平面弯曲的概念

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第1节平面弯曲的概念和实例

第七章直梁弯曲时的内力和应力
第七章直梁弯曲时的内力和应力
第七章直梁弯曲时的内力和应力
二、静定梁的基本形式梁的支座形式：工程中常见的梁的支座有以下三种形式。 1）固定铰支座：如图a所示，固定铰支座限制梁在支承处任何方向的线位移，其支座反力可用两个正交分量表示，即沿梁轴线方向的 FAx 和垂直于梁轴线方向的FAy。
第七章直梁弯曲时的内力和应力
第一节
平面弯曲的概念和实例
一、平面弯曲弯曲变形：当杆件受到垂直于轴线的外力作用或受到作用面平行于轴线的外力偶作用时，杆件的轴线会由直线变为曲线，这种变形称弯曲变形。梁：以弯曲变形为主的杆件称作梁。直梁：工程中常见的轴线是直线的梁。平面弯曲：若梁的外力及支座反力都作用在纵向对称面内，则梁弯曲时轴线将变成此平面内的一条平面曲线，该弯曲变形称为平面弯曲。
或
第七章直梁弯曲时的内力和应力 2）活动铰支座：如图b所示，活动铰支座只能限制梁在支承处垂直于支承面的线位移，支座反力可用一个分量FRA表示。 3）固定端支座：如图c所示，固定端支座限制梁在支承处的任何方向线位移和角位移，其支座反力有两个正交力FAx、FAy和一个力偶分量MA。
或
MA
第七章直梁弯曲时的内力和应力静定梁的形式：根据梁的支座情况，工程中常见的静定梁可以简化成以下三种形式。 1）简支梁：梁的支座一端是固定铰支座，另一端是活动铰支座。 2）外伸梁：梁的支座与简支梁相同，只是梁的一端或两端伸出在支座之外。 3）悬臂梁：梁的一端自由，另一端是固定支座。
第七章直梁弯曲时的Biblioteka 力和应力三、梁上载荷的简化
1）集中力：集中力作用在梁上的很小一段范围内，可近似简化为作用于一点，如图所示的力F。单位为牛顿（N）或千牛顿（kN）。 2）集中力偶：作用在微小梁段上的力偶，可近似简化为作用于一点，如图所示的力偶M。单位为牛顿· 米（N· m）或千牛顿· 米（KN· m）。 3）分布载荷：沿梁轴线方向、在一定长度上连续分布的力系，如图所示的均布载荷q。其大小用载荷集度表示，单位为牛顿/米（N/m）或千牛/米（kN/m）。

材料力学第四章平面弯曲

得
∫ A ydA =0
M
dA
z
y z ζdA
My
横截面对中性轴 zdA 的面积矩为零， A 中性轴过形心。 E yzdA 0

A
y
Iyz =0——梁发生平面弯曲的条件
E I E 2 ∫ AσdA· z ∫ A y dA = Mz= y = ρ ρ 1 Mz = EIz —— 梁的弯曲刚度中性层曲率公式 EI ρ z
y
m MB=-40kN· m MD=22.5kN· B M y B截面上部受拉、下部受压 tBmax B t max 21.4MPa Iz B yt max 100mm B M y I z 186.6 106 m 4 B B c max 38.6MPa B c max yc max 180mm Iz
max
FQ S
* z max
Izd
d FQ 4 FQ 12 4 d 3 A d 64
3
d/2
z
max
四、薄壁圆环截面梁中性轴处：
r0
z
max 2
FQ A
max
例如图所示一T形截面。某截面上的剪力FQ=50kN，与y 轴重合。试求腹板的最大切应力，并画出腹板上的切应力分布图。
1
* FQ S z 1
I zd
4.13MPa
例一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁中1、2、 3、4点处分别取四个单元体，试画出单元体上的应力，并写出应力的表达式。
q
1 2 h/4 4 3
z l/4 b
l/4
l
解： (1)求支座反力:
FRA
FRB
1 l/4

平面弯曲概念梁的类型

平面弯曲概念梁的类型平面弯曲是指在空间中只发生一维变形，即沿一条直线方向发生变形，而其他方向保持不变。

这种变形特点主要体现在梁的横向方向上，梁在横向方向的变形可以分为简支梁、悬臂梁和连续梁。

1. 简支梁：简支梁是指两个支点之间的梁，支点是指在梁两端支撑的点。

在简支梁中，当梁受到集中力作用时，沿梁的长度方向发生弯曲。

在弯曲的过程中，梁上任意一点的变形可以由梁的弯曲方程来描述。

一般情况下，简支梁在两个支点之间的部分是线性变形的，即沿着支点之间的区域变形相对均匀。

而支点周围的区域受到局部的力的作用，产生非线性变形。

2. 悬臂梁：悬臂梁是指一个端部固定在支点上，另一个端部自由悬挂的梁。

在悬臂梁中，只有一个支点，梁在支点处固定，而另一端自由悬挂。

当梁受到集中力作用时，悬臂梁会在支点处产生弯曲。

与简支梁不同的是，悬臂梁的悬臂区与支点之间的变形是非线性的，变形幅度较大。

3. 连续梁：连续梁是指由两个或多个简支梁或悬臂梁相连接组成的梁。

在连续梁中，两个相邻的梁通过节点连接在一起。

当梁受到集中力作用时，整个连续梁系统会发生弯曲。

在连续梁中，节点附近的区域变形相对较大，而两个节点之间的梁段产生线性变形。

总结起来，平面弯曲梁的类型主要包括简支梁、悬臂梁和连续梁。

这些梁在受到集中力作用时，会发生弯曲变形。

在简支梁和悬臂梁中，梁的变形是非线性的，而在连续梁中，梁的变形是线性的。

这些梁的变形特点对于工程设计和结构分析非常重要，需要考虑到梁的形状、材料、力的大小和作用位置等因素，来确定合适的梁的尺寸和支撑结构，以保证梁的强度和稳定性。

平面弯曲的概念弯曲的内力及符号规定弯曲内力图本节小结新版15

续例1
1-1截面：
L qL FQ1 FA q 4 4
L L L 3 2 M1 FA q qL 4 4 8 32
符号均为正
弯曲内力
东财
Dongbei University of Finance Economics ＆
续例1
2-2截面：
FQ 2
L FA q 0 2
弯曲内力
东财
Dongbei University of Finance Economics ＆
M、FQ与q的关系
取x处一小段dx长度梁由平衡方程得： ∑Fy=0： FQ-(FQ+dFQ)+q(x)dx=0 ∑MC=0： M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0 在上式中略去高阶微量后，得
A点：x=0，FQA=qL/2 中点：x=L/2，FQ=0
B点：x=L，FQB=-qL/2
弯曲内力
东财
Dongbei University of Finance Economics ＆
弯矩图画法
弯矩方程
x qL q 2 M( x ) FA x qx x x 2 2 2
A点：x=0，MA=0
M B (F) 0， FAy 3a M 3qa a / 2 0
FAy=3.5kN；
Fy 0, FBy FAy 3qa 0
FBy=14.5KN
弯曲内力
东财
Dongbei University of Finance Economics ＆
续例2—剪力图
如图，将梁分为三段 AC：q=0,FQC= FAY CB：q<0,FQB=-8.5kN BD：q<0,FQB=6kN

第四章平面弯曲解析

14
4.2.2 剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图
(1)剪力方程和弯矩方程
剪力和弯矩沿着梁轴线分布的数学表达式:
Q=Q(x) M=M(x)
(2)剪力方程和弯矩图
以x为横坐标，剪力Q为纵坐标→Q-x图。以x为横坐标，弯矩M为纵坐标→M-x图。
15
[例4-1] 试作出如图所示简支梁的剪力图和弯矩图。
第4章平面弯曲
平面弯曲计算简单超静定梁的求解压杆的稳定性简介
1
第
4.1 平面弯曲的概念和实例
4
4.2 平面弯曲的内力分析
章
4.3 平面弯曲的正应力计算
4.4 平面弯曲的变形计算
平
面 4.5 简单超静定梁的求解
弯曲 4.6 压杆稳定性简介
目录
2
4.1 平面弯曲的概念和实例
(1)实例：
桥式起重机
A
y 2 dA
2 h
y2
bdy
b13
2
y
3
2
h
2
bh3 12
bh3
WZ
IZ ym ax
12
h
2
bh2
6
28
(2)圆形截面
D
Iz
y2dA
A
3 sin 2 dd
2
2
3d sin 2 d
D 4
0
0
64
(3)圆环形截面
Wz
Iz ymax
D4 64 D3
D 2 32
内径为d 外径为
2) 纵线(a-a,b-b)弯曲成曲线，且梁的一侧伸长，另一侧缩短。
纯弯曲梁的变形特点图4-10 纯弯曲梁的变形特点

材料力学第五章平面弯曲

1.弯矩最大的截面上
2.离中性轴最远处 3.变截面梁要综合考虑 M 与Wz 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑：
t ,max t
c,max c
例题5-1
q=60kN/m
1.C 截面上K点正应力
120
A
YA
1m
B C
l = 3m
FB
180
x
30 K
2.C 截面上最大正应力
3.全梁上最大正应力 z 已知E=200GPa，
y
Q
90kN
解：1. 求支反力 YA

x
90kN
FB 90kN

M C 90 1 60 1 0.5 60kN m
90kN
bh3 0.12 0.183 IZ 5.832 105 m 4 12 12
1 1 1 1
)
1
1
a A c
b B d A1 O
( y )d d y d
x
y

(1)
——中性层的曲率半径
（二）物理关系：
E
Ey

(2)
（三）静力学平衡关系：
N dA 0 ,
A

Ey
A

dA
E

A
ydA
ES z

0
S z 0 z (中性)轴必定通过截面形心。

(2)
My IZ
该截面弯矩
该点到中性轴距离
My Iz
横截面上某点正应力该截面惯性矩
My IZ
条件：
1） p

力学基础-(八) 梁的弯曲

ql FQ (l ) 2
用两点式画出剪力图的斜直线。
x
4. 画弯矩图
M(0) 0
ql 2 M(l / 2)
8
M(l) 0
用三点坐标描出弯矩图的二次曲线。
13
任务八梁的弯曲
弯曲剪力图和弯矩图
2.画剪力图和弯矩图的简便方法
（1）集中力作用处
剪力图有突变，突变幅值等于力的大小，方向与力同向。
x
（4）集中力偶作用处剪力图不变化。
弯矩图有突变，突变幅值等于力偶矩的大小，方向顺时针向上突变，反之向下。
14
任务八梁的弯曲
弯曲剪力图和弯矩图
应用举例
例图示跨长为l的简支梁AB，中点C 作用集中力F，试用简便画法画
梁剪力图和弯矩图。
F
A
l/2 FA=F/ FQ 2 F/
C l/2
B FB=F/
MA
A FA
x
l
FQ
F
F B
x
M
Fl
x
从上例可以得出
结论1：无荷载作用的梁段上剪力图为常量; 弯矩图为斜直线。
确定直线两点的坐标，A点的临近截面A+的弯矩值
MA+=-Fl
B点的临近截面B -的弯矩值 MB-=-F·=0
12
任务八梁的弯曲
弯曲剪力图和弯矩图
应用举例
例图示的简支梁AB，作用均布荷载q，建立剪力、弯矩方程，画梁的
MA
A FA
x
l
FQ
F
M
-Fl
F
B
xC
FA
x
FQ
ql/
2
xM
l/2
ql/

建筑力学(6-2章)

M=FAy x ()
弯矩M ：构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。剪力FQ ：构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。
A
FAy M
FQ C FQ C FBy M FP
第4章弯曲杆的强度计算（2）
二、剪力和弯矩的正负号规定剪力：外力使脱离体产生顺时针转动趋势时为正
FP b (↑) l FP a FB y = (↑) l
FAy=
第4章弯曲杆的强度计算（2）
a
FP
C
b
B
A
Fb FAy l
l
FBy Fa l
AC段：距A端为x1的任意截面1-1以左研究
FP b 0 x1 a FQ1＝FAy l Fb M 1＝FAy x1 P x1 0 x1 a l
0 x2 b 0 x2 b
FQ x1 M / l
0 x1 a
a A C
b B
M x1 Mx1 / l
FQ x2 M / l
M x2 Mx2 / l
0 x1 a 0 x2 b 0 x2 b
a
A
FP B
设荷载FP和支座反力FAy、
FBy均作用在同一纵向对称平
面内，组成了平衡力系使梁处于平衡状态，欲计算任一截面1-1上的内力。
l
A FAy FP B
FBy
第4章弯曲杆的强度计算（2）
∑Fy=0
∑MC=0
FAy－FQ=0
－FAy x+M=0 FyA
A
1
FP
B
FQ=FAy (↓)
1 x FBy
M = 75kN· m 3 3 4 4 B

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3-2 直梁弯曲时的内力分析
解： 1、先求支座反力： 1）A处支座反力为：
Pb RA l
2）B处支座反力为：
Pa RB l
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
2、作剪力图： 1）AC段梁的剪力方程为：
Pb Q1 l
(0 x1 a)
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
2、内力符号规定： 1）剪力：横截面上的剪力Q使该截面的邻近微段有作顺时针转动趋势时取正号；有反时针转动趋势时取负号。
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、弯曲变形与应力的关系 1、纵向纤维的线应变：

bb O O
OO
( y)d d d
3-1 平面弯曲的概念
1、弯曲：当杆件受到垂直于杆轴线的外力（即横向力）或力偶作用时，杆的轴线由直线变成曲线的变形。
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-1 平面弯曲的概念
2、梁：以弯曲变形为主的杆件。
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-1 平面弯曲的概念
6、梁的类型：梁根据约束有以下三种基本类型： 1）简支梁 2）外伸梁 3）悬臂梁（注：以上梁都为静定梁）
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3-2 直梁弯曲时的内力分析
一、内力 1、剪力和弯矩直梁弯曲时横截面上将产生两种内力，即剪力和弯矩。
2）两条纵向线aa、变成
bb
曲线
梁的轴线内凹一侧的纵向线aa缩短了，
外凸一侧的纵向线bb伸长了。
中性层既不伸长也不缩短。
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
2、梁纯弯曲问题的假设： 1）梁变形前后横截面均为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内的某一轴线旋转了一个角度。 2）纤维互不挤压假设：纵向纤维只受轴向拉压，他们之间没有相互挤压。故梁的横截面上只产生拉（压）应力，而无剪应力。由于拉（压）应力都垂直于横截面，故为正应力。
3-1 平面弯曲的概念
3、纵向对称平面：
工程上常见的梁，其横截面都具有一根对称轴y。
纵向对称面—由对称轴和梁的轴线组成的平面。
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-1 平面弯曲的概念
4、平面弯曲：梁由直线在纵向对称平面内变成曲线的弯
曲。 5、载荷分类：
作用在梁上的载荷一般可分为三种： 1）集中载荷（KN，N） 2）分布载荷（N/m） 3）集中力偶（N·m，KN·m）
Q f1(x) M f2(x)
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
2、剪力图和弯矩图：
以如图所示受集中力P作用的简支梁为例来具体说明剪力图和弯矩图的作法。
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
一、纯弯曲时的变形现象与假设 1、变形现象： 1）两条横向线mm nn不再相互平行，而是相互倾斜，但仍然是直线，且仍与梁的轴线垂直。
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
M2

Pa l
(l

x2 )
(a x2 l)
3）弯矩图：见右图。
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
例
填料塔内支承填料用的栅条可简化为受均布载荷作用的简支梁。已知梁所受的均布载荷集度为q（N/m）,跨度为 l （m）. 试做该梁的剪力图和弯矩图。
2）弯矩：横截面上的弯矩M使该截面的邻近微
段发生上凹的弯曲变形时取正号；使其发生下凹的弯曲变形使取负号。
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
二、剪力图和弯矩图 1、剪力方程和弯矩方程：若以梁的轴线x为横坐标，表示横截面的位置，则剪力和弯矩均可表示为x的函数，即：
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
3）纵向纤维的变形（伸长或缩短）与它到中性层的距离有关，在横截面的同一高度处，梁的纵向纤维的变形是相同的，与它在横截面宽度上的位置无关。
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
例
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
例
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
剪切弯曲：横截面上既有剪力又有弯矩。纯弯曲：横截面上只有弯矩而无剪力。
2008.9～2009.1
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
例
解：1 、求支座反力：
RA

RB

1 ql 2
2、列剪力方程和
弯矩方程：
Q

RA

qx

ql 2

qx
(0 x l)
M

RAx qx
x 2

ql 2
x
q 2
x2
(0 x l)
3、作剪力图和弯矩图：
2008.9～2009.1
2）CB段梁的剪力方程为：
Pa Q2 l
(a x2 l)
3）剪力图：见右图。
2008.9～2009.1
第三章直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
3、作弯矩图: 1）AC段梁的弯矩方程为：
M1

Pb l
x1
(0 x1 a)
2）CB段梁的弯矩方程为：