工程力学(梁的平面弯曲)解析
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材料力学第四章平面弯曲
ε=
a'b'-ab ab
=
(ρ+y)dθ dx
-dx
O1
a
O2
b
(ρ+y)dθ - ρd θ = ρd θ
1
2
dx
y
=ρ
y
dq
1
2
O1'
O2'
a'
b'
1
2
dx
2.物理关系 胡克定律
σ=Eε
y =E ρ
由此可见，横截面上的正应力分布为
z
中性轴
3.静力学关系
FN=∫ AσdA
=
E∫ ρA
ydA
=0
得 ∫ A ydA =0
ql
FQ 2 +
单元体2:
ql
4
2
σσ ＝ max19q 6b2 lh2
ql2
32
-
3ql2
+
32
l/4
ql 4
- ql
2 ql2 32
-
z
b
单元体3: 3
单元体4:
1 l/4
q
2 h/4 4 3
l
l/4
4
σ
My Iz
3ql2 32bh3
τ FQS*z 9ql Izb 16bh
ql
FQ 2 +
ql 4
Iz
dA
(M +dM)
=
Iz
∫ y'dA
A*
(M +dM)
FN2=
Iz
Sz*
y'τ′
FN2 -FN1 = τ bdx
σ'
大学工程力学第7章平面弯曲2
主轴平面：如果梁的横截面没有对称轴，但是都有通过 横截面形心的形心主轴，所有相同的形心主轴组成的平面，
称 为 梁 的 主 轴 平 面 (plane including principal axes)。 由于对称轴一定是主轴， 所以对称面也一定是主轴 平面。
3
水利土木工程学院工程力学课程组
第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
－ y
1 d dx
其中为中性面弯曲后的曲率半
径，也就是梁的轴线弯曲后的曲率
半径。因为与y坐标无关，所以在 上述二式中，为常数。
16
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
应用弹性范围内的应力－应变关 系的虎克定律:
7
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念
中 性 层 与 中 性 轴
8
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各 点的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。可 以根据梁的变形情形推知梁横截面上的正应力分布。
E
得到正应力沿横截面高度分布的数学 表达式
－ E y Cy
式中 C E / 为待定的比例常数，E为 材料的弹性模量。
17
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第7章 平面弯曲
§7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
－ E y Cy
这表明，横截面上的弯曲正应 力，沿横截面的高度方向从中性 轴为零开始呈线性分布。
称 为 梁 的 主 轴 平 面 (plane including principal axes)。 由于对称轴一定是主轴， 所以对称面也一定是主轴 平面。
3
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
－ y
1 d dx
其中为中性面弯曲后的曲率半
径，也就是梁的轴线弯曲后的曲率
半径。因为与y坐标无关，所以在 上述二式中，为常数。
16
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
应用弹性范围内的应力－应变关 系的虎克定律:
7
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念
中 性 层 与 中 性 轴
8
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各 点的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。可 以根据梁的变形情形推知梁横截面上的正应力分布。
E
得到正应力沿横截面高度分布的数学 表达式
－ E y Cy
式中 C E / 为待定的比例常数，E为 材料的弹性模量。
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第7章 平面弯曲
§7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
－ E y Cy
这表明，横截面上的弯曲正应 力，沿横截面的高度方向从中性 轴为零开始呈线性分布。
工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解
得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI
梁的弯曲(工程力学课件)
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
3-3截面
M 3 q 2a a 2qa 2
4-4截面
qa 2
5qa 2
2
M 4 FB 2a M C
3qa
2
2
5-5截面
qa 2
M 5 FB 2a
2
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
由以上计算结果可以看出：
（1）集中力作用处的两侧临近截面的弯矩相同，剪力不同，说明剪力在
后逐段画出梁的剪力图和弯矩图。
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例8 悬臂梁AB只在自由端受集中力F作用，如图（a）所示，
试作梁的剪力图和弯矩图。
解：
1-1截面： Q1＝-F M1＝0
2-2截面： Q1＝-F M1＝－Fl
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例9 简支梁AB在C点处受集中力F作用，如图（a）所示，作此梁的剪力
（2）建立剪力方程和弯矩方程；
（3）应用函数作图法画出剪力Q（x），弯矩M（x）的图线，即为剪力
图和弯矩图
03 弯矩图和剪力图
例9.3 悬臂梁AB在自由端B处受集中载荷F作用，如图（a）所示，试作
其剪力图和弯矩图。
解 ：（1）建立剪力方程和弯矩方程
() = ( < < )
() = −( − ) ( ≤ ≤ )
方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力
（2）建立剪力方程和弯矩方程
03 弯矩图和剪力图
（3）绘制剪力图、弯矩图
计算下列5个截面的弯矩值：
03 弯矩图和剪力图
二、用简便方法画剪力图、弯矩图 (从梁的左端做起)
1.无载荷作用的梁段上 剪力图为水平线。 弯矩图为斜直线（两点式画图）。
《工程力学》项目9平面弯曲
项目9 剪切与挤压
• 任务9.4 平面弯曲梁横截面上的应力 • 梁的横截面上只有弯矩而剪力为零的平面弯曲称为纯弯
曲，如图 9-20梁上CD段；而横截面上既有弯矩也有剪力 的平面弯曲称为横力弯曲或剪力弯曲，如图 9-20梁上AC、 DB段。
图 9-20
项目9 剪切与挤压
9.4.1纯弯曲时梁横截面上的应力 1.实验现象 2.假设及推理 • 研究纯弯曲时梁横截面上的应力，可
式（9-2），即可确定截面上的剪力和弯矩为
3
FS2
YA
qa 4
M2
YAa
3 qa2 4
项目9 剪切与挤压
• 3-3截面：将杆件截面右侧的所有的外力给屏蔽起来，如图
9-7（d）所示，取截面的左侧为研究对象，即可确定截面上
的剪力和弯矩为
FS3
YA
P
3 qa qa 4
1 4
qa
M3
YAa
P0
3 4
9-4（b）所示。 外伸梁：梁的支撑情况同简支梁，但梁的一端或两端伸出支座
之外，如图 9-4（c）所示。
图9-4
项目9 剪切与挤压
• 任务9.2 梁弯曲的内力
• 9.2.1梁弯曲内力——剪力和弯矩
• 根据力系的平衡条件，可确定在留 下部分的截面上的内力为平行于横 截面的剪力和作用在纵向对称面内 的内力矩即弯矩。根据平衡方程可 得剪力与弯矩的大小，即
• 为了直观清楚地显示沿梁轴线方向的各截面剪力和 弯矩的变化情况，可绘制剪力图和弯矩图。对剪力 图，正值画在轴线的上侧，负值画在轴线的下侧； 对弯矩图正值画在轴线的下侧，负值画在轴线的上 侧，即弯矩坐标正向向下。
项目9 剪切与挤压
• 【例 9-2】图 9-8（a）所示的简支梁受均布荷载作用，试 作其剪力图和弯矩图。
工程力学第八章 梁的平面弯曲
在中性轴上，y=0，则正应力σ为零。
③静力平衡关系
空间平行力系的简化
N=∫AσdA My=∫AzσdA Mz=∫AyσdA ∵是纯弯曲
∴∑X=0 N=∫AσdA=0 ∑My=0 My=∫AzσdA=0 又∵∫AσdA=-Ε/ρ∫AydA ∴∫AydA=0 ∫AydA=Sz是横截面对Z轴（中性轴）的静面积
A
B
Q(x) + -
M(x)
+
④在集中力偶作用处，弯矩图将发生突
变，突变值等于集中力偶矩的大小；当
集中力偶顺时针作用时，弯矩图向上跳
跃（沿x方向），当集中力偶逆时针作用
时，弯矩图向下跳跃（沿x方向）。
M
A
C
B
Q(x)
-
M/L
Mb/L
M(x)
+
Ma/L
⑤若在梁的某一截面上Q(x)=0，亦即弯
=[(ρ+|y|)dψ-ρdψ]/ ρdψ
=|y|/ρ 这表明纵向纤维的线应变与它到中性层的距离
成正比。 ∵ε与y的符号相反 ∴ε=- y/ρ
②物理关系
当应力不超过材料的比例极限时，材料 符合虎克定律，σ=E·ε，将ε代入得σ=- E y/ρ
表明，横截面上任意点处的正应力σ与该 点到中性轴的距离成正比，即沿截面高 度，正应力呈线形分布。
危险截面上下边缘处的点叫危险点。 弯曲强度条件：
σmax= Mmax/ WZ≤[σ]
对于拉压许用应力不同的材料，其强度
条件应同时满足：
σmax拉≤[σ拉]
σmax压≤[σ压]
弯矩图： 没有载荷斜直线， 均布载荷抛物线， 集中载荷有尖点， 力偶载荷有突变。
③静力平衡关系
空间平行力系的简化
N=∫AσdA My=∫AzσdA Mz=∫AyσdA ∵是纯弯曲
∴∑X=0 N=∫AσdA=0 ∑My=0 My=∫AzσdA=0 又∵∫AσdA=-Ε/ρ∫AydA ∴∫AydA=0 ∫AydA=Sz是横截面对Z轴（中性轴）的静面积
A
B
Q(x) + -
M(x)
+
④在集中力偶作用处，弯矩图将发生突
变，突变值等于集中力偶矩的大小；当
集中力偶顺时针作用时，弯矩图向上跳
跃（沿x方向），当集中力偶逆时针作用
时，弯矩图向下跳跃（沿x方向）。
M
A
C
B
Q(x)
-
M/L
Mb/L
M(x)
+
Ma/L
⑤若在梁的某一截面上Q(x)=0，亦即弯
=[(ρ+|y|)dψ-ρdψ]/ ρdψ
=|y|/ρ 这表明纵向纤维的线应变与它到中性层的距离
成正比。 ∵ε与y的符号相反 ∴ε=- y/ρ
②物理关系
当应力不超过材料的比例极限时，材料 符合虎克定律，σ=E·ε，将ε代入得σ=- E y/ρ
表明，横截面上任意点处的正应力σ与该 点到中性轴的距离成正比，即沿截面高 度，正应力呈线形分布。
危险截面上下边缘处的点叫危险点。 弯曲强度条件：
σmax= Mmax/ WZ≤[σ]
对于拉压许用应力不同的材料，其强度
条件应同时满足：
σmax拉≤[σ拉]
σmax压≤[σ压]
弯矩图： 没有载荷斜直线， 均布载荷抛物线， 集中载荷有尖点， 力偶载荷有突变。
工程力学-平面弯曲变形分析
yc
5ql4 Fl3 384 EI 48EI
洛 阳 职 业 技 术 学 院
五、提高梁的强度 和刚度的措施
提高强度
M max max [ ] WZ
降低 Mmax 合理安排支座 合理布置载荷
合理布置支座
F
F
F
合理布置支座
合理布置载荷
F
采用变截面梁或等强度梁
提高刚度
M max max [ ] WZ
max
M 11 y max Iz 150 3.64 10 103 2 P a 12.94MP a 6 21.09 10
3
2.梁弯曲正应力的强度计算 梁的危险截面上的最大正应力
材料的许用应力
即
max
M max [ ] Wz
上式适用于横截面关于中性轴对称的截面。
∑Fy=0 FQ=FA ∑Mc（F）=0 －F AX＋M =0 M = FAX FQ（剪力）作用线通过截面形心，且平行于外力 M（弯矩) 位于纵向对称面内，使梁受弯曲作用的内力偶矩。 FA－FQ=0
剪力、弯矩符号规定：
剪力 左下右上为正 弯矩 上凹为正
下凹为负
弯矩方程和弯矩图
1、简支梁AB受集中力F作用，跨度为l，求最大弯矩，并画出 梁的弯矩图。
max
M
x
（3）设计截面尺寸。由强度条件 M max max Wz
M max 32 103 103 WZ m m3 203822 m m3 [ ] 157
由矩形截面抗弯截面模量
bh2 b(2b) 2 2 3 WZ b 6 6 3
3 203822 b m m 67.4m m 2
工程力学19 平面弯曲和梁的类型
阳台的挑梁
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
二、弯曲的概念
1. 弯曲（bending): 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2. 梁：以弯曲变形为主的构件通常 称为梁(ECHANICS
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
平面弯曲和梁的类型
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
一、工程中的弯曲构件
工厂厂房的吊车大梁：
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
火车的轮轴：
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
楼房的横梁
（1）活动支座
（2）固定铰支座
（3）固定端
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
2. 静定梁的基本形式
悬臂梁
简支梁
外伸梁
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
谢 谢 观 赏！
3、 平面弯曲(plane bending)：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力 在同一平面内。
对称弯曲（如下图）—— 平面弯曲的特例。
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
特点：构件的几何形状、材料性能和外力作用均对称于杆件的纵对称面
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
纵向对称面
A
P1
P2
梁的轴线
B
RA
RB
梁变形后的轴线
与外力在同一平
面内
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
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FAy q M0 F M4 DE段: 8mx4<12m
0 x4 B C Dc FQ4 FQ4=-32kN; M4=384-32x4(kN1•1m)
DE段: 8mx4<12m FQ4=-32kN; M4=384-32x4(kN•m)
取右边部分如何? DE段: 8mx4<12m
FQ4=-FE=-32kN M4=FE(12-x4)
3F
一般步骤
0
A
FAx
aa
FB 45 B F x0
a
M
FN x FQ
求约 束反 力
截取 研究 对象
受 力 图
列平 衡方 程
求解 内力
画内 力图
静力 平衡 方程
载荷 突变 处分 段。
内力 按正 向假 设。
矩心 取截 面形 心。
内 图形 力 应封 方 闭。 程
9
例3 已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kN•m，
FAy q
M2
0 x2 B c FQ2
FAy q M0 M3
0 x3 B C c FQ3
SFy=FAy-4q-FQ2=0 FQ2=13kN
SMc(F )=M2+4q(x2-2)-FAyx2=0 M2=13x2+72(kN•m)
CD段: 6mx3<8m FQ3=13kN; M3=13x3+24(kN•m)
SFy=FAy-qx1-FQ1=0
FQ1=49-9x1
SMc(F )=M1+qx12/2-FAyx1=0 M1=49x1-4.5x12
10
例3 已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kN•m，
FAy q
M0 F
求梁的内力。 2) 截面法求内力
A BC
DE x
4m 2m 2m 4m FE
BC段: 4mx2<6m
解：1）求约束力。
FAy
F
画受力图。由平衡方程得： MA A FAx l
B
FAx=0; FAy=F; MA=Fl
FAy
M
2）求截面内力。 截面x处内力按正向假设，
MA A
x
c FQ
在0x<l内，有平衡方程： FQ
F
+
SFy=FAy-FQ=0
o
剪力图
x
SMC(F )=MA+M-FAyx=0
M
o_
x
得到： FQ=F； M=-F(l-x) Fl
FQ2=13; M2=13x2+72 CD段: 6mx<8m
4m 2m 2m 4m FE
分段处的剪力弯矩值：
x1=0: FQA=49；MA=0 x2=4: FQB=13；MB=124 x3=6: FQC=13；MC=102
FQ3=13; M3=13x3+24 DE段: 8mx<12m
x36: MC150 x4=8: FQD=-32；MD=128
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
2
10.1 基本概念
1、梁的分类
F
q
2、平面弯曲 梁的横截面 简支梁
悬臂梁
M
外伸梁
集中力，集中力偶，分布载荷
都有对称轴
纵向对称面
平面问题，梁受 三个约束，都是 静定梁。
梁有纵向对称面，且载荷均作用在 纵向对称面内，变形后梁的轴线仍 在该平面内，称为平面弯曲。
3
用截面法作梁的内力图
截面法求内力的步骤： y
求约 束反 力
截取 研究 对象
受力图， 内力按正 向假设。
求解内力，负号 表示与假设反向
列平衡 方程
内力的符号规定
x
FQ 左上右下，FQ为正
x
左顺右逆，M为正
M
FQ
M
内力 右截面正向 左截面正向 FQ M
微段变形（正）
顺时针错动 向上凹
4
例1 求悬臂梁各截面内力并作内力图。
=384-32x4
结果应当相同。 可以用于验算。
FAy q
M0 F
A BC
DE x
4m 2m 2m 4m FE
FAy q M0 F M4
0 x4 B C D c FQ4
M4
0
x4
FQ4 c
FE
内力同样要按正向假设!
12
内力方程:
FAy q
M0 F
AB段: 0x<4m
A BC
DE x
FQ1=49-9x1; M1=49x1-4.5x12 BC段: 4mx<6m
3P
45
内力与截面位置关系。
B
0x<a: FN=0; FQ=-F; M=-F x
ax<2a: FN=-F； FQ=2F
M=F(2x-3a)
0
ห้องสมุดไป่ตู้FN
A FAx
x FB
-
Fx
FQ2F +
-FF -
x
2ax<3a: FN=-F ；FQ=-F M
Fa +
M=F(3a-x)
-
x
Fa
8
y
作梁的内力图的 F
FAy
弯矩图
3) 画内力图。 悬臂梁在固定端A处弯矩值最大。 5
例2 求外伸梁AB的内力。y F FAy 3F
解：1）求约束反力： 受力如图。
0
A
FAx
aa
FB 45 B x
a
有平衡方程：
SMA(F)=2aFBcos45+Fa-3Fa=0 SFx=FAx-FBsin45=0 SFy=FAy+FBcos45-F-3F=0
2a x<3a: FN=-F； FQ=3F-F-3F=-F M=3F(x-a)-Fx-3F(x-2a)
=F(3a-x)
FM
FN 0 x FQ
F 3F M
FN 0 x F FQ
F 3F 3F
0
Fx
M
FN FQ
7
3) 画内力图：
内力图： 按内力方程绘出
内力方程：
各截面内力的图。
截面法给出的描述
F
FAy
FQ4=-32; M4=384-32x4 x48: FQD13
注意：集中力 (力偶)
第十章 梁的平面弯曲
10.1 基本概念 10.2 利用平衡微分方程作梁的内力图 10.3 平面弯曲梁的正应力 10.4 梁的变形
1
回顾 承受弯曲作用的杆，称为梁。
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压
扭转
弯曲
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
FB= 2F FAx=F FAy=3F
2) 截面法求内力( 取坐标如图) 0x<a: FN=0; FQ=-F; M=-Fx
FM
FN 0 x FQ
6
例2 求外伸梁的内力。
2) 截面法求内力 0x<a: FN=0; FQ=-F; M=-Fx
y F 3F
3F
0 AF aa
FB 45 B x
a
ax<2a: FN=-F；FQ=3F-F=2F M=3F(x-a)-Fx=F(2x-3a)
求梁的内力。
FAy q
M0 F
解：1）求约束反力：
FAx=0 A B C
DE x
4m 2m 2m 4m FE
SFx=FAx=0 SFy=FAy+FE-F-4q=0
FAy q M1
MA(F )=12FE+M0-8F-2×4q=0
0 x1 c FQ1
FAy=49kN；FE=32kN
2) 截面法求内力
AB段: 0x1<4m