导数法判断函数单调性
单调性与导数教案：教你如何用导数判断函数单调区间
单调性与导数教案：教你如何用导数判断函数单调区间教你如何用导数判断函数单调区间一、知识回顾在学习函数的单调性时，我们已经了解到什么是单调函数了。
如果一个函数f(x)的导数在其定义域上始终保持正数，那么这个函数在定义域内呈现出递增的趋势；如果导数在定义域上始终保持负数，那么这个函数在定义域内呈现出递减的趋势。
因此，我们可以用函数的导数来判断函数在哪些区间是单调的。
二、基本要点在使用导数来判断函数的单调性时，我们需要注意以下几个基本要点：1.导数为正数时，函数单调递增；导数为负数时，函数单调递减。
2.导数为0时，函数可能存在极值点。
当函数在极值点左侧单调递增，在右侧单调递减。
3.导数在某一点处不存在时，这一点可能是函数的间断点。
4.如果函数在某个区间上单调递增（或单调递减），那么函数在该区间上是连续的。
三、案例分析我们接下来通过几个案例来说明如何使用导数来判断函数的单调性：1.已知函数f(x) = x³ - 3x + 2，在[0,2]上判断f(x)的单调性。
根据一元二次函数的求导公式，我们可以求出f(x)的一阶导数为f'(x) = 3x² - 3。
由于f'(x)在[0,2]上恒大于0，因此f(x)在[0,2]上是单调递增的。
2.已知函数f(x) = x³ - 3x + 2，在[-1,1]上判断f(x)的单调性。
同样地，我们可以求出f(x)在[-1,1]上的一阶导数f'(x) = 3x² - 3。
将f'(x) = 0，解得x = ±1，因此f(x)在x = ±1处可能存在极值点。
将[-1,1]分为两个区间[-1,1)和(1,1]，我们可以验证得出在[-1,1)上f(x)单调递减，在(1,1]上f(x)单调递增。
3.已知函数f(x) = 1/x，在(0,∞)上判断f(x)的单调性。
在(0,∞)上，我们可以求出f(x)的一阶导数f'(x) = -1/x²。
判断函数单调性的方法
判断函数单调性的方法判断函数的单调性是数学中常见的问题，对于函数的单调性，我们需要通过一定的方法进行判断，以便更好地理解和应用函数的性质。
下面，我们将介绍几种常用的方法来判断函数的单调性。
一、导数法。
判断函数的单调性最常用的方法之一就是利用导数。
对于函数f(x)，如果在定义域内f'(x)≥0，那么函数f(x)在该区间上是单调不减的；如果在定义域内f'(x)≤0，那么函数f(x)在该区间上是单调不增的。
如果在定义域内f'(x)恒大于0（或恒小于0），那么函数f(x)在该区间上是严格单调不减的（或严格单调不增的）。
二、一阶导数和二阶导数法。
除了利用导数的正负来判断函数的单调性外，我们还可以通过一阶导数和二阶导数的关系来判断函数的单调性。
如果在定义域内f'(x)≥0且f''(x)≥0，那么函数f(x)在该区间上是单调不减的；如果在定义域内f'(x)≤0且f''(x)≥0，那么函数f(x)在该区间上是单调不增的。
三、零点法。
利用函数的零点也可以帮助我们判断函数的单调性。
对于函数f(x)，如果在定义域内f'(x)在某一点x=a处为零，那么可以通过判断f'(x)在x=a点的左右性质来确定函数f(x)在该区间上的单调性。
四、拐点法。
函数的拐点也可以帮助我们判断函数的单调性。
如果在定义域内f''(x)在某一点x=a处为零，那么可以通过判断f''(x)在x=a点的左右性质来确定函数f(x)在该区间上的单调性。
五、特殊点法。
对于一些特殊的函数，我们也可以通过一些特殊点来判断函数的单调性。
比如对于一些周期函数，我们可以通过周期点来判断函数的单调性。
六、综合运用。
在实际应用中，我们往往需要综合运用以上方法来判断函数的单调性。
通过分析函数的导数、零点、拐点、特殊点等信息，结合函数图像，可以更准确地判断函数的单调性。
导数与函数的单调性
导数与函数的单调性导数与函数的单调性是微积分中的重要概念，它们能够帮助我们理解函数的变化趋势以及函数在不同区间的单调性。
在本文中，我们将探讨导数与函数的单调性之间的关系，并介绍如何通过导数来确定函数的单调性。
一、导数的定义与意义导数描述了函数在某一点的变化率。
对于函数f(x)来说，其导数可以用以下形式表示：f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h 〗其中，h表示自变量x的增量。
导数的几何意义是函数曲线在某一点处的切线的斜率。
二、导数与函数的单调性导数在函数上的正负性与函数的单调性密切相关。
具体而言，当导数大于0时，函数是递增的；当导数小于0时，函数是递减的。
三、通过导数确定函数的单调性要通过导数确定函数的单调性，我们需要进行以下几个步骤：1. 求取函数的导数。
2. 解方程 f'(x) = 0，求得导数的零点。
3. 在导数的零点处画出数轴，将数轴分为小区间。
4. 取各个小区间上的代表点，代入原函数并求出函数值。
5. 通过函数值的正负确定函数在小区间上的单调性。
举例来说，我们考虑函数f(x) = x^2，进行上述步骤：1. 求取导数：f'(x) = 2x2. 解方程 f'(x) = 0：2x = 0解得 x = 0。
3. 在数轴上画出导数的零点x = 0，并将数轴分为三个小区间：(-∞，0)，(0，+∞)。
4. 取小区间上的代表点，例如取小区间 (-∞，0) 的代表点 x = -1，取小区间 (0，+∞) 的代表点 x = 1。
5. 分别代入原函数 f(x) = x^2，求出函数值：f(-1) = (-1)^2 = 1f(1) = (1)^2 = 1根据函数值的正负性，我们可以得出以下结论：在小区间 (-∞，0) 上，函数递增；在小区间 (0，+∞) 上，函数递增。
结论：函数f(x) = x^2 在整个定义域上都是递增的。
通过上述例子，我们可以看出导数与函数的单调性之间的联系。
利用导数判断函数的单调性(不含参)
做对了吗
【例3解析】[答案] D [解析] 由图可知，当b>x>a时，f′(x)>0，故在[a，b]上，f(x)为 增函数．且又由图知f′(x)在区间[a，b]上先增大后减小，即曲线 上每一点处切线的斜率先增大再减小，故选D. [点评] 本题的关键是正确理解导函数与函数之间的关系，
即：函数看增减，导数看正负．
变式训练
如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所 围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图象是( )
变式训练
[答案] D
[解析] 由题意可知，当 0≤x<π 时， f(x)＝2(12x－S△AOB)＝x－sinx； 当 π≤x≤2π 时，f(x)＝212x＋S△AOB ＝x＋sin(2π－x)＝x－sinx. 因此，当 0≤x≤2π 时，f(x)＝x－sinx.
小试牛刀
[例 1] 求下列函数的单调区间： f(x)＝x3－3x＋1
做对了吗
【例1解析】(1)函数f(x)的定义域为R 导数f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0. 即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1. ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞) 令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0， 解得－1＜x＜1. ∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)．
D．(－∞，－1]和[1，＋∞)
[答案] A
[解析] y′＝4x3－4x
令y′<0，即4x3－4x<0
解得x<－1或0<x<1，所以函数的单调减区间为(－∞，－1)和
(0,1)，故应选A.
随堂演练
2．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a)≥0，则在(a，b)内
利用导数判断函数的单调性的方法
利用导数判断函数的单调性的方法利用导数判断函数的单调性，其理论依据如下：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数。
如果0)(='x f ，则)(x f 为常数。
要用导数判断好函数的单调性除掌握以上依据外还须把握好以下两点： 一． 导数与函数的单调性的三个关系我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。
以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数)(x f y =在某个区间内可导。
1．0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
由前知，0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。
如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。
2．0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。
∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。
3．0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。
由前分析，)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。
当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。
∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。
利用导数判断函数的单调性的方法
利用导数判断函数的单调性的方法利用导数判定函数的单调性，其理论依据如下：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数。
如果0)(='x f ，则)(x f 为常数。
要用导数判定好函数的单调性除把握以上依据外还须把握好以下两点：导数与函数的单调性的三个关系我们在应用导数判定函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判定函数的单调性。
以下以增函数为例作简单的分析，前提条件差不多上函数)(x f y =在某个区间内可导。
1．0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
由前知，0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。
如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。
2．0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，现在)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。
∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。
3．0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。
由前分析，)(x f 为增函数，一定能够推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。
当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。
∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。
第2课 利用导数判断函数的单调性
考点一：利用导数确定单调区间
例1 求下列函数的单调区间: (1) f(x)=x2-2x+4; (2) f(x)=2x3-6x2+7; (3) f(x)=xlnx.
练习2
讨论函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调性
考点二：含参函数的单调性讨论
例2 已知函数f(x)=ax3-3x2+1- ,讨论函数f(x)的单调 性
【题组强化·重点突破】 1. 已知函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R.讨论函数f(x)的单 调区间. 2. 讨论函数f(x)= 3. 已知函数f(x)=lnx-ax+ 的单调性. (-1<x<1,b≠0)的单调性. -1,当0≤a< 时,讨论f(x)
第2课 利用导数判断函数 的单调性
1. 函数的单调性与其导数的关系 在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间 内 ;如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间 内 ;如果恒有f'(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间内 为 . 注意:(1) f(x)在(a,b)内可导成为此规律成立的一个前提条 件;(2) 对于在(a,b)可导函数f(x)来说,f'(x)>0是f(x)在(a,b)上为 增函数的 ;当f'(x)<0是f(x)在(a,b)上为减函数 的 .
利用导数判断函数的单调性
三.法则的应用
1.利用导数求函数的单调区间
例1.求下列函数的单调区间：
① y = x - 2x + x - 4； ② y = 2x - x ;
3 2 2
a ③ y = x + (a > 0)； x ⑤ y = 3x 3 - lnx ；
1 3
④ y = (x 2 + 2x + 1)e x； ⑥ y = sinx + tanx；
利用导数判断函数的单调性
一.复习回顾
1.函数f(x)在x0处的导数f '(x0)的几何意义;
2.基本初等函数的导数公式；
3.导数的运算法则.
二.用函数的导数判断函数单调性的法则
设函数f(x)在区间(a,b)上可导， 1.若 x (a, b) 都有f '(x)>0，则f(x)在(a,b)上单增； 2.若 x (a, b) 都有f '(x)<0，则f(x)在(a,b)上单减. ※几点说明：
1 （2）求证：方程x - sinx=0只有一个根x=0. 2
三.法则的应用
5.利用导数研究导函数f '(x)与函数f(x)的图象关系 例6.已知f '(x)的图象如右图， y f '(x)
则f(x)图象可能是：
y y
1
o o
y
1
x
2
2
x
o
1
2
x
A
2
B y
x
o
1
o 1
2
x
C
D
三.法则的应用
5.利用导数研究导函数f '(x)与函数f(x)的图象关系
三.法则的应用
函数单调性判断方法
函数单调性判断方法要判断一个函数的单调性，我们需要先了解什么是单调函数。
在数学中，如果函数的定义域为一个实数集，函数的值随着自变量的增大而增大，或随着自变量的减小而减小，那么这个函数就是单调函数。
简单来说，单调函数要么是递增的，要么是递减的。
接下来，我们将介绍三种常见的方法来判断函数的单调性。
第一种方法是使用导数的概念。
如果函数在定义域上连续，并且在每个点处的导数大于零，那么函数是递增的；如果函数在定义域上连续，并且在每个点处的导数小于零，那么函数是递减的。
要判断函数的导数符号，可以先求出函数的导数表达式，然后找出导数表达式的零点。
在零点的左侧，导数为负，函数递减；在零点的右侧，导数为正，函数递增。
如果函数的导数在某个区间上恒为正（或恒为负），则函数在该区间上单调递增（或单调递减）。
第二种方法是使用二阶导数的概念。
如果一个函数的二阶导数大于零，那么函数是凹的，也就是递增的；如果一个函数的二阶导数小于零，那么函数是凸的，也就是递减的。
要判断函数的二阶导数的符号，可以先求出函数的二阶导数表达式，然后找出二阶导数表达式的零点。
在零点的左侧，二阶导数为负，函数凸；在零点的右侧，二阶导数为正，函数凹。
如果函数的二阶导数在某个区间上恒为正（或恒为负），则函数在该区间上凹（或凸），即单调递增（或单调递减）。
第三种方法是使用区间端点的值来判断单调性。
对于函数f(x)，如果在一个区间(a, b)上，当x逐渐从a增加到b时，有f(a) < f(b)，那么函数在该区间上单调递增；如果在一个区间(a, b)上，当x逐渐从a增加到b时，有f(a) > f(b)，那么函数在该区间上单调递减。
这种方法主要适用于一些简单的函数，例如多项式函数、指数函数、对数函数等。
需要注意的是，这三种方法都是相对简化的判断方法，适用于一些简单的函数。
对于复杂的函数，我们可能需要综合运用多种方法来判断函数的单调性。
举个例子，我们来判断函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的单调性。
导数与函数单调性的关系
一、利用导数判断函数的单调性
函数 y＝f(x)在某个区间内可导，则 (1)若 f′(x)>0，则 f(x)在这个区间内单调递增． (2)若 f′(x)<0，则 f(x)在这个区间内单调递减． (3)若 f′(x)＝0，则 f(x)在这个区间内是常数函数．
例1、已知函数f(x)=x-kln x，常数k>0. (1)若x=1是函数f(x)的一个极值点，求f(x)的单调区间； (2)若函数g(x)=xf(x)在区间(1,2)上是增函数，求k的取 值范围.
值点,f'(1)=0⇒k=1,经检验k=1为所求,∴f'(x)=1- 1 .令f'(x)>0⇒x∈(1,+
x
∞),再令f'(x)<0⇒x∈(0,1),∴函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞),单调 递减区间是(0,1).
名师诊断
专案突破
对点集训
决胜高考
(2)∵函数g(x)=xf(x)在区间(1,2)上是增函数,∴g'(x)=2x-k(1+ln x)≥0
三、解答题
17.已知函数f(x)=x-kln x,常数k>0. (1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求f(x)的单调区间;
(2)若函数g(x)=xf(x)在区间(1,2)上是增函数,求k的取值范围.
【解析】(1)定义域为(0,+∞),f'(x)=1- k ,因为x=1是函数f(x)的一个极
x
变式训练 2、(2014·兰州模拟)已知函数 f(x)＝－x2＋ax－ln x(a∈R)． (1)当 a＝3 时，求函数 f(x)在21，2上的最大值和最小值； (2)当函数 f(x)在21，2上单调时，求 a 的取值范围．
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导数法判断函数单调性
微积分中，导数法判断函数单调性是一种直观简单、高效果的方式。
当原函数在区间上单调时，其求得的导数不可能大于零同时也不可能小于零；反之，当函数在区间上不是单调的时候，其求得的导数有可能小于零同时也有可能大于零，由于函数的单调性十分直观，这就是应用微积分来判断函数单调性的常用方法。
导数法判断函数单调性，既可以利用导数的符号属性，也可以利用导数的极值属性，即函数在自变量的极点处，此时的导数取值为零。
因此，当函数的导数存在极点的时候，改点即为函数的拐点。
当函数存在多个拐点的时候，利用导数的符号属性来判断函数的单调性，即对于拐点左右的区间，导数的符号都不可能改变，便可正确判断有关函数的单调性。
总之，导数法判断函数单调性，是一种重要且高效的方法，也是在求解非线性微分方程、定性分析流形等复杂微积分问题时，非常有效的工具之一。