建筑力学第八章 弯曲变形
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建筑力学第8章杆件的变形和刚度校核
9
8.3 平面弯曲梁的变形计算———叠加法（查表法） 从上一节例题可以看出，由于梁的变形微小， 而且梁的材料是在线弹性范围内工作的，因此梁的 挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。这样，梁 上某一荷载所引起的变形，不受同时作用的其他荷 载的影响，即各荷载对弯曲变形的影响是各自独立 的。因此，梁在几项荷载（集中力、集中力偶或分 布力）同时作用下某一截面的挠度和转角，就分别 等于每一项荷载单独作用下给截面的挠度和转角的 叠加。当每一项荷载所引起的转角在同一平面内（ 例如均在 xy平面内），其挠度都在同一方向上（ 例如均在 y轴方向）时，叠加就是代数和。
12
小结 本章主要研究扭转轴和平面弯曲梁的变形计算 和刚度校核问题。 1）扭转轴的变形计算及刚度条件为
13
2）平面弯曲梁的变形计算可用积分法和叠加 法进行。用积分法求解梁变形就是正确列出各段梁 的弯矩方程，代入挠曲线近似微分方程，积分一次 得到转角方程，再积分一次得到挠曲线方程，然后 正确应用边界条件和连续条件确定积分常数。积分 法是求梁变形的基本方法，虽然计算比较烦琐，但 在理论上是比较重要的。
14
2
图 8.2
3
图 8.3
4
5
6
7
8
正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文
第8章 杆件的变形和刚度校核
为了避免受扭的轴产生过大的变形，除了要 保证强度条件以外，还要满足刚度要求。工程中 ，通常是用单位长度扭转角 θ 来限制轴的扭转变 形。因此，其刚度条件为
工程力学弯曲变形教学课件
复合弯曲
构件在多个方向上的弯曲，如螺 旋弹簧。
特点
弯曲构件应力状态复杂，难以直 观描述。
弯曲变形的应用领域
建筑结构
如板材、梁、柱等结构的设计。
管道工程
例如油气管道的输送、变形与控制。
车辆工程
比如汽车、火车的车体、悬挂、轮轴等的设计。
机械制造
如转子、齿轮的制造及加工工艺的设计。
工程力Байду номын сангаас弯曲变形的研究方法
工程实例分析：高速铁路钢轨的弯曲变形
1 设计要求
2 轨道变形及寿命
3 分析方法
轨道线形和理论分析准确， 轨道表面平整，满足高速 列车的舒适性要求。
铁路轨道在使用过程中会 发生弯曲变形和垂向变形， 会影响轨道寿命和车辆行 驶安全。
载荷计算、应力分析、变 形分析、疲劳寿命分析、 几何形状优化等方法。
弯曲变形未来发展趋势
2 应用
纯弯曲在平面构件及杆件的弯曲变形分析有广泛应用，而复合弯曲则常见于薄壳结构的 变形分析。
工程力学对弯曲变形的判定准则
1
最大应力准则
理想的弯曲构件上，弯曲应力分布处，最大应力是许容应力的一定倍数。
2
最大应变准则
理想的弯曲构件上弯曲应变分布处，最大应变是许容应变的一定倍数。
3
能量方法
包括弯曲形态能、应变能等计算方法。
2 影响
材料弹性模量越大，弯曲变形的刚度越大；模量越小，刚度越小。
不同材料的弯曲特性
铝合金
木材
弯曲特性良好，重量轻，易加工， 耐腐蚀性能好。
弯曲特性较好，在建筑结构、家 具等领域有广泛应用。
钢材
弯曲特性相对较强，适用于制造 各种构件。
基础理论：欧拉梁理论
建筑力学 第八章
3.求截面2-2的内力
5 1 Fy 0 : FAy F FQ 2 0， 得FQ 2 FAy F F F F 4 4 M 2 0 : 2 Fl M 2 0， 得M 2 2 Fl
4.求截面3-3的内力
F Fy 0 : FQ 3 FBy 0， 得FQ 3 FBy 4 F 3 M 3 0 : M 3 M e 2 FByl 0， 得M 3 Fl 2 l Fl 4 2
当FQ图为平行于x轴的直线时，M图为斜直线。
(3) 剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，弯矩具 有极值的截面上，剪力不一定等于零。左右剪力有不同 正、负号的截面，弯矩也具有极值。
例题8.7 简支梁如图所示，试用荷载集度、剪力和弯矩 间的微分关系作此梁的剪力图和弯矩图。
解： 1. 求约束反力
FAy 15kN, FBy 15kN
例题8.3 图所示，悬臂梁受集中力F作用，试作此梁的 剪力图和弯矩图
解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ ( x) F
(0＜x＜l )
(0≤x＜l)
M ( x) Fx
2.作剪力图和弯矩图
由剪力图和弯矩图可知：
FQ M
max max
F Fl
例题8.4 简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力 图和弯矩图。
Me x Me CB段： M ( x) FAY x Me l
3.绘出剪力图和弯矩图
§ 8.4 弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系
一、分布荷载集度与剪力、弯矩 (q与FQ、M) 之 间的微分关系
微段的平衡，得
F
y
0:
FQ ( x) q( x)dx
FQ ( x) dFQ ( x) 0
弯曲内力—弯曲变形概述(材料力学)
弯曲内力
平面弯曲及梁的分类 剪力和弯矩的定义及正负号规定 截面法和代数和法求剪力和弯矩 单一荷载下静定梁的内力图 分布荷载集度、剪力与弯矩之间的微分关系 利用内力图规律绘制剪力图和弯矩图 叠加原ห้องสมุดไป่ตู้绘制梁的弯矩图
弯曲变形实例 1 桥式吊车梁
弯曲变形概述
弯曲变形概述
弯曲变形实例 2 火车轮轴
弯曲变形概述
梁上所有横截面的竖向对称 轴形成了梁的纵向对称面
3. 梁的计算简图及梁的分类
弯曲变形概述
（1）简支梁：梁的一端是固定铰支座，另一端是可动铰支座。
（2）外伸梁：一端或两端伸出支座外的梁。
（3）悬臂梁：一端固定，另一端自由的梁。
Fq
FAx
A
FAy
Me B
FB
FAx A
FAy
q B FB
支座
固定铰支座 可动铰支座 固定端支座
1. 弯曲变形
受力特征
当杆件受到垂直于杆件轴线的横向力或位于杆轴平面内的外力偶时，杆件的轴线
将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲，以弯曲为主要变形的构件，通常称为梁。
变形特征
弯曲变形概述
2.平面弯曲
若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，则梁的轴线将在纵向对称面内由直线变 成曲线,这种弯曲称为平面弯曲。
FAx
A
MA
FAy
F
B
Me
弯曲变形概述
3.弯曲构件---梁
（1）可简化为简支梁的吊车大梁
（2）可简化为外伸梁的火车轮轴 （3）可简化为悬臂梁的化工反应塔
qF
A
B
F
A
F
B
平面弯曲及梁的分类 剪力和弯矩的定义及正负号规定 截面法和代数和法求剪力和弯矩 单一荷载下静定梁的内力图 分布荷载集度、剪力与弯矩之间的微分关系 利用内力图规律绘制剪力图和弯矩图 叠加原ห้องสมุดไป่ตู้绘制梁的弯矩图
弯曲变形实例 1 桥式吊车梁
弯曲变形概述
弯曲变形概述
弯曲变形实例 2 火车轮轴
弯曲变形概述
梁上所有横截面的竖向对称 轴形成了梁的纵向对称面
3. 梁的计算简图及梁的分类
弯曲变形概述
（1）简支梁：梁的一端是固定铰支座，另一端是可动铰支座。
（2）外伸梁：一端或两端伸出支座外的梁。
（3）悬臂梁：一端固定，另一端自由的梁。
Fq
FAx
A
FAy
Me B
FB
FAx A
FAy
q B FB
支座
固定铰支座 可动铰支座 固定端支座
1. 弯曲变形
受力特征
当杆件受到垂直于杆件轴线的横向力或位于杆轴平面内的外力偶时，杆件的轴线
将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲，以弯曲为主要变形的构件，通常称为梁。
变形特征
弯曲变形概述
2.平面弯曲
若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，则梁的轴线将在纵向对称面内由直线变 成曲线,这种弯曲称为平面弯曲。
FAx
A
MA
FAy
F
B
Me
弯曲变形概述
3.弯曲构件---梁
（1）可简化为简支梁的吊车大梁
（2）可简化为外伸梁的火车轮轴 （3）可简化为悬臂梁的化工反应塔
qF
A
B
F
A
F
B
建筑力学
又由 MB 0 得 F1 5 F2 2 FA 6 0
由①、②得 FA 35kN
FB 25kN
(2)求截面1-1上的内力
在截面1-1处将梁截开，取左段梁为研究对象，画出其受力图如图88（b)，内力 FS1和 M1 均先假设为正的方向，列平衡方程：
由 Fy 0 得 由 M1 0 得
图8-5
剪力的常用单位为N或kN，弯矩的常用单位为N·m，或kN·m
剪力和弯矩的大小，可由左段梁的静力平衡方程求Fs 0
得
Fs FA
由
M0 0
FA a M 0
得
M FA a
据作用如与果反取作右用段力梁的作关为系研，究它对们象与，从同右样段可梁求求得出截m面mm截m面上上的FFSS
第八章 梁的弯曲
a
第一节 梁的平面弯曲
一、弯曲变形和平面弯曲 弯曲是构件变形的基本形式之一。当一杆件 在两端承受一对等值、反向的外力偶作用，且 力偶的作用面与杆件的横截面垂直时，如图81（a），杆件的轴线由直线变为曲线，这种变 形称为弯曲变形，简称弯曲。
（a）
图 8-1
（b）
有时，杆件在一组垂直于杆轴的横向 力作用下也发生弯曲变形，如图8-1（b）， 发生这种弯曲变形时还伴有剪切变形，此 称为剪切弯曲或横向弯曲。
用简易法求内力可以省去画受力图和列平衡方程从而简化计算过程。
例8-3 用简易法求图8-10所示简支梁1-1截面上的剪力和弯矩。
解: (1)求支座反力图8-10 由梁的整体平衡方程求得
FA 8kN
FB 7kN
图8-10
(2)计算1-1截面上的内力 由1-1截面以左部分的外力来计算内力， 根据“顺转剪力正”和“下凸弯矩正”得
由①、②得 FA 35kN
FB 25kN
(2)求截面1-1上的内力
在截面1-1处将梁截开，取左段梁为研究对象，画出其受力图如图88（b)，内力 FS1和 M1 均先假设为正的方向，列平衡方程：
由 Fy 0 得 由 M1 0 得
图8-5
剪力的常用单位为N或kN，弯矩的常用单位为N·m，或kN·m
剪力和弯矩的大小，可由左段梁的静力平衡方程求Fs 0
得
Fs FA
由
M0 0
FA a M 0
得
M FA a
据作用如与果反取作右用段力梁的作关为系研，究它对们象与，从同右样段可梁求求得出截m面mm截m面上上的FFSS
第八章 梁的弯曲
a
第一节 梁的平面弯曲
一、弯曲变形和平面弯曲 弯曲是构件变形的基本形式之一。当一杆件 在两端承受一对等值、反向的外力偶作用，且 力偶的作用面与杆件的横截面垂直时，如图81（a），杆件的轴线由直线变为曲线，这种变 形称为弯曲变形，简称弯曲。
（a）
图 8-1
（b）
有时，杆件在一组垂直于杆轴的横向 力作用下也发生弯曲变形，如图8-1（b）， 发生这种弯曲变形时还伴有剪切变形，此 称为剪切弯曲或横向弯曲。
用简易法求内力可以省去画受力图和列平衡方程从而简化计算过程。
例8-3 用简易法求图8-10所示简支梁1-1截面上的剪力和弯矩。
解: (1)求支座反力图8-10 由梁的整体平衡方程求得
FA 8kN
FB 7kN
图8-10
(2)计算1-1截面上的内力 由1-1截面以左部分的外力来计算内力， 根据“顺转剪力正”和“下凸弯矩正”得
建筑力学弯曲的名词解释
建筑力学弯曲的名词解释在建筑力学领域中，弯曲是指结构或材料在受到外力作用下发生的变形。
弯曲是一种常见的结构变形形式，广泛应用于各种建筑和工程领域。
它不仅涉及到材料的性质与行为，还关系到结构的安全性和稳定性。
一、弯曲现象及原理弯曲是在结构受到垂直于其轴线方向的外力作用时产生的变形。
当外力作用于结构时，结构内部会发生应力分布的变化。
弯曲过程中，材料的上部受到压力，下部则受到拉力。
这种应力分布使得结构在受力区域上方呈现腹侧压缩、下方呈现背侧拉伸的形态。
弯曲的原理可以用欧拉-伯努利理论来解释。
该理论认为，在弯曲过程中，结构的纵横截面保持平面状态，而纵向线段则受到轴力的约束。
根据欧拉-伯努利理论，弯曲产生的应变与距离变量成正比，而应力则与截面模量和曲率成正比。
二、弯曲的影响因素在建筑力学弯曲问题的分析中，需要考虑许多影响因素，其中包括：1. 外力大小：外力的大小直接影响着结构的弯曲程度。
较大的外力会导致结构发生更明显的弯曲变形。
2. 材料性质：材料的弯曲模量和抗弯强度等物理性质决定了结构在受力情况下的弯曲性能。
不同的材料对外力的反应方式不同，需要对材料的特性进行评估和选择。
3. 结构几何形状：结构的截面形状和几何尺寸对弯曲行为有重要影响。
不同的结构形状和尺寸将呈现出不同的弯曲响应。
4. 内力约束条件：内力约束条件对结构的弯曲变形有重要影响。
不同的约束条件可能导致结构在受力过程中出现不同的弯曲形态。
5. 持续时间：外力的作用时间也会影响结构的弯曲响应。
短时间内的强力作用可能导致结构的瞬时弯曲，而长时间的作用则可能导致结构的永久性变形。
三、弯曲在建筑中的应用弯曲作为建筑力学中常见的结构变形方式，在建筑设计中得到广泛应用。
1. 拱桥：拱桥是一种利用弯曲原理进行设计的桥梁结构。
通过合理的拱形曲线，桥梁能够在受力过程中产生弯曲反力分布，并将其有效转移到桥墩或桥台上，增强了桥梁的稳定性。
2. 屋顶结构：在建筑中，弯曲也常用于屋顶结构的设计。
建筑力学第8章组合变形
• ■一、内力计算
• 根据前面所学的力的平移定理，可将偏心力P向截面形心简化，得到 一个轴向压力P和一个力偶矩M＝P·e的力偶［图８-７（ｂ）］。
• 在承受偏心压力的直杆中，各横截面上的内力相等，由截面法可求得 内力
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• FＮ＝P • M＝P·e • 可见，偏心压缩是轴向压缩和平面弯曲的组合。
• 将两种荷载作用下的横截面正应力进行叠加得 • σ＝FＮ/A±M·y/Iｚ • 强度条件为σｍａｘｍｉｎ＝FA±Mｍａｘ/Wｚ≤［σ］ｍａｘｍｉｎ
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• 作用在直杆上的外力作用线与杆轴平行而不重合，有一偏心距，此时 杆件就受到偏心压缩（拉伸）。如图８-７（ａ）中柱子受到上部结 构传来的荷载P，其作用线与柱轴线间的距离为e，柱子就产生了偏 心压缩变形。此处的P叫作偏心力，e叫作偏心距。
• ■二、应力计算和强度条件
• 在横截面上任取一点 • K，其应力是轴向压缩应力σＮ和弯曲应力σＭｚ的叠加。 • σＮ＝－P/A • σＭｚ＝±Mｚ·y/Iｚ
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• K点的总应力为 • σＫ＝σＮ＋σＭｚ＝－P/A±Mｚ·y/Iｚ（８-３） • 式中，σＭｚ的正负号可由K点所在的变形区域判定：当K点处于受拉
第八章 组合变形
• 第一节 组合变形的概念 • 第二节 斜弯曲 • 第三节 轴向拉（压）和弯曲 • 第四节 偏心压缩（拉伸）
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第一节 组合变形的概念
• 前面各章已经讨论了杆件在各种基本变形时的强度和刚度问题。实际 工程中杆件的受力情况较复杂，所引起的变形不是单一的基本变形， 而是几种基本变形的组合。如图８-１（ａ）所示的烟囱，在承受自 身重力发生轴向压缩变形的同时，又因承受风荷载而引起弯曲变形； 如图８-１（ｂ）所示的厂房牛腿柱，所受吊车梁的压力与柱的轴线 不重合，即受到偏心压力作用，使支柱产生压缩和弯曲两种基本变形 。
• 根据前面所学的力的平移定理，可将偏心力P向截面形心简化，得到 一个轴向压力P和一个力偶矩M＝P·e的力偶［图８-７（ｂ）］。
• 在承受偏心压力的直杆中，各横截面上的内力相等，由截面法可求得 内力
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• FＮ＝P • M＝P·e • 可见，偏心压缩是轴向压缩和平面弯曲的组合。
• 将两种荷载作用下的横截面正应力进行叠加得 • σ＝FＮ/A±M·y/Iｚ • 强度条件为σｍａｘｍｉｎ＝FA±Mｍａｘ/Wｚ≤［σ］ｍａｘｍｉｎ
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• 作用在直杆上的外力作用线与杆轴平行而不重合，有一偏心距，此时 杆件就受到偏心压缩（拉伸）。如图８-７（ａ）中柱子受到上部结 构传来的荷载P，其作用线与柱轴线间的距离为e，柱子就产生了偏 心压缩变形。此处的P叫作偏心力，e叫作偏心距。
• ■二、应力计算和强度条件
• 在横截面上任取一点 • K，其应力是轴向压缩应力σＮ和弯曲应力σＭｚ的叠加。 • σＮ＝－P/A • σＭｚ＝±Mｚ·y/Iｚ
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• K点的总应力为 • σＫ＝σＮ＋σＭｚ＝－P/A±Mｚ·y/Iｚ（８-３） • 式中，σＭｚ的正负号可由K点所在的变形区域判定：当K点处于受拉
第八章 组合变形
• 第一节 组合变形的概念 • 第二节 斜弯曲 • 第三节 轴向拉（压）和弯曲 • 第四节 偏心压缩（拉伸）
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第一节 组合变形的概念
• 前面各章已经讨论了杆件在各种基本变形时的强度和刚度问题。实际 工程中杆件的受力情况较复杂，所引起的变形不是单一的基本变形， 而是几种基本变形的组合。如图８-１（ａ）所示的烟囱，在承受自 身重力发生轴向压缩变形的同时，又因承受风荷载而引起弯曲变形； 如图８-１（ｂ）所示的厂房牛腿柱，所受吊车梁的压力与柱的轴线 不重合，即受到偏心压力作用，使支柱产生压缩和弯曲两种基本变形 。
建筑力学8刚度计算
l
边界条件为：x=0处，w=0，代入（8-25）式得 D=0 x=l处，w=0，代入（8-26）式得 EIw∣x=l=-ql4/12+ql4/24+Cl 解的 C=ql3/24
11
将C、D值代入(8-25)、(8-26)式的梁的转角方程和挠度方程：
ql 3 ql 2 q 3 w' x x (8 27 ) 24 EI 4 EI 6 EI ql 3 ql q w x x x4 (8 28) 24 EI 12 EI 24 EI 由对称性可知，梁跨中点挠度最大，以x l / 2代入（8 28）式 5ql 4 得 wmax 384 EI 以x 0和x l分别代入(8 27 )式，得到A和B截面的转角 ql 3 A , 24 EI ql 3 B 24 EI
10
w
【例8-6】一简支梁受均布荷载q作用，梁的刚度为EI ，求梁 的最大挠度和A、B截面的转角。 q 【解】求支座反力，由于对称 B A Fay=Fby=ql/2 θ θ w 2 x 弯矩方程为 M(x)=qlx/2-qx /2
A B
x
max
代入（8-19）式并积分两次，得 w 2 3 EIw’=Eiθ =-qlx /4+qx /6+C (8-25) EIw=-qlx3/12+qx4/24+Cx+D (8-26)
8.3.2 梁的挠曲线近似微分方程
在纯弯情况下（P94)曾得式（6-30）
M EI z 1
弯矩M和曲率半径ρ都是截面位置x的函数，将Iz该为I， 1 M x (8 14) 于是上式改为 x EI 由高度数学知，平面曲线w=f(x)上任一点处的曲率为
1 w' ' x 1 ( w' ) 2
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截面左侧（或右侧）梁上的所有外力 向截面形心简化所得到的主矢。
重庆大学出版社
建筑力学
M1 2qa2 q
M 2 2qa2
A
B
C
FAy
a
4a
a
FBy
取左段梁为研究对象:
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
取右段梁为研究对象:
MC FBy 2a 2qa a M 2 2qa2
C
FQc
MC FBy 2a 2qa a M 2
2qa2
M 2 2qa2
B
a
FBy
重庆大学出版社
建筑力学
M1 2qa2
q
A C
FAy
a
4a
取左段梁为研究对象:
FQc FAy q 2a qa
M 2 2qa2
B
a
FBy
取右段梁为研究对象:
FQc q 2a FBy qa
FQ Fy (一侧)
A
B
C
FAy
a
4a
a
FBy
解：1、根据平衡条件求支座反力
MA 0
FBy 3qa
MB 0
FAy qa
重庆大学出版社
建筑力学 2、求C截面（跨中截面）上的内力
M1 2qa2 q
Mc
A
C FQc
FAy
a
由 M C 0, 得到：
由 Fy 0, 得到：
FAy q 2a FQc 0
FQc FAy q 2a qa
4）在集中力偶作用处，弯矩图将发生突变， 突变值等于集中力偶矩的大小。当集中力 偶为顺时针方向作用时，弯矩图向上突变 （沿x正向），反之则向下突变，但剪力图 在该处无变化。
重庆大学出版社
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建筑力学
1、列出梁的剪力方程和弯矩方程
FQ (x)
ql 2
qx
M (x) qlx qx2
22
2、剪力图
当
x0
时，FQA
ql 2
q0
ql 2
当
x l 时，FQB
ql q l ql
2
2
3、弯矩图
当
x0
时，M A
ql 0 q 02
2
2
0
当
x
l
时，M B
ql l 2
ql2 2
M Mo (一侧)
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和 力偶）向截面形心简化所得到的主矩。
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建筑力学
FQ Fy (一侧)
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力 向截面形心简化所得到的主矢。
M Mo (一侧)
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力 （力和力偶）向截面形心简化所得 到的主矩。
建筑力学
2 剪力图、弯矩图的规律
1）当梁上某段q=0时，该段剪力为常数，故剪力图为水平直 线。相应的弯矩为x的一次函数，弯矩图为斜直线。当FQ＞0 时，弯矩图为上升斜直线；FQ＜0时，弯矩图为下降斜直线。
2）当梁上某段q=常数时，该段剪力为x的一次函数，剪力图 为斜直线。相应的弯矩为x的二次函数，弯矩图为二次抛物线。
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建筑力学
4 计算剪力和弯矩的基本规律
（1）梁内任一截面上的剪力FQ的大小，等于这截面左边
（或右边）所有与截面平行的各外力的代数和。 若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的外力会使
该截面上产生正号的剪力，而所有向下的外力会使该截面上 产生负号的剪力。
（2）梁内任一截面上的弯矩的大小，等于这截面左边 （或右边）所有外力（包括力偶）对于这个截面形心的力矩 的代数和。
建筑力学第八章 弯曲变形
建筑力学
(2)载荷作用在对称平面内 所有外力都作用在通过杆件轴线的纵向对称平面内(受力特点)。
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
ห้องสมุดไป่ตู้纵向对称面
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建筑力学 2、凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。
墙
楼板
梁 q
l
重庆大学出版社
建筑力学
3、静定梁的种类：
（a）简支梁
若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的力使该截 面上产生正号的弯矩，而所有向下的力会使该截面上产生负 号的弯矩;在此段梁上所有顺时针转向的外力偶会使该截面上 产生正号的弯矩，而所有逆时针转向的外力偶会使该截面上 产生负号的弯矩。
重庆大学出版社
建筑力学 计算实例
重庆大学出版社
建筑力学
8.3内力方程和内力图
（剪力 FQ 的实际方向与假设方 向相反，为负剪力）
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）
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建筑力学
如以右侧梁作为研究对象，则：
FQc q 2a FBy
q
Mc
qa
（b）悬臂梁
（c）外伸梁
（d）静定组合梁
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中间铰
建筑力学
8.2梁的内力计算
1、梁的内力—剪力与弯矩
a mF
b
A
FAy
A
FAy
xm
L
m
o
M
x FQ
m
解：(1)、根据平衡条件求支座反力
FAy
Fb L
,
FBy
Fa L
B (2)、截取m-m截面左段。
剪力 FQ——使截面不产生移动
FBy
弯矩M ——使截面不产生转动
0
对于抛物线顶点，令 dM dx 0 x l 2
M顶
ql l
2
2
q(l 2)2 2
ql 2 8
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建筑力学
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建筑力学
8.4微分关系法作内力图
1 弯矩、剪力和分布荷载之间的关系
dM (x) dx
FQ (x)
d 2M (x) dx 2
dFQ (x) dx
q(x)
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若q＞0，则剪力图为上升斜直线，弯矩图为凹口向上的 曲线（凹孤）；
若q＜0，则剪力图为下降斜直线，弯矩图为凹口向下的曲 线（凸孤）。
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建筑力学
3）在集中力作用处（包括支承处），剪力 图将发生突变，其突变值等于该处集中力之 大小。当集中力向上时，剪力图向上突变 （沿x正向），反之，向下突变；而弯矩图 将因该处两侧斜率不等出现拐点。
1 剪力方程与弯矩方程 在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。
因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即
FQ FQ (x),
FQ
(x)
ql 2
qx
M M (x) 称为剪力方程和弯矩方程
M (x) qlx qx2 22
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建筑力学 2 剪力图和弯矩图 剪力图和弯矩图——用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。
由 Fy 0, 得到：
Fb FQ FAy L
由 M o 0, 得到：
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M
FAy
x
Fb L
x
建筑力学
2、剪力、弯矩的正、负号规定：
左上右下，剪力为正 左顺右逆，弯矩为正
Q
（＋） M
Q
（－）
M
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建筑力学
3、求指定截面上的剪力和弯矩
M1 2qa2 q
M 2 2qa2