用导数研究含参函数的单调性

用导数研究含参函数的单调性
导数是研究函数在各个点上的斜率或变化率的工具，可以用来研究含
参函数的单调性。

含参函数是指函数中包含一个或多个参数的函数。

研究
含参函数的单调性，既可以固定参数的值，将其视为常数，研究含参函数
的单调性；也可以将参数值作为变量，研究函数在不同参数取值下的单调性。

一、固定参数的值，研究含参函数的单调性：
对于含参函数$f(x,\theta)$，其中$\theta$为参数，固定参数
$\theta$的值，将其视为常数。

此时，可将含参函数简化为仅含有变量
$x$的函数$f(x)$。

然后利用导数的概念和性质来研究这个简化后的函数
$f(x)$的单调性。

具体步骤如下：
1.求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$，即计算$f(x)$关于$x$的导数。

这一步可以直接用导数的定义来计算，或者应用常见函数的导数公式，例
如幂函数、指数函数、对数函数等的导数公式。

2.求出函数$f'(x)$的零点，即求出方程$f'(x)=0$的解。

这些零点对
应于函数$f(x)$的驻点，它们是函数在一些点上的斜率为0的点。

3.利用导数的符号来研究函数$f(x)$的单调性。

若$f'(x)>0$，表示
函数$f(x)$在该点处的斜率为正，则函数$f(x)$单调递增；若$f'(x)<0$，表示函数$f(x)$在该点处的斜率为负，则函数$f(x)$单调递减。

4.将求出的零点和函数的特殊点（如端点、奇点等）放在数轴上，根
据导数的符号，划分函数$f(x)$的单调区间。

通过以上步骤，可以得到函数$f(x,\theta)$在固定参数$\theta$的取值下，函数$f(x)$的单调性。

二、将参数值作为变量，研究函数在不同参数取值下的单调性：
对于含参函数$f(x,\theta)$，其中$\theta$为参数，可以将参数值$\theta$看作是一个变量，通过改变参数值来研究函数的单调性。

这种情况下，可以使用偏导数来研究含参函数的单调性。

具体步骤如下：
1. 求出函数$f(x,\theta)$对于参数$\theta$的偏导数，即计算$\dfrac{\partial f}{\partial \theta}$。

这一步可以通过求偏导数的定义，或者利用常见函数的偏导数公式来计算。

2. 利用偏导数的符号来研究函数$f(x,\theta)$的单调性。

若
$\dfrac{\partial f}{\partial \theta}>0$，表示函数$f(x,\theta)$关于参数$\theta$的变化率为正，则函数$f(x,\theta)$随着参数
$\theta$的增加而单调递增；若$\dfrac{\partial f}{\partial
\theta}<0$，表示函数$f(x,\theta)$关于参数$\theta$的变化率为负，则函数$f(x,\theta)$随着参数$\theta$的增加而单调递减。

3. 可以将参数值$\theta$放在数轴上，根据偏导数的符号，划分函数$f(x,\theta)$在不同参数取值下的单调区间。

通过以上步骤，可以得到函数$f(x,\theta)$在不同参数取值下的单调性。