材料力学梁的弯曲问题
梁弯曲正应力实验中遇到的问题和解决方法

梁弯曲正应力实验中遇到的问题和解决方法
梁弯曲正应力实验是一种常见的力学实验,用于研究材料在受弯曲负载时的应力分布情况。
在进行这种实验时,有可能会遇到一些问题,下面是一些常见问题及其解决方法:
1. 梁的变形较大:当梁弯曲变形较大时,可能会导致实验结果不准确。
这可能是由于使用的材料强度不够或梁的截面形状不合适所引起的。
解决方法可以是使用更强度更高的材料或调整梁的截面形状以增加刚度。
2. 不均匀的载荷分布:在实验中,均匀的载荷分布对于获得准确的应力分布至关重要。
然而,由于实际操作中的误差或载荷施加不均匀,可能会导致载荷分布不均。
为了解决这个问题,可以使用适当的装置来均匀施加载荷,例如调整载荷点的位置或使用辅助支撑装置。
3. 测量误差:在实验测量过程中,可能会存在测量误差,例如测量长度或载荷的误差。
为了减小测量误差,可以使用更精确的测量仪器,例如数字测量仪或压力传感器,并进行多次重复测量以取得平均值。
4. 材料非线性行为:某些材料在受到较大应力时可能会出现非线性行为,例如弹性极限的超越或塑性变形。
这可能会影响到实验结果的准确性。
在这种情况下,可以选择更适合材料特性的实验方法,或者
进行更详细的材料力学性质测试。
5. 温度变化:温度的变化可能会导致材料的线膨胀或收缩,从而影响实验结果。
为了解决这个问题,可以进行温度补偿,即在实验过程中测量和控制温度变化,并根据材料的热膨胀系数进行修正。
总之,梁弯曲正应力实验是一种常见且有用的实验,但在实验过程中可能会遇到各种问题。
通过合适的措施和方法,可以克服这些问题,并获得准确可靠的实验结果。
材料力学第七章课后题答案 弯曲变形

(a) (b)
7
该梁的位移边界条件为:
在x 0处, w0 dw 在x 0处, 0 dx 将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a),得 D 0,C 0 4.建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b),得挠曲轴的通用方程为
1 Fa 2 F 3 3Fa [ x x xa EI 4 6 4 由此得 AC 段、 CD 段和 DB 段的挠曲轴方程依次为 w
5.计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1或w2 的表达式中,得截面 C 的挠度为
41qa 4 ( ) 240EI 将以上所得 C 值和 x 2a 代入式(a),得截面 B 的转角为 wC θB qa 3 7 4 16 1 187 203qa 3 [ ] EI 24 24 24 720 720 EI ()
(4)
D1 0 , C1
由条件(4) 、式(a)与(c) ,得
qa 3 12 EI
C2
由条件(3) 、式(b)与(d) ,得
qa 3 3EI
D2
7qa 4 24 EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式(c)与(d) ,得 CB 段的转角与挠度方程分别为
q 3 qa 3 x2 6 EI 3EI 3 q qa 7 qa 4 4 w2 x2 x2 24 EI 3EI 24 EI 将 x2=0 代入上述二式,即得截面 C 的转角与挠度分别为
5.计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1 或 w2 的表达式中,得截面 C 的挠度为
Fa 3 ( ) 12 EI 将以上所得 C 值和 x 3a 代入式(a),得截面 B 的转角为 wC
工程力学---材料力学第七章-梁弯曲时位移计算与刚度设计经典例题及详解

P
B C
l 2 l 2
A
x
P 解:AC段:M ( x ) x 2 y P EIy x 2 A P 2 EIy x C x 4 l 2 P 3 EIy x Cx D 12
P
B C
l 2
x
由边界条件: x 0时,y 0
l 由对称条件: x 时,y 0 2
梁的转角方程和挠曲线方程分别为:
最大转角和最大挠度分别为:
11qa max A 1 x1 0 6 EI 19qa 4 ymax y2 x2 2 a 8EI
3
例5:图示变截面梁悬臂梁,试用积分法
求A端的挠度 P
I
2I
l
fA 解: AC段 0 x l
B
P 3 2 EIy x C2 x D2 6
由边界条件: x l时,y=0, =0
得:
C2
1 1 Pl 2 , D2 Pl 3 2 3
l x 时,yC左 =yC右 , C左 = C右 由连续条件: 2
5 3 2 C1 Pl , D1 Pl 3 16 16
由连续条件: x1 x2 a时, y1 y2 , y1 y2
由边界条件: x1 0时, y1 0
0 x 2 a 时 , y 由对称条件: 2 2
得 D1 0
C1 C2 得 D1 D2
11 3 得 C2 qa 6
qa 1 (11a 2 3 x12 ) 0 x1 a 6 EI q 2 [3ax2 2 ( x2 a)3 11a 3 a x2 2a 6 EI qa y1 (11a 2 x1 x13 ) 0 x1 a 6 EI q y2 [4ax23 ( x2 a) 4 44a 3 x2 ] a x2 2a 24 EI
材料力学 梁 弯曲位移

D点的连续条件: x = a, 1' 2 ' 1 2
1 ( 0 x a)
2 (axl )
挠曲线方程
EI
1"
M1
F
b l
x
EI
2"
M
2
F
b l
x
F
(
x
a)
转角方程
EI
'
1
F b l
x2 2
C1
EI
2'
F
b l
x2 2
F
(
xa)2 2
D1
挠度方程
EI
1
F
b l
x3 6
C1 x
C2
EI
2
F
b l
式中:积分常数 C1 、C2 可通过梁挠曲线的 边界条件 和 变形 连续性条件 来确定。
1、边界条件
A
l A= 0
B
B= 0
A
A= 0
B
B= 0
在简支梁或外伸梁中, 铰支座处的挠度 都应等于零。
A 0 B 0
A
B
l A= 0 A= 0
在悬臂梁 中,固定端处的挠度 和转角 都应等于零。
A 0, A 0
F
(
xa)2 2
D1
挠度方程
EI
1
F
b l
x3 6
C1 x
C2
EI
2
F
b l
x3 6
F
(x 6
a)3
D1
x
D2
x = 0 , 1 = 0
x = l , 2= 0
再将边界条件代入方程可解得:
《材料力学》课件5-6梁内的弯曲应变能

3
结论
深入研究弯曲应变能对于实际工程设计和结构的完善非常重要。我们相信,在学 习本章内容之后,大家会对弯曲应变能的计算和应用有更深入的认识。
总结
重要性和应用
弯曲应变能是研究物体弯曲 变形和内应力分布的重要机 制,对于工程师和设计师来 说至关重要。
计算方法的优缺点
弯曲应变能的计算方法有许 多种,每种方法都有各自的 优缺点,需要灵活运用。
物理意义பைடு நூலகம்
弯曲应变能是物体弯曲变 形的内在机制,对于研究 物体受力后的变形状态和 内应力分布具有重要的意 义。
梁的弯曲
1
基本概念
梁是一种经常被工程师用来支撑重量的结构。梁的形状和尺寸取决于所需的支撑 和跨度。
2
受力分析
在弯曲的情况下,内力主要包括弯矩和剪力。弯曲应变能的计算需要考虑这两个 因素。
3
应用
巩固与拓展
了解弯曲应变能的相关知识 点是设计和工程领域的基础, 我们需要不断学习和探索。
为了提高计算效率和精度,一 些简化的计算公式也可以用于 计算弯曲应变能。
示例分析
1
实际工程中的应用
弯曲应变能在桥梁、车辆和建筑物的设计和构造中起着重要作用。对于这些特殊 结构的设计,精确计算弯曲应变能是非常必要的。
2
桥梁、车辆和建筑物中的案例分析
我们可以通过一些实例来了解弯曲应变能的具体应用。这些案例可以帮助我们深 入了解弯曲应变能对实际结构的影响。
弯曲应变能可用于预测梁的强度和刚度,有助于提高梁的设计效率和经济性。
梁内弯曲应变能的计算
梁的截面和形状
梁的截面和形状对它的弯曲应 变能有较大的影响。对于不同 的截面形状,弯曲应变能的计 算方法也会有所不同。
《材料力学》第4章弯曲内力 课后答案

0 ; FS−C
= b F, a+b
M
− C
=
ba a+b
F
FS+C
=
−a a+b
F
,
M
+ C
=
ba a+b
F ; FSB
=
−A a+b
F
,MB
=
0
d解
图(d1), ∑ Fy
=
0,F
=
1 2
ql
,
∑
M
A
= 0,M A
=
− 3 ql 2 8
仿题 a 截面法得
FSA
=
1 2
ql
,MA
=
−
3 8
ql
2
;
FS−C
FS (x) = −F
⎜⎛ 0 < x < l ⎟⎞
⎝
2⎠
M (x) = −Fx ⎜⎛0 ≤ x ≤ l ⎟⎞
⎝
2⎠
FS (x) = F
⎜⎛ l < x < l ⎟⎞
⎝2
⎠
45
M (x) =
FA x +
FB
⎜⎛ ⎝
x
−
l 2
⎟⎞ ⎠
,
FB
= 2F
M (x) = Fx − Fl ⎜⎛ l ≤ x ≤ l ⎟⎞
( ) 解
∑MB
=
0 , FA
⋅l
+
ql 2
×
3l 4
− ql 2
=
0
, FA
=
5 ql 8
↑
( ) ∑ Fy
= 0 , FB
材料力学第五章梁弯曲时的位移

实例3 :均布载荷
分析受均布载荷作用下梁的位移。
材料力学第五章梁弯曲时 的位移
在材料力学的第五章中,我们将学习有关梁在弯曲时的位移。掌握梁的基本 知识、位移方程和位移计算方法,以及梁的挠度与转角关系。
梁的基本知识
1 定义
梁是一种长条形结构,承受着沿其长度方向的外部力。
2 类型
常见的梁包括简支梁、悬臂梁和受力梁。
3 材料
梁可以由不同类型的材料制成,例如钢、木材或混凝土。
梁的位移方程
1 弯曲位移
2 挠度
3 转角
梁在弯曲时,沿梁的长度方 向发生位移。
挠度是梁的中点相对于其自 由状态的偏移量。
转角是指梁在弯曲时端部角 度的变化。
简支梁的位移计算方法
1
载荷和反力
计算简支梁上的载荷和反力分布。
2
弯矩方程
使用弯矩方程推导出简支梁的位移方程。
3
边界条件
应用适当的边界条件来解决位移方程中的未知量。
悬臂梁的位移计算方法
加载和支座反力
确定悬臂梁上的加载和支座反力。
弯曲力矩方程
通过推导弯曲力矩方程来解决悬臂 梁的位移问题。
解决边界条件
应用边界条件来计算悬臂梁的位移。
受力梁的位移计算方法
1
截面转动方程
2
推导出受力梁的截面转动方程。
3
确定力的分布
分析受力梁上的力分布,包括集中力和均布 力。
边界条件和位移方程
应用边界条件,求解受力梁的位移方程。ຫໍສະໝຸດ 梁的挠度与转角关系挠度
挠度是梁在弯曲时沿其长度方向上的位移。
转角
转角是梁在弯曲时端部偏离初始位置的角度。
关系公式
挠度和转角之间存在一定的关系,可以通过公式计算。
材料力学B试题6弯曲变形

弯曲变形1。
已知梁的弯曲刚度EI 为常数,今欲使梁的挠曲线在x =l /3处出现一拐点,则比值M e1/M e2为:(A) M e1/M e2=2; (B ) M e1/M e2=3;(C ) M e1/M e2=1/2; (D) M e1/M e2=1/3.答:(C)2。
外伸梁受载荷如致形状有下列(A)(B)、(C ),(D)答:(B)3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示,则弯矩M 、剪力F S 与分布载荷q 之间的关系以及挠曲线近似微分方程为: (A )EI x M xw q xF FxM )(d d ,d d ,d d 22SS ===;(B )EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22S S =-=-=; (C)EI x M xw q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22S S -==-=;(D )EI x M xw q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22S S -=-==。
答:(B )4。
弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图示,自由端的挠度EIl M EI Flw B 232e3+=(↓)则截面C 处挠度为:(A )2e 3322323⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛l EI M l EI F (↓);(B )233223/323⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛l EI Fl l EI F (↓); (C)2e 3322)3/(323⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛l EI Fl M l EI F (↓);(D)2e 3322)3/(323⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛l EI Fl M l EI F (↓).答:(C )5. 画出(a )、(b)、(c )三种梁的挠曲线大致形状。
答:6.7.(a )、(b)刚度关系为下列中的哪一种: (A) (a)>(b ); (B) (a)<(b);(C ) (a)=(b ); (D) 不一定. 答:(C)8。
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M FRA
F2 M2 FQ2
1 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面左 侧(或右侧)所有竖向力(包括斜向外力的竖向分力、 约束反力)的代数和;且截面左边向上(右边向下) 的外力使截面产生正号的剪力。
2 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面左 侧(或右侧)所有竖向力对该截面形心力矩的代数和 (包括外力偶、约束反力偶);且截面左边顺时针 (右边逆时针)的力矩使截面产生正号的弯矩。
●内力的求法
A
FRA
a
Fy 0
M
FRA FQ 0 FQ FRA
FQ
MO 0
M FRA a 0 M FRA a
F1 FQ M
F2
B?
FRA
●内力的正负号
⑴剪力
FQ
FQ
FQ
FQ
左上右下为正 左下右上为负
M
⑵弯矩
M
向上凹变形为正
M
M
向上凸变形为负
例1 图示简支梁受两个集中力作用,已知F1=12kN,
M 2 q1.50.75 FRB 1.5 30kN m
F =8kN 1
q =12kN/m 2
A
1
2 1.5m B
FRA 2m
1.5m
FRB
3m
15.3 内力图──剪力图和弯矩图
为了形象地看到内力的变化规律,通常将剪力、弯 矩沿梁长的变化情况用图形表示出来,这种表示剪力 和弯矩变化规律的图形分别称为剪力图和弯矩图。
FRA 5ql
FRB 4ql
5ql
FQ x 4ql
4ql
5ql x
M x 3ql2 4qlx
4ql2 4qlx
F
Me
A(O)
C 12 D
B
12
FRA l/3 l
l/3 FRB
5ql
FQ图
4ql
M图
5ql2 3
ql2 3
4 ql2 3
结论:
q/2
q/2
A
BA
EI B
C EI l
C l q/2
FQ图
M图
三、画剪力图、弯矩图的简便方法
例7 图示左端外伸梁,外伸端A作用一集中力偶
Me=qa2,BA段所受荷载的分布集度为q,试利用微分 关系作梁的剪力图、弯矩图。
Me
q
A
C
B
a FRA 3a
FRB
解:(1)求支座反力
M 0 A
FRB
4ql
qx 0
二、剪力图、弯矩图的规律
q
=0
FQ
M
直线段
>0
<0
FQ > 0
=0
M
<0
>0
<0
>0 <0
★结论(规律):
(1)当梁的支承情况对称,荷载也对称时,则弯矩 图永为对称图形,剪力图永为反对称图形;
(2)当梁的支承情况对称,荷载反对称时,则弯矩
图永为反对称图形,剪力图永为对称图形。
例2 试利用上述结论写出图示梁1-1截面上的剪力和 弯矩的表达式。
e
c
l
q
1 F1 FQ
d b
M1
Me
f
α
FRB
F2
FQ F1 ql F2 sin FRB
M
F1 e
ql e c
l 2
Me
F2 sin f b FRB f
第十五章 梁的弯曲问题
15.1 工程实际中的弯曲问题
一、平面弯曲的基本概念
梁在垂直于其轴线的荷载作用下要变弯,其轴 线由原来的直线变成曲线,这种变形叫做弯曲变 形。产生弯曲变形的构件称为受弯构件。
F2 M
F1
A
B
●工程实例
建筑工程中的各类梁、火车轴、水压作用下的水 槽壁等。
火车轴
厂房吊车梁
●对称(平面)弯曲 (Planar bending)
先分别计算每种(或每个)荷载单独作用时的梁的反
力和内力,然后将这些分别计算所得的结果代数相加
得梁的反力和内力。这种方法称为叠加法。
线弹性,位移可以叠加
F
F1 O Δ1
F
F
F2 Δ
O Δ2
F1+F2
Δ1
Δ
Δ
O Δ2 Δ
1+2
非线性弹性,位移不可以叠加
F
F1
O
Δ1
F
F2
Δ
O
Δ2
1+2
F
F
●按梁的横截面 ⑴等截面梁:横截面沿梁的长度没有变化; ⑵变截面梁:横截面沿梁的长度有变化。
汽车钢板弹簧
鱼腹梁
15.2 梁的内力及其求法
一、求梁的内力的方法——截面法 ●内力的形式及名称
1 F1
F2
A
1
FRA a
l
FRB
A
FRA
a
M
FQ
Fy 0
MO 0
FQ 剪力 N或kN M 弯矩 N·m或kN·m
具体作法是:
剪力方程: FQ FQ x 函数图形 弯矩方程: M M x
例4 求作图示受均布荷载作用的简支梁的剪力图和
弯矩图。
q
解:(1)求支座反力
A
B
FRA
FRA
FRB
ql 2
x
FRB
l
(2)列出剪力方程和弯矩方程
取距左端为x处的任一截面,此截面的剪力和弯矩
表达式分别为:
FR A 15kN FR B 29kN
(2)求1-1截面的剪力FQ1、弯矩M1 根据1-1截面左侧的外力计算可得:
FQ1 FRA F 15 8 7kN
M1 FRA 2 F 2 1.5 26kN m
根据1-1截面右侧的外力计算可得
FQ1 q3 FRB 7kN
F
F1+F2
Δ O
1
Δ Δ2 Δ
叠加原理成立的前提条件: (1)小变形 (2)材料满足虎克定理(线性本构关系)
当变形为微小时,可采用变 形前尺寸进行计算。
弯曲内力
MB
q
MA
1、叠加原理:当梁在各项
A
荷载作用下某一横截面上
的弯矩等于各荷载单独作
用下同一横截面上的弯矩
的代数和。
2、区段叠加法作弯矩图:
●当梁上荷载有变化时,剪力方程和弯矩方程 不可能用一个统一的函数式来表达,必须分段列出 其表达式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置 及分布荷载的起点和终点为界。
●剪力图和弯矩图一般是连续的 。在集中力作 用处剪力图发生突变,突变的数值等于集中力的大 小,方向与集中力的方向相同;在有集中力偶作用 的地方弯矩图发生突变,突变的数值等于集中力偶 的大小,方向为“顺下逆上”。
qa 2 / 2
2qa 2
q
2qa
C
A
B D
a
2a
a
qa
5qa
FQ
2qa
qa
M 2qa 2
3qa
2qa 2
15.5 叠加法作剪力图和弯矩图
F
q
A
C
D Me B
a b
l
结论:q、F、Me共同作用时产生的内力等于q、F、 Me分别单独作用时产生的内力之和。
因此,当梁上有几种(或几个)荷载作用时,可以
(3)求2-2截面上的内力
0.5m F1 1 F2 2 1m
A FRA 1
2
B FRB
1m
1.5m
3m
F1
A
FRA
F2 M2
FQ2
Fy 0 FQ2 FRA F1 F2 0 FQ2 7kN
FQ2 FRA F1 F2
FQ2 FRB
M 0 O
M x FRA x F x l 3 3ql2 4ql x
FQ x FRA F 4ql
M x FRA x F x l 3 Me 4ql2 4qlx
A(O)
F CD
Me
B
FRA
l/3 l
l/3 FRB
(3)画剪力图、弯矩图,标出特征值
M2 FRA 2 F1 1.5 F2 0.5 0 M2 7kN m
M 2 FRA 2 F1 1.5 F2 0.5
FQ2 FRA F1 F2
FQ
F1
M 2 FRA 2 F1 1.5 F2 0.5
结论:
实际支承→理想支承 ⑶ 以简化后的荷载代替实际的荷载。
三、梁的分类 ●按支座情况 ⑴简支梁:一端固定铰,一端可动铰
⑵外伸梁:一端或两端向外伸出的简支梁
⑶悬臂梁:一端固定支座,另一端自由
●按支座反力的求解方法
⑴静定梁:用平衡方程可求出未知反力的梁;
FAy
FAx A
B
FB
MA
A
FAx
FAz
⑵超静定梁:仅用平衡方程不能求出全部未知反 力的梁。
66
6 12 72
Mmax =121/72qa2
例8 作梁的内力图
P=3kN
M1=2kNm
M2=6kNm
q=1kN/m
A
FRA=5kN
B
FRB=4kN
2m
2m
2m
2m
FQ (kN)
3
2+
2+
2 8
6
6