平面向量的概念及表示
平面向量的概念
平面向量的概念平面向量是数学中的一个重要概念，是指由两个矢量组成的有向线段。
平面向量通常用加粗的小写字母来表示，例如a、b等。
平面向量具有长度和方向两个基本属性，同时也具有加法、减法、数乘等运算，可用于求解各种几何和物理问题。
平面向量的表示方法有两种，一种是初末点法。
即用平面上两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)来表示平面向量AB。
向量AB的表示方法为AB=(x2-x1,y2-y1)。
另一种是分量表示法，即将平面向量投影到坐标轴上，用坐标表示向量的长度和方向。
例如，向量AB在x 轴上的投影为x轴方向上的分量a，y轴方向上的投影为y轴方向上的分量b，则向量AB 可以表示为AB=a+b。
平面向量的长度可以用勾股定理求解，即向量AB的长度为√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
方向可以用夹角cos求解，即两个向量的夹角cosθ=AB·CD/|AB|·|CD|，其中·表示点乘，|AB|和|CD|分别表示向量AB和CD的长度。
平面向量具有加法和减法运算，其运算方法为：对应坐标相加或相减。
例如向量AB 和向量CD的和为向量AC，其坐标为AC=(x2-x1+x4-x3,y2-y1+y4-y3)。
减法也是同样的方法。
数乘则是将向量的长度与方向进行分解，再将其乘以一个实数k，具体计算方法为：向量kAB=k(x2-x1,y2-y1)=(kx2-kx1,ky2-ky1)。
平面向量的重要应用之一是向量叉乘，即将两个向量进行叉乘，得到的结果是一个新的向量，并且该向量垂直于原来的向量。
例如向量AB和向量CD的叉乘为向量n，其坐标为n=AB×CD=[(y2-y1)(z4-z3)-(z2-z1)(y4-y3),(z2-z1)(x4-x3)-(x2-x1)(z4-z3),(x2-x1)(y4-y3)-(y2-y1)(x4-x3)]。
向量叉乘在计算平面和空间中的向量积、平面的法线、对称线等问题中都有着广泛的应用。
平面向量的概念与性质
平面向量的概念与性质平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何学、物理学和工程学等领域中被广泛应用。
平面向量具有一些独特的性质，其概念和性质对于我们理解和解决许多实际问题至关重要。
一、平面向量的定义平面向量表示平面上的一个有向线段，可以用带箭头的直线段来表示。
平面向量常用字母加箭头上方加粗体来表示，例如向量a表示为→a。
平面向量有大小和方向两个基本属性。
二、平面向量的表示方法1. 分量表示法：平面向量可以由两个分量表示，分别是在x轴和y 轴上的投影。
设平面向量→a的分量分别为a1和a2，那么→a = a1i + a2j，其中i和j分别是x轴和y轴的单位向量。
2. 基点表示法：平面向量还可以通过起点和终点来表示。
以A为起点，B为终点的向量→AB可以简写为→AB。
三、平面向量的运算平面向量有加法和数乘两种基本的运算方式。
1. 加法运算：向量的加法满足平行四边形法则。
设向量→a的起点为A，终点为B，向量→b的起点为B，终点为C，则向量→a + →b的起点为A，终点为C。
2. 数乘运算：向量的数乘是指向量与一个实数的乘积。
设实数k，向量→a的起点为A，终点为B，则k→a的起点仍为A，终点为D，且AB与AD在同一直线上，且向量BD与向量AB方向相同（k>0）或相反（k<0）。
四、平面向量的性质1. 平行性：如果两个向量的方向相同或相反，即平行或反平行，那么这两个向量是平行的。
2. 零向量：零向量是一个特殊的向量，它的大小为0，不具备明确的方向。
3. 模长：向量的模长表示向量的大小，用|→a|来表示。
根据勾股定理，模长可以通过向量的分量计算得到，|→a| = √(a1² + a2²)。
4. 单位向量：模长为1的向量称为单位向量。
可以通过将向量除以它的模长得到单位向量，→a/|→a|。
5. 共线性：如果两个向量的方向相同、相反或平行，即它们可被放大或缩小到重合或相反方向，那么这两个向量是共线的。
平面向量的基本概念和表示方法
平面向量的基本概念和表示方法平面向量是向量的一种特殊形式，它在平面上具有方向和大小。
在数学和物理学中，平面向量是一种常见的工具，用于描述物体的位移、力的作用、速度的方向等等。
本文将介绍平面向量的基本概念和表示方法。
一、基本概念平面向量由两个有序数构成，其中，第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。
向量通常用小写字母加箭头来表示，比如向量a可以表示为➡a。
平面向量有三个重要的性质，即方向、大小和起点。
向量的方向由向量指向的位置决定，大小由向量的长度表示，起点是向量的起始位置。
二、表示方法平面向量有多种表示方法，下面介绍其中常见的两种方法：坐标表示法和分解表示法。
1. 坐标表示法坐标表示法是一种常见的表示方法，将向量的两个分量表示为一个有序数对。
例如，向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x 轴上的分量，a₂表示向量在y轴上的分量。
以单位向量为例，单位向量在坐标表示法中的坐标为(1, 0)和(0, 1)，分别代表x轴和y轴的正方向。
2. 分解表示法分解表示法是将向量分解成两个分量的和的形式。
以向量a为例，向量a可以分解为两个分量i和j的线性组合，即a = ai + aj。
其中，i 表示向量在x轴上的分量，j表示向量在y轴上的分量。
这种表示方法更直观，能够清晰地描述向量的方向和大小。
三、向量运算平面向量有四种基本运算，即加法、减法、数乘和点乘。
下面分别介绍这四种运算。
1. 加法向量加法将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
例如，向量a和向量b的和可以表示为a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。
向量加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 减法向量减法将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
例如，向量a和向量b的差可以表示为a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。
平面向量的定义及表示方法
平面向量的定义及表示方法平面向量是在平面上具有大小和方向的量。
它可以用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
在数学中，我们通常用字母加上一个箭头来表示向量，如A B⃗，坐标上的A点到B点的向量。
平面向量的定义表明，它不仅仅是点之间的连线，它还具有独立的数学性质和运算规则。
我们可以通过平移、加法、乘法等操作来处理平面向量。
在平面向量的表示方法方面，有几种常用的方式，包括坐标表示法、分量表示法和向量的单位表示法。
1. 坐标表示法：在笛卡尔坐标系中，平面上的向量可以用坐标表示。
如果A和B是平面上的两个点，那么向量A B⃗的坐标可以表示为(ABx, ABy)，其中ABx表示向量在x轴的投影，ABy表示向量在y轴的投影。
2. 分量表示法：分量表示法是将平面向量投影到坐标轴上的方法。
对于向量A B⃗，它可以表示为A B⃗ = x⃗ i + y⃗ j，其中x⃗和y⃗分别表示向量的x和y方向的分量，i和j是坐标轴上的单位向量。
3. 向量的单位表示法：向量的单位表示法将向量的大小统一为1的向量，用于表示向量的方向。
在平面向量中，单位向量通常用i和j表示，其中i表示x轴的正方向，j表示y轴的正方向。
例如，向量A B⃗的单位向量可以表示为A B⃗ /|A B⃗ | = (ABx / |A B⃗ |) i + (ABy / |A B⃗ |) j。
除了上述常见的表示方法，平面向量还有一些其他的表示方法，如极坐标表示法和共线向量表示法，用于特殊情况下的向量表示和计算。
总结起来，平面向量可以用箭头表示，通过定义和表示方法，我们可以准确地描述和计算平面上的物理量和几何问题。
不同的表示方法可以根据具体情况和需要灵活运用，帮助解决实际问题和计算。
掌握平面向量的定义和表示方法，对于数学和物理学习都具有重要的意义。
平面向量知识点总结归纳
平面向量知识点总结归纳一、向量的基本概念1. 向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量。
例如，物理学中的力、位移、速度等都是向量。
向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量的大小叫做向量的模，记作a（对于向量a）。
模为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的。
模为1的向量叫做单位向量。
2. 向量的表示方法几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的起点和终点分别表示向量的起点和终点。
例如，以A为起点，B为终点的向量记作AB。
字母表示：用小写字母a,b,c,表示向量。
3. 相等向量与平行向量相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
若a=b，则a=b且a与b方向相同。
例如，在平行四边形ABCD中，AB=DC。
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
规定零向量与任意向量平行。
若a与b是平行向量，则记作ab。
例如，在梯形ABCD中，ADBC。
二、向量的运算1. 向量的加法三角形法则已知非零向量a,b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC=a+b。
例如，若a表示向东3个单位长度的位移，b表示向北4个单位长度的位移，那么a+b表示向东北方向5个单位长度（根据勾股定理3^2+4^2 = 5）的位移。
平行四边形法则已知两个不共线向量a,b，作AB=a，AD=b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则向量AC=a+b。
运算律：向量加法满足交换律a+b=b+a，结合律(a+b)+c=a+(b+c)。
2. 向量的减法定义：向量a与b的差ab=a+(b)，其中b是b的相反向量，b与b大小相等，方向相反。
三角形法则：已知向量a,b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则向量BA=ab。
3. 向量的数乘定义：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度a=a，它的方向当> 0时与a相同，当<0时与a相反，当= 0时，a=0。
平面向量的概念和运算
平面向量的概念和运算一、概念介绍平面向量是指在平面内用有向线段表示的量，具有大小和方向。
平面向量常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
二、平面向量的表示方法平面向量可以用两点表示，如果两点分别为A和B，那么向量AB通常用→AB表示，A为向量的起点，B为向量的终点。
向量的大小记为|→AB|。
三、平面向量的运算1. 向量加法向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设向量→AB和→CD，可以将向量→AB和向量→CD的起点放在一起，将向量→CD的终点放在向量→AB的终点，这样得到的向量就是→AB + →CD。
2. 向量减法向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设向量→AB和→CD，可以将向量→AB的起点放在→CD的终点，将向量→AB的终点放在→CD的起点，这样得到的向量就是→AB - →CD。
3. 数乘运算数乘运算是指将向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
设向量→AB，实数k，那么k→AB的大小为|k|×|→AB|，方向与→AB相同（当k > 0）或相反（当k < 0）。
4. 平面向量的数量积平面向量→AB和→CD的数量积（又称点积、内积）定义为|→AB|×|→CD|×cosθ，其中θ为→AB和→CD之间的夹角。
5. 平面向量的向量积平面向量→AB和→CD的向量积（又称叉积、外积）定义为一个新的向量→E，其大小等于|→AB|×|→CD|×sinθ，方向垂直于→AB和→CD所在的平面，符合右手法则。
四、平面向量的应用平面向量的概念和运算在数学和物理学中有着广泛的应用。
例如，在力学中，用平面向量可以表示力的大小和方向；在几何学中，可以用平面向量表示线段的长度和方向。
总结：平面向量是用有向线段表示的量，具有大小和方向。
平面向量的运算包括向量加法、向量减法、数乘运算、数量积和向量积。
平面向量的应用涉及数学和物理学的各个领域。
平面向量知识点梳理
平面向量知识点梳理第一篇：一、平面向量的基本概念及表示方法1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
2. 平面向量的表示方法：平面向量通常用有向线段来表示，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
二、平面向量的运算法则1. 向量的加法：将两个向量的起点放在一起，然后将两个箭头相连，连接结果的箭头即为两个向量相加的结果。
2. 向量的减法：将两个向量的起点放在一起，然后将第二个向量取反，再按向量加法的法则进行运算。
3. 向量的数乘：将向量的长度与一个数相乘，结果的方向保持不变，只改变了大小。
三、平面向量的性质1. 平面向量的相等：两个向量的大小和方向完全相同，则它们是相等的。
2. 平面向量的负向量：具有相同大小但方向相反的向量称为原向量的负向量。
3. 平面向量的数量积：两个向量的数量积等于两个向量的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
4. 平面向量的夹角：两个向量的夹角是一个锐角，它与它们的余弦值有关。
5. 平面向量的线性相关与线性无关：若存在不全为零的实数使得向量的线性组合等于零向量，则称这些向量线性相关；否则称这些向量线性无关。
四、平面向量的坐标表示1. 平面向量的坐标表示方法：平面向量可以用有序数对或者列向量来表示。
2. 平面向量的坐标运算：平面向量的加法、减法和数乘运算可以通过对应元素之间的运算来进行。
五、平面向量的标准表示1. 平面向量的标准表示方法：平面向量可以表示为单位向量与它的长度的乘积。
2. 平面向量的标准化：将向量除以它的模长，使其成为单位向量。
六、平面向量的数量积1. 平面向量的数量积的计算：将两个向量的对应坐标相乘，再将相乘结果相加。
2. 平面向量的数量积与夹角：两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
以上是平面向量的一些基本概念、运算法则、性质和表示方法的梳理。
通过学习平面向量，我们可以更好地理解和应用向量的概念，并在几何问题中进行计算和推导。
2.1平面向量的概念及表示
AB,
或a
向量与有向线段的区别：
（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个 要素；只要大小和方向相同，则这两个向量 就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要 素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是 不同的有向线段。
三. 向量的有关概念
1.向量的长度(模): 向量 AB 的大小(长度)
对向量的大小和方向都明确规定
r
r
与a长度相等，方向相反的向量叫a的相反向量，
r 记为 a
a
（ a) a
a
比如作用力与反作用力
平行向量:方向相同或相反的非零向量叫平行 向量（也叫共线向量）。
仅对向量的方向明确规定，而 没有对向量的大小明确规定
a
b
c
d
例1．判断下列命题真假或给出问题的答案：
（1）平行向量的方向一定相同． × （2）不相等的向量一定不平行． ×
（黑体字）来表示。
4．向量的长度：向量的大小就是向量的长度
（或称为模）。记作
|
AB
|
5．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记
作0（黑体字）。
6．单位向量：长度为1的向量叫做单位向量。
7．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量。
如图：a、b、c就是一组平行向量。 记作：a∥b∥c。 规定：零向量0与任一向量平行。
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ 零向量 （4）存在与任何向量都平行的向量吗？ 零向量 （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是 什么向量？ 平行向量（共线向量） （6）两个非零向量相等的条件是什么？
模相等且方向相同
（7）共线向量一定在同一直线上． ×
练习1：判断下列各命题是否正确？ ur ur ur uur
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5、在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则 < ）EmxvxOtOco
A. 与 共线 B. 与 共线 C. 与 相等 D. 与 相等
6、两个向量共线是两个向量Байду номын сангаас等的 < ）SixE2yXPq5
A、 充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、 既不充分也不必要条件
6.注意下列写法是错误的：
①a－a＝0。 ② ＋ ＋ ＝0。xHAQX74J0X
③a＋0＝a。 ④｜a｜－｜a｜＝0.
7.平行向量与相等向量
方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也即共线向量，并且规定0与任一向量平行.长度相等且方向相同的向量叫相等向量，规定零向量与零向量相等.LDAYtRyKfE
平行向量不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即向量平行是向量相等的必要条件.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.
④、⑤正确.
⑥不正确.如图， 与 共线，虽起点不同，但其终点却相同. RTCrpUDGiT
评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.
向量的概念及表示
1.向量的概念：
(我们把既有大小又有方向的量叫向量>
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母a、b等表示；
③用有向线段的起点与终点字母： .
3.零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0；
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.
是AB、BC、CD、DA中点，求证： 。
参考答案
一、选择题
ABDB、BB
二、填空题
1、2． 2、必要不充分。 3、6． 4、<2）、<3）。
5、菱形。 6、 或 、 方向相同。
三、解答题
1、略。
2、提示：EF、HG都与 平行且相等。
申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
<4）ACDB是平行四边形。则所有正确命题的序号是______。
5、在四边形ABCD中， ，且 ，那么ABCD是。
6、若 ，那么当时， 。
三、解答题
1、在直角坐标系xOy中，用有向线段表示下列向量：
<1） ， ， ；
<2） ， ， ；
<3） ， ， 。
2、在平面上有一个四边形ABCD，E、F、G、H分别
向量的概念同步练习
一、选择题
1、下列物理量中， 不能称为向量的是 < ）Zzz6ZB2Ltk
A．距离 B．加速度 C．力 D．位移
2、下列四个命题正确的是 < ）dvzfvkwMI1
A．两个单位向量一定相等 B．若 与 不共线，则 与 都是非零向量
C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
3、下列说法错误的是 < ）rqyn14ZNXI
A．向量 的长度与向量 的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等
4、对于以下命题：<1）平行向量一定相等； <2）不相等的向量一定不平行；
<3）共线向量一定相等；<4）相等向量一定共线。其中真命题的个数是 < ）
4.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.
说明：(1>综合①、②才是平行向量的完整定义；
(2>向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.
5.相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：(1>向量a与b相等，记作a＝b；
(2>零向量与零向量相等；
(3>任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 ＝ ；p1EanqFDPw
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
分析：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量 、 在同一直线上.DXDiTa9E3d
6.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，系这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.
说明：
(1>平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
(2>共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
［例1］判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量 与 是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；b5E2RGbCAP
评述：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要启发学生注意这两方面的结合.jLBHrnAILg
说明：
1.向量有三个要素：起点、方向、长度.
2.向量不能比较大小，但向量的长度(或模>可以比较大小
3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.
4.向量a与实数a.
5.零向量0与实数0
二、填空题
1、与非零向量 平行的单位向量的个数是_______。
2、 是 的_____条件。
3、已知B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出_____个互不相等的非零向量。6ewMyirQFL
4、已知平面上不共线的四点满足 ，则以下四个命题：
<1）ABCD是平行四边形；<2）ACBD是平行四边形；<3）ADBC是平行四边形；
【例2】：下列命题正确的是<）
A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
分析：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确，由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确.对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量，所以应选C.5PCzVD7HxA