材料力学-梁的弯曲问题
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材料力学(赵振伟)梁的弯曲变形2
3. 应用叠加原理的若干情况 1 ) 荷载的分解或重组
q m
q
L/2 L/2
L
F
q
q
m L/2 L/2
F
例
q0
EI
A 求图示自由端的挠度。
L2
L2
q0
L
w1
q0
w3
B
w2
L2
L2
w1
q0 L4 8EI
w2
q0 L 24
8EI
q0 L4 128EI
w3
B
L 2
q0 L 23
6EI
L 2
q0 L4 96EI
wA
w1
w2
w3
41q0 L4 384EI
2) 逐段刚化法
依据： 若结构可分为若干部分，且各部分在荷载作用下的 变形不是相互独立的，那么，结构中 A 点的位移是各个部 分在这一荷载作用下的变形在 A 点所引起的位移的叠加。
A EI a
变形刚体
F
F
Fa 2
B
C
a/2
wwww1122
B (F1, F2,, Fn ) B1(F1) B2 (F2 ) Bn(Fn )
yB (F1, F2,, Fn ) yB1(F1) yB2 (F2 ) yBn(Fn )
叠加法的特征： 1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查； 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。
分析和讨论
q
在下列不同的支承方 式中，哪一种刚度最高？
q
q
分析和讨论
q
梁由混凝土材料制成，如果横截面从左图改为右图，能 够改善强度吗？能够改善刚度吗？
梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善强度吗？ 梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善刚度吗？
材料力学第七章课后题答案 弯曲变形
3．确定积分常数
(a) (b)
7
该梁的位移边界条件为：
在x 0处， w0 dw 在x 0处， 0 dx 将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a)，得 D 0，C 0 4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为
1 Fa 2 F 3 3Fa [ x x xa EI 4 6 4 由此得 AC 段、 CD 段和 DB 段的挠曲轴方程依次为 w
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1或w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
41qa 4 ( ) 240EI 将以上所得 C 值和 x 2a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC θB qa 3 7 4 16 1 187 203qa 3 [ ] EI 24 24 24 720 720 EI ()
(4)
D1 0 ， C1
由条件（4） 、式（a）与（c） ，得
qa 3 12 EI
C2
由条件（3） 、式（b）与（d） ，得
qa 3 3EI
D2
7qa 4 24 EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c）与（d） ，得 CB 段的转角与挠度方程分别为
q 3 qa 3 x2 6 EI 3EI 3 q qa 7 qa 4 4 w2 x2 x2 24 EI 3EI 24 EI 将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1 或 w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
Fa 3 ( ) 12 EI 将以上所得 C 值和 x 3a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC
(a) (b)
7
该梁的位移边界条件为：
在x 0处， w0 dw 在x 0处， 0 dx 将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a)，得 D 0，C 0 4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为
1 Fa 2 F 3 3Fa [ x x xa EI 4 6 4 由此得 AC 段、 CD 段和 DB 段的挠曲轴方程依次为 w
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1或w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
41qa 4 ( ) 240EI 将以上所得 C 值和 x 2a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC θB qa 3 7 4 16 1 187 203qa 3 [ ] EI 24 24 24 720 720 EI ()
(4)
D1 0 ， C1
由条件（4） 、式（a）与（c） ，得
qa 3 12 EI
C2
由条件（3） 、式（b）与（d） ，得
qa 3 3EI
D2
7qa 4 24 EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c）与（d） ，得 CB 段的转角与挠度方程分别为
q 3 qa 3 x2 6 EI 3EI 3 q qa 7 qa 4 4 w2 x2 x2 24 EI 3EI 24 EI 将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1 或 w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
Fa 3 ( ) 12 EI 将以上所得 C 值和 x 3a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC
工程力学---材料力学第七章-梁弯曲时位移计算与刚度设计经典例题及详解
P
B C
l 2 l 2
A
x
P 解：AC段：M ( x ) x 2 y P EIy x 2 A P 2 EIy x C x 4 l 2 P 3 EIy x Cx D 12
P
B C
l 2
x
由边界条件： x 0时，y 0
l 由对称条件： x 时，y 0 2
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
最大转角和最大挠度分别为：
11qa max A 1 x1 0 6 EI 19qa 4 ymax y2 x2 2 a 8EI
3
例5：图示变截面梁悬臂梁，试用积分法
求A端的挠度 P
I
2I
l
fA 解： AC段 0 x l
B
P 3 2 EIy x C2 x D2 6
由边界条件： x l时,y=0, =0
得：
C2
1 1 Pl 2 , D2 Pl 3 2 3
l x 时,yC左 =yC右 , C左 = C右 由连续条件： 2
5 3 2 C1 Pl , D1 Pl 3 16 16
由连续条件： x1 x2 a时, y1 y2 , y1 y2
由边界条件： x1 0时, y1 0
0 x 2 a 时 , y 由对称条件： 2 2
得 D1 0
C1 C2 得 D1 D2
11 3 得 C2 qa 6
qa 1 (11a 2 3 x12 ) 0 x1 a 6 EI q 2 [3ax2 2 ( x2 a)3 11a 3 a x2 2a 6 EI qa y1 (11a 2 x1 x13 ) 0 x1 a 6 EI q y2 [4ax23 ( x2 a) 4 44a 3 x2 ] a x2 2a 24 EI
材料力学——4梁的弯曲内力
21
例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用， 试作此梁的剪力图和弯矩图 解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ ( x) F
(0＜x＜l ) (0≤x＜l)
M ( x) Fx
2.作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知：
FQ M
max max
F Fl
22
例题 2简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力 由对称关系，可得： 1 FAy FBy ql 2 2.列剪力方程和弯矩方程
Q2 Q1– Q2=P
x
x
梁的内力计算的两个规律：
（1）梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截 面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方 向投影的代数和。即：
FQ
F
yi
若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针 方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取 负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”， 或“左上，右下剪力为正”。相反为负。
12
二、例题
[例1]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 q 2 解：截面法求内力。 qL 1 1--1截面处截取的分离体 1 a y qL A M1 x1 Q1 图（b） 2 b 如图（b）示。
x
图（a）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA( Fi ) qLx1 M1 0 M1 qLx1
作梁的剪力图 FQB右=4kN/m×2m=8kN，FQD=0
34
35
27
3. 弯矩图与剪力图的关系
(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面 上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二 次抛物线。当FQ图为平行于x轴的直线时，M图 为斜直线。
材料力学 典型案例
材料力学典型案例材料力学典型案例：1. 悬臂梁的弯曲问题悬臂梁是一种常见的结构，经常用于桥梁、楼梯和支撑物等。
在悬臂梁的弯曲问题中，常常需要计算梁的挠度和应力分布。
通过应用材料力学的理论和公式，可以准确计算出悬臂梁在外力作用下的弯曲情况，并确定梁的安全性。
2. 拉伸试验中的应力应变关系拉伸试验是材料力学中常用的实验方法之一，用于确定材料的力学性质。
在拉伸试验中，通过施加不断增加的拉伸力，测量材料的应变和应力，得到应力应变关系曲线。
该曲线可以描述材料在拉伸过程中的变形和破坏行为。
3. 管道的弯曲问题管道的弯曲问题是材料力学中的一个重要问题。
在工程实践中，经常需要对管道进行弯曲设计和分析。
通过应用材料力学的理论和方法，可以计算出管道在外力作用下的应力和变形情况，从而确定管道的强度和稳定性。
4. 钢筋混凝土梁的受弯问题钢筋混凝土梁是建筑结构中常用的承载构件之一。
在设计和施工过程中，需要对钢筋混凝土梁的受弯性能进行分析和计算。
通过应用材料力学的理论和公式，可以确定钢筋混凝土梁在受弯作用下的应力和变形情况，并评估梁的承载能力和安全性。
5. 地基沉降引起的结构变形问题地基沉降是建筑结构中常见的问题之一，它会导致结构的变形和破坏。
通过应用材料力学的理论和方法，可以计算出地基沉降引起的结构变形和应力分布，从而评估结构的稳定性和安全性，并提出相应的加固措施。
6. 薄壁容器的承载问题薄壁容器是化工和食品等行业常用的储存和运输设备。
在设计和使用过程中，需要对薄壁容器的承载能力进行评估。
通过应用材料力学的理论和公式，可以计算出薄壁容器在内外压力作用下的应力和变形情况，从而确定容器的安全性和可靠性。
7. 斜拉桥的稳定性问题斜拉桥是一种特殊的桥梁结构，具有较大的跨度和较轻的自重。
在斜拉桥的设计和施工过程中，需要对桥梁的稳定性进行分析和计算。
通过应用材料力学的理论和方法，可以确定斜拉桥在外力作用下的应力和变形情况，从而评估桥梁的稳定性和安全性。
《材料力学》弯曲计算-习题
②无均布载荷段弯矩图均为直线。有均布载荷段，弯矩图为
抛物线，其开口与均布载荷方向相同。
(3)弯矩、剪力、载荷集度的关系
①
M '(x) F S (x) F S'(x) q(x)
② FS=0的点是M图的取极值的点，FS=0的段M图是平行
于轴线的直线。
注意: 内力图上要注明控制面值、特殊点纵坐标值。
利用微分关系绘内力图
y
B截面 30.3 +
z
C截面 15.1 z
-
+
69
34.5
(d) 单位:MPa
Engineering Mechanics
四、弯曲 弯曲强度计算
例3 之二
解：（1）求截面形心轴，即中性轴z轴。
yC
( yi Ai ) Ai
170 30 170 30 200 (170 30)
2
2
17030 30 200
解：（1）外力分析，判变形。
10kN
50kN
(a) A
CD
B
z
4m
2m
4m
求得支坐反力
FA 26kN ,FB 34kN
荷载与梁轴垂直，梁将发
26kN 26 16
34kN
生平面弯曲。中性轴z过形心
+ (b)
与载荷垂直，沿水平方向。
FQ(kN)
104 136
34
（2）内力分析，判危险面。剪力
+
(c)
⑤解题步骤：
1）外力分析，判变形、中性轴，求截面的几何性质、支反力。 2）内力分析，判危险面，画剪力图、弯矩图（可只画弯矩图）
3）应力分析，判危险点。 4）强度计算。
工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解
得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI
弯曲-理论力学,经典
②精确适用于纯弯曲梁；
③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比l/h>5)，
上述公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面
上的弯矩，即为截面位置的函数。
M ( x) y 1 M ( x) , Iz ( x) EI z
26 材料力学多媒体_孙艳 例题
b III、三种典型截面对中性轴的惯性矩 1.矩形截面 h
2qa 2qa FS图
2qa2
M图
6qa2
15 材料力学多媒体_孙艳 例题
Ⅱ、平面曲杆 面内受力时的内力——轴力、剪力、弯矩 弯矩的符号约定——使杆的曲率增加（即外侧受拉） 为正 作平面曲杆内力图的约定与刚架相同。 F m B m
A
材料力学多媒体_孙艳
R
O
16 例题
例 一端固定的四分之一圆环，半径为R，在自由端 B受轴线平面内的集中荷载F作用如图，试作出其内 力图。 F h F m FS( B m FN( z M R ( A O O 解：取分离体如图写出其任意横截面m-m上的内力 方程： FN F sin 0 π/2
E
E
A
ydA E I yz 0
E
Sz 0
中性轴z通过截面形心
(2) M y
A
zydA
(3) M z y dA
A
E
A
y dA
2
E
Iz M
M EI z
24
1
材料力学多媒体_孙艳
例题
4.纯弯曲梁横截面上的应力(弯曲正应力)：
My ①距中性层y处的应力： Iz ②梁的上下边缘处，弯曲正应力取得最大值，分别 为：
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线弹性，位移可以叠加
F F F
F1+F2
F2 F1 O Δ 1 Δ O Δ Δ2 O Δ2 Δ Δ1 Δ
1+2
非线性弹性，位移不可以叠加
F F F
F2 F1 O Δ1 Δ
F1+F2
1
Δ Δ2 O Δ2 Δ Δ
O
1+2
叠加原理成立的前提条件：
（1）小变形 （2）材料满足虎克定理（线性本构关系）
FRA
FRA FRB
ql 2
x l
FRB
(2)列出剪力方程和弯矩方程 取距左端为x处的任一截面，此截面的剪力和弯矩 表达式分别为: l FQ x FRA qx q x
2
x q M x FRA x qx x l x 2 2
FQ图 M图
a F l
a F 1 a l
5 集中力偶Me作用处
FRA
Me
x
b
FRA
Me l
Me l
l
FQ图
FRB
FRB
Me l
M图
bMe
bM e
l
Me
l
结论:在有集中力偶作用的地方弯矩图发生突 变(剪力不变)，突变的数值等于集中力偶的大小，
方向为“顺下逆上”。
2
q=12kN/m
1.5m
2
B
FRA
3m
FRB
(3) 求2-2截面的剪力FQ2、弯矩M2 根据2-2截面右侧的外力计算可得：
FQ2 q 1.5 FRB 11kN
M 2 q 1.5 0.75 FRB 1.5 30kN m
F =8kN A 1 2 1.5m B q=12kN/m 1 2
5qa
a
FQ
a
2qa
D
qa
M 2qa 2
3qa
2qa 2
15.5 叠加法作剪力图和弯矩图
F q
A a
C b
l
D
Me
B
结论：q、F、Me共同作用时产生的内力等于q、F、 Me分别单独作用时产生的内力之和。
因此，当梁上有几种（或几个）荷载作用时，可以 先分别计算每种（或每个）荷载单独作用时的梁的反 力和内力，然后将这些分别计算所得的结果代数相加 得梁的反力和内力。这种方法称为叠加法。
例9 试判断图示各题的FQ、M图是否正确，如 有错请指出并加以改正。
例1 图示简支梁受两个集中力作用，已知F1=12kN， F2=10kN，试计算指定截面1-1、2-2的内力。
0.5m F1 1
F2
2
1m
A FRA 1m
1 2
B FRB
1.5m 3m
解：(1) 求支座反力
M B 0 F1 2.5 F2 1.5 FRA 3 0
Fy 0
q/2 C
l
A
EI
B
A
q/2
EI
B
C l
q/2
F Q图 M图
三、画剪力图、弯矩图的简便方法 例7 图示左端外伸梁，外伸端A作用一集中力偶 Me=qa2，BA段所受荷载的分布集度为q，试利用微分 关系作梁的剪力图、弯矩图。
Me C A B a FRA
3a
q
FRB
解：(1)求支座反力
M
A
0 FRB
FRA 5ql FRB 4ql
A (O) FRA
C l/3
F
D
Me
B l/3
FRB
l
(2)分三段AC、CD、DB列出剪力方程和弯矩方程 AC段
FQ x FRA 5ql M x FRA x 5ql x
CD段
FQ x FRA F 4ql
q x 0
dFQ x dx
q x
二、剪力图、弯矩图的规律 q
FQ M FQ
>0 =0 >0 <0
直线段
=0 <0 >0 <0 >0 <0
M
★结论（规律）：
(1)当梁的支承情况对称，荷载也对称时，则弯矩 图永为对称图形，剪力图永为反对称图形；
(2)当梁的支承情况对称，荷载反对称时，则弯矩 图永为反对称图形，剪力图永为对称图形。
B l/3
FRB
l
(3)画剪力图、弯矩图，标出特征值
FRA 5ql
FRB 4ql
5ql FQ x 4ql 4ql
5ql x 2 M x 3ql 4qlx 4ql 2 4qlx
A (O )
FRA
C
1 1
F
2 2
Me
D l/3 l
B
FRB
l/3
5ql
FQ图
4 ql
M图
4 ql 2 3
5ql 2 3
ql 2 3
结论：
●当梁上荷载有变化时，剪力方程和弯矩方程 不可能用一个统一的函数式来表达，必须分段列出 其表达式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置 及分布荷载的起点和终点为界。 ●剪力图和弯矩图一般是连续的 。在集中力作 用处剪力图发生突变，突变的数值等于集中力的大 小，方向与集中力的方向相同；在有集中力偶作用 的地方弯矩图发生突变，突变的数值等于集中力偶 的大小，方向为“顺下逆上”。
Fl
M
-
结论:剪力图为一水平直线，弯矩图为斜率 的绝对值等于FS一斜直线 （＼）。
3 FQ x C 0
A l
-
B F F
FQ
M Fl
结论:剪力图为一水平直线，弯矩图为斜率的绝对值 等于FS一斜直线 （／）。
+
2 q(x)>0
A
q
B
l
ql/2
FQ图
ql/ 2
M图
结论:剪力图为斜率等于q的 一斜直线（／） ，弯矩图 为抛物线（开口向下）。
M 1 FRA 2 F 2 1.5 26kN m
根据1-1截面右侧的外力计算可得
FQ1 q 3 FRB 7kN
可见计算结果完全相同。
A
F=8kN
M 1 q 3 2.5 FRB 4 26kN m
1 1
2m 1.5m
例8 作梁的内力图
P=3kN M2=6kNm M1=2kNm q=1kN/m
A
FRA=5kN
B
FRB=4kN
2m
2
2m
2m
2
2m
FQ (kN) 3
6
+
6 4
+
2 8
6
M(kNm)
q
qa
q
qa qa
a
FQ
a
a 2qa qa
qa
M
qa / 2
2
qa / 2
2
2qa 2
q
2qa
C
A
B 2a
qa
FRB
FQ F1 ql F2 sin FRB
l M F1 e ql e c M e F2 sin f b FRB f 2
例3 求图示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F =8kN A 1 2 1.5m q=12kN/m
1
2 B
FRA
2m 1.5m
3m
FRB
解：(1)求支座反力
M M
B
0
FR A 6 8 4.5 12 3 1.5
FR B 6 8 1.5 12 3 4.5
FR A 15kN
FR B 29kN
A
0
(2)求1-1截面的剪力FQ1、弯矩M1 根据1-1截面左侧的外力计算可得： FQ1 FRA F 15 8 7kN
弯曲内力
MB A
q
MA B B
l
+
MB
MA
+
M0
+
MB M0
M x M x M x
0
MA1 q(x)=0 Q x CA l FQ M
+
1 FQ x 0
B
Me
结论:弯矩图为一水平直线 。
2 FQ x C 0
A l
F B
F FQ
M 2 FRA 2 F1 1.5 F2 0.5
FQ2 FRA F1 F2
FQ M FRA
F1
F2 FQ2
M2
结论：
M 2 FRA 2 F1 1.5 F2 0.5
1 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面左 侧（或右侧）所有竖向力（包括斜向外力的竖向分力、 约束反力）的代数和；且截面左边向上（右边向下） 的外力使截面产生正号的剪力。
15.4 弯矩、剪力、荷载集度之间的关系
一、弯矩、剪力、荷载集度之间的关系
C l/3 l
dM x FQ x dx
F
Me
A (O )
D l/3
B
5ql x 2 M x 3ql 4qlx 4ql 2 4qlx
5ql FQ x 4ql 4ql
2 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面左 侧（或右侧）所有竖向力对该截面形心力矩的代数和 （包括外力偶、约束反力偶）；且截面左边顺时针 （右边逆时针）的力矩使截面产生正号的弯矩。
例2 试利用上述结论写出图示梁1-1截面上的剪力和 弯矩的表达式。
e 1 F1 c l q