职高数学7.1.1平面向量的概念
平面向量的基本概念
平面向量的实际背景及基本概念1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
2.数量的概念：只有大小没有方向的量叫做数量。
数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 3.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。
4.有向线段的三要素：起点，大小，方向 5.有向线段与向量的区别； （1）相同点：都有大小和方向（2）不同点：①有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。
②向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在①中的两个有向线 段表示相同（等）的向量。
③向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成 6.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ；7.向量的模：向量AB 的大小（长度）称为向量的模，记作|AB |. 8.零向量、单位向量概念：长度为零的向量称为零向量，记为：0。
长度为1的向量称为单位向量。
9.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.即：0 ∥ａ。
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义； （2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 10.相等向量A(起点)B（终点）a长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．． 向线段的起点无关．．．．．．．．. 11.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．． 说明：（1）平行向量是可以在同一直线上的。
（2）共线向量是可以相互平行的。
例1.判断下列说法是否正确，为什么？ （1）平行向量是否一定方向相同？ （2）不相等的向量是否一定不平行？ （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （6）两个非零向量相等当且仅当什么？ （7）共线向量一定在同一直线上吗？解析：（1）不是，方向可以相反，可有定义得出。
平面向量的基本概念和表示方法
平面向量的基本概念和表示方法平面向量是向量的一种特殊形式，它在平面上具有方向和大小。
在数学和物理学中，平面向量是一种常见的工具，用于描述物体的位移、力的作用、速度的方向等等。
本文将介绍平面向量的基本概念和表示方法。
一、基本概念平面向量由两个有序数构成，其中，第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。
向量通常用小写字母加箭头来表示，比如向量a可以表示为➡a。
平面向量有三个重要的性质，即方向、大小和起点。
向量的方向由向量指向的位置决定，大小由向量的长度表示，起点是向量的起始位置。
二、表示方法平面向量有多种表示方法，下面介绍其中常见的两种方法：坐标表示法和分解表示法。
1. 坐标表示法坐标表示法是一种常见的表示方法，将向量的两个分量表示为一个有序数对。
例如，向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x 轴上的分量，a₂表示向量在y轴上的分量。
以单位向量为例，单位向量在坐标表示法中的坐标为(1, 0)和(0, 1)，分别代表x轴和y轴的正方向。
2. 分解表示法分解表示法是将向量分解成两个分量的和的形式。
以向量a为例，向量a可以分解为两个分量i和j的线性组合，即a = ai + aj。
其中，i 表示向量在x轴上的分量，j表示向量在y轴上的分量。
这种表示方法更直观，能够清晰地描述向量的方向和大小。
三、向量运算平面向量有四种基本运算，即加法、减法、数乘和点乘。
下面分别介绍这四种运算。
1. 加法向量加法将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
例如，向量a和向量b的和可以表示为a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。
向量加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 减法向量减法将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
例如，向量a和向量b的差可以表示为a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。
中职数学教案：平面向量的概念
江苏省XY中等专业学校2021-2022-1教案编号：备课组别上课日期主备教师授课教师课题：§7.1 平面向量的概念0教学目标掌握平面向量的概念及表示能够计算平面向量的模和向量的方向重点重点：平面向量的概念难点难点：平面向量的概念教法讲练结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容【课程引入】某学生在标准400m运动场上的百米起点A（1道）处出发，沿跑道跑完400m到终点（起点)A处。
（1）该生所跑的路程是多少？所发生的位移是什么?(2)如果该生从A处出发，跑完1500m，那么他所跑的路程是多少?位移是什么？（3）位移和路程这两个量有什么差别？A教学内容一，建构数学我们把既有大小又有方向的量称为向量。
我们常用一条有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
以A为起点、B为终点点向量(如图7--2（1)),记为AB，向量也可以用小写黑体字母表示，如a, b ,c等，向量大小称作量的长度（或模）。
向量AB的长度，记作AB；向量a的长度是一个数量，是非负实数。
长度为0的向量，记作0。
.零向量没有确定的方向。
长度为1 个单位长度的向量叫单位向量，记作e。
二，应用数学例1 如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，分别以点A,B,C为起点或终点，可以构成哪些向量?用有向线段表示这些项链并求出它门的模。
教学内容解分别以点A,B,C为起点活终点可以构成向量AB,BC,CA,AC.,BACB丨AB|=丨BA=5,|BC|=|CB|=13,|CA|=|AC|=4.例2 如图，设ABCD的边长分别为1和2，其所有的边能构成哪些向量?这些向量的模分别是多少？解ABCD的所有边可以构成向量BCAB,,,CD DA,,AD,DC CB,BA.|AB|=|BA|=|CD|=1,2====DAADCBBC三，理解数学练习，1.判断下列说法是否正确，并说明理由。
平面向量的基本概念与运算法则
平面向量的基本概念与运算法则平面向量是解决几何问题的重要工具之一，它能够描述物体在平面内的方向和大小，能够进行加减乘除等基本运算，为我们解决问题提供了很大的便利。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，帮助读者理解和运用平面向量。
1. 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。
平面向量通常用线段AB来表示，方向由起点A指向终点B，记作→AB或者AB。
2. 平面向量的表示和坐标平面向量可以使用坐标来表示。
设向量AB的起点为原点O，终点为点P(x,y)，则向量→AB可以表示为(x,y)。
其中，x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。
3. 平面向量的运算法则平面向量有多种基本运算法则，下面依次介绍：(1) 向量的加法：设向量→AB的终点为P(x1,y1)，向量→CD的终点为Q(x2,y2)，则向量→AB + →CD的终点为R(x1+x2 , y1+y2)。
也就是说，将两个向量的x轴和y轴分量分别相加，得到新的向量的坐标。
(2) 向量的减法：设向量→AB的终点为P(x1,y1)，向量→CD的终点为Q(x2,y2)，则向量→AB - →CD的终点为R(x1-x2 , y1-y2)。
也就是说，将两个向量的x轴和y轴分量分别相减，得到新的向量的坐标。
(3) 向量的数量乘法：设向量→AB的终点为P(x,y)，数k为实数，则k × →AB的终点为R(kx, ky)。
也就是说，将向量的每个分量分别乘以实数k，得到新的向量的坐标。
(4) 向量的点乘法：设向量→AB的终点为P(x1,y1)，向量→CD的终点为Q(x2,y2)，则→AB · →CD = x1 x2 + y1 y2。
也就是说，将两个向量的x轴和y轴分量分别相乘，再将结果相加，得到点乘法的结果。
4. 平面向量的性质平面向量有一些重要的性质，下面列举几个常用的性质：(1) 平行向量的性质：如果两个向量→AB和→CD平行，则它们可以表示为→AB = k × →CD，其中k为实数。
平面向量的概念与运算
平面向量的概念与运算平面向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将从平面向量的定义开始，介绍平面向量的概念以及基本运算，包括向量的加法、减法、数乘等，以便读者对平面向量有更深入的理解。
一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，常用有向线段表示。
在平面直角坐标系中，平移一个向量的有向线段，可以得到一个与原始向量大小和方向相同的向量。
平面向量通常用小写粗体字母表示，如a、b。
二、平面向量的表示平面向量可以用其在平面直角坐标系下的坐标表示。
设向量a的终点坐标为(x₁, y₁)，起点坐标为(0, 0)，则向量a可以表示为a = x₁i +y₁j，其中i和j分别表示x轴和y轴的单位向量。
三、平面向量的加法平面向量的加法遵循平行四边形法则。
设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b，连接向量a的起点与向量b的终点，该有向线段表示向量a + b。
其数学表示为a + b = (x₁ + x₂)i + (y₁ + y₂)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标，(x₂, y₂)为向量b的坐标。
四、平面向量的减法平面向量的减法可以通过将被减向量取反并进行加法运算得到。
设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b的负向量，连接向量a的起点与向量b的终点，该有向线段表示向量a - b。
其数学表示为a - b = (x₁ - x₂)i + (y₁ - y₂)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标，(x₂,y₂)为向量b的坐标。
五、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的长度进行缩放。
设k为一个实数，向量a乘以k后得到的向量记为ka，则ka = k(x₁i + y₁j) = (kx₁)i +(ky₁)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标。
六、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为内积或点积，用符号·表示。
设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b，则a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，θ是向量a和向量b之间的夹角。
中职教育-数学(基础模块)下册课件：第七章 平面向量.ppt
，E→．F
→
FG
（3）相等向量为
→
AB
C→D ，D→E
→
GH
．
（4）互为负向量的向量为
→
BC
D→E ，B→C
→
GH
．
7.2 平面向量的线性运算
7.2.1 平面向量的加法
如右图所示，一人从A点出发，走到B点，又从B点
走到C点，则他的最终位移
→
AC
可以看作是位移
→
AB
与
B→C 的和．
如右图所示，已知向量a与b，
解 位移是向量，它包括大小和方向 两个要素．本题中，虽然这两个向量的 模相等，但它们的方向不同，所以，两 辆汽车的位移不相同．如图所示为用有 向线段表示两辆汽车的位移．
方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量．向量a与b平行记作 a ∥b ． 如图所示，向量 a ，b ，c平行，任意作一条与向量a所在直线平行的直线l，
如右
图所示，
设有两个
非零向量
a
，b
，
作
→
OA
a
，O→B
b
，则
AOB θ(0°剟θ 180°) 称为向量 a ，b 的夹角．
显然，当 θ 0°时，a 与 b 同向；当 θ 180°时，a 与 b 反向；当 θ 90° 时，a 与 b 垂直，记作 a b ．
我们将 a b cosθ 称为向量 a ，b 的内积（或数量积），记作 a gb ，
7.1
• 平面向量的概念
7.2
• 平面向量的线性运算
7.3
• 平面向量的坐标表示
7.4
• 平面向量的内积
7.1 平面向量的概念
标量是指只有大小、没有方向的量，如长度、质量、温度、面积等； 向量是指既有大小、又有方向的量，如速度、位移、力等．
7.1平面向量的概念(1)
课题序号
教学班级
教学课时
教学形式
新授课
课题
名称
§7.1平面向量的概念(1)
使用教具
投影仪、电脑
教学目标
（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
（2）掌握向量的模、零向量、单位向量等概念；
（3）培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力；
（4）渗透数形结合思想、化归思想。
教学重点
①向量的模：向量 的大小称为向量的长度（或称为模），记作| |.
②零向量：长度为0的向量叫零向量，记作 .
思考： 与0的含义与书写区别.
③单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？
板书讲解
课堂教学安排
教学环节
主要教学内容
向量的定义及表示
教学难点
理解向量的大小、方向的整体性
更新、补充、
删节内容
课前准备
课外作业
书P34练习题2 P38习题3
板
书
设
计
平面向量的概念
1.向量的概念：
2.向量的表示方法：
3.向量的有关概念：
大小：向量的模，零向量，单位向量
4、举例
教
学
感
想
课堂教学安排
教学环节
主要教学内容
教学手段
与方式
引入
（一）情景设置
(1)湖面上有三个景点O,A,B,（如图）一游艇将
游客从景点O送至景点A,半小时后，游艇再将游客
送至景点B.从景点O到景点A有一个位移，从景点
A到景点B也有一个位移。
位移和距离这两个量有什么不同？
平面向量知识点总结归纳
平面向量知识点总结归纳在数学中，平面向量是一个有大小和方向的量，常用于解决几何和代数的问题。
平面向量具有许多重要的性质和应用，本文将对平面向量的相关知识点进行总结归纳。
一、基本概念1. 平面向量的表示：平面向量通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量a可以写作a→，其中箭头表示向量的方向。
2. 平行向量：两个向量具有相同或相反的方向时，称它们为平行向量。
平行向量的模长相等。
3. 零向量：所有分量都为零的向量称为零向量，用0→表示。
零向量的模长为0。
4. 向量共线：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为共线向量。
二、向量运算1. 向量加法：向量加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新向量。
向量加法满足交换律和结合律。
2. 向量减法：向量减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新向量。
向量减法可以转化为向量加法，即a→ - b→ = a→ + (-b→)。
3. 数乘运算：向量与一个实数相乘，可以改变向量的大小和方向，称为数乘运算。
4. 内积运算：向量的内积又称为点乘运算，表示两个向量之间的夹角关系。
内积的结果是一个实数，可以用向量的模长和夹角的余弦表示。
5. 外积运算：向量的外积又称为叉乘运算，用于求得两个向量所确定的平行四边形的面积和方向。
外积的结果是一个向量。
三、向量的性质1. 平行四边形法则：如果将两个向量的起点放在一起，则另外两个端点形成的四边形为平行四边形。
2. 模长计算：向量的模长是指向量的长度，可以用勾股定理计算。
3. 单位向量：模长为1的向量称为单位向量，可以通过将向量除以它的模长得到。
4. 点积性质：点积具有分配律、交换律和数量积与夹角的余弦值相关等性质。
5. 叉积性质：叉积具有反交换律、分配律和数量积与夹角的正弦值相关等性质。
四、向量的应用1. 几何问题：平面向量可以用于解决几何问题，如线段的平移、直线的垂直和平行判定等。
2. 物理学中的力：力可以用向量表示，通过向量运算可以求得多个力的合力和分力。
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例1 画出下列向量 1.向东3厘米；
2.向南4厘米；
例2 判断真假
1.零向量就是0； 2.在一个平面内，可以有很多单位向量；
0与0的 区别
巩固知识
典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机 从A处朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？ 分别用有向线段表示两架飞机的位移．两架飞机位移的有向线 段表示分别为图中的有向线段 a 与 b ． 下列各图中哪个表示 正确？
D
考一考
道路路标知多少？
方向
距离
猫能捉住老鼠吗?
•老鼠由A向东北方向以6m/s 的速度逃窜,而猫由B向东南 方向10m/s的速度追. 问猫能 否抓到老鼠?
A
B
嘻嘻!大笨猫！
C
你方向错了！
唉, 哪儿去了 ?
找准方向+看到差距+努力=成功
D
如图所示，用100N的力，按照不同的方向拉一辆车，效 果一样吗？
找出所有相 等向量；
J
找出所有 平行向量；
J
找出所有负 向量；
J
如图所示，D、E、F为
A
△ABC三边AB、BC、CA的
F
D
中点;
C
B
写出与DF相等的向量；
E
如图所示，D、E、F为
A
△ABC三边AB、BC、CA
F
D
的中点;
写出ED的负向量；
B E C
如图所示，D、E、F为
A
△ABC三边AB、BC、CA
位移、力、 速度
学一学
大小
方向
向量
注：向量
用小写字母 表示时，手 写时需在字 母上面加箭 头；书上显 示是黑体英 文字母。
线段的 长度
线段的箭 头指向
起点 Ａ
用有向线段 表示向量
终点 Ｂ
a
学一学
大小
方向
向量
1.向量的大小叫做向量的模，记作|a|、|b|、|AB|
r 2.模为零的向量叫做零向量，记作0( 0 )； 零向量的方向是不确定的；
模相等，且方向相 反的向量叫做向量
a 的负向量，
记作 - a
注：零向量的负向 量仍为零向量；
公交车站2
D 人民大道 E
学一学
共线向量 两 （平行向量） 向 量 相等向量 间 关 负向量 系
• 方向相同或相反 • 零向量与任何一个向量平行
• 方向相同、模相等
• 方向相反、模相等 • 零向量的负向量仍为零向量
A a b b A a b A a b A a 南 100km. 东
A
B
√
C
D
质点做机械运动，从初位置到末位置 的有向线段叫做位移。
考一考
考一考
万兴街 公交车站1
南 兴 街
商贸职高 平吴街
红 丰 南 路
指路篇
1、公交车站1
到学校的路线；
公交车站2
人民大道
2、学校到公交
车站2的路线；
考一考
万兴街 公交车站1 A 红 丰 南 B路
D F
的中点;
C
B
写出与DF平行的向量；
E
理一理
向量间 的关系 平行向量 相等向量 负向量
课后作业： 书本P28 练习7.1.1 2
有向线段； 字母加箭 头
向量
定义 表示方 法
D
只有大小，没有方向的量叫做数量（标量） 例如质量、时间、温度、面积、密度等．
既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），
如力、速度、位移等．
质点做机械 运动，从初位置 到末位置的有向 线段叫做位移。
请说出下列一些量那些是数量那些是向量? 距离、位移、身高、力、质量、时间、速度、面积、温度.
数量 距离、身高、 质量、时间、 面积、温度 向量
注：零向量与任一
向量平行（共线）
学一学
万兴街 公交车站1 A
2.若两向量方向
南 兴 街 C 商贸职高 平吴街 红 丰 南 B 路
相同且模相等， 则称两个向量 相等；
公交车站2
D 人民大道 E
记作 a b
学一学
万兴街 公交车站1 A 红 丰 南 B路
3.与非零向量
a的
南 兴 街 C
商贸职高 平吴街
练一练
例3 判断真假 1.共线向量是指在一条直线上的向量； 2.零向量与任何一个向量共线； 例4 在如图所示的平行四边形中，o为对角线 的交点.（1）找出与向量DA相等的向量； （2）找出向量DC的负向量；
B
D O A
C
（3）找出向量AB的共线向量；
竞
比赛规则
1.必答题：答对加1分，答错不扣分； 2.抢答题：答对加3分，答错扣1分；
优胜组奖励：本次课后作业可不交；
竞
必答题：
竞
抢答题：
判断真假
（1）共线向量的方向一定 相同；
判断真假
（2）既有大小又有方向的 量叫向量；
判断真假
（3）模相等的两个平行向 量是相等的向量；
判断真假 （4）任何向量的模都大于 或等于0；
判断真假
（5）长度相等的向量为相 等向量；
判断真假 （6）零向量的方向是不确 定的；
南 兴 街 C
商贸职高 平吴街
看词释义 1.平行向量 2.相等向量 3.负向量
公交车站2
D 人民大道 E
学一学
万兴街 公交车站1 A 红 丰 南 B路 1.方向相同或相反 的两个非零向量叫 南 兴 街 C 商贸职高 平吴街 做互相平行的向量， 又叫做共线向量； 记作 a // b
公交车站2
D 人民大道 E