p68-用叠加法求梁弯曲时的变形(精)
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第七章弯曲变形第二节叠加法
3）建立补充方程
11Fl 3 FBl 3 wB 0 96 EI 6 EI
4）求解多余未知力
解得
11F FB 13.75 kN 16
FB 13.75 kN
5） 强度计算 作弯矩图
最大弯矩
M max 2.03 kN m
根据梁的弯曲正应力
强度条件
max
M max 95.7 MPa Wz
1
F1a3 F1a3 3EI 2EI 5F1a3 6EI
a
A
B1
B
C
B F
1
a
C1
B
C
a
a
F2
2）在F2 和单独作用下
F1
A
B
C
wC F
2
F1 2a 3EI
3
aF wC F
1
2
5F1a3 8F2a3 6EI 3EI
查型钢表，得 Iz = 1660 cm4
梁的最大挠度发生在中间截 面，为
w max
由于
5ql 4 7.26 103 m = 7.26 mm 384 EI
w max
l 7.26 mm < w 7.5 mm 400
故梁的刚度满足要求
[例2] 图示工字钢简支梁，在跨中承受集中力 F 作用。已知 F = 35 kN，跨度 l = 4 m ，许用应力 [ ] = 160 MPa ，许用挠度 [w ] = l / 500 ，弹性模量 E = 200 GPa 。试选择工字钢型号。
是叠加原理.
1.载荷叠加（Superposition of loads）
多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起 的变形的代数和.
11Fl 3 FBl 3 wB 0 96 EI 6 EI
4）求解多余未知力
解得
11F FB 13.75 kN 16
FB 13.75 kN
5） 强度计算 作弯矩图
最大弯矩
M max 2.03 kN m
根据梁的弯曲正应力
强度条件
max
M max 95.7 MPa Wz
1
F1a3 F1a3 3EI 2EI 5F1a3 6EI
a
A
B1
B
C
B F
1
a
C1
B
C
a
a
F2
2）在F2 和单独作用下
F1
A
B
C
wC F
2
F1 2a 3EI
3
aF wC F
1
2
5F1a3 8F2a3 6EI 3EI
查型钢表，得 Iz = 1660 cm4
梁的最大挠度发生在中间截 面，为
w max
由于
5ql 4 7.26 103 m = 7.26 mm 384 EI
w max
l 7.26 mm < w 7.5 mm 400
故梁的刚度满足要求
[例2] 图示工字钢简支梁，在跨中承受集中力 F 作用。已知 F = 35 kN，跨度 l = 4 m ，许用应力 [ ] = 160 MPa ，许用挠度 [w ] = l / 500 ，弹性模量 E = 200 GPa 。试选择工字钢型号。
是叠加原理.
1.载荷叠加（Superposition of loads）
多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起 的变形的代数和.
用叠加法求梁的变形
得：
y B y Bq y BRB
y Bq y BRB 0
(3).将(a)(b)代入(c)得：
(c)
RB L3 qL4 0 8EI Z 3EI Z
RB
3 qL 8
yBRB
A
RB
目录
§7-5 梁的刚度校核
一.刚度条件：
土建工程：以强度为主，一般强度条件满足了，刚度要求也
max
M max Wz
q 2
（其中：M max L2 45 KNm
Wz
b 2 2 3 h b ） 6 3
b3
3M max 178m m 2
h 2b 356 mm
(2).按刚度条件设计： 由附录查得：
f max f L L
就满足了，因此刚度校核在土建工程中处于从属地位。 机械工程：对二者的要求一般是平等的，在刚度方面对挠度 和转角都有一定的限制，如机床中的主轴，挠度过大影响加工 精度，轴端转角过大，会使轴承严重磨损。
桥梁工程：挠度过大，机车通过时将会产生很大的振动。
综上所述：在工程设计中，我们有必要对梁的挠度和转角进行限
MeL 3EI Z
Bq
BM
qL3 24EI Z
MeL 6 EI Z
yCq
5qL4 384EI Z
MeL2 16EI Z
yCM
(2).进行代数相加，求得：
yC yCq yCM
5qL4 MeL2 384EI Z 16EI Z
A Aq AM
§7-3 用叠加法求梁的变形
一.概述：
我们上面所讲的直接积分法是求梁变形的基本方法， 但在载荷复杂的情况下，要列多段弯矩方程，从而产生很 多的积分常数。运算非常复杂。现在我们将要介绍的叠加
y B y Bq y BRB
y Bq y BRB 0
(3).将(a)(b)代入(c)得：
(c)
RB L3 qL4 0 8EI Z 3EI Z
RB
3 qL 8
yBRB
A
RB
目录
§7-5 梁的刚度校核
一.刚度条件：
土建工程：以强度为主，一般强度条件满足了，刚度要求也
max
M max Wz
q 2
（其中：M max L2 45 KNm
Wz
b 2 2 3 h b ） 6 3
b3
3M max 178m m 2
h 2b 356 mm
(2).按刚度条件设计： 由附录查得：
f max f L L
就满足了，因此刚度校核在土建工程中处于从属地位。 机械工程：对二者的要求一般是平等的，在刚度方面对挠度 和转角都有一定的限制，如机床中的主轴，挠度过大影响加工 精度，轴端转角过大，会使轴承严重磨损。
桥梁工程：挠度过大，机车通过时将会产生很大的振动。
综上所述：在工程设计中，我们有必要对梁的挠度和转角进行限
MeL 3EI Z
Bq
BM
qL3 24EI Z
MeL 6 EI Z
yCq
5qL4 384EI Z
MeL2 16EI Z
yCM
(2).进行代数相加，求得：
yC yCq yCM
5qL4 MeL2 384EI Z 16EI Z
A Aq AM
§7-3 用叠加法求梁的变形
一.概述：
我们上面所讲的直接积分法是求梁变形的基本方法， 但在载荷复杂的情况下，要列多段弯矩方程，从而产生很 多的积分常数。运算非常复杂。现在我们将要介绍的叠加
用叠加法求弯曲变形
yC
3 i 1
yCi
5ql4 384EI
ql 4 48EI
ql4 16EI
11ql4 ( ) 384EI
B
3
Bi
i 1
ql3 24EI
ql3 16EI
ql3 3EI
11ql3 ( ) 48EI
目录
材料力学 材料力学
用叠加法求弯曲变形
例4 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、
yC
EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C
材料力学
材料力学
用叠加法求弯曲变形
设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩 为M(x)，转角为 ，挠度为y，则有：
EI
d2y dx2
EIy''
M(x)
若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩
为 M i ( x) ，转角为 i ，挠度为 yi ，则有：
EIy''i Mi ( x)
材料力学
7-4
解 1）首先，将梁上的载荷变成有表可查 的情形
为了利用梁全长承受均布载荷 的已知结果，先将均布载荷延长至梁 的全长，为了不改变原来载荷作用的 效果，在AB 段还需再加上集度相同、 方向相反的均布载荷。
目录
材料力学 材料力学
用叠加法求弯曲变形
2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用
yC
的情形，计算各自C截面的挠度和转角。
等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数 和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。
材料力学
目录
材料力学 材料力学
用叠加法求弯曲变形
例3 已知简支梁受力如图示，q、l、EI 均为已知。求C 截面的挠度yC ；B截面的 转角B
用叠加法计算梁的变形
2 3
由 U W得
Pl vB 3EI
3
作业：5-18，5-19，6-15©,6-18
谢谢大家!
目录
下章 结束
3
θB2
P Pa
f c f c1 f c 2
pa PaL fc a 3EI 3EI
[例8-4]：欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关
系。
CL9TU23
解：
5q(2a) wC 384EI 5 P qa 6
4
Pa(2a) 16EI
2
0
[例8-5] 用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度
三. 梁的刚度条件
机械：1/5000~1/10000,
土木：1/250~1/1000 机械：0.005~0.001rad
[w]、[θ ]是构件的许可挠度和转角，它们决定于 构件正常工作时的要求。 [例8-8]图示工字钢梁，l =8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3， [ w/L ]= l／500，E=200GPa，[σ ]=100MPa。试根据梁 的刚度条件，确定梁的许可载荷 [P]，并校核强度。
。
CL9TU29
[例8-6]求图示梁B、D两处的挠度 vB、 vD
。
CL9TU26
[解]
qa 2a 2 qa (2a ) 2 B 3EI 16 EI 3 qa 顺时针 12 EI
2
C
qa qa B 6 EI 4 EI
4
3
3
顺时针
4
qa 5qa wC B a 8EI 24EI
逐段刚化法：
变形后AB部分为曲线， 但BC部分仍为直线。 变形后：AB AB` BC B`C`
第七章弯曲变形第二节叠加法
第四节 计算弯曲变形的叠加法 （Beam deflections by superposition ） 一、叠加原理 （Superposition）
梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载
(可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角, 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. 当 每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向), 其转角 是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时,则叠加就是代数和. 这就
查型钢表，得 Iz = 1660 cm4
梁的最大挠度发生在中间截 面，为
w max
由于
5ql 4 7.26 103 m = 7.26 mm 384 EI
w max
l 7.26 mm < w 7.5 mm 400
故梁的刚度满足要求
[例2] 图示工字钢简支梁，在跨中承受集中力 F 作用。已知 F = 35 kN，跨度 l = 4 m ，许用应力 [ ] = 160 MPa ，许用挠度 [w ] = l / 500 ，弹性模量 E = 200 GPa 。试选择工字钢型号。
l /2
l /2
F
A
B
M e Fl / 2
C
F
A
B
C
C2 F
B2 F
F l / 2
3
3EI 3Fl 3 16 EI
7 Fl 3 48EI
A
M e Fl / 2
B2 M e
B
C
C2 M e
[例3] 外伸梁如图，试用叠加法计算截面 C 的挠度 wC 和转角C ， 设梁的抗弯刚度 EI 为常量。 解：
3）建立补充方程
梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载
(可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角, 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. 当 每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向), 其转角 是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时,则叠加就是代数和. 这就
查型钢表，得 Iz = 1660 cm4
梁的最大挠度发生在中间截 面，为
w max
由于
5ql 4 7.26 103 m = 7.26 mm 384 EI
w max
l 7.26 mm < w 7.5 mm 400
故梁的刚度满足要求
[例2] 图示工字钢简支梁，在跨中承受集中力 F 作用。已知 F = 35 kN，跨度 l = 4 m ，许用应力 [ ] = 160 MPa ，许用挠度 [w ] = l / 500 ，弹性模量 E = 200 GPa 。试选择工字钢型号。
l /2
l /2
F
A
B
M e Fl / 2
C
F
A
B
C
C2 F
B2 F
F l / 2
3
3EI 3Fl 3 16 EI
7 Fl 3 48EI
A
M e Fl / 2
B2 M e
B
C
C2 M e
[例3] 外伸梁如图，试用叠加法计算截面 C 的挠度 wC 和转角C ， 设梁的抗弯刚度 EI 为常量。 解：
3）建立补充方程
第九章-用叠加法计算梁的变形梁的刚度计算(材料力学课件)
m 1
x
m2
l
CL9TU21
解：由梁的挠曲线近似微分方程 EIv ′′ = M ( x ) 知，在梁挠曲线的拐点处有： = 0 在梁挠曲线的拐点处有： M 从弯矩图可以看出： 从弯矩图可以看出：
m 1
x
m2
m1 1 = m2 2
l
M m 1
m2
例：两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂 两根材料相同、 梁Ⅰ、Ⅱ如图示，Ⅱ梁的最大挠度是Ⅰ梁的多 如图示， 梁的最大挠度是Ⅰ 少倍？ 少倍？
CL9TU31
图示梁Ｂ处为弹性支座， 例： 图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚度
EI 端挠度v 端挠度 k = 3 。求C端挠度 C。 2a
CL9TU32
梁不变形， 解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的 点挠度为 梁不变形 仅弹簧变形引起的C点挠度为 3 qa 3qa 4 vC 1 = = ↓ 2 k EI
CL9TU40
解：由刚度条件
v max
得
所以
Pl l = ≤ [v ] = 48 EI 500
3
48 EI P≤ = 7.11 kN 2 500l
[ P ] = 7.11 kN
σ max
M max Pl = = = 60MPa ≤ [σ ] Wz 4Wz
所以满足强度条件。
§9-4 提高弯曲刚度的措施
P
l
Pl − 3EI
2P
3
2l
CL9TU22
作用， 例：简支梁在整个梁上受均布载荷q作用，若 简支梁在整个梁上受均布载荷 作用 其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？ 其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？
q
l
vmax
5ql =− 384EI
工程力学第3节 用叠加法求梁的变形
qx 3 y (l 2lx 2 x3 ) 24EI
ql3 A B 24EI 5ql 4 l x ymax 2 384EI
例10-5 悬臂梁AB上作用有均布载荷q，自由端 作用有集中力F = ql，梁的跨度为l，抗弯刚度为EI， 如图所示。试求截面B的挠度和转角。
解：（1）分解载荷 梁上载荷可分解成均布载 荷 q 与集中力 F 的叠加。 （2）查表得这两钟情况下 截面 B 的挠度和转角
ql yBq 8 EI ql3 Bq 6 EI
4
+
yBF
BF
ql Fl 3EI 3EI 3 2 ql Fl 2 EI 2 EI
3
+
3）叠加得截面B的挠度和转角
yB yBq yBF
ql ql 11ql （ ） 8 EI 3EI 24 EI ql ql 2ql （顺时针） 6 EI 2 EI 3EI
3 3 3
4
4
4
B Bq BF
例10-6 如图所示，外伸梁在外伸段作用有均布 载荷q，梁的抗弯刚度为EI。求C截面的挠度。 解： 1）简化、分解载荷 2）分别计算 B 截面挠度： 悬臂梁因 B 截面产生转角引 qa 起的挠度 yC1和悬臂梁在均布 2 0.5qa + 载荷作用下产生的挠度 yC 2
表10-1 梁在简单载荷作用下的变形
梁的简图 挠曲线方程
Mx 2 y 2 EI
转角和挠度 Ml B EI Ml 2 yB 2 EI
Fl 2 B 2 EI Fl3 yB 3EI
Fx 2 y (3l x ) 6 EI
2 Fx 2 Fa y (3a x) 0 x a B 6 EI 2 EI Fa2 Fa 2 (3l a ) y (3 x a ) a x l y B 6 EI 6 EI
应用叠加原理求梁的变形
应用叠加原理求梁的变形1. 什么是叠加原理？叠加原理是一种常用的力学分析方法，用于求解复杂结构中各个构件的受力和变形。
该原理基于结构的线性性质，假设结构在受到多个外力同时作用时，各个外力的影响可以分别计算，最后再将各个结果进行叠加得到总的结果。
2. 梁的变形计算梁是一种常见的结构构件，广泛应用于工程领域。
在工程设计中，我们常常需要计算梁在受力情况下的变形，以确保设计的梁符合结构强度和刚度的要求。
应用叠加原理可以较为方便地求解梁的变形。
下面以一根简支梁为例，介绍应用叠加原理求解梁的变形的具体步骤：2.1 确定各个受力首先，需要确定梁所受到的各个外力，包括集中力、均布力、弯矩等。
2.2 列点根据叠加原理，我们需要列出各个受力情况下的变形的方程，然后将这些方程进行叠加。
下面以简支梁受到集中力P作用为例进行讲解。
在梁的受力平衡条件下，可以得到以下方程：$M = EI \\frac{d^2y}{dz^2}$$V = EI \\frac{d^2w}{dz^2}$其中，M为梁的弯矩，V为梁的剪力，y为梁的纵向位移，w为梁的横向位移，E为梁的材料弹性模量，I为梁的惯性矩。
2.3 求解方程根据叠加原理，我们可以分别求解简支梁受到集中力和均布力时的梁的变形。
2.3.1 简支梁受到集中力作用时的变形假设集中力作用的位置为L，根据平衡条件和边界条件，可以得到以下方程：M=P(L−z)，$0 \\leq z \\leq L$M=0，$L \\leq z \\leq L_1$其中，P为集中力的大小，L为集中力作用的位置，L1为梁的长度。
通过对上述方程进行求解，可以得到梁在集中力作用下的变形。
2.3.2 简支梁受到均布力作用时的变形假设均布力的大小为q，根据平衡条件和边界条件，可以得到以下方程：$M = \\frac{q}{2}z^2$，$0 \\leq z \\leq L$M=0，$L \\leq z \\leq L_1$通过对上述方程进行求解，可以得到梁在均布力作用下的变形。
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5ql 4 wCq = （ ↓） 384EI
w
wCq
w
wCM w
Bqql 3 = －源自24EI第7章 杆件的变形与刚度\梁弯曲时的变形与刚度\用叠加法求梁弯曲时的变形
该梁在集中力偶单独作用下，C 横截面的挠度和 B 横截面的转角分别为
wCM M e l 2 (↓) = 16EI
BM
Mel = －6 EI
将上述结果代数相加，即得在两种荷载共同作用下的挠度和转角
wC = wCq + wCM M e l 2 (↓) 5ql 4 = + 384EI 16EI
B = Bq + BM
Ml ql 3 =－ （ + e ） 24EI 6 EI
第7章 杆件的变形与刚度\梁弯曲时的变形与刚度\用叠加法求梁弯曲时的变形
第68讲
用叠加法求梁弯曲时的变形
主讲教师：张翠英
江苏建筑职业技术学院 微课研制： 河北水利电力学院
第7章 杆件的变形与刚度\梁弯曲时的变形与刚度\用叠加法求梁弯曲时的变形
§7−3 梁弯曲时的变形与刚度
7−3−2 用叠加法求梁弯曲时的变形
1. 叠加法
积分法是求梁变形的基本方法。这种方法的优点是可以求得梁的转 角方程和挠曲线方程，从而求得梁任一横截面的转角和挠度。其缺点是 运算过程比较繁复，特别当梁上荷载复杂时，尤为明显。 当梁上有多个荷载共同作用时，可先分别计算出单个荷载作用时梁 的挠度与转角，然后再进行叠加 (求代数和)，即得梁在所有荷载共同作 用下的挠度与转角。这种求挠度和转角的方法称为叠加法。 在线弹性范围内，梁的变形与其上的荷载成线性关系，适用叠加原理。 表7－2 列出了几种常用梁在简单荷载作用下的变形，以备查用。
第7章 杆件的变形与刚度\梁弯曲时的变形与刚度\用叠加法求梁弯曲时的变形
2. 叠加法求梁弯曲时的变形举例
例7－5 试用叠加法求图a所示简支梁 跨中C 横截面的挠度和支座 B 横截面的转 角。设弯曲刚度 EI 为常数。 解 先将梁上的荷载分为均布荷载 q 和集中力偶 Me单独作用的情况 ( 图b、c )。 由表7－2查得简支梁在均布荷载单独作用 下，C 横截面的挠度和 B 横截面的转角分 别为