平面弯曲3-梁的变形
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材料力学(1)-弯曲变形复习
Shanghai University
材料力学
材料力学 基础篇之五
第5章 梁的弯曲问题(3)——位移分析 与刚度计算
第5章 梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算
上一章的分析结果表明，在平面弯曲的情形下，梁的 轴线将弯曲成平面曲线。如果变形太大，也会影响构件正 常工作。因此，对机器中的零件或部件以及土木工程中的 结构构件进行设计时，除了满足强度要求外，还必须满足 一定的刚度要求，即将其变形限制在一定的范围内。为此， 必须分析和计算梁的变形。
第5章 梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算
叠加法确定梁的挠度与转角
解：2．再将处理后的梁分解 为简单载荷作用的情形，计算 各个简单载荷引起的挠度和转 角
分别画出这两种情形下 的挠度曲线大致形状。于是， 由挠度表中关于承受均布载 荷悬臂梁的计算结果，上述 两种情形下自由端的挠度和 转角分别为
第5章 梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算
第5章 梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算
简单的静不定梁
第5章 梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算
简单的静不定梁
多余约束与静不定次数 求解静不定梁的基本方法
第5章 梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算
简单的静不定梁
多余约束与静不定次数
静定问题与静定结构——未知力（内力或外力）个数 等于独立的平衡方程数
M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠
度方程与转角方程：
dw dx
l
M x
EI
dx
C
w
l
l
M x
EI
dx
dx
Cx
D
其中C、D为积分常数。
第5章 梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算
材料力学
材料力学 基础篇之五
第5章 梁的弯曲问题(3)——位移分析 与刚度计算
第5章 梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算
上一章的分析结果表明，在平面弯曲的情形下，梁的 轴线将弯曲成平面曲线。如果变形太大，也会影响构件正 常工作。因此，对机器中的零件或部件以及土木工程中的 结构构件进行设计时，除了满足强度要求外，还必须满足 一定的刚度要求，即将其变形限制在一定的范围内。为此， 必须分析和计算梁的变形。
第5章 梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算
叠加法确定梁的挠度与转角
解：2．再将处理后的梁分解 为简单载荷作用的情形，计算 各个简单载荷引起的挠度和转 角
分别画出这两种情形下 的挠度曲线大致形状。于是， 由挠度表中关于承受均布载 荷悬臂梁的计算结果，上述 两种情形下自由端的挠度和 转角分别为
第5章 梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算
第5章 梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算
简单的静不定梁
第5章 梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算
简单的静不定梁
多余约束与静不定次数 求解静不定梁的基本方法
第5章 梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算
简单的静不定梁
多余约束与静不定次数
静定问题与静定结构——未知力（内力或外力）个数 等于独立的平衡方程数
M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠
度方程与转角方程：
dw dx
l
M x
EI
dx
C
w
l
l
M x
EI
dx
dx
Cx
D
其中C、D为积分常数。
第5章 梁的弯曲问题(3)-位移分析与刚度计算
梁的弯曲(应力、变形)
2
回顾与比较
内力
应力
F
A
FAy
编辑ppt
T
IP
M
?
?
FS
3
§9-6 梁的弯曲时的应力及强度计算
一、弯曲正应力 Normal stress in bending beam
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲Pure bending
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－剪力弯曲Bending by
transverse force
编辑ppt
4
研究对象：等截面直梁 研究方法：实验——观察——假定
编辑ppt5Leabharlann 实验观察——梁表面变形特征
横线仍是直线，但发生 相对转动，仍与纵线正交
纵线弯成曲线，且梁的 下侧伸长，上侧缩短
以上是外部的情况，内部如何？ 想象 —— 梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直
x
61.7106Pa61.7MPa
编辑ppt
13
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
M ql /867.5kNm 2
x
2. C 截面最大正应力
120
B
x
180
K
30 C 截面弯矩
z
MC60kN m
FBY
y
C 截面惯性矩
IZ5.83120 5m 4
x 90kN
C max
M C y max IZ
于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度 透明的梁就好了，我们用计算机模拟 透明的梁
编辑ppt
6
编辑ppt
7
总之 ，由外部去 想象内部 —— 得到
梁的弯曲
MB 0
MA 0
FAy＝ - M / l FBy＝ M / l
（2）列剪力方程和弯矩方程
弯曲内力
A
FAy＝ - M / l
a
x1 l
b B
C x2
FBy＝ M / l
AC段：距A端为x1的任意截面1-1以左研究
V x1＝FAy M / l 0 x1 a M x1＝FAyx1 Mx1 / l 0 x1 a
剪力和弯矩一般是随横截面的位置而变化的。横截面 沿梁轴线的位置用横坐标x表示，则梁内各横截面上的剪 力和弯矩就都可以表示为坐标x的函数，即
V=V（x）和 M=M（x） 以上两函数分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。
弯曲内力
二、剪力图和弯矩图
为了形象地表明沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变 化情况，通常将剪力和弯矩在全梁范围内变化的规律用图 形来表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。
FBy
弯曲内力
总结与提示
截面法是求内力的基本方法。 (1) 用截面法求梁的内力时，可取截面任一侧研究，但 为了简化计算，通常取外力比较少的一侧来研究。 (2) 作所取隔离体的受力图时，在切开的截面上，未知 的剪力和弯矩通常均按正方向假定。 (3) 在列梁段的静力平衡方程时，要把剪力、弯矩当作 隔离体上的外力来看待，因此，平衡方程中剪力、弯矩的 正负号应按静力计算的习惯而定，不要与剪力、弯矩本身 的正、负号相混淆。
弯曲内力
q>0
弯曲内力
FQ=0截面
弯曲内力
三、应用规律绘制梁的剪力图和弯矩图
用规律作剪力图和弯矩图的步骤 (1) 求支座反力。 对于悬臂梁由于其一端为自由端，所以可以不求支 座反力。 (2) 将梁进行分段 梁的端截面、集中力、集中力偶的作用截面、分布 荷载的起止截面都是梁分段时的界线截面。 (3) 由各梁段上的荷载情况，根据规律确定其对应的 剪力图和弯矩图的形状。 (4) 确定控制截面，求控制截面的剪力值、弯矩值， 并作图。
平面弯曲的概念
3-2 直梁弯曲时的内力分析
解： 1、先求支座反力： 1）A处支座反力为：
Pb RA l
2）B处支座反力为：
Pa RB l
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
2、作剪力图： 1）AC段梁的剪力方程为：
Pb Q1 l
(0 x1 a)
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
2、内力符号规定： 1）剪力： 横截面上的剪力Q使该截面的邻近 微段有作顺时针转动趋势时取正号；有 反时针转动趋势时取负号。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、 弯曲变形与应力的关系 1、纵向纤维的线应变：
bb O O
OO
( y)d d d
3-1 平面弯曲的概念
1、弯曲：当杆件受到垂直于杆轴线的外 力（即横向力）或力偶作用时，杆的轴线 由直线变成曲线的变形。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-1 平面弯曲的概念
2、梁：以弯曲变形为主的杆件。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-1 平面弯曲的概念
6、梁的类型： 梁根据约束有以下三种基本类型： 1）简支梁 2）外伸梁 3）悬臂梁 （注：以上梁都为静定梁）
2008.9～2009.1
平面弯曲及梁的基本分类
L q — 均布力
F — 集中力
L
L
（L称为梁的跨长）
平面弯曲的概念及工程实例
一、弯曲实例 工厂厂房的天车大梁：
F F
火车的轮轴：
F
F
F
F
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
二、弯曲的概念：
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
P M
三、平面弯曲的概念：
RA
NB
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在 梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过 弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。
静定梁的分类（三种基本形式）
q(x)— 分布力 1、悬臂梁：
2、简支梁：
L M — 集中力偶
3、外伸梁：
梁的弯曲(工程力学课件)
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
3-3截面
M 3 q 2a a 2qa 2
4-4截面
qa 2
5qa 2
2
M 4 FB 2a M C
3qa
2
2
5-5截面
qa 2
M 5 FB 2a
2
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
由以上计算结果可以看出：
（1）集中力作用处的两侧临近截面的弯矩相同，剪力不同，说明剪力在
后逐段画出梁的剪力图和弯矩图。
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例8 悬臂梁AB只在自由端受集中力F作用，如图（a）所示，
试作梁的剪力图和弯矩图。
解：
1-1截面： Q1＝-F M1＝0
2-2截面： Q1＝-F M1＝－Fl
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例9 简支梁AB在C点处受集中力F作用，如图（a）所示，作此梁的剪力
（2）建立剪力方程和弯矩方程；
（3）应用函数作图法画出剪力Q（x），弯矩M（x）的图线，即为剪力
图和弯矩图
03 弯矩图和剪力图
例9.3 悬臂梁AB在自由端B处受集中载荷F作用，如图（a）所示，试作
其剪力图和弯矩图。
解 ：（1）建立剪力方程和弯矩方程
() = ( < < )
() = −( − ) ( ≤ ≤ )
方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力
（2）建立剪力方程和弯矩方程
03 弯矩图和剪力图
（3）绘制剪力图、弯矩图
计算下列5个截面的弯矩值：
03 弯矩图和剪力图
二、用简便方法画剪力图、弯矩图 (从梁的左端做起)
1.无载荷作用的梁段上 剪力图为水平线。 弯矩图为斜直线（两点式画图）。
梁的弯曲
第九章梁的弯曲第一节平面弯曲一、平面弯曲的概念当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用时（图9-1），杆轴由直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。
以弯曲变形为主的杆件称为梁。
图9-1 受弯杆件的受力形式弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。
例如房屋建筑中的楼面梁，受到楼面荷载和梁自重的作用，将发生弯曲变形（9-2a、b），阳台挑梁（9-2 c、d）等，都是以弯曲变形为主的构件。
工程中常见的梁，其横截面往往有一根对称轴，如图9-3所示，这根对称轴与梁轴所组成的平面，称为纵向对称平面（图9-4）。
如果作用在梁上的外力（包括荷载和支座反力）和外力偶都位于纵向对称平面内，梁变形后，轴线将在此纵向对称平面内弯曲。
这种梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的弯曲，称为平面弯曲。
平面弯曲是一种最简单，也是最常见的弯曲变形，本章将主要讨论等截面直梁的平面弯曲问题。
图9-2 工程中常见的受弯构件图9-3 梁常见的截面形状图9-4平面弯曲的特征二、单跨静定梁的几种形式工程中对于单跨静定梁按其支座情况分为下列三种形式：1．悬臂梁： 梁的一端为固定端，另一端为自由端（图9-5a ）。
2．简支梁： 梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座（图9-5b ）。
3．外伸梁： 梁的一端或两端伸出支座的简支梁（图9-5c ）。
(a ) (b ) (c )图9-5 三种静定梁第二节 梁的弯曲内力——剪力和弯矩为了计算梁的强度和刚度问题，在求得梁的支座反力后，就必须计算梁的内力。
下面将着重讨论梁的内力的计算方法。
一、截面法求内力1、剪力和弯矩图9-6 用截面法求梁的内力图9-6a 所示为一简支梁，荷截F 和支座反力R A 、R B 是作用在梁的纵向对称平面内的平衡力系。
现用截面法分析任一截面m-m 上的内力。
假想将梁沿m-m 截面分为两段，现取左段为研究对象，从图9-6b 可见，因有座支反力R A 作用，为使左段满足Σ Y ＝０，截面m-m 上必然有与R A 等值、平行且反向的内力Q 存在，这个内力Q ，称为剪力；同时，因R A 对截面m-m 的形心O 点有一个力矩R A · a 的作用，为满足Σ M o ＝０，截面m-m 上也必然有一个与力矩R A · a 大小相等且转向相反的内力偶矩Ｍ存在，这个内力偶矩M 称为弯矩。
梁的弯曲(应力、变形)
* z
翼板
t
H
h
b
z
y
腹板
A*
H h h 1 H h B B( ) ( ) y 2 2 2 2 2 2 2 h 1 h b h B 2 2 b( y ) y ( y ) ( H h ) ( y 2 ) 2 2 2 2 4 8
y
目录
24
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2 .5kN.m
4kN.m
4 103 52103 t ,max 7.64106 27.2 106 Pa 27.2MPa t
4 103 88103 c,max 7.64106 46 .1106 Pa 46 .1MPa c
研究对象：等截面直梁
研究方法：实验——观察——假定
5
实验观察——梁表面变形特征
横线仍是直线，但发生 相对转动，仍与纵线正交 纵线弯成曲线，且梁的 下侧伸长，上侧缩短
以上是外部的情况，内部如何？ 想象 —— 梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直 于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度 透明的梁就好了，我们用计算机模拟 透明的梁
2
5.梁的许可载荷为 F Fi min3.75kN 10kN 3.825kNmin 3.75kN
28
提高梁强度的主要措施
max
M max [ ] WZ
合理安排支座 合理布置载荷
1. 降低 Mmax
29
F
合理布置支座
F
F
30
合理布置载荷
F
31
max
M max [ ] WZ
2. 增大 WZ
合理设计截面 合理放置截面
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d2w dx2
M x中的正负号:
EI z
x
M <0 w
x
dw dx
d 2w dx2
0
d 2w dx2
M x
EI z
3 积分法计算梁的位移
w M x w w
EI z
EIz EIzw M xdx C
积分法
EIzw M xdx2 Cx D
式中， C、D为积分常数，可由梁的某些截面的 已知变形条件来确定 ，如：
w B l
B'
wBe w
B
F
M
3Fl 2 4EI
C1
F C wF
C2
3Fl 3 w 4EI
Fl 3 wF 3EI
wC
3Fl 3 2EI
例题：已知 F，E，G，求C点铅垂位移
F
C
尺寸：l, d
例4：简支梁受图示荷载作用，试用叠加法求C截面
的挠度和截面转角A。
q A
l/2
B C EI l
q
l/2
q
l/2
A
C EI
B wC
l
A
C EI
B
w (1) C
l
q
l/2
q
l/2
A
C EI
B
w(2) C
l
A C EI l
wC wC wC(2)
B wC
wC
w(1) C
w(2) C
w(1) C
wC
B、C、D： 弯矩方程的分界点
静定(组合)梁如图所示，试分别列出确定积分 常数时需用的边界条件和变形连续条件。
a
q
a
q
A
Bx A
Bx
C
C
l
l
w
w
例3 图示抗弯刚度为EIz的简支梁受集中力P作 用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并确
定最大挠度和最大转角。
P
a
b
A
LC
B
解：利用平衡方程求两个支反力：
7 ql 16
FB
9 16
ql
qx
q 0 x 0 l x 3l
l 2
y
q
FAx A
积分
FQ
x
qx C2
l
C1 0 x x 3l 2
l
EI FAy l
BC FB l/2
Me x
积分
M x
1 2
qx2
C1x D1
0
xl
C2 x D2 l x 3l 2
边界(A、C点)条件：
线性关系
EI
l w
l/2
x 1M e 2q 3F
叠加原理：梁在几个荷载同时作用时，其任一截 面处的转角（或挠度）等于各个荷载单独作用时梁在 该截面处的转角（或挠度）的总和。
但是有一点需要说明：
适用条件：
1 小变形
2 材料处于弹性阶段且服从胡克定律
为什么线性关系可以叠加？ 线弹性，位移可以叠加
wC
1 2
w(1) C
分析：
q
l/2
A
B
C EI l
q/2
q/2
A
BA
EI B
C EI
C
l
l q/2
表7(4)-1
wC1
5q 2l4
384EI
5ql 4 768EI
A1
q 2l3
24EI
ql 3 48EI
分析C点： FQ
M
w
★结论（规律）：
(1)当梁的支承情况对称，荷载也对称时，则弯矩 图永为对称图形，剪力图永为反对称图形；
→挠度 wC
w wx
●转角
F
A
C
B
C' x
wC x B'
w
x
tan dw w
dx
tan
dw w 挠度与转角之间的关系
dx
挠度与转角的正负号规定： 挠度：
向下为正，反之为负 转角：
顺时针为正，反之为负
？→如何求挠曲线的方程式
2 梁的挠曲线的近似微分方程
纯弯曲：
1
M EI z
非纯弯曲： h 1
wA w x0 0 wB w xl 0
D0 C 1 ql3
24
Bx
转角方程式和挠度方程式分别为：
w q 4x3 6lx2 l3 24 EI z
w q x4 2lx3 l3x 24 EI z
wmax w x l 2
5ql4 384EIz
A
x0
ql3 24EIz
3EI
F l / 22
2EI
l 2
5Fl3 48EI
w
5F
16F1 48EI
l
3
wBF1
F1l 3 3EI
例 试用叠加法求图示悬臂梁自由端B处的挠度。
q.dx
A
q
x
Bx dx
l
w
表7(4)-1(2)
dwB
q dx x2 3l x
6EI
wB
l
0 dwB
ql 4 8EI
表7(4)-1(3)
wmax w(x0 ) 9
Pb 3EIz L
(L2 b2 )3
x0 L2 b2 3
wmax w(x0 ) 9
Pb 3EIz L
(L2 b2 )3
讨论： 1b L 2 x0 L 2
A w
a
Pb
LC
Bx
2b x0 3b 0 lim x0 0.577L
wmax FbL2 9 3 EI 0.0642 FbL2 EI w xl 2 FbL2 16 EI 0.0625 FbL2 EI
1 ql3 96
wc
w
x3l 2
1 384
ql 4
BC FB l/2
Me x
●积分法
4 叠加法计算梁的位移
q
Me
A
BC
EI
x
l
l/2
w
Me 单A 独 作 用w
w
1 EI
x
6l
1
6
x2 l2 Me 3x2 4lx l2
x 24
Me
l3 2lx2 x3 qL
l3 x lqL L
C2
表7(4)-1 ⑵
表7(4)-1 ⑺
wC1
Fa3 3EI
wC 2
B
a
Fa l 3EI
a
wC
请思考：能不能将力F向A点简化，为什么？
例6：
l
l
F
2EI EI
C
A
B
wBe wF wM
l
l
2EI
EI
F
表7(4)-1
wF
Fl 3 3 2EI
C
A
B
A
F′ B
M
F C
表7(4)-1
wM
Fl l2 2 2EI
(2)当梁的支承情况对称，荷载反对称时，则弯矩
图永为反对称图形，剪力图永为对称图形。
q/2
q/2
A
BA
EI B
C EI l
C l q/2
FQ图
M图
q/2 A
EI B
C l q/2
FQ 0 M 0
q/2 A
M
FQ wC 0
跨度为l/2的简支梁
wC 2 0
表7(4)-1
q l 3
A2
2 2 24EI
wmax wL 2
结论：对于简支梁而言，无论集中力P作用在何 处，用w(l/2)代替wmax，最大误差为2.65%。
例4 用积分法求图示外伸梁自由端C的截 面转角和挠度，其中Me=ql2/16。
y q
FAx A EI
FAy
l
Me BC
x
FB l/2
解：取图示的坐标系，求支座反力得：
FAx 0
FAy
FR A
Pb L
FR B
Pa L
显然，AC段与CB段弯矩方程的表达式不一样。
分别列出AC、CB段弯矩方程并积分：
FRA a
P b
FRB
A
LC
B
x
w
AC段
CB段
M1(x)
FR Ax
Pb L
x
0 xa
EI z
w1
M1
(x)
Pbx L
EIz w1
Pbx2 2L
C1
M 2 (x) FR Ax P(x a) a x L
l3
l2
l1
l4
l3
l2
简支梁跨中受集中力作用，如果其它条件不变，
则当梁长增加一倍时，梁内的最大正应力变为原来
的
，最大挠度变为原来的
。
F q
A
B
F q
A
B
A
B
试用叠加法求图示悬臂梁自由端的挠度wB。
A
C F=16kN B
l/2 l
F1
A
C F=16kN B
A
B
wC
w1
w2
F1
wBF
F l / 23
l 10
1 M x x EI z
1
x
1
Hale Waihona Puke ww23
2
小变形
1 d2w
x dx2
d2w dx2
M x
EI z
梁挠曲线的近似微分方程 1 略去了剪力的影响
2 略去了变形高次方
d2w dx2
M x中的正负号:
EI z