材料力学梁的弯曲变形第1节 挠曲线近似微分方程
材料力学-弯曲变形
(向下)
qB
qmax
w(l)
Pl 2 2EI
(顺时针)
例题2
图示的等截面简支梁长为l，抗弯刚度为
EI，在右端受有集中力偶M0的作用，求梁任
一截面的转角和挠度。
y
解:
由整体平衡得 FAx=0， FAy= FBy= M0/l 从而，截面的弯矩为
M(x)= xFAy= xM0/l
FAx A x o
FAy
横截面变形：
线位移：长度变化
水平方向—小变形假定，挠曲轴平坦，忽略不计 垂直方向—挠度 w= w(x)
转角：角度变化
横截面相对于原位置转过的夹角，
一般用q (x)表示截面转角，并且以逆时针为正
q'
对于细长梁，略去剪力对变形影响 平截面假设成立: 变形的横截面与挠曲轴垂直
q q tan q dw
(l 2
a2)
y
例题3
P x
A
C
于是，梁的挠曲线方程为 FAx
l
w
w1 w2
(x) (x)
0 xa a xb
FAy
a
b
Pb
6 EIl
Pa
6 EIl
x3 (b2 l2 )x (l x)3 (a2 l2
)(l
x)
0 xa a xl
转角方程为
q w ww12((xx))
0 xa a xb
Pb 2EIl
x2
C1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdx
Pb 6EIl
x3
C1x
D1
同理，对CB段
w2
w2dx C2
Pa EIl
(l
x)dx
C2
建筑力学第十二章-第十五章
第一节 弯曲变形的概念
1.挠度 2.转角 3.挠度和转角的关系
第二节 梁的挠曲线近似微分方程
一、挠曲线近似微分方程 为了得到挠曲线方程，必须建立变形与外力之间的关系。本书第 十一章在推导梁的应力公式时，已经求得挠曲线曲率ρ和弯矩M之 间的关系，即式（11⁃1）
二、用积分法求梁的变形
图 12-2
第三节 用叠加法求梁的变形
表12-1 几种常用梁在简单荷载作用下的位移
例12-3 简支梁AB所受荷载如图12-8所示。求跨度中点C的挠度和 支座A的转角。截面抗弯刚度EI
第三节 用叠加法求梁的变形
图 12-8
解：由表12-1查得，在力偶单独作用下，跨度中点C的挠度为
第三节 用叠加法求梁的变形
例12-4 悬臂梁AB受载如图12-9所示。截面抗弯刚度EI为常数。 试用叠加法求截面B的挠度和转
第二节 梁的挠曲线近似微分方程
自由端受一集中力P作用，梁的弯曲刚度为EI，度求梁的挠度方程 和转角方程，并计算梁的最大挠度和最大转角。
第二节 梁的挠曲线近似微分方程
图 12-5
第二节 梁的挠曲线近似微分方程
解：(1)列弯矩方程。
图 12-6
第二节 梁的挠曲线近似微分方程
(2)列挠曲线近似微分方程。 (3)积分。 (4)确定积分常数。 (5)确定挠度方程和转角方程。 (6)求最大挠度和最大转角。 例12-2 如图12-7所示承受均布荷载q作用，梁的抗弯刚度为EI。 求
解：由表12-1查得，均布荷载q单独作用下截面B的挠度和转角为
第四节 梁的刚度条件
一、刚度条件 在建筑工程中，为了能保证梁正常工作，除了满足强度条件外， 还应满足刚度条件，即把梁在荷载作用下产生的变形控制在工程 允许的范围内。
第6节(弯曲变形)
Mechanics of Materials
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第六章 弯曲变形 第一节 概述
Fx Fl
转角方程
EI(x)1Fx2FlxC
2 挠度方程
E Iv(x)1F x31F lx2C xD 62
EI
d2v dx2
Fx Fl
EI(x)1Fx2FlxC
2
E Iv(x)1F x31F lx2C xD 62
⑶ 确定积分常数
EI(0)1F02Fl0C0
2 E Iv(0 )1F 0 31F l0 2 C 0D 0
EI(x)b2F l x2C1
E I(x)b 2 F l x2F 2(xa)2C 2
挠度方程
EIv(x)b6F l x3C1xD1 E Iw (x ) b 6 F lx 3F 6(x a )3 C 2xD 2
⑶ 确定积分常数
v(0)E 1 I(b 6 F l03C 10D 1)0
v (l) E 1 I[ b 6 F ll3 F 6(l a )3 C 2 l D 2 ] 0
max
(0)
Fl2 3EI
(x) 0
x (3 3)l 3
(33)l F l3
F l3
vm a xv(
) 0 .0 6 4 2
3 93E I
E I
例：简支梁AB如图所示（图中a > b），承受集中载荷F作 用，梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程， 并确定挠度的最大值。
梁的变形,挠曲线微分方程及其积分
1
w1
Fb 6lEI
l2 b2 3x2
w1
Fbx 6lEI
l2 b2 x2
CB段 (a x l)
2
w2
Fb 6lEI
(l 2
b2
3x2 )
3l b
x
a
2
w2
Fb 6lEI
(l 2
b2
x2)x
l b
x
a
3
2.求最大挠度和最大转角
将 x = 0 和 x = l 分别代入转 角方程左右两支座处截面的 转角
46
EIw ql x3 q x4 Cx D — (2) 12 24
边界条件为
x 0, wA 0 x l, wB 0
max
A
B
ql 3 24EI
wmax
w x l 2
5ql 4 384EI
例 如图示的简支梁，抗弯刚度为EI，集中载荷F,求 w(x)、θ(x)及wmax、θmax。
对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的 梁段上的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的 弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程。只增加了 （x-a）的项。
对（x-a）的项作积分时，应该将（x-a）项作为 积分变量，从而简化了确定积分常数的工作。
梁中点处的挠度为
w x l 2
Fbl 2 16EI
0.0625 Fbl 2 EI
结论: 在简支梁中, 不论它受什么荷载作用, 只要挠曲 线上无拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度 值来代替, 其精确度是能满足工程要求的.
EI 抗弯刚度---表征梁抵抗弯曲变形的能力。
用积分法计算梁变形时应遵循的两个规则
解：1.求挠曲线方程和转 角方程
材料力学习题册答案-第6章 弯曲变形
第六章弯曲变形一、是非判断题1．梁的挠曲线近似微分方程为EIy’’=M（x）。
（√）2．梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面，转角为零。
（×）3．两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。
（×）4．等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。
（×）5．若梁上中间铰链处无集中力偶作用，则中间铰链左右两侧截面的挠度相等，转角不等。
（√）6．简支梁的抗弯刚度EI相同，在梁中间受载荷F相同，当梁的跨度增大一倍后，其最大挠度增加四倍。
（×）7．当一个梁同时受几个力作用时，某截面的挠度和转角就等于每一个单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。
（√）8．弯矩突变的截面转角也有突变。
（×）二、选择题1. 梁的挠度是（D）A 横截面上任一点沿梁轴线方向的位移B 横截面形心沿梁轴方向的位移C横截面形心沿梁轴方向的线位移D 横截面形心的位移2. 在下列关于挠度、转角正负号的概念中，（B）是正确的。
A 转角的正负号与坐标系有关，挠度的正负号与坐标系无关B 转角的正负号与坐标系无关，挠度的正负号与坐标系有关C 转角和挠度的正负号均与坐标系有关D 转角和挠度的正负号均与坐标系无关3. 挠曲线近似微分方程在（D）条件下成立。
A 梁的变形属于小变形B 材料服从胡克定律C 挠曲线在xoy平面内D 同时满足A、B、C4. 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的最大曲率发生在（D）处。
A 挠度最大B 转角最大C 剪力最大D 弯矩最大5. 两简支梁，一根为刚，一根为铜，已知它们的抗弯刚度相同。
跨中作用有相同的力F，二者的（B）不同。
A支反力 B 最大正应力 C 最大挠度D最大转角6. 某悬臂梁其刚度为EI，跨度为l，自由端作用有力F。
为减小最大挠度，则下列方案中最佳方案是（B）A 梁长改为l /2，惯性矩改为I/8B 梁长改为3 l /4，惯性矩改为I/2C 梁长改为5 l /4，惯性矩改为3I/2D 梁长改为3 l /2，惯性矩改为I/47. 已知等截面直梁在某一段上的挠曲线方程为：y(x)=Ax²(4lx - 6l²-x²)，则该段梁上（B）A 无分布载荷作用B 有均布载荷作用C 分布载荷是x 的一次函数D 分布载荷是x 的二次函数 8. 图1所示结构的变形谐条件为：（D ） A f A=f BB f A+△l=fBCfA +fB =△l DfA-fB=△l三、填空题1. 用积分法求简支梁的挠曲线方程时， 若积分需分成两段，则会出现 4 个积分常数，这些积分常数需要用梁的 边界 条件和 光滑连续 条件来确定。
第七章 弯曲变形
w
B2
wC 2
(ql)l 3 48 EI
第六节 梁变形的叠加解法
ql 3 ql3 ql 3 11ql3 B B1 B 2 B3 24 EI 3EI 16 EI 48 EI
5ql 4 3ql 4 (ql)l 3 11ql 4 wC wC1 wC 2 wC 3 384 EI 48 EI 48 EI 384 EI
dy ＝ dx
第一节 弯曲变形的基本概念
约束对位移的影响
没有约束无法确定位移
第一节 弯曲变形的基本概念
连续光滑曲线；铰支座对位移的限制
第一节 弯曲变形的基本概念
连续光滑曲线；固定端对位移的限制
第二节 挠曲线近似微分方程
力学公式
1 M ( x) ( x) EI z
数学公式
以上两式消去
a Fa 3F 拐点 (-)
a
(+)
M 图
极值，在挠度最大处，截
面的转角不一定为零，在 弯矩最大处，挠度不一定
Fa
最大。
下凸
上凸
直线
第四节 梁的刚度校核
刚度条件：
y max [ y ],
max
[ ]
[y]——许用挠度，[]——许用转角
工程中， [y]常用梁的计算跨度l 的若干分之一表示，例如： l l ~ 对于桥式起重机梁： [ y] 500 750 对于一般用途的轴：
y f (x)
y (x )
y
水平方向位移：高阶微 量，忽略不计。
第一节 弯曲变形的基本概念
角位移：横截面相对于原
来位置转过的角度，以表
示。亦可以用该截面处的
y
材料力学B试题6弯曲变形
弯曲变形1。
已知梁的弯曲刚度EI 为常数，今欲使梁的挠曲线在x =l /3处出现一拐点，则比值M e1/M e2为：（A) M e1/M e2=2； （B ） M e1/M e2=3；（C ） M e1/M e2=1/2； （D) M e1/M e2=1/3.答:(C)2。
外伸梁受载荷如致形状有下列(A)（B)、（C ）,(D)答:(B)3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M 、剪力F S 与分布载荷q 之间的关系以及挠曲线近似微分方程为： （A ）EI x M xw q xF FxM )(d d ,d d ,d d 22SS ===；(B ）EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22S S =-=-=; （C)EI x M xw q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22S S -==-=;(D ）EI x M xw q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22S S -=-==。
答：（B ）4。
弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图示,自由端的挠度EIl M EI Flw B 232e3+=（↓)则截面C 处挠度为：（A ）2e 3322323⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛l EI M l EI F （↓）;（B ）233223/323⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛l EI Fl l EI F （↓）； （C）2e 3322)3/(323⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛l EI Fl M l EI F （↓）；(D)2e 3322)3/(323⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛l EI Fl M l EI F (↓）.答：（C ）5. 画出（a ）、（b)、(c ）三种梁的挠曲线大致形状。
答：6.7.(a ）、(b)刚度关系为下列中的哪一种: (A) （a)＞（b ）； (B) (a)＜(b)；（C ） (a)=（b ）； （D) 不一定. 答：(C)8。
挠曲线近似微分方程
C1
Fb 6l
l2 b2
,
C2
Fab 6l
l
a
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材料力学 第六章 弯曲变形
四 积分法总结
❖ 优点：适用范围广、精确 ❖ 缺点：计算繁琐
五 刚度条件
w
max ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱax
w
练习：写边界条件和连续性条件
A
B
C
D
边界条件 wA 0; wB 0
连续性条件 wC wC;C C 或wC' wC' wD wD;D D 或wD' wD'
Mi EI wi" M EIw" M
w
wi
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材料力学 第六章 弯曲变形
例一：求图示简支梁C点挠度
y A
l/2
F
C l/2
x B
=
y
y
F
A
C
+ x
B
A
x
C
B
l/2
l/2
l/2
l/2
wC
wC q
wC F
5ql4 384EI
Fl 3 48EI
材料力学 第六章 弯曲变形
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材料力学 第六章 弯曲变形
练习（续）
y
a
x
b
l
边界条件 w 0; 0
x0
x0
连续性条件
w w ;
w w ;
xa
xa xa
xa
xb
xb xb
xb
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材料力学 第六章 弯曲变形
一 叠加§原理6.4 用叠加法求梁的变形
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工程中的很多结构或构件在工作时， 不但要满 足强度条件，同时对于弯曲变形都有一定的要求：
• 第一类是要求梁的位移不得超过一定的数值。例如 若机床主轴的变形过大，将会影响齿轮的正常啮合 以及轴与轴承的正常配合，造成不均匀磨损、振动 及噪音，缩短了机床的使用寿命，还影响机床的加 工精度。因此，在工程中进行梁的设计时，除了必 须满足强度条件之外，还必须限制梁的变形，使其 不超过许用的变形值。
• 第二类是要求构件能产生足量的变形。例如车辆钢 板弹簧，变形大可减缓车辆所受到的冲击；跳水起 跳板大变形，以确保运动员被弹起。
第六章 梁的弯曲变形
一、挠曲轴线近似微分方程
• 挠曲轴线：图示悬臂 梁在纵向对称面内的
外力 F的作用下，将
产生平面弯曲，变形 后梁的轴线将变为一 条光滑的平面曲线， 称梁的挠曲轴线。
就可求出挠度和转角。
挠度和转角的正负号的规定
挠度：与y轴正方向同向为正，反之为负； 转角：以逆时针方向转动为正，反之为负。
梁任一截面的曲率
1
(x)
M (x) EI
曲线 y f (x) 的曲率
1
(x)
(1
y y2 )3/2
M (x) EI
y f (x)
挠曲轴线方程 y f (x)
• 挠度：截面形心线位移的垂直分量称为该截面的 挠度，用 y 表示。
• 转角：横截面绕中性轴转动产生了角位移，此角
位移称转角，用 表示。小变形时，转角 很小，
则有以下关系：
tan y dy
dx
由此可知，只要知道梁的挠曲轴线方程 y f (x) ，
侧纤维受压，弯矩 M < 0，曲线的二阶导数 y<0；
挠曲轴线 近似微分方程
y M (x) EI
结论
两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，微分 方程式应取正号，即：
挠曲轴线 近似微分方程
y M (x) EI
梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件：梁的变 形是线弹性的小变形。
二阶小量
挠曲轴线 近似微分方程
y M (x) EI
挠曲轴线 近似微分方程
y M (x) EI
微分方程弯矩M与曲线的二阶导数 y的正负号关系
1）如图a所示，梁的挠曲轴线是一下凸曲线，梁的下
侧纤维受拉，弯矩 M > 0，曲线的二阶导数 y > 0；
2）如图b所示，梁的挠曲轴线是一上凸曲线，梁的下