第一节平面向量的概念及运算性质

第一节平面向量的概念及其线性运算[知识能否忆起]一、向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．二、向量的线性运算平行四边形法则1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λ a＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb.四、共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.[小题能否全取]1．下列命题正确的是( ) A ．不平行的向量一定不相等 B ．平面内的单位向量有且仅有一个C ．a 与b 是共线向量，b 与c 是平行向量，则a 与c 是方向相同的向量D ．若a 与b 平行，则b 与a 方向相同或相反解析：选A 对于B ，单位向量不是仅有一个，故B 错；对于C ，a 与c 的方向也可能相反，故C 错；对于D ，若b ＝0，则b 的方向是任意的，故D 错，综上可知选A.2.如右图所示，向量a －b 等于( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2解析：选C 由题图可得a －b ＝BA ＝e 1－3e 2.3．(教材习题改编)设a ，b 为不共线向量，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，则下列关系式中正确的是( )A ．AD ＝BCB ．AD ＝2BC C ．AD ＝－BCD ．AD ＝－2BC解析：选B AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝a ＋2b ＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC .4．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |＝________. 解析：|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AD |＝2. 答案：25．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎨⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－13共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．典题导入[例1]给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为()A．1B．2C．3 D．4[自主解答]①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC.又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC且AB与DC方向相同，因此AB＝DC.③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．[答案] C由题悟法1．平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．2．几个重要结论(1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；(3)向量平行与起点的位置无关.以题试法1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.典题导入[例2] (1)(2011·四川高考)如图，正六边形ABCDEF 中，BA ＋CD ＋EF ＝( )A ．0B ．BEC ．ADD ．CF(2)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13D ．－23[自主解答] (1)如图，∵在正六边形ABCDEF 中，CD ＝AF ，BF ＝CE ，∴BA ＋CD ＋EF ＝BA ＋AF ＋EF ＝BF ＋EF ＝CE ＋EF ＝CF ―→.(2)∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD . 又∵AD ＝2DB ，∴2CD ＝CA ＋CB ＋13AB＝CA ＋CB ＋13(CB －CA )＝23CA ＋43CB . ∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23.[答案] (1)D (2)A若(2)中的条件作如下改变：若点D是AB边延长线上一点且|BD|＝|BA|，若CD＝λCB＋μCA，则λ－μ的值为________．解析：∵CD＝CA＋AD＝CA＋2AB＝CA＋2(CB－CA)＝2CB－CA＝λCB＋μCA.∴λ＝2，μ＝－1.∴λ－μ＝3.答案：3由题悟法在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则求解，并注意利用平面几何的性质，如三角形中位线、相似三角形等知识．以题试法2．(2012·汉阳调研)若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选C①式的等价式是AB－BC＝DA－CD，左边＝AB＋CB，右边＝DA＋DC，不一定相等；②式的等价式是AC－BC＝AD－BD，AC＋CB＝AD＋DB＝AB成立；③式的等价式是AC－DC＝AB＋BD，AD＝AD成立．典题导入[例3]设两个非零向量a与b不共线．(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．[自主解答](1)证明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB.∴AB ，BD 共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，BC ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，即k 2－1＝0. ∴k ＝±1.由题悟法1．当两向量共线时，只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，解决向量共线问题要注意待定系数法和方程思想的运用．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．以题试法3．已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OB ＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE ＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD ，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．[典例](2012·四川高考)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A．a＝－b B．a∥bC．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|[尝试解题]对于A，当a＝－b时，a|a|≠b|b|；对于B，注意当a∥b时，a|a|与b|b|可能反向；对于C，当a＝2b时，a|a|＝2b|2b|＝b|b|；对于D，当a∥b，且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时a|a|≠b|b|.综上所述，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是a＝2b.[答案] C——————[易错提醒]——————————————————————————1.解答本题的易误点有两点：(1)不知道a|a|，b|b|分别表示与a，b同向的单位向量.(2)误认为由|a|＝|b|及a∥b能推出两向量a|a|，b|b|相等，而忽视了方向.2.解决向量的概念问题要注意两点：(1)要考虑向量的方向；(2)要考虑零向量是否也满足条件.——————————————————————————————————————针对训练1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由a∥b⇒a＝λb，不能得出a＋b＝0.2．已知向量p＝a|a|＋b|b|，其中a，b均为非零向量，则|p|的取值范围是()A．[0， 2 ] B．[0,1]C．(0,2] D．[0,2]解析：选D由已知向量p是两个单位向量的和，当这两个单位向量同向时，|p|max＝2，当这两个单位向量反向时，|p |min ＝0.1．下列等式：①0－a ＝－a ；②－(－a )＝a ；③a ＋(－a )＝0；④a ＋0＝a ；⑤a －b ＝a ＋(－b )．正确的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C a ＋(－a )＝0，故③错．2．(2012·福州模拟)若a ＋b ＋c ＝0，则a ，b ，c ( ) A ．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 B ．一定不可能构成三角形 C ．都是非零向量时能构成三角形 D ．一定可构成三角形解析：选A 当a ，b ，c 为非零向量且不共线时可构成三角形，而当a ，b ，c 为非零向量共线时不能构成三角形．3．(2012·威海质检)已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA ＋2OC ＝3OB ，则|BC ||AB |的值为( )A.12B.13C.14D.16解析：选A 由OA ＋2OC ＝3OB ，得OA －OB ＝2OB －2 OC ，即BA ＝2CB ，所以|BC ||AB |＝12.4．(2012·海淀期末)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点(靠近B )，那么EF ＝( )A.12 AB －13AD B.14 AB ＋12AD C.13 AB ＋12DAD.12 AB －23AD 解析：选D 在△CEF 中，有EF ＝EC ＋CF ，因为点E 为DC 的中点，所以EC ＝12DC .因为点F 为BC 的一个三等分点，所以CF ＝23CB .所以EF ＝12DC ＋23CB ＝12AB ＋23DA ＝12AB －23AD .5．(2013·揭阳模拟)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋CO ＝0，则△ABC 的内角A等于()A．30°B．60°C．90°D．120°解析：选A由OA＋OB＋CO＝0得OA＋OB＝OC，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故A＝30°.6．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足PA＋PB＋PC＝AB，则点P与△ABC 的关系为()A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边所在直线上D．P是AC边的一个三等分点解析：选D∵PA＋PB＋PC＝AB，∴PA＋PB＋PC＝PB－PA，∴PC＝－2PA＝2AP，∴P是AC边的一个三等分点．7．(2012·郑州五校联考)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB －AC|，则|AM|＝________.解析：由|AB＋AC|＝|AB－AC|可知，AB⊥AC，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，|AM|＝12|BC|＝2.答案：28．(2013·大庆模拟)已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量OA，OB，OC，OD满足等式OA＋OC＝OB＋OD，则四边形ABCD的形状为________．解析：∵OA＋OC＝OB＋OD，∴OA－OB＝OD－OC，∴BA＝CD.∴四边形ABCD为平行四边形．答案：平行四边形9．设向量e1，e2不共线，AB＝3(e1＋e2)，CB＝e2－e1，CD＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________．解析：由AC＝AB－CB＝4e1＋2e2＝2CD，且AB与CB不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上．答案：④10．设i，j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且OA＝－2i＋m j，OB＝n i＋j，OC＝5i －j ，若点A ，B ，C 在同一条直线上，且m ＝2n ，求实数m ，n 的值．解：AB ＝OB －OA ＝(n ＋2)i ＋(1－m )j ，BC ＝OC －OB ＝(5－n )i －2j .∵点A ，B ，C 在同一条直线上， ∴AB ∥BC ，即AB ＝λBC . ∴(n ＋2)i ＋(1－m )j ＝λ[(5－n )i －2j ]． ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＋2＝λ(5－n )，1－m ＝－2λ，m ＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6，n ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝32.＝23AD ，11.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AEAB ＝a ，AC ＝b .(1)用a ，b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF ； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． 解：(1)延长AD 到G ， 使AD ＝12AG ，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ， 所以AG ＝a ＋b ，AD ＝12AG ＝12(a ＋b )， AE ＝23AD ＝13(a ＋b )， AF ＝12AC ＝12b ，BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )， BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE ＝23BF ，又因为BE ，BF 有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．12．设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB ＝2e 1－8e 2， CB ＝e 1＋3e 2，CD ＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ＝CD －CB ＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2∵AB ＝2e 1－8e 2，∴AB ＝2BD ，又∵AB 与BD 有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)由(1)可知BD ＝e 1－4e 2，且BF ＝3e 1－k e 2，∵B ，D ，F 三点共线，得BF ＝λBD ，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，－k ＝－4λ，解得k ＝12， ∴k ＝12.1.如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，则x ·y x ＋y 的值为( ) A ．3B.13 C ．2 D.12解析：选B (特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底面BC 的直线，易得x ·y x ＋y ＝13. 2．(2012·吉林四平质检)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM ＝AB ＋3AC ，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )A.15B.25C.35D.45解析：选C 设AB 的中点为D ，由5AM ＝AB ＋3AC ，得3AM －3AC ＝2AD －2AM ，即3CM ＝2MD ，如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD ＝35CD ，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为35，则△ABM 与△ABC 的面积比为35. 3．已知O ，A ，B 三点不共线，且OP ＝m OA ＋n OB ，(m ，n ∈R )．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明：(1)∵m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1，∴OP ＝m OA ＋n OB ＝m OA ＋(1－m ) OB ，∴OP －OB ＝m (OA －OB )．∴BP ＝m BA ，而BA ≠0，且m ∈R .∴BP 与BA 共线，又BP ，BA 有公共点B .∴A ，P ，B 三点共线．(2)∵A ，P ，B 三点共线，∴BP 与BA 共线，∴存在实数λ，使BP ＝λBA ，∴OP －OB ＝λ(OA －OB )．∴OP ＝λOA ＋(1－λ) OB .又∵OP ＝m OA ＋n OB ，∴m OA ＋n OB ＝λOA ＋(1－λ) OB .又∵O ，A ，B 不共线，∴OA ，OB 不共线．由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，n ＝1－λ. ∴m ＋n ＝1.1．已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，则a 与b 共线的条件是( )A ．λ＝0B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0解析：选D 若e 1与e 2共线，则e 2＝λ′e 1.因此a ＝(1＋λλ′)e 1，此时a ∥b .若e 1与e 2不共线，设a ＝μb ，则e 1＋λe 2＝μ·2e 1，因此λ＝0,1－2μ＝0.2.如图，已知AB ＝a ，AC ＝b ，BD ＝3DC ，用a ，b 表示AD ，则AD 等于( )A ．a ＋34b B.14a ＋34b C.14a ＋14bD.34a ＋14b 解析：选B AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋34BC ＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b .。