梁的平面弯曲及微分方程公式
平面弯曲
y a
变形几何关系： 变形几何关系： 取微段梁dx 取微段梁 1
b
2
a'
1
b'
2
dx
HOHAI UNIVERSITY
ab的线应变： ab的线应变： 的线应变
dθ
a′b′ − ab ε= ab
(ρ + y)dθ − ρdθ = ρdθ y = ——应变分布 ——应变分布
y
(ρ + y)dθ − dx = dx
q=20kN/m
q=20kN/m A 4m B 2m C
220 60 180
A
z 280
D
4m
B
2m
C
c
60 y
FQ(kN) 30 +
-
40 + 50 40
x
解：1.作FQ、M图 1.作 图 B、D截面为危险截面 、 截面为危险截面 MB=-40kN·m MD=22.5kN·m
1.5m
-
x
+ 22.5 M(kN·m)
220 60
c yC=180
60
z
280 D截面 截面
y
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§4-3 梁横截面上的切应力
切应力与横截面的形状有关 一、矩形截面梁 两个假设 1.切应力与横截面的侧边平行， 1.切应力与横截面的侧边平行， 切应力与横截面的侧边平行 与剪力方向一致； 与剪力方向一致； 2.切应力沿截面宽度均匀分布。 2.切应力沿截面宽度均匀分布。 切应力沿截面宽度均匀分布
解： 1. 求最大弯矩 max 求最大弯矩M
Mmax
1 1 = Fl = × 20kN×6m = 30kN⋅ m 4 4
梁的变形,挠曲线微分方程及其积分
1
w1
Fb 6lEI
l2 b2 3x2
w1
Fbx 6lEI
l2 b2 x2
CB段 (a x l)
2
w2
Fb 6lEI
(l 2
b2
3x2 )
3l b
x
a
2
w2
Fb 6lEI
(l 2
b2
x2)x
l b
x
a
3
2.求最大挠度和最大转角
将 x = 0 和 x = l 分别代入转 角方程左右两支座处截面的 转角
46
EIw ql x3 q x4 Cx D — (2) 12 24
边界条件为
x 0, wA 0 x l, wB 0
max
A
B
ql 3 24EI
wmax
w x l 2
5ql 4 384EI
例 如图示的简支梁，抗弯刚度为EI，集中载荷F,求 w(x)、θ(x)及wmax、θmax。
对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的 梁段上的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的 弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程。只增加了 （x-a）的项。
对（x-a）的项作积分时，应该将（x-a）项作为 积分变量，从而简化了确定积分常数的工作。
梁中点处的挠度为
w x l 2
Fbl 2 16EI
0.0625 Fbl 2 EI
结论: 在简支梁中, 不论它受什么荷载作用, 只要挠曲 线上无拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度 值来代替, 其精确度是能满足工程要求的.
EI 抗弯刚度---表征梁抵抗弯曲变形的能力。
用积分法计算梁变形时应遵循的两个规则
解：1.求挠曲线方程和转 角方程
梁的弯曲(工程力学课件)
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
3-3截面
M 3 q 2a a 2qa 2
4-4截面
qa 2
5qa 2
2
M 4 FB 2a M C
3qa
2
2
5-5截面
qa 2
M 5 FB 2a
2
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
由以上计算结果可以看出：
（1）集中力作用处的两侧临近截面的弯矩相同，剪力不同，说明剪力在
后逐段画出梁的剪力图和弯矩图。
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例8 悬臂梁AB只在自由端受集中力F作用，如图（a）所示，
试作梁的剪力图和弯矩图。
解：
1-1截面： Q1＝-F M1＝0
2-2截面： Q1＝-F M1＝－Fl
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例9 简支梁AB在C点处受集中力F作用，如图（a）所示，作此梁的剪力
（2）建立剪力方程和弯矩方程；
（3）应用函数作图法画出剪力Q（x），弯矩M（x）的图线，即为剪力
图和弯矩图
03 弯矩图和剪力图
例9.3 悬臂梁AB在自由端B处受集中载荷F作用，如图（a）所示，试作
其剪力图和弯矩图。
解 ：（1）建立剪力方程和弯矩方程
() = ( < < )
() = −( − ) ( ≤ ≤ )
方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力
（2）建立剪力方程和弯矩方程
03 弯矩图和剪力图
（3）绘制剪力图、弯矩图
计算下列5个截面的弯矩值：
03 弯矩图和剪力图
二、用简便方法画剪力图、弯矩图 (从梁的左端做起)
1.无载荷作用的梁段上 剪力图为水平线。 弯矩图为斜直线（两点式画图）。
梁的变形
qx 3 l 2lx2 x 3 挠曲线方程 w 24 EI
根据对称性可知，两支座处的转角qA及qB的绝对值相
等，且均为最大值，故
q max
ql 3 q A qB 24 EI
最大挠度在跨中，其值为
2 3 4 3 ql 2 l l 5ql wm ax w | x l 2 l 2l 24 EI 2 2 384 EI
梁的挠曲线：弯曲变形后梁的轴线
挠曲线是一条平坦而光滑的曲线。 挠曲线方程： w w x 转角方程：
q q x
由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持正交，故横
截面的转角q 也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间
的夹角，从而有转角方程：
q tan q w w x
在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；
顺时针转向的转角q为正，逆时针转向的转角q为负。
梁弯曲时的位移即挠度和转角，这两个量不但与梁的弯曲
变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件有关。
例如图示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同，所受的外力
偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就是挠曲线的曲率大
可见该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。于是有
q max
wmax
Fl 2 Fl 2 Fl 2 q | x l EI 2 EI 2 EI Fl 3 Fl 3 Fl 3 w | x l 2 EI 6 EI 3EI
由此题可见，当以x为自变量对挠曲线近似微分方程
的梁其跨长l 往往大于横截面高度h的10倍，此时剪力对梁的 变形的影响很小，可略去不计，而有
振动力学(梁的横向振动)
l l
sinh l cos l
C1
ch
x
C
sin
x
sh
x
sin l sh l ch l cos l
(cos
x
ch
x)
【例3】求左端固定、右端用刚度为k的弹簧支承的 均匀梁弯曲振动的频率方程。
解：左端的边界条件为挠度和转角为0
Φ(0) 0,Φ(0) 0
解：左端的边界条件为挠度和转角为0
Φ(0) 0,Φ(0) 0
取微段梁dx，截 面上的弯矩与剪力为 M和Q，其正负号的 规定和材料力学一样。
则微段梁dx沿z方向的运动方程为：
Q
Q
Q x
dx
fdx
Adx
2u t 2
即
Q x
A
2u t 2
f
利用材料力学中的关系
Q M x
M EI 2u x2
得到梁的弯曲振动方程
2 x2
EI
2u
x2
A
2u t 2
EI (C1 3 cos l C2 3 sin l C3 3 ch l C4 3 sh l)
右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力
Φ(l) 0
Q dM EIq d 3Φ
dx
dx3
qkΦ(l)
xl
Φ(l) 0
Q
dM dx
EIq
d 3Φ dx3
qkΦ(l)
xl
代入特征方程的解
Φ(x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
以及
Φ(x) C1 cos x C2 sin x C4 sh x C3 ch x
EI ,
A
C sin
建筑力学13-梁的变形
再积分一次，可以得到挠曲线方程
y 1 EI z [ ( M ( x ) dx ) dx Cx D )
【例 10.1】简支梁受均布荷载q作用，如图10.3所示，EI为常数。 试求此梁的转角和挠曲线方程，以及此梁的最大挠度ymax(通常用 符号f表示)和两端截面的转角θA和θB。 【解】(1) 列出挠曲线的近似微分方程 RA=RB= ql/2 M(x)= qlx/2 - qx2/2 EId2y/dx2 =-M(x)=- qlx/2 +qx2/2 (2) 积分 将上式连续积分两次，可以得到 EI dy/dx =EIθ=- qlx2/4 + qx3/6 +C EIy=- qlx3/12 + qx4/24 +Cx+D
(3) 确定积分常数 为了确定积分出现的四个积分常数，除了要利用边界条件外， 还要利用相邻两段梁在交接外变形的连续条件。 边界条件： x1=0，y1=0 x2=l，y2=0 连续条件： x1=x2=a，θ1=θ2y1=y2 将以上条件代入式(a)、(b)、(c)、(d)，联立求解，可得积分 常数 D1=D2=0C1=C2= Pb/6l (l2-b2)
【例11.5】一简支梁由18号工字钢制成，受均布荷载q的作用，如 图10.7所示。已知材料的E=210GPa，［σ］=150MPa，［f/l］ =1/400。试校核梁的强度和刚度。 【解】(1) 由型钢表查得18号工字钢 Wz=185cm3=185×103mm3 Iz=1660cm4=1660×104mm4 (2) 强度校核 Mmax= ql2/8 = 24×32/8kN· m=27kN· m σmax= Mmax/Wz = 27×106/185×103MPa=146MPa<［σ］
平面弯曲梁
第九章平面弯曲梁§ 9-1弯曲变形的概念一、平面弯曲弯曲变形是工程实际中最常见的一种基本变形。
弯曲变形构件的受力特点是：在通过杆轴线的平面内，受到力偶或垂直于轴线的外力的作用。
变形的特点是：杆的轴线被弯曲为一条曲线，这种变形称为弯曲变形。
在外力作用下产生弯曲变形或以弯曲变形为主的杆件，称为梁。
由横截面的对称轴与梁的轴线组成的平面称为纵向对称平面，当外力作用线都位于梁的纵向对称平面内，梁的轴线在纵向对称平面内被完成一条光滑的平面曲线，这种弯曲变形称为平面弯曲。
单跨静定梁，一般可分为三类：1、悬臂梁：即一端固定，一端自由的梁；2、简支梁：即一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的梁;3、外伸梁：即一端或两端伸出支座之外的简支梁。
梁在两个支座之间的部分称为跨，其长度则称为跨长或跨度。
恳X ~X§ 9-2梁的弯曲内力一剪力与弯距图一、梁的内力一剪力Q和弯矩M梁在横截面上的内力可用截面法求得。
（一）截面法求内力如图（a）所示的简支梁，受集中载荷P i、P2、P3的作用，为求距 A端x处横截面m-m上的内力，首先求出支座反力R A、F B,然后用截面法沿截面 m-m假想地将梁一分为二，取如图（b）所示的左半部分为研究对象。
因为作用于其上的各力在垂直于梁轴方向的投影之和一般不为零，为使左段梁在垂直方向平衡，则在横截面上必然存在一个切于该横截面的合力Q （或F s）,称为剪力。
它是与横截面相切的分布内力系的合力；同时左段梁上各力对截面形心O之矩的代数和一般不为零，为使该段梁不发生转动，在横截面上一定存在一个位于荷载平面内的内力偶，其力偶矩用M表示，称为弯矩。
它是与横截面垂直的分布内力偶系的合力偶的力偶矩。
由此可知，梁弯曲时横截面上一般存在两种内力。
如图( b)。
由7丫=0 R A-R-Q=O解得Q =：R A - R由送m。
= 0 -R A X+ R(x—a)+m=0解得m = R A X— p (x —a )用截面法计算内力步骤是：1、计算支座反力2、用假象的截面将梁截成两段，任取某一端为研究对象。
10-3平面弯曲
w =0
A
w =0
B
固定端处的挠度ν 固定端处的挠度νＡ和转角 都应等于零。 θA都应等于零。
(b)
B
w =0
A
θA=0
图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁 的悬臂梁, 例题 图示一抗弯刚度为 的悬臂梁 试求梁的挠曲线方程和转角方程, 试求梁的挠曲线方程和转角方程 并确定 其最大挠度 wmax 和最大转角 θmax 。
M2
A
D
B
a
b
l
(0 ≤ x ≤ a )
F
A
F
B
b M 1 = FA x = P x l
b = P x P(x a) l
(a ≤ x ≤ l )
(2) 梁的挠曲线方程
M2
b M1 = P x (0 ≤ x ≤ a ) l b = P x P(x a) (a ≤ x ≤ l ) l
AD ( 0 x a) 挠曲线方程 转角方程
y
P
A B x
l
解：（1）弯矩方程 ）
y
M(x) = P(l x)
（2）挠曲线的近似微分方程 ）
x
A
(l x )
P
B x
EIw' ' = M(x) = Pl + Px
对挠曲线近似微分方程进行积分, 对挠曲线近似微分方程进行积分 得
l
Px2 EIθ = Plx + + C1 2 Plx2 Px3 EIw = + + C1x + C2 2 6
τmax
σ t max
等直梁的最大切应力一般在最大剪力所在横截面的中性轴上 各点处， 各点处，这些点的正应力
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第九章 梁的平面弯曲与杆的拉压、轴的扭转一样，弯曲是又一种形式的基本变形。
承受弯曲作用的杆，称之为梁。
本章研究梁的应力和变形。
工程中最常见的梁，可以分为三类，即简支梁、外伸梁和悬臂梁。
由一端为固定铰，另一端为滚动铰链支承的梁，称为简支梁；若固定铰、滚动铰支承位置不在梁的端点，则称为外伸梁(可以是一端外伸，也可以是二端外伸)；一端为固定端，另一端自由的梁，则称为悬臂梁。
分别如图9.1(a )、(b)、(c)所示。
在平面力系的作用下，上述简支梁、外伸梁或悬臂梁的约束力均为三个，故约束力可以由静力平衡方程完全确定，均为静定梁。
工程中常见的梁，其横截面一般至少有一个对称轴，如图10.2(a )所示。
此对称轴与梁的轴线共同确定了梁的一个纵向对称平面，如图10.2(b)。
如果梁上的载荷全部作用于此纵向对称面内，则称平面弯曲梁。
平面弯曲梁变形后，梁的轴线将在此(a ) 简支梁(b) 外伸梁(c) 悬臂梁图9.1 梁的分类纵向对称面平面内弯曲成一条曲线，此曲线称为平面弯曲梁的挠曲线。
这种梁的弯曲平面(即由梁弯曲前的轴线与弯曲后的挠曲线所确定的平面)与载荷平面(即梁上载荷所在的平面)重合的弯曲，称为平面弯曲。
平面弯曲是最基本的弯曲问题，本章仅限于讨论平面弯曲。
与前面研究拉压、扭转问题一样，先研究梁的内力，再由平衡条件、变形几何关系及力与变形间的物理关系研究梁横截面上的应力，进而研究梁的变形，最后讨论梁的强度与刚度。
§9.1 用截面法作梁的内力图如第四章所述，用截面法求构件各截面内力的一般步骤是：先求出约束力，再用截面法将构件截开，取其一部分作为研究对象，画出该研究对象的受力图；截面上的内力按正向假设，由平衡方程求解。
在第四章中不仅已经讨论了用截面法求构件内力的一般方法，还给出了构件横截面上内力的符号规定。
下面将通过若干例题，进一步讨论如何利用截面法确定平面弯曲梁横截面上的内力。
例9.1 悬臂梁受力如图9.3(a )所示，求各截面内力并作内力图。
图9.2 平面弯曲梁矩形截面 梯形截面圆形截面 工字形截面槽形截面梁轴线(a )解：1）求固定端约束力。
固定端A 处有三个约束力，但因梁上无x 方向载荷作用，故F A x =0；只有F A y 、M A 如图所示。
列平衡方程有： ∑F y =F A y -F =0 ∑M A (F )=M A -Fl =0得到： F A y =F ； M A =Fl 2）求截面内力。
在距A 为x 处将梁截断，取左段研究，截面内力按正向假设，如图9.3(b)所示。
在0≤x <l 内，有平衡方程： ∑F y =F A y -F Q =0 ∑M C (F )=M A +M -F A y x =0得到： F Q =F ； M =-F (l -x )注意，在x =l 的右端B 点，因为梁处于平衡，B 点右边截面之内力均为零。
梁二端点外内力为零，以后将不再赘述。
3) 画内力图。
在0≤x ≤l 内，剪力F Q ≡F ，剪力图为水平线，如图9.3(c)所示。
弯矩M 随截面位置线性变化；当x =0时，M =-Fl ；x =l 时，M =0；弯矩图为连接此二点的直线，如图9.3(d)所示。
此悬臂梁在固定端A 处弯矩值最大。
例9.2 求图9.4所示简支梁各截面内力并作内力图。
解：1）求约束力。
注意固定铰A 处F A x =0，故梁AB 受力如图所示。
列平衡方程有：图9.3 例9.1图M F M A F(b)F B y 1 F A (a )(b)∑M A (F )=F B y (2a +b)-Fa -F (a +b)=0∑F y =F A y +F B y -2F =0得到： F A y =F B y =F ；2）求截面内力。
0≤x 1<a ；左段受力如图9.4(b)。
由平衡方程有：∑F y =F A y -F Q1=0；⇒ F Q1=F A y =F ；∑M C (F )=M 1-F A y x 1=0 ⇒ M 1=Fx 1 a ≤x 2<a +b ；左段受力如图9.4(c)。
由平衡方程有： F Q2=F A y -F =0M 2=F A y x 2-F (x 2-a )=Fa a +b ≤x 3<2a +b ；左段受力如图9.4(d)。
由平衡方程有： F Q3=F A y -2F =-FM 3=F A y x 3-F (x 3-a )-F (x 3-a -b)=F (2a +b)-Fx 3注意在x =2a +b 的右端B 点，截面之内力（F Q 、M ）必然回至零。
3) 画内力图。
剪力图如图9.4(e)所示。
注意在a ≤x ≤a +b 段内，F Q ≡0。
在0≤x <a 和a +b ≤x <2a +b 二段内，弯矩M 随截面位置x 线性变化；在x =0和x =2a +b 二端，M =0；二集中力作用处，即x =a 和x =a +b 处，有M =Fa ；在a ≤x <a +b 段内，2 F A (c)图9.4 例9.2图FFM ≡Fa ；故弯矩图如图9.4(f)所示。
梁在a ≤x <a +b 段内，只有弯矩，没有剪力，这种情况称为纯弯曲。
例9.3 求图9.5(a )解：1）求约束力。
梁受力如图，列平衡方程有： ∑M A (F )=2aFB sin45︒+Fa +M 0=0⇒ FF B 2-= ∑F y =F A y +F B sin45︒-F =0 ⇒ F A y=2F∑F x =F A x -F B sin45︒=0 ⇒ F A x =-F 2）求截面内力。
0≤x <a ；左段受力如图9.4(b)。
由平衡方程有：F N1=0； F Q1=-F ；M 1=-F xa ≤x <2a ；受力如图9.4(c)。
由平衡方程有：F N2=-F A x =F ；F Q2=F A y -F =F ；M 2=F A y (x -a )-Fx =F (x -2a ) 2a ≤x 3<3a ；受力如图9.4(d)。
由平衡方程有：(a )1(b) F N (c)N2 F (d)F N3 F 图9.5 例9.3图F N3=F；F Q3=F；M3= F A y(x-a)-Fx-M0=F(x-3a)3) 画内力图。
轴力图如图9.5(e)所示。
在0≤x<a段内，F N=0。
在a≤x<3a段内，F N≡F。
剪力图如图9.5(f)所示。
在0≤x≤a段内，F Q=-F。
在a≤x<3a段内，F Q≡F。
弯矩图如图9.5(g)所示。
在0≤x<a段内，M=-Fx，是斜率为负的直线。
在a≤x<2a 段内，M=F(x-2a)；即x=a时，M=-Fa，x→2a时，M→0，是图中斜率为正的直线。
在2a≤x<3a段内，M=F(x-3a)；即x=2a时，M=-Fa，x→3a时，M→0，也是斜率为正的直线。
注意求内力时是在梁上有载荷（外载荷和约束反力）作用处分段的，本题各段中的弯矩M随截面位置线性变化，故只要算出各分段控制点（以后简称控制点）的弯矩值后，在各段内用直线连接即可得到如图9.5(g)所示之弯矩图。
值得指出的是，在梁上有载荷(外载荷和约束力)作用而分段之点，有左边和右边内力的差别。
分段点载荷是集中力，则影响剪力(F Q)图；载荷是集中力偶，则影响弯矩(M)图。
例9.4已知q=9kN/m，F=45kN，C处作用的集中力偶M0=48kN•m，求图9.6所示简支梁各截面上的内力。
解：1) 求反力。
梁受力如图9.6(a)所示，列平衡方程有：∑F x=F A x=0∑M A(F )=12F E+M0-8F-2×4q=0∑F y=F A y+F E-F-4q=0 图9.6(a) 例9.4图(a)解得：F A y =49kN ； F E =32kN 2) 求截面内力。
求内力时，应在载荷发生变化处分段研究。
以A 为原点，建立坐标如图9.6(a )。
则应在B 、C 、D 处分段。
AB 段（0≤x 1<4m ）：在任一x 1处将梁截断，取左端研究，受力如图9.6(b) 。
注意到由∑F x =0已给出轴力为零，故截面1上只有剪力和弯矩。
列平衡方程有：∑F y =F A y -q x 1-F Q1=0⇒ F Q1=49-9x 1∑M c (F )=M 1+q x 12/2-Y A x 1=0⇒ M 1=49x 1-4.5x 12注意力矩方程均是以截面形心c 为矩心写出的，如此可直接得到截面弯矩。
BC 段(4≤x 2<6m)：受力如图9.6(c)所示 。
同样有：∑F y =F A y -4q -F Q2=0 ⇒ F Q2=F A y -4q=49kN -9(kN/m)⨯4m=13kN ∑M c (F )=M 2+4q(x 2-2)-F A y x 2=0 ⇒ M 2=13x 2+72(kN •m)图9.6 例9.4图(d)F A(c)F A(e)FE(b)F A 1CD 段（6≤x 3<8m ）：受力如图9.8(d)，有： ∑F y =F A y -4q -F Q3=0 ⇒ F Q3=13kN∑M c (F )=M 3+4q(x 3-2)+M 0-F A y x 3=0 ⇒ M 3=13x 3+24(kN •m) DE 段（8≤x 4<12m ）：受力如图9.6(e)，有： ∑F y =F A y -4q -F Q4-F =0 ⇒ F Q4=-32kN∑ M c (F )=M 4+4q(x 4-2)+M 0+F (x 4-8)-F A y x 4=0 ⇒ M 4=384-32x 4(kN •m) 由截面法求内力时，无论取左右哪一端研究都应得到相同的结果。
如在DE 段截取右端研究，注意截面内力仍按正向假设，受力如图9.6(f)所示，有：∑F y =F Q4+F E =0∑M c (F )=-M 4+F E (12-x 4)=0同样得到：F Q4=-F E =-32kN ；M 4=384-32x 4 (kN •m)值得注意的是，同一截面上的内力，如图9.6(e)与图9.6(f)中的截面4，在物体不同的部分上互为作用力与反作用力，故应有相反的指向（如图中F Q4、M 4）。
前面给出的内力符号规定可使二者有同样的表达。
本例分四段给出了各截面的剪力方程和弯矩方程，依据这些内力方程画出的剪力图和弯矩图，如图9.7所示。
注意观察梁上作用载荷变化处，剪力图、弯矩图的变化。
图9.7 例9.4之内力图F Q M /综上所述，用截面法求内力的一般方法是：§9.2 利用平衡微分方程作梁的内力图梁整体处于平衡时，截取其中任一部分研究，均应处于平衡。
即在梁中截取任一微段，此微段受力亦应是平衡的。