
由于| t0|=3. 3 > t 0.005( 18 )=2.878 ，于是拒绝原假设 H0 ：μ1 = μ2 。
教育统计学第七章假设检验
THANKS
感谢观看
和假设。
合理选择样本
选择具有代表性的样本是假设 检验的重要前提，样本的选择 应基于研究目的和研究对象的 特征。
正确理解数据
对收集到的数据进行正确理解 和分析，确保数据的准确性和 可靠性。
正确解读结果
对假设检验的结果进行正确解 读，避免误导或过度解读。
假设检验的局限性
样本代表性
由于样本是从总体中随机抽取的，因此可能存在样本代表性不足的问 题，导致假设检验的结果存在误差。
用于比较实际观测频数与期望 频数之间的差异。
回归分析
用于研究变量之间的关系，并 检验回归方程是否显著。
03
参数假设检验
单个总体参数的假设检验
定义
对单个总体参数的假设检验是检 验一个总体参数是否等于某个特
定值。
步骤
1. 提出假设；2. 确定检验统计量； 3. 确定临界值；4. 做出推断结论。
示例
检验某班级学生的平均成绩是否为 80分。
提高假设检验准确性的方法
增加样本量
增加样本量可以提高假设检验的准确性，降 低误差率。
考虑使用交叉验证
交叉验证可以减少模型过拟合和欠拟合问题， 提高假设检验的准确性。
选择适当的统计方法
根据研究目的和数据特征选择适当的统计方 法，可以更准确地检验假设。
注意控制实验误差
在实验过程中，应采取措施控制实验误差， 确保数据的准确性和可Байду номын сангаас性。
两个样本非参数检验
1 2 3
曼-惠特尼U检验
用于比较两个独立样本的平均值是否存在显著差 异。
威尔科克森符号秩检验
适用于比较两个独立样本的平均值是否存在显著 差异，特别是当其中一个样本的观测值不能进行 四则运算时。
第七章假设检验
第一节 第二节 检验 假设检验的一般问题 总体均值, 总体均值,比例和方差的假设
学习目标
1. 了解假设检验的基本思想 2. 掌握假设检验的步骤 3. 能对实际问题作假设检验
第一节 假设检验的一般问题
一,假设检验的概念 二,假设检验的步骤 三,假设检验中的小概率原理 四,假设检验中的两类错误 五,双侧检验和单侧检验
拒绝域 置信水平
α
1-α 接受域 H0值 样本统计量
临界值
6,右侧检验(显著性水平与拒绝域 ) 右侧检验( 抽样分布
置信水平 拒绝域 1-α 接受域 H0值 观察到的样本统计量 样本统计量
α
临界值
抽样分布
1-α 接受域 H0值
置信水平 拒绝域
α
临界值
样本统计量
第二节 总体均值,比例和方差的假设检验
1,原假设为真时拒绝原假设 , 2,会产生一系列后果 , 3,第一类错误的概率为α ,第一类错误的概率为α
被称为显著性水平 第二类错误(取伪错误) (二)第二类错误(取伪错误)
1,原假设为假时接受原假设 , 2,第二类错误的概率为β ,第二类错误的概率为β
(三)列表
H0: 无罪
假设检验就好 像一场审判过程
2,确定假设的步骤 例如问题为: 检验该企业生产的零件平均长度为4厘米 步骤: (1)从统计角度陈述问题 ( = 4) 1 (2)从统计角度提出相反的问题 ( ≠ 4) 必需互斥和穷尽 (3)提出原假设 ( = 4) (4)提出备择假设 ( ≠ 4) 有 ≠ 符号
3,双侧检验(例子) 双侧检验(例子)
1,原假设与备择假设是一个完整事件组. 2,通常先确定备择假设,再定原假设. 3,等号总放在原假设. 4,两者的选择本质上带有主观色彩. 5,假设检验的目的主要是收集证据拒绝原 假设.
《概率论与数理统计》第七章假设检验.
《概率论与数理统计》第七章假设检验.第七章假设检验学习⽬标知识⽬标：理解假设检验的基本概念⼩概率原理；掌握假设检验的⽅法和步骤。
能⼒⽬标：能够作正态总体均值、⽐例的假设检验和两个正态总体的均值、⽐例之差的假设检验。
参数估计和假设检验是统计推断的两种形式，它们都是利⽤样本对总体进⾏某种推断，然⽽推断的⾓度不同。
参数估计是通过样本统计量来推断总体未知参数的取值范围，以及作出结论的可靠程度，总体参数在估计前是未知的。
⽽在假设检验中，则是预先对总体参数的取值提出⼀个假设，然后利⽤样本数据检验这个假设是否成⽴，如果成⽴，我们就接受这个假设，如果不成⽴就拒绝原假设。
当然由于样本的随机性，这种推断只能具有⼀定的可靠性。
本章介绍假设检验的基本概念，以及假设检验的⼀般步骤，然后重点介绍常⽤的参数检验⽅法。
由于篇幅的限制，⾮参数假设检验在这⾥就不作介绍了。
第⼀节假设检验的⼀般问题关键词：参数假设；检验统计量；接受域与拒绝域；假设检验的两类错误⼀、假设检验的基本概念（⼀）原假设和备择假设为了对假设检验的基本概念有⼀个直观的认识，不妨先看下⾯的例⼦。
例7.1 某⼚⽣产⼀种⽇光灯管，其寿命X 服从正态分布)200 ,(2µN ，从过去的⽣产经验看，灯管的平均寿命为1550=µ⼩时，。
现在采⽤新⼯艺后，在所⽣产的新灯管中抽取25只，测其平均寿命为1650⼩时。
问采⽤新⼯艺后，灯管的寿命是否有显著提⾼？这是⼀个均值的检验问题。
灯管的寿命有没有显著变化呢？这有两种可能：⼀种是没有什么变化。
即新⼯艺对均值没有影响，采⽤新⼯艺后，X 仍然服从)200 ,1550(2N 。
另⼀种情况可能是，新⼯艺的确使均值发⽣了显著性变化。
这样，1650=X 和15500=µ之间的差异就只能认为是采⽤新⼯艺的关系。
究竟是哪种情况与实际情况相符合，这需要作检验。
假如给定显著性⽔平05.0=α。
在上⾯的例⼦中，我们可以把涉及到的两种情况⽤统计假设的形式表⽰出来。
两个正态总体参数的假设检验 推导
两个正态总体参数的假设检验推导一、引言假设检验是统计学中常用的方法，用于检验两个正态总体参数是否具有显著差异。
本文将介绍两个正态总体参数的假设检验的推导过程，主要包括以下步骤：假设提出、样本收集、样本检验、推断结论、结果解释和误差分析。
二、假设提出假设检验的基本思想是通过样本数据对总体参数进行推断。
在这个过程中，首先需要提出假设，即对两个正态总体参数的关系做出假设。
通常，假设检验中包含两个假设：零假设（H0）和备择假设（H1）。
零假设通常表示两个总体参数无显著差异，备择假设则是与零假设相对的假设。
例如，我们可以在零假设中设定两个总体均数相等，备择假设则是均数不等。
三、样本收集在提出假设后，需要收集样本数据以进行检验。
样本收集应遵循随机抽样的原则，以确保样本的代表性。
在收集样本时，还需要注意样本量的大小，以保证推断结论的准确性。
四、样本检验样本检验是假设检验的核心步骤，包括计算样本统计量、确定临界值和做出推断结论等步骤。
样本统计量是根据样本数据计算出的量，用于推断总体参数。
临界值是用于判断样本统计量是否达到显著差异的标准。
在做出推断结论时，需要根据样本统计量和临界值进行比较，以确定零假设是否被拒绝。
五、推断结论根据样本检验的结果，可以做出推断结论。
如果样本统计量超过了临界值，则可以拒绝零假设，接受备择假设；否则，不能拒绝零假设。
推断结论是假设检验的关键步骤之一，要求谨慎和客观地做出判断。
六、结果解释推断结论做出后，需要对结果进行解释。
解释结果时需要关注以下几点：一是理解推断结论的含义，二是明确结果对于实践的意义，三是注意结果的局限性，即样本量和误差范围等因素对结果的影响。
结果解释要求清晰明了地传达结果的含义和应用范围。
七、误差分析误差分析是假设检验中不可或缺的一环。
误差分为两类：一类是随机误差，由随机抽样造成；另一类是系统误差，由样本设计和处理等环节造成。
误差分析的目的是评估结果的可靠性和精确性，从而确定结果在实际应用中的可信度。
两个总体参数的假设检验
Part
03
假设检验的注意事项
样本量
样本量过小
01
如果样本量过小，会导致检验结果不稳定，无法准确
推断总体参数。
样本量过大
两个总体参数的假设 检验
• 假设检验的基本概念 • 两个总体参数的假设检验 • 假设检验的注意事项 • 假设检验的实例分析 • 总结与展望
目录
Part
01
假设检验的基本概念
定义
01
假设检验是一种统计推断方法 ，通过对样本数据的分析，对 总体参数做出假设，并通过检 验假设是否成立来得出结论。
02
在假设检验中，通常会先提出 一个关于总体参数的假设，然 后通过样本数据对该假设进行 验证。
03
假设检验的目的是根据样本数 据对总体参数做出合理的推断 ，并尽可能减少因错误判断而 导致的误差。
目的
判断总体参数是否符合预期
通过假设检验，可以判断总体参数是否符合预 期，从而为进一步的研究或决策提供依据。
两个总体比例的比较
总结词
Fisher's exact test
详细描述
Fisher's exact test用于比较两个总体的分类比例是否存在显著差异，特别是当样本量较小时。它基于 Fisher's exact probability distribution，通过计算概率值来评估实际观测频数与期望频数之间的差异是 否具有统计学显著性。
两个总体方差的比较
01 总结词
Levene's test
第七章 假设检验
第七章假设检验第一节假设检验的基本知识一、假设陈述1、原假设/虚无假设：用H表示，常常是根据已有资料得出的，稳定、保守的经验性看法，没有充分根据是不会被推翻的。
2、备选假设/研究假设：与原假设对立的假设，用H1表示，经过抽样调查后，获得证据希望予以支持的假设。
二、假设检验的基本原理——小概率原理小概率原理：一次观察中小概率事件被认为不可能发生；如果一次观察出现了小概率事件，合理的想法应该是否定原有事件具有小概率的说法。
小概率原理在假设检验中的运用：抽取一个样本并计算出检验统计量，如果在原假设成立的条件下这个统计量几乎不可能发生，则拒绝原假设而接受备选假设。
反之，如果计算出的统计量发生的可能性不太小，则接受原假设。
即在原假设下，检验统计量是小概率事件则拒绝原假设。
例1：某市场有100位摊贩，根据以往统计，其中非本地居民占10%，现随机抽取10人调查，发现5个都不是本地人，则原有统计结果是否成立？解：H：100人中10个是非本地人。
计算在原假设成立的情况下，抽取5人都是非本地人的概率：P= C105 C905/C10010＜10-4可见，出现5名非本地人的结果概率极其小，但一次实验就出现了，所以怀疑原假设的真实性，拒绝原假设。
三、拒绝域与显著性水平1、显著性水平α，在原假设成立条件下，统计检验中规定的小概率的数量界限，常用的有α=0.10,0.05,0.01。
2、接受域和拒绝域根据原假设画出统计量的分布，以Z分布为例。
如果把拒绝原假设的小概率α事件定在分布的右侧尾部，则右侧面积代表的概率即显著性水平，Zα是临界值。
如果检验统计量值Z＞Zα，则应拒绝原假设；如Z＜Zα，则接受原假设。
以Zα为临界值，左边为接受域，右边为拒绝域。
也可把α定在左边或两边。
α1、双边检验如果拒绝域放在抽样分布的两侧，每侧拒绝域的概率分别为α/2，假设抽样本分布以0为对称，则P(|Z|＞Z α/2)= α；双边检验的假设如下：H 0: μ=μ0H 1: μ≠-Z α/2 Z α/2如果检验统计量|Z|＞Z α/2，则拒绝原假设，否则接受。
第七章假设检验
k
,
n
也就是说,事件“|
U
|
z
”2
2
2
是一个小概率事件.
由标准正态分布的上分位点的定义知:
k z 2 ,
17
故可以取拒绝域为 W： | U | z 2
如果由样本值算得该统计量的实测值落
入区域W，则拒绝H0 ；否则，不能拒绝H0 .
这是因为，如果H0 是对的，那么衡量差 异大小的某个统计量落入区域 W(拒绝域) 是 个小概率事件. 如果该统计量的实测值落入 W，也就是说， H0 成立下的小概率事件发生 了, 那么就认为H0不可信而否定它. 否则就不 能否定H0 （只好接受它）.
n
体N (, 2 )的样本. 且设是已知常数.
12
现在要检验的假设是：
H0 : 0 (0 355),
它的对立假设是：
H1 : 0,
在实际工作中， 往往把不轻易 否定的命题作 为原假设.
称H0为原假设（或零假设）； 称H1为备选假设（或对立假设）. 那么，如何判断原假设H0 是否成立呢？
13
H0 : 新技术未提高效益，H1 : 新技术提高效益.
30
•假设检验 —基本概念
原 把需要检验的
假 假设称为原假
关于总体
假 设
分布的某 个命题
设 设，记为H0.
备 在拒绝原假设后,可供 择 选择的一个命题称为
假 备择假设,它是原假设
设 的对立假设，记为H1.
31
•假设检验 —基本概念
检验统计量 用于判断原假设成立与否的统计量
P{第二类错误}= P{接受H0|H0不真}= .
26
•假设检验的两类错误
显著性水平 为犯第一类错误的概率.
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两个总体均值之差的 t 检验
• H0: m1- m2 0 • H1: m1- m2 > 0 = 0.05 • n1 = 10n2 = 8 • 临界值(s):
检验统计量:
t
(x 1 - x 2 ) - (m1 - m2 )
sp
1 1 n1 n2
26.1 - 17.6 - 0 1 1 11.37 10 8
1 2 M i M
x 11 x 12
x 21 x 22
D1 = x 11 - x 21 D2 = x 12 - x 22
M
x 1i M x 1n
M
x 2i M x 2n
M
DI = x 1i - x 2i M Dn= x 1n- x 2n
n
假设差值Di来自正态总体，若两样本无差异，则差值应属于随机误差，而随机误 差可以认为服从正态分布，均值为0。
12.7 - 14.1 -0.745 1 1 1 1 Sp 0.43 n1 n2 11 10 决策：接受原假设。 结论：即甲种的脂肪含量不高于乙种。
x1 - x 2
NEXT
二、二个相关（配对或匹配）样本的均值检验 （配对样本t 检验）
有时为了比较两种产品，或两种仪器、两种方法等的差异，我们常在相同的条 件下作对比实验，得到一批成对的观察值，然后分析观察数据作出判断——配 对比较法。
• H0: m1- m2 = 0 检验统计量: (x 1 - x 2 ) - ( m1 - m 2 ) 50 - 40 - 0 • H1: m1- m2 0 z 4.7 2 2 64 100 s1 s 2 = 0.05 32 40 n1 n2 • n1 = 32，n2 = 40 决策: • 临界值(s):
第七章 两总体的假设检验
第一节 均值差异的假设检验 第二节 比例差异的假设检验 第三节 均值差异比较的SPSS应用
两个正态总体的参数检验
两个总体的检验 均值
独立样本 配对样本
比例
方差
Z 检验
(大样本)
t 检验
(小样本)
t 检验
(小样本)
Z 检验
F 检验
两个独立样本之差的抽样分布
s1
m1
抽取简单随机样 样本容量 n1 计算X1 计算每一对样本 的X1-X2
一、两个独立样本均值之差的检验
• （一）两个总体均值之 差的Z检验 (s12、 s22 已知) • （二）两个总体均值之 差的Z检验 (s12、 s22 未知，
大样本）
z ( x1 - x 2 ) - ( m 1 - m 2 )
s
2 1
n1
s
2 2
~ N (0,1)
n2
z
( x1 - x2 ) - ( m1 - m 2 ) S S n1 n2
样本均值
自由度df ＝n - 1
样本标准差
2 ( D x ) i D
xD
Di i
1
n
n
n
sD
i 1
n -1
配对样本的 t 检验（例子）
•例：一个以减肥为主要目标的健美俱乐部声称，参 加其训练班至少可以使减肥者平均体重减重8.5公斤 以上。为了验证该宣称是否可信，调查人员随机抽 取了10名参加者，得到他们的体重记录如下表：
拒绝 H0
.025
两个总体均值之差的Z检验 （计算结果）
拒绝 H0
.025
拒绝H0
结论:
有证据表明两种方法生产的产品其抗拉强 度有显著差异
-1.96
0
1.96
Z
两个总体均值之差的Z检验 (s12、 s22 未知 ，大样本）
例：某大学欲比较大学毕业后留校工作与分配到其他岗位的人工资水平的差别， 因为工资还与工龄等其他因素有关，因此抽选大学毕业后满10年在校工作的教 师50人，另外抽选大学毕业后满10年在机关、企业工作的人员进行比较，取得 的数据如下。试比较大学毕业后留校当教师与分配在机关企业等工作人员的工资 水平是否有差异？（α=.05)
其中：
2 2 ( n 1 ) s ( n 1 ) s 2 1 2 2 Sp 1 n1 n2 - 2
两个总体均值之差的 t 检验 (例子)
例：一个车间研究用两种不同的工艺 组装某种产品所用的时间是否相同。 让一个组的10名工人用第一种工艺组 装该产品，平均所需时间为 26.1分钟， 样本标准差为 12 分钟；另一组 8 名工 人用第二种工艺组装，平均所需时间 为17.6分钟，样本标准差为10.5分钟。 已知用两种工艺组装产品所用时间服 从正态分布，且s12＝s22 。试问能否 认为用第二种方法组装比用第一中方 法组装更好？( = 0.05)
（一）两个总体均值之差的Z检验 (s12、 s22 已知)
1、假定条件
– 两个样本是独立的随机样本 – 两个总体都是正态分布 – 若不是正态分布, 可以用正态分布来近似(n130 和 n230；n1+n2100)
2、原假设：H0: m1- m2 =0；备择假设：H1: m1- m2 0 3. 检验统计量为
拒绝域 .05
结论:
有证据表明该俱乐部的宣称是可信的
-1.833
0
t
例：消费者先对公司打分，再让他们一天两次观看公司录像，一周后再对公司打 分。数据如下表所示，令α=0.05，检验看过一周录像后对公司的打分和之前相比 是否有显著差异？
个人 事前
1
2
3
4
5
6
7
32 11 21 17 30 38 14
H 0：m1 解 ：
- m2 0 H 1：m1 - m 2 0 * x1 12.7% s1 0.38 % n1 11
x 2 14.1% s 2* 0.48 % n 2 10
t 2 (19) t0.025 (19) 2 .093
Sp
t
2 (n1 - 1) s12 (n2 - 1) s2 0.43 n1 n2 - 2
2 1 2 2
~ N (0,1)
• （三）两个总体均值之 差的 t 检验(s12、 s22未知，
小样本)
t
( x1 - x 2 ) - ( m 1 - m 2 ) sp 1 1 n1 n2
其中：
2 2 ( n 1 ) s ( n 1 ) s 2 1 2 2 Sp 1 n1 n2 - 2
训练前 94.5 101 110 103.5 97 88.5 96.5 101 104 116.5 合计 训练后 85 89.5 101.5 96 86 80.5 87 93.5 93 102 — 差值Di 9.5 11.5 8.5 7.5 11 8 9.5 7.5 11 14.5 98.5
配对样本的 t 检验（计算结果）
A
第一次16PF测试结果 第二次16PF测试结果
B 6 7 M 3
C 9 N 7
E 8 O 5
F 7 8 6
G
H
I 3
7 8 L 2
10 9
10 9
10 10 3 2 8 2
Q1 Q2 Q3 Q4
第一次16PF测试结果
第二次16PF测试结果
2
4
6
3
6
5
9
2
配对样本的 t 检验（数据形式）
观察序号 样本1 样本2 差值
样本均值
xD
D
i 1
n
i
nD
n
98.5 9.85 10
样本标准差 s D
2 ( D x ) i D i 1
nD - 1
43.525 2.199 10 - 1
配对样本的 t 检验（计算结果）
• H0: m1 – m2 8.5 检验统计量: • H1: m1 – m2 <8.5 x D - D0 9.85 - 8.5 t 1.94 = 0.05 s D n D 2.199 10 • df = 10 - 1 = 9 决策: • 临界值(s): 接受H0
2200 2.15 1022 临界值为 1.96，所以拒绝H 0，即收入有差距。
• 练习：
1、为了比较已婚妇女对婚后生活得态度是否因 为婚龄而有所区别，将已婚妇女按照对婚后生 活得态度分为“不满意”和“满意”两组，从 “不满意”组中随机抽取500名妇女，平均婚 龄为9.2年，标准差为2.8年；从“满意”组随 机抽取600名妇女，均值为8.5年，标准差为 2.3年，试问在显著性水平为0.05情况下，两 组是否存在显著差异？
- 2.54 -2.45，拒绝原假设，即认为 前后有显著不同。
第二节 两个总体比例之差的Z检验
X D -5.857 S D 6.0945
事后 d
39 15 35 13 41 39 22 -7 -4 -14 4 -11 -1 -8
1、H 0 : D 0,D 0 2、检验统计量：
t
XD - D - 5.857 - 0 -2.54 SD 6.0945 7 n 3、临界值：t0.025(7 - 1) 2.45
– 相关样本eg：配对样本（实验组与控制组）； 同一样本前后时期的变化等； – 假设两相关样本间有n对个案，每对个案可能 都有差异d＝ （X1－X2），而这些差异的均值为 Xd ， 标准差为Sd ， Xd的抽样分布符合t分布。
配对样本的 t 检验（检验统计量）
统计量
x D - D0 t sD n
总体1
s2 m2
总体2
抽取简单随机样 样本容量 n2 计算X2
所有可能样本 的X1-X2
抽样分布
m1- m2
第一节 均值差异的假设检验
• 假设：
– – H0：两总体不存在差异，即u1=u2， H1：两总体存在差异，即u1不等于u2。