利用导数研究函数的单调性和极值(答案)
小题快练
1．(2013全国Ⅰ卷理)设曲线1
1
x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ）
A ．2
B ．12
C ．1
2
- D ．2-
2．(2013全国Ⅰ卷改编)设函数2
)1()(x e x x f x --=，则函数()f x 的单调递增区间
为 ,单调递减区间为 . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时,
()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-
令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:
右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞. 3.(2013湖北理)若f(x)=2
1ln(2)2
x b x -
++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（C ） A.[-1，+∞] B.（-1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-∞，-1）
4.已知函数x bx ax x f 3)(2
3
-+=在1±=x 处取得极值. （1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数f (x )的极大值还是极小值； （2）过点)16,0(A 作曲线y= f (x )的切线，求此切线方程. （1）解：323)(2-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ，即
??
?=--=-+.
0323,
0323b a b a
解得0,1==b a . ∴)1)(1(333)(,3)(2
3
-+=-='-=x x x x f x x x f . 令0)(='x f ，得1,1=-=x x .
若),1()1,(∞+--∞∈Y x ，则0)(>'x f ，故
f (x )在)1,(--∞上是增函数， f (x )在),1(∞+上是增函数.
若)1,1(-∈x ，则0)(<'x f ，故f (x )在)1,1(-上是减函数. 所以，2)1(=-f 是极大值；2)1(-=f 是极小值. （2）解：曲线方程为x x y 33
-=，点)16,0(A 不在曲线上.
设切点为),(00y x M ，则点M 的坐标满足03
003x x y -=. 因)1(3)(2
00-='x x f ，故切线的方程为))(1(3020
0x x x y y --=- 注意到点A （0，16）在切线上，有
)0)(1(3)3(16020030x x x x --=-- 化简得83
0-=x ，解得20-=x . 所以，切点为)2,2(--M ，切线方程为0169=+-y x .
典例1【2015高考四川，理21】已知函数22
()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >.设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性. 解：由已知，函数的定义域为),,0(+∞
)1(2ln 222)(')(x
a
x a x x f x g +---==
2
22)
(2222)('g x a x x x a x x +-=+-=∴
令a x x x h +-=2
)(，a 41-=?，
(1)当4
1
≥a 时，，
0≤?0)(g'0)(≥≥∴x x h 恒成立，此时， 上单调递增；在),0()(g +∞∴x
(2)当4
1
2
411,241121a
x a x -+=--= 且210x x <<. )2
411,0(a
x --∈时，0)(>x h ，此时0)('g >x ，函数)(g x 单调递增； )2
4112411(
a
a x -+--∈，时，()0h x <，此时0)('g 411( ∞+-+∈，a x 时，()0h x >，此时0)('g >x ，函数)(g x 单调递增. 综上，当4 1 ≥a 时，函数上单调递增；在),0()(g +∞x 当4 1 0< 0(a --，)2 411(∞+-+，a 上单调递增， 在)2 4112411(a a -+--，上单调递减. 变式.去掉条件“0>a ”，讨论()g x 的单调性. 解：当0≤a 时，，0>?由解得即,0)(,0)('g ==x h x 2 411,241121a x a x -+=--= 且210x x <≤. )2 4110(a x -+∈，时，()0h x <，此时0)('g 411( ∞+-+∈，a x 时，()0h x >，此时0)('g >x ，函数)(g x 单调递增. 典例2【2013高考广东，理21】(22)(本小题满分14分) 设函数).()1()(2 R k kx e x x f x ∈--=讨论)(x f 的单调区间. 解：由已知，函数的定义域为R, )2(2)1()('k e x kx e x e x f x x x -=--+= 1)当0≤k 时，0,0)(',02==∴>-x x f k e x 解得由 )0-(，∞∈x 时，0)(' ①21 =k 时，02ln =k ，此时0)('≥x f ，函数)(x f 在),(+∞-∞上单调递增； ②2 1 >k 时，02ln >k ，)0-(，∞∈x 时，0)('>x f ，函数)(x f 单调递增； )2ln 0(k x ，∈时，0)(' ③2 1 0< )02ln (， k x ∈时，0)(' x 时，0)('>x f ，函数)(x f 单调递增； 综上,当0≤k 时，)(x f )0-(， 在∞上单调递减，上，在)0(∞+单调递增； 当 2 1 0< )0(∞+单调递增， )02ln (， 在k 上单调递减； 当2 1 =k 时，)(x f 在),(+∞-∞上单调递增； 当 2 1>k 时，)(x f )0-(， 在∞上，，)2ln (∞+k 单调递增， )2ln 0(k ，在上单调递减. 【2015 枣庄一模 理21】已知函数).(ln )1(1)(2 R a x x a x x f ∈----= （1）讨论)(x f 的单调区间； （2）若函数1)()(+-=x x f x g 有一个极小值点和一个极大值点，求a 的取值范围. 解：(1)由已知，函数的定义域为),,0(+∞ x x ax x x a ax x x a x f ) 1)(12(1)12(21 )1(21)('---= -++-=---= 令)1)(12()(---=x ax x h (Ⅰ)当0=a 时，1)(-=x x h ，由10)(==x x h ，解得， )10(，∈x 时，()0h x <，此时0)(' )1(∞+∈， x 时，()0h x >，此时0)('>x f ，函数)(x f 单调递增； (Ⅱ)当0>a ，121 ,0)(21===x a x x h ，解得由 ①21=a 时， 121 =a ，恒成立0)(≤x h ,0)('≤x f ,)(x f 在),0(+∞上单调递减； ②2 1>a 时，121 0<< a ， )21 0(a x ，∈时，()0h x <，此时0)(' )121( ，a x ∈时，()0h x >，此时0)('>x f ，函数)(x f 单调递增； )1(∞+∈， x 时，()0h x <，此时0)(' ③210< 121 >a )10(，∈x 时，()0h x <，此时0)(' )21 1(a x ，∈时，()0h x >，此时0)('>x f ，函数)(x f 单调递增； )21 (∞+∈，a x 时，()0h x <，此时0)(' (Ⅲ)当0 ,0)(21=<= =x a x x h ，舍解得由 )10(，∈x 时，()0h x <，此时0)('