工程力学第八章 直梁弯曲
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建筑工程力学直梁弯曲
合理安排梁的受力情况
1、合理布置梁的支座
建筑工程力学
M max
ql 0.125ql 2 8
2
M max
ql 2 0.025ql 2 40
建筑工程力学
2、合理布置梁的载荷
P C A l/2 l/2 B A l/4
P
D
B l/4 l/4 l/4
Pl/8
M图
+
M图
+
建筑工程力学
适当增加梁的支座
建筑工程力学
P
P
Q +
PL
M
q
qL + P P+qL +
1/2 qL2
PL+1/2qL2 1/8qL2
q
L
建筑工程力学
上图悬臂梁上作用有均布荷载和集中力。 梁的反力和内力都是由两部分 组成。各式中第一项与集中力 P 有关， 是由集中力 P 单独作用在梁上所引起的 反力和内力；各式中第二项与均布荷载 q有关，是由均布荷载q单独作用在梁上 所引起的反力和内力。两种情况的叠加， 即为二项荷载共同作用的结果。这种方 法即为叠加法。
q
b h
h b
建筑工程力学
根据弯曲强度条件
同样载荷条件下，工作应力越小越好 M WZ 因此，WZ 越大越好
2 3 bh b 2 b 4 b 2 3 梁立置时： WZ b 6 6 6 3 2
hb2 2b b 2 2b 3 1 3 梁倒置时： WZ b 6 6 6 3
某截面上最大弯 曲正应力发生在截面 的上下边界上：
建筑工程力学
max
M WZ
IZ WZ ymax
直梁的弯曲
38
CB段：
③画弯矩图
Pb M1 RA x1 x1 (0 x1 a) l Pa M2 (l x2 ) (a x2 l ) l
A点弯矩： M A 0
Pab C点弯矩： M C l B点弯矩： M B 0
④ 找最大弯矩
最大弯矩产生在C截面上，截面C是危险截面。 Pab 若a=b, Mmax=Pl/4 M max l
M ydA
A
弯矩阻止该截面在外力矩作用下所发生的进一步转 动，并且力图恢复梁的原形。
二、剪力和弯矩的计算
剪力计算法则：梁任一横截面上的剪力等于 该截面一侧（左侧或右侧都可）所有横向外力的 代数和。 截面左侧向上的外力和截面右侧向下的外力 取正值；截面左侧向下的外力和截面右侧向上的 外力取负值。 P P Q Q Q Q P P Q=-P<0 Q=-P<0 Q=P>0 Q=P>0
P
D
弯矩 M 0
P( x2 a) RA x2 M 2 0
a
A P
弯曲 变形时 梁横截 面上的内力包括剪力Q 和弯矩M。 AC 段 和 BD 段 截 面 内有剪力和弯矩，属 于剪切弯曲。
2 2
a
B
C
RA RA
x1 Q1
M1
x2
RB
P
M1
Q1
M2 Q2
RB
P
CD 段截面内只有弯 矩，没有剪力（ =0 ）， 属于纯弯曲。
3 2 ql 32
l 0
④找最大弯矩
dM ql 0, qx 0 dx 2 l x 2 1 2 故有： M max ql 8
46
【例5】一简支梁AB，中部C点受力偶m作用，跨度为l。 力偶离左端A点距离为a，离右端B点距离为 b，试画出 梁的弯矩图。 解： ①求支座反力 载荷是力偶，两支座反力 组成力偶。 m RA RB l ②列弯矩方程 AC段：
CB段：
③画弯矩图
Pb M1 RA x1 x1 (0 x1 a) l Pa M2 (l x2 ) (a x2 l ) l
A点弯矩： M A 0
Pab C点弯矩： M C l B点弯矩： M B 0
④ 找最大弯矩
最大弯矩产生在C截面上，截面C是危险截面。 Pab 若a=b, Mmax=Pl/4 M max l
M ydA
A
弯矩阻止该截面在外力矩作用下所发生的进一步转 动，并且力图恢复梁的原形。
二、剪力和弯矩的计算
剪力计算法则：梁任一横截面上的剪力等于 该截面一侧（左侧或右侧都可）所有横向外力的 代数和。 截面左侧向上的外力和截面右侧向下的外力 取正值；截面左侧向下的外力和截面右侧向上的 外力取负值。 P P Q Q Q Q P P Q=-P<0 Q=-P<0 Q=P>0 Q=P>0
P
D
弯矩 M 0
P( x2 a) RA x2 M 2 0
a
A P
弯曲 变形时 梁横截 面上的内力包括剪力Q 和弯矩M。 AC 段 和 BD 段 截 面 内有剪力和弯矩，属 于剪切弯曲。
2 2
a
B
C
RA RA
x1 Q1
M1
x2
RB
P
M1
Q1
M2 Q2
RB
P
CD 段截面内只有弯 矩，没有剪力（ =0 ）， 属于纯弯曲。
3 2 ql 32
l 0
④找最大弯矩
dM ql 0, qx 0 dx 2 l x 2 1 2 故有： M max ql 8
46
【例5】一简支梁AB，中部C点受力偶m作用，跨度为l。 力偶离左端A点距离为a，离右端B点距离为 b，试画出 梁的弯矩图。 解： ①求支座反力 载荷是力偶，两支座反力 组成力偶。 m RA RB l ②列弯矩方程 AC段：
工程力学第八章__直梁弯曲
作用面内的一条曲线。
（3）构件特征：具有一个以上对称面的等截
面直梁。
§8－1 平面弯曲的力学模型
二、梁的力学模型 1．梁的结构形式 工程中梁的轴 线多为直线。无论截 面形状如何，在计算 简图中的梁，一般均 用与梁轴线重合的一 段直线表示
§8－1 平面弯曲的力学模型
2．梁的支座 梁的支撑情况，要通过分析来确定在载 荷作用平面内支座对梁的约束类型以及相 应的约束反力数目。一般情况下，可将梁 的支承简化为以下三种典型支座之一：
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
管钳的应用分析
在拧、卸管状零件 时，常常要使用管钳给 管件施加转矩，将管件 拧紧或卸下。当拆卸连 接牢固的管子时，常在 钳柄部分加套管，以增 大转矩。那么，在这种 情况下，钳牙是否会损 坏？
1一固定牙 2一可动牙 3-圆螺母 4一齿条 5一弹簧 6-钳柄 7-销轴
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
2．改变加载方式，在结构允许的条件下，应 尽可能把集中力改变为分散力
集中力改变为分散力
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
工程应用
吊车与平板车
吊车简图
平板车过桥
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
3．增加约束 如图a所示，某变速器 换挡杆1需要加工一个R8的 月牙槽，以往是把月牙槽 铣刀悬挂地装在铣床主轴 上，利用工作台的升降进 行铣削加工。
§8－3
弯曲正应力
2．中性轴与中性层
§8－3 弯曲正应力
二、正应力的分布规律
横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴 的距离成正比：
y
max
y max
在中性轴处纤维长度不变，此处 不受力，正应力为零。
（3）构件特征：具有一个以上对称面的等截
面直梁。
§8－1 平面弯曲的力学模型
二、梁的力学模型 1．梁的结构形式 工程中梁的轴 线多为直线。无论截 面形状如何，在计算 简图中的梁，一般均 用与梁轴线重合的一 段直线表示
§8－1 平面弯曲的力学模型
2．梁的支座 梁的支撑情况，要通过分析来确定在载 荷作用平面内支座对梁的约束类型以及相 应的约束反力数目。一般情况下，可将梁 的支承简化为以下三种典型支座之一：
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
管钳的应用分析
在拧、卸管状零件 时，常常要使用管钳给 管件施加转矩，将管件 拧紧或卸下。当拆卸连 接牢固的管子时，常在 钳柄部分加套管，以增 大转矩。那么，在这种 情况下，钳牙是否会损 坏？
1一固定牙 2一可动牙 3-圆螺母 4一齿条 5一弹簧 6-钳柄 7-销轴
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
2．改变加载方式，在结构允许的条件下，应 尽可能把集中力改变为分散力
集中力改变为分散力
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
工程应用
吊车与平板车
吊车简图
平板车过桥
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
3．增加约束 如图a所示，某变速器 换挡杆1需要加工一个R8的 月牙槽，以往是把月牙槽 铣刀悬挂地装在铣床主轴 上，利用工作台的升降进 行铣削加工。
§8－3
弯曲正应力
2．中性轴与中性层
§8－3 弯曲正应力
二、正应力的分布规律
横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴 的距离成正比：
y
max
y max
在中性轴处纤维长度不变，此处 不受力，正应力为零。
工程力学(材料力学)8 弯曲变形与静不定梁
B
ql4 RBl3 0
8EI 3EI
q 约束反力为
B
RB
3 8
ql
RB
用变形比较法求解静不定梁的一般步骤：
（1）选择基本静定系，确定多余约束及反力。 （2）比较基本静定系与静不定梁在多余处的变形、确定 变形协调条件。 （3）计算各自的变形，利用叠加法列出补充方程。 （4）由平衡方程和补充方程求出多余反力，其后内力、 强度、刚度的计算与静定梁完全相同。
教学重点
• 梁弯曲变形的基本概念； • 挠曲线的近似微分方程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 梁的刚度条件。
教学难点
• 挠曲线近似微分方程的推导过程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 变形比较法求解静不定梁。
第一节 弯曲变形的基本概念
齿轮传动轴的弯曲变形
轧钢机（或压延机）的弯曲变形
例13-4 用叠加法求图示梁的 yC、A、B ，EI=常量。
M
P
解 运用叠加法
A
C
l/2
l/2
A
=
q
5ql4 Pl3 ml2
B
yC
384EI
48EI
16EI
A
ql3 24EI
Pl 2
16EI
ml 3EI
B
B
ql3 24EI
Pl2 16EI
ml 3EI
M
+
q
A
+
BA
B
二、梁的刚度条件
y max y,
A
max
A ql3
B
24EI
RA
q
A
θB
l
B θB RB
在梁跨中点 l /2 处有 最大挠度值
工程力学--梁的弯曲
2013-7-25
11
非对称弯曲—— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种
弯曲则统称为非对称弯曲。
下面几节中，将以直梁的平面弯曲为主，讨论梁的应力和变 形计算。
2013-7-25
12
第二节 梁的计算简图
一 梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
M
Q
１、Q 和 M 计算
a
m
P
A
m x
B
a
m
P
用截面法假想地在
横截面mm处把梁分
A
m x
B
为两段，先分析梁左段。
y
RA
m
Q
C
x
A
x
m
a
P
由平衡方程得
A
m
y0
RA Q 0
B
m x
可得
Q = RA
y
RA
Q 称为 剪力
A
x
m
Q
C
m
x
a
P
由平衡方程
m
mC 0
A
m x
B
M RA x 0
m
dx
使dx 微段有 左端向下而右端向上 的相对错动时，横截面 m-m 上 的剪力为负 。或使dx微段有逆时针
m
m
dx
转动趋势的剪力为负。
弯矩符号
当dx 微段的弯曲下凸 （即该段的下半部受拉 ）时， 横截面m-m 上的弯矩为正； 当dx 微段的弯曲上凸
+
M m
M
m （受拉）
_
m
（即该段的下半部受压）时，
直梁弯曲
=-
a l
FX2
+
aF
a x2 l
第12页/共18页
a F
A C
x1 x2
M ab F l
直线
3.画弯矩图
b
B
M
FA x1
b l
Fx1
0 x1 a
x1 0 时，M 0
x1
a
时，M
ab l
F
M
=-
a l
FX2
+aF
a x2 l
第13页/共18页
x2
a
时，M
ab F l
x2 l 时， M 0
例3：如图所示的简支梁AB，在点C处受集中力偶M0作用， 尺寸a、b和L均为已知，试作此梁的弯矩图。
解：1.求约束反力
FA
FB
M0 l
x2
x1
M0
2.分两段建立弯矩方程 A
B C
AC段：
a
b
L
M FAx1 0
M
FA x1
M0 l
x1
第14页/共18页
0 x1 a
x2
x1
M0
A
B
C
a
b
L
M = FA x - F3(x-a)
F1
M
第7页/共18页
FB
梁内力的正负号规定
1.规定：
2.从梁的变形角度
第8页/共18页
剪力： 顺时针为正 逆时针为负 弯矩： 上凹为正 下凹为负
例：如图，任
mq
取一截面mm，距离A端 x,则m-m截面 内力为:
A x mC
FA q
M
B
FB
A点：MA=0
力学基础-(八) 梁的弯曲
ql FQ (l ) 2
用两点式画出剪力图的斜直线。
x
4. 画弯矩图
M(0) 0
ql 2 M(l / 2)
8
M(l) 0
用三点坐标描出弯矩图的二次曲线。
13
任务八 梁的弯曲
弯曲剪力图和弯矩图
2.画剪力图和弯矩图的简便方法
（1）集中力作用处
剪力图有突变，突变幅值等于力 的大小，方向与力同向。
x
（4）集中力偶作用处 剪力图不变化。
弯矩图有突变，突变幅值等于力偶矩的大小，方向顺时针向上突变，反之 向下。
14
任务八 梁的弯曲
弯曲剪力图和弯矩图
应用举例
例 图示跨长为l的简支梁AB，中点C 作用集中力F，试用简便画法画
梁剪力图和弯矩图。
F
A
l/2 FA=F/ FQ 2 F/
C l/2
B FB=F/
MA
A FA
x
l
FQ
F
F B
x
M
Fl
x
从上例可以得出
结论1：无荷载作用的梁段上 剪力图为常量; 弯矩图为斜直线。
确定直线两点的坐标，A点的临近截 面A+的弯矩值
MA+=-Fl
B点的临近截面B -的弯矩值 MB-=-F·=0
12
任务八 梁的弯曲
弯曲剪力图和弯矩图
应用举例
例 图示的简支梁AB，作用均布荷载q，建立剪力、弯矩方程，画梁的
MA
A FA
x
l
FQ
F
M
-Fl
F
B
xC
FA
x
FQ
ql/
2
xM
l/2
ql/
第八章 弯曲内力、应力及强度计算
例8-3 如图所示的悬臂梁上作用有均布载荷q，试画出该梁的 剪力图和弯矩图。
解：(1) 列剪力方程和弯矩方程，
将梁左端A点取作坐标原点。
剪力方程和弯矩方程
FQ (x) qx (0 x l) M (x) 1 qx2 (0 x l)
2
(2) 画剪力图和弯矩图
剪力图是一倾斜直线
弯矩图是一抛物线
解 (1)计算1-1截面上弯矩
M1 P 200 1.5103 200103 300N m
(2) 计算 1-1 截面惯性矩
Ix
bh2 12
1.8 32 12
4.05 10 3 m4
(3) 计算1-1截面上各指定点的正应力
A
M1 yA Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
拉应力
B
M1 yB Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
压应力
A
M1 yC Ix
M1 0 0N/m 2 Ix
D
M1 yD Ix
3001.5102 4.05102
74.1106 N/m2
压应力
例8-9 一简支木梁受力如图(a)所示。已知q=2kN／m，l=2m。试比 较梁在竖放(图(b))和平放(图(c))时横截面C处的最大正应力。
3、 画剪力图和弯矩图
FQ FQ
FQ
max
ql 2
ql 2 M max 8
例 4 简支梁AB,在C 点处受集中力P 作用, 如图所示。 试作此梁的弯矩图。
解 (1)求支座反力
M B 0 Pb FAl 0
FY 0 FA FB P 0
(2) 列弯矩方程
直梁弯曲的概念和实例
集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小;
弯矩图上无突变，但斜率发生突变，弯矩图上为折角点。 在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为该集中力 偶的大小而剪力图无改变。
2 ．各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：
向下的均布荷载
一段梁上的 外力情况
q<0
无荷载
集中力
集中力偶
F C
m
C
向右下倾斜的直线
二、 受弯构件的简化
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。
吊车大梁简化实例
1、梁支座的简化
a)滑动铰支座
b)固定铰支座
c)固定端
MR
FRx
FRx
FR
FRy
FRy
2、载荷的简化
(a)集中荷载
F1
集中力
M
(b)分布荷载
q(x) q
集中力偶
任意分布荷载
均布荷载
3、梁的基本形式
(a)悬臂梁
负号表示假设方向与实际方向相反。
建议：求截面FS和M时，均按规定正向假设， 这样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为 正的剪力，如为负号则表明为负的剪力。对于弯 矩正负号也作同样判断。
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩 图
FS FS ( x) 剪力、弯矩方程： M M ( x)
解：1.求支座反力
0, FA FB F 0 l M A ( F ) 0, FB l F 3 0 2 1 得 FA F , FB F 3 3
y
F
2.求截面1－1上的内力
FS D
2 FA F 3
2 M D FA a Fa 3
工程力学习题册第八章 - 答案
第八章 直梁弯曲一、填空题1.工程中 发生弯曲 或以 弯曲变形 为主的杆件称为梁。
2.常见梁的力学模型有 简支梁 、 外伸梁 和 悬臂梁 。
3.平面弯曲变形的受力特点是 外力垂直于杆件的轴线，且外力和力偶都作用在梁的纵向对称面内 ；平面弯曲变形的变形特点是 梁的轴线由直线变成了在外力作用面内的一条曲线 ；发生平面弯曲变形的构件特征是 具有一个以上对称面的等截面直梁 。
4.作用在梁上的载荷有 集中力 、 集中力偶 和 分布载荷 。
5.梁弯曲时，横截面上的内力一般包括 剪力 和 弯矩 两个分量，其中对梁的强度影响较大的是 弯矩 。
6.在计算梁的内力时，当梁的长度大于横截面尺寸 五 倍以上时，可将剪力略去不计。
7.梁弯曲时，某一截面上的弯矩，在数值上等于 该截面左侧或右侧梁上各外力对截面形心的力矩 的代数和。
其正负号规定为：当梁弯曲成 凹面向上 时，截面上弯矩为正；当梁弯曲成凸面向上 时，截面上弯矩为负。
8.在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变值等于 集中力偶矩 。
9.横截面上弯矩为 常数 而剪力为 零 的平面弯曲变形称为 纯弯曲变形 。
10.梁纯弯曲变形实验中，横向线仍为直线，且仍与 梁轴线 正交，但两线不再 平行 ，相对倾斜角度θ。
纵向线变为 弧线 ，轴线以上的纵向线缩短，称为 缩短 区，此区梁的宽度 增大 ；轴线以下的纵向线伸长，称为 伸长 区，此区梁的宽度 减小 。
情况与轴向拉伸、压缩时的变形相似。
11.中性层与横截面的交线称为 中性轴 ，变形时梁的 所有横截面 均绕此线相对旋转。
12.在中性层凸出一侧的梁内各点，其正应力均为 正 值，即为 拉 应力。
13.根据弯曲强度条件可以解决 强度校核 、 截面选取 和 确定许可载荷 等三类问题。
14.产生最大正应力的截面又称为 危险截面 ，最大正应力所在的点称为 危险点 。
15.在截面积A 相同的条件下， 抗弯截面系数 越大，则梁的承载能力就越高。
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实际加工中，采用在铣刀 对面加顶尖的方式。其力学 原理是：增加铣刀的支座约 束，其受力图如图c所示，使 铣刀根部截面上的弯矩MW 减小。铣刀所受的径向力F， 一部分由顶尖承担，使铣刀 根部截面上的应力也相应减 小，从而保证了铣刀不被折 断，提高了生产效率。
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
二、选择合理的截面形状
Mw y σ= Iz
Mw——横截面上的弯矩，N·m或N·mm； y——点到中性轴z的距离，m或mm； Iz——截面对中性轴z的惯性矩，m4或mm4。
最大正应力：σ max
M w ymax M w = = Iz Wz
Wz =
Iz ymax
Wz为抗弯截面系数，单位为m3或mm3。
§8－3 弯曲正应力
工程中常见梁截面图形惯性矩和抗弯截面系数计算公式 截面图形 惯性矩 抗弯截面系数
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
2．弯矩的正负规定
梁弯曲成凹面向 上时的弯矩为正 梁弯曲成凸面向 上时的弯矩为负
弯矩的计算规律：某一截面上的弯矩，等于该截面 左侧或右侧梁上各外力对截面形心的力矩的代数和。
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
三、弯矩图
1．弯矩方程与弯矩图
§8－1 平面弯曲的力学模型
(1)活动铰链支座 (2)固定铰链支座 (3)固定端支座
§8－1 平面弯曲的力学模型
3．载荷的基本类型 (1)集中力
(2)集中力偶 (3)分布载荷
F1
集中力
（分布力）
§8－1 平面弯曲的力学模型
4．静定梁的力学模型
名称
简支 梁
描
述
图
示
一端为活动铰链支座, 另 一端为固定铰链支座的梁 一端或两端伸出支座外的 简支梁，并在外伸端有载 荷作用 一端为固定端，另一端为 自由端的梁
在截面积相同的条件下，抗弯截面系数Wz越大， 梁的承载能力就越高。
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
工程中金属梁的成形截面：
工字形
槽形
箱形
空心预制板
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
根据材料的特性选择截面：
（1）塑性材料（如钢）的抗拉强度与抗压强度相同， 故通常采用关于中性轴对称的截面，如工字形、箱形等。 （2）对于抗拉强度小于抗压强度的材料（如铸铁）， 应使中性轴偏于拉应力一侧，即采用如T字形、槽形等截面。
解题步骤
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
【例8－3】简支梁自重为 例 － 】 均布载荷，载荷集度为q，梁 长为l，试作梁的弯矩图。
解题步骤
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
【例8－4】如图所示火车轮轴，已知左右外伸端承受车厢 例 － 】 的载荷F，轮轴上尺寸如图示。试作火车轮轴的弯矩图。
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
三、采用等强度梁
等强度梁——工程中为了减轻自重和节省材料，常常根 等强度梁 据弯矩沿梁轴线的变化情况，将梁制成变截面的形状，使所 有横截面上的最大正应力都大致等于许用应力[σ] 。
摇臂钻床的横臂
飞机机翼
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
汽车的板弹簧
阶台轴
桥梁和厂房中的“鱼腹梁”
§8－1 平面弯曲的力学模型
二、梁的力学模型 1．梁的结构形式 工程中梁的轴 线多为直线。无论截 面形状如何，在计算 简图中的梁，一般均 用与梁轴线重合的一 段直线表示
§8－1 平面弯曲的力学模型
2．梁的支座 梁的支撑情况，要通过分析来确定在载 荷作用平面内支座对梁的约束类型以及相 应的约束反力数目。一般情况下，可将梁 的支承简化为以下三种典型支座之一：
3．平面弯曲的定义
平面弯曲——当作用在梁上的外力或力偶都在梁的纵向 平面弯曲 对称面内，且各力都与梁的轴线垂直，梁弯曲变形后，其轴 线在纵向对称面内由直线变成平面曲线。
§8－1 平面弯曲的力学模型
4．平面弯曲变形的特点
（1）受力特点：外力垂直于杆件的轴线，且 外力和力偶都作用在梁的纵向对称面内。 （2）变形特点：梁的轴线由直线变成在外力 作用面内的一条曲线。 （3）构件特征：具有一个以上对称面的等截 面直梁。
解题步骤
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
3．绘制弯矩图的规律
（1）在无载荷作用的梁段上，弯矩图为斜直线。 （2）在均布载荷作用的梁段上，弯矩图为抛物 线。载荷指向向下，抛物线上凸，反之下凹。 （3）在集中力作用处，弯矩图出现折角。 （4）在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变 值等于集中力偶矩。
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
【例8－1】机床手柄AB 例 － 】 用螺纹连接于转盘上，其长 度为L，自由端受力F作用， 求手柄中点D的弯矩，并求 最大弯矩。
解题步骤
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
【例8－2】试绘制图中 例 － 】 简支梁在集中力偶作用下 的弯矩图。
(1)由静力学平衡方程计算梁的支座约束反力。 (2)用截面法求内力 1)截开 在相邻的外力作用点之间取截面，将梁切成 左右两部分，取其中一部分为研究对象，画其受力图。 2)代替 用截面上的内力来代替去除部分对研究对象的 作用，对于截面上未知的弯矩一般假设为正。 3)平衡 通过建立弯矩方程计算各控制点（集中力或集 中力偶作用处）的弯矩值。计算结果为正值，说明弯矩的 实际方向与假设方向一致，反之为弯矩为负弯矩。 (3)画弯矩图 取横坐标平行于梁的轴线，表示梁的截面位置；纵坐标 Mw表示各截面的弯矩，将各控制点画在坐标平面上，连接 各点得到弯矩图。
§8－4 梁的抗弯强度条件及其应用
梁的抗弯强度条件：
σ max ≤[σ ]
危险截面——产生最大正应力的截面。 危险截面 危险点——最大正应力所在的点。 危险点
σ max
M w max = ≤[σ ] Wz
§8－4 梁的抗弯强度条件及其应用
强度条件可解决梁的三类问题：
σ max
M w max = ≤[σ ] Wz
纯弯曲
§8－3 弯曲正应力
2．中性轴与中性层
§8－3 弯曲正应力
二、正应力的分布规律
横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴 的距离成正比：
σ
y
=
σ max
y max
在中性轴处纤维长度不变，此处 不受力，正应力为零。 离中性轴最最大正应力计算公式
任意点正应力：
第八章 直梁弯曲
§8－1 平面弯曲的力学模型 §8－2 弯曲内力——剪力和弯矩 §8－3 弯曲正应力 §8－4 梁的抗弯强度条件及其应用 §8－5 提高梁抗弯强度的主要措施 *知识拓展
第八章 直梁弯曲
了解平面弯曲的受力与变形特点。 熟练掌握直梁弯曲时计算内力的方法，并 能正确确定其正负号。 掌握纯弯曲时直梁横截面上正应力的分布 规律，以及最大正应力计算公式的应用。 掌握弯曲正应力的强度条件及其应用。 了解提高直梁抗弯强度的主要措施。
另外，应该指出采用加套管来增大转矩的方法，仅是权宜之计。 正确的方法是在接头处加煤油，如再卸不下来，则应切断。
§8－3 弯曲正应力
一、纯弯曲变形 二、正应力的分布规律 三、最大正应力计算公式
§8－3 弯曲正应力
一、纯弯曲变形
1．纯弯曲 纯弯曲——横截面上弯矩为常数且无剪力的弯 纯弯曲 曲问题。
AB段为纯弯曲
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
由于钳牙是用优质材料制造并经热处理，所以，通常情况下钳牙 是不容易损坏的。管钳工作时，在钳柄端部作用力F，钳柄产生弯曲 变形，其弯矩图如图b所示。由弯矩图可知，钳柄根部A-A截面处弯 矩值最大，该处最容易发生弯曲损坏。而钳柄的材料多为45钢，一般 情况下也不容易产生柄部弯曲：但若钳柄部分加上管套，长度超过的 三倍时，则A-A截面处的弯矩也将超过原来的三倍，这时钳柄根部的 应力也将超过原来的三倍，这时就有可能因施力过猛而导致A-A截面 处出现弯曲损坏。
3
bh Iz = 12 b3 h Iy = 12 bh3 − b1h13 Iz = 12 b3h − b13h1 Iy = 12
W W
z
y
bh2 = 6 b 2h = 6
bh3 − b1h13 Wz = 6h b3 h − b13 h1 Wy = 6b
§8－3 弯曲正应力
截面图形 惯性矩 抗弯截面系数
外伸 梁
悬臂 梁
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
一、剪力和弯矩 二、内力的正负规定 三、弯矩图
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
一、剪力和弯矩
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
二、内力的正负规定 1．剪力的正负规定 剪力——使微段梁两横截面间发生左上 右下错动（或使微段梁发生顺时针转动）的 剪力为正，反之为负。
铣刀及其根部的受力如图所 示，铣刀切削时受工件给它的径 向力F的作用，相应的铣刀根部 截面上的内力有剪力FQ及弯矩 MW，因铣刀根部面积很小，其 抗弯截面系数WZ的值也很小， 由公式可知，铣刀根部截面上的 正应力较大，因此切削速度不宜 过大，稍不留心，铣刀就会折断。
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
弯矩方程——表示梁横截面上所受的弯矩随着梁轴线 弯矩方程 的变化规律，取梁轴线为X轴，以坐标x表示横截面的位置， 则弯矩可表示为x的函数：
Mw = Mw（x）
弯矩图——以纵坐标表示相应截面的弯矩，可将梁上 弯矩图 各截面的弯矩用图表示。
§8－2 弯曲内力 － 弯曲内力——剪力和弯矩 剪力和弯矩
2．作弯矩图的步骤
1．校核强度
2．选择截面尺寸
Wz≥M w max / [σ ]
3．确定许可载荷
§8－4 梁的抗弯强度条件及其应用
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
二、选择合理的截面形状
Mw y σ= Iz
Mw——横截面上的弯矩，N·m或N·mm； y——点到中性轴z的距离，m或mm； Iz——截面对中性轴z的惯性矩，m4或mm4。
最大正应力：σ max
M w ymax M w = = Iz Wz
Wz =
Iz ymax
Wz为抗弯截面系数，单位为m3或mm3。
§8－3 弯曲正应力
工程中常见梁截面图形惯性矩和抗弯截面系数计算公式 截面图形 惯性矩 抗弯截面系数
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
2．弯矩的正负规定
梁弯曲成凹面向 上时的弯矩为正 梁弯曲成凸面向 上时的弯矩为负
弯矩的计算规律：某一截面上的弯矩，等于该截面 左侧或右侧梁上各外力对截面形心的力矩的代数和。
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
三、弯矩图
1．弯矩方程与弯矩图
§8－1 平面弯曲的力学模型
(1)活动铰链支座 (2)固定铰链支座 (3)固定端支座
§8－1 平面弯曲的力学模型
3．载荷的基本类型 (1)集中力
(2)集中力偶 (3)分布载荷
F1
集中力
（分布力）
§8－1 平面弯曲的力学模型
4．静定梁的力学模型
名称
简支 梁
描
述
图
示
一端为活动铰链支座, 另 一端为固定铰链支座的梁 一端或两端伸出支座外的 简支梁，并在外伸端有载 荷作用 一端为固定端，另一端为 自由端的梁
在截面积相同的条件下，抗弯截面系数Wz越大， 梁的承载能力就越高。
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
工程中金属梁的成形截面：
工字形
槽形
箱形
空心预制板
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
根据材料的特性选择截面：
（1）塑性材料（如钢）的抗拉强度与抗压强度相同， 故通常采用关于中性轴对称的截面，如工字形、箱形等。 （2）对于抗拉强度小于抗压强度的材料（如铸铁）， 应使中性轴偏于拉应力一侧，即采用如T字形、槽形等截面。
解题步骤
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
【例8－3】简支梁自重为 例 － 】 均布载荷，载荷集度为q，梁 长为l，试作梁的弯矩图。
解题步骤
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
【例8－4】如图所示火车轮轴，已知左右外伸端承受车厢 例 － 】 的载荷F，轮轴上尺寸如图示。试作火车轮轴的弯矩图。
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
三、采用等强度梁
等强度梁——工程中为了减轻自重和节省材料，常常根 等强度梁 据弯矩沿梁轴线的变化情况，将梁制成变截面的形状，使所 有横截面上的最大正应力都大致等于许用应力[σ] 。
摇臂钻床的横臂
飞机机翼
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
汽车的板弹簧
阶台轴
桥梁和厂房中的“鱼腹梁”
§8－1 平面弯曲的力学模型
二、梁的力学模型 1．梁的结构形式 工程中梁的轴 线多为直线。无论截 面形状如何，在计算 简图中的梁，一般均 用与梁轴线重合的一 段直线表示
§8－1 平面弯曲的力学模型
2．梁的支座 梁的支撑情况，要通过分析来确定在载 荷作用平面内支座对梁的约束类型以及相 应的约束反力数目。一般情况下，可将梁 的支承简化为以下三种典型支座之一：
3．平面弯曲的定义
平面弯曲——当作用在梁上的外力或力偶都在梁的纵向 平面弯曲 对称面内，且各力都与梁的轴线垂直，梁弯曲变形后，其轴 线在纵向对称面内由直线变成平面曲线。
§8－1 平面弯曲的力学模型
4．平面弯曲变形的特点
（1）受力特点：外力垂直于杆件的轴线，且 外力和力偶都作用在梁的纵向对称面内。 （2）变形特点：梁的轴线由直线变成在外力 作用面内的一条曲线。 （3）构件特征：具有一个以上对称面的等截 面直梁。
解题步骤
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
3．绘制弯矩图的规律
（1）在无载荷作用的梁段上，弯矩图为斜直线。 （2）在均布载荷作用的梁段上，弯矩图为抛物 线。载荷指向向下，抛物线上凸，反之下凹。 （3）在集中力作用处，弯矩图出现折角。 （4）在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变 值等于集中力偶矩。
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
【例8－1】机床手柄AB 例 － 】 用螺纹连接于转盘上，其长 度为L，自由端受力F作用， 求手柄中点D的弯矩，并求 最大弯矩。
解题步骤
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
【例8－2】试绘制图中 例 － 】 简支梁在集中力偶作用下 的弯矩图。
(1)由静力学平衡方程计算梁的支座约束反力。 (2)用截面法求内力 1)截开 在相邻的外力作用点之间取截面，将梁切成 左右两部分，取其中一部分为研究对象，画其受力图。 2)代替 用截面上的内力来代替去除部分对研究对象的 作用，对于截面上未知的弯矩一般假设为正。 3)平衡 通过建立弯矩方程计算各控制点（集中力或集 中力偶作用处）的弯矩值。计算结果为正值，说明弯矩的 实际方向与假设方向一致，反之为弯矩为负弯矩。 (3)画弯矩图 取横坐标平行于梁的轴线，表示梁的截面位置；纵坐标 Mw表示各截面的弯矩，将各控制点画在坐标平面上，连接 各点得到弯矩图。
§8－4 梁的抗弯强度条件及其应用
梁的抗弯强度条件：
σ max ≤[σ ]
危险截面——产生最大正应力的截面。 危险截面 危险点——最大正应力所在的点。 危险点
σ max
M w max = ≤[σ ] Wz
§8－4 梁的抗弯强度条件及其应用
强度条件可解决梁的三类问题：
σ max
M w max = ≤[σ ] Wz
纯弯曲
§8－3 弯曲正应力
2．中性轴与中性层
§8－3 弯曲正应力
二、正应力的分布规律
横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴 的距离成正比：
σ
y
=
σ max
y max
在中性轴处纤维长度不变，此处 不受力，正应力为零。 离中性轴最最大正应力计算公式
任意点正应力：
第八章 直梁弯曲
§8－1 平面弯曲的力学模型 §8－2 弯曲内力——剪力和弯矩 §8－3 弯曲正应力 §8－4 梁的抗弯强度条件及其应用 §8－5 提高梁抗弯强度的主要措施 *知识拓展
第八章 直梁弯曲
了解平面弯曲的受力与变形特点。 熟练掌握直梁弯曲时计算内力的方法，并 能正确确定其正负号。 掌握纯弯曲时直梁横截面上正应力的分布 规律，以及最大正应力计算公式的应用。 掌握弯曲正应力的强度条件及其应用。 了解提高直梁抗弯强度的主要措施。
另外，应该指出采用加套管来增大转矩的方法，仅是权宜之计。 正确的方法是在接头处加煤油，如再卸不下来，则应切断。
§8－3 弯曲正应力
一、纯弯曲变形 二、正应力的分布规律 三、最大正应力计算公式
§8－3 弯曲正应力
一、纯弯曲变形
1．纯弯曲 纯弯曲——横截面上弯矩为常数且无剪力的弯 纯弯曲 曲问题。
AB段为纯弯曲
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
由于钳牙是用优质材料制造并经热处理，所以，通常情况下钳牙 是不容易损坏的。管钳工作时，在钳柄端部作用力F，钳柄产生弯曲 变形，其弯矩图如图b所示。由弯矩图可知，钳柄根部A-A截面处弯 矩值最大，该处最容易发生弯曲损坏。而钳柄的材料多为45钢，一般 情况下也不容易产生柄部弯曲：但若钳柄部分加上管套，长度超过的 三倍时，则A-A截面处的弯矩也将超过原来的三倍，这时钳柄根部的 应力也将超过原来的三倍，这时就有可能因施力过猛而导致A-A截面 处出现弯曲损坏。
3
bh Iz = 12 b3 h Iy = 12 bh3 − b1h13 Iz = 12 b3h − b13h1 Iy = 12
W W
z
y
bh2 = 6 b 2h = 6
bh3 − b1h13 Wz = 6h b3 h − b13 h1 Wy = 6b
§8－3 弯曲正应力
截面图形 惯性矩 抗弯截面系数
外伸 梁
悬臂 梁
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
一、剪力和弯矩 二、内力的正负规定 三、弯矩图
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
一、剪力和弯矩
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
二、内力的正负规定 1．剪力的正负规定 剪力——使微段梁两横截面间发生左上 右下错动（或使微段梁发生顺时针转动）的 剪力为正，反之为负。
铣刀及其根部的受力如图所 示，铣刀切削时受工件给它的径 向力F的作用，相应的铣刀根部 截面上的内力有剪力FQ及弯矩 MW，因铣刀根部面积很小，其 抗弯截面系数WZ的值也很小， 由公式可知，铣刀根部截面上的 正应力较大，因此切削速度不宜 过大，稍不留心，铣刀就会折断。
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
弯矩方程——表示梁横截面上所受的弯矩随着梁轴线 弯矩方程 的变化规律，取梁轴线为X轴，以坐标x表示横截面的位置， 则弯矩可表示为x的函数：
Mw = Mw（x）
弯矩图——以纵坐标表示相应截面的弯矩，可将梁上 弯矩图 各截面的弯矩用图表示。
§8－2 弯曲内力 － 弯曲内力——剪力和弯矩 剪力和弯矩
2．作弯矩图的步骤
1．校核强度
2．选择截面尺寸
Wz≥M w max / [σ ]
3．确定许可载荷
§8－4 梁的抗弯强度条件及其应用