材料力学第八章(1)
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《材料力学》第八章课后习题参考答案
解题方法与技巧归纳
受力分析
在解题前首先要对物体进行受力分析， 明确各力的大小和方向，以便后续进 行应力和应变的计算。
图形结合
对于一些复杂的力学问题，可以画出 相应的示意图或变形图，帮助理解和 分析问题。
公式应用
熟练掌握材料力学的相关公式，能够 准确应用公式进行计算和分析。
检查结果
在解题完成后，要对结果进行检查和 验证，确保答案的正确性和合理性。
压杆稳定
探讨细长压杆在压缩载荷作用下的稳定性问题。
解题方法与技巧
准确理解题意
仔细审题，明确题目要求和考查的知识点。
选择合适的公式
根据题目类型和所给条件，选用相应的公式 进行计算。
注意单位换算
在计算过程中，要注意各物理量的单位换算， 确保计算结果的准确性。
检查答案合理性
得出答案后，要检查其是否符合实际情况和 物理规律，避免出现错误。
相关题型拓展与延伸
组合变形问题
超静定问题
涉及多种基本变形的组合，如弯曲与扭转 的组合、拉伸与压缩的组合等，需要综合 运用所学知识进行分析和计算。
超静定结构是指未知力数目多于静力平衡 方程数目的结构，需要通过变形协调条件 或力法、位移法等方法进行求解。
稳定性问题
疲劳强度问题
研究细长压杆在压力作用下的稳定性问题 ，需要考虑压杆的临界力和失稳形式等因 素。
研究材料在交变应力作用下的疲劳破坏行为 ，需要了解疲劳极限、疲劳寿命等概念和计 算方法。
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重点知识点回顾
材料的力学性质
包括弹性、塑性、强度、硬度等基本概念和 性质。
杆件的拉伸与压缩
涉及杆件在拉伸和压缩状态下的应力、应变及 变形分析。
材料力学(I)第八章 组合变形及连接部分的计算
同，故可将同一截面上的弯矩Mz和My按矢量相加。 例如，B截面上的弯矩
sb
12
M max Fl 。 W 4W
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第八章 组合变形及连接部分的计算
在FN 和Mmax共同作用下，危险 截面上正应力沿高度的变化随sb和st
ห้องสมุดไป่ตู้
的值的相对大小可能有图d ,e ,f 三种
情况。危险截面上的最大正应力是拉 应力：
s t ,max
Ft Fl A 4W
可见此杆产生弯一压组合变形。现按大刚度杆来计算应力。
15
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第八章 组合变形及连接部分的计算
2. AC杆危险截面m-m上的最大拉应力st,max和最大压应力
sc,max分别在下边缘f点处和上边缘g点处(图b)：
s t ,max
F M FN M max 或 s c ,max N max A W A W
强度条件为
26
s r 3 [s ] 或
s r 4 [s ]
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第八章 组合变形及连接部分的计算
究竟按哪个强度理论计算相当应力，在不同设计规范中并不
一致。注意到发生扭－弯变形的圆截面杆，其危险截面上危 险点处：
M W
s
T T Wp 2W
2 2
为便于工程应用，将上式代入式（a），（b）可得：
（a）
3. 根据钢管的横截面尺寸算得：
π 2 [ D ( D 2d ) 2 ] 4 40.8 10 4 m 2 π I [ D 4 ( D 2d ) 4 ] 64 868108 m 4 I W 124 10 6 m3 D/2 A
材料力学 第八章 组合变形
度理论校核此杆的强度。 解：①外力分析
y ZC
Mx z P2z
P2y 400N YA 457N Z A 20.1N
P2Z 70.5N YC 257N Z C 90.6N
YA A 150
T M x 120Nm
B 200
C YC D 100
P2y
x
y
M Z (Nm) M (Nm)
建立图示杆件的强度条件
解：①外力向形心
x A 150 P1 T A 150 B 200 C T B 200 C 100 D 简化并分解
z
z P2z D P2y x 弯扭组合变形 y
100
M Z (Nm) M (Nm)
y
②每个外力分量对应 x 的内力方程和内力图 X
(Nm) My (Nm) Mz
x X
125 37.8 162.8MPa
孔移至板中间时
N 100 103 2 A 631.9mm 10(100 x) x 36.8mm 6 σ max 162.8 10
偏心拉伸或压缩：
CL11TU11
任意横截面上的内力： N P,M y Pa,M z Pb
第八章 组合变形
§8–1 组合变形和叠加原理
§8–2 拉(压)弯组合 §8–4 偏心压缩 截面核心 §8-4 弯曲与扭转
§8–1组合变形和叠加原理
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简
单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略
之，这类构件的变形称为组合变形。 P P
弯曲与扭转
P1
80ºP2 z
x A 150 B 200 C 100 D
y
材料力学：第八章-应力应变状态分析
斜截面: // z 轴； 方位用 a 表示；应力为 sa , ta
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
材料力学课件第8章组合变形zym
§8—4 扭转与弯曲的组合 一、圆截面杆弯扭组合 实例： （一）实例： 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶Me。 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶 。 试建立轴的强度条件。 试建立轴的强度条件。 解： 1、确定危险点： 、确定危险点： （1）外力分析 ） F 计算简图： ①计算简图： Fτ 由 ∑ M x = 0 得： FD = Me 2 可确定F 由F可确定 τ。 可确定 外力分解： ②外力分解： 变形判断： ③变形判断： AB段扭转变形，BE段弯扭组合变 段扭转变形， 段弯扭组合变 段扭转变形 形，EC段弯曲变形。 段弯曲变形。 段弯曲变形
解： 、确定各边为中性轴时的压力作用点： 1、确定各边为中性轴时的压力作用点： b2 h2 2 iy = , iz2 = 12 12 h az = ∞ AB截距： a y = − , 截距： 截距 2 h2 iz2 12 = h , zF = 0 F作用点 坐标： yF = − = − 作用点a坐标 作用点 坐标： h 6 ay − 2 同样确定b,c,d点。 同样确定 点 2、连线 确定截面核心。 、连线a,b,c,d确定截面核心。 确定截面核心 解：
3 由： W ≥ M max = 12 ×10 N ⋅ m 6
[σ ]
100 × 10 Pa
= 12 × 10−5 m3 = 120cm3
查表选定16号工字钢。 查表选定 号工字钢。 号工字钢 （2）组合变形校核计算： ）组合变形校核计算： 16号工字钢：W=141cm3,A=26.1cm3 号工字钢： 号工字钢
2、应力状态分析 、 均为单向应力状态 单向应力状态。 均为单向应力状态。
'' σ A = σ ′ +σ A =
F (0.425m) F × (0.075m) + −3 2 15 ×10 m 5310 ×10−8 m 4
材料力学第八章
D2 E2 O2
某实际应力状态：与 包络线相切，1>3， 3 1 有正负。 E3O3 O1O3 D3O3 D1O1 OO1 OO3 E2O2 O1O2 D2O2 D1O1 OO1 OO2 1 3 [ c ] [ t ] D3O3 D2O2 D1O1 2 2 2 1 3 [ c ] [ t ] OO3 OO2 OO1 2 2 2
最大拉应力1，与应力状态无关； 1．断裂原因： 2．强度准则： 1 u / nb 1 [ ] 断裂判据： 1 u 1 b 3．u由单向拉伸断裂条件确定： u b nb [ ] 4．应用情况：符合脆性材料的多向拉断试验，或 压应力不超过拉应力情况，如铸铁单向拉伸和 扭转；不能用于无拉应力的应力状态。
1．屈服原因： 形状改变比能uf，与应力状态无关；
2．强度准则：
1 uf ufu / ns ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 [ ] 2
屈服判据：
1 uf ufu ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 s 2
4．应用情况： 符合表面润滑石料的轴压破坏，某些 脆性材料压应力很大时的双向拉压状态。
§8-2
断裂准则
一、最大切应力理论(第三强度理论，Tresca准则) 不论材料处于何种应力状态，引起材料屈服的 原因是最大切应力max达到共同极限值s。
1．屈服原因： 最大切应力max，与应力状态无关； 2．强度准则： max s / ns 1 3 [ ]
[t]、[c]：许可拉、压应力； [ t ] 1 3 [ t ] 如[t]=[c]，退化为最大切 [ c ] 应力准则。
材料力学第8章组合变形
MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000N m)2 1064N m
•由Mz图和My图可知， B截面上的总弯矩最大， 并且由扭矩图可见B截 面上的扭矩与CD段其 它横截面上相同，TB ＝-1000 N·m，于是判 定横截面B为危险截面。
3. 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为
Wp
r4
M 2 0.75T 2
W
300N.m 1400N
300N.m
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
120N.m
（2）作内力图
危险截面E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M2 T2 W
W d 3
32
32 M 2 T 2
第8章 组合变形
8.1 组合变形和叠加原理 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 8.3 偏心压缩和截面核心 8.4 扭转与弯曲的组合 8.5 组合变形的普遍情况
8.1 组合变形和叠加原理
组合变形——实际构件由外力所引起的变形包含两种或两 种以上的基本变形。如压力框架、烟囱、传动轴、有吊车 的立柱。 叠加原理——如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力， 应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情 况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无 关。 前提条件：
即 亦即 于是得
r4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
•请同学们按
照第三强度理 (1064 N m)2 0.75(1000 N m)2 100106 Pa W
【精品课件】材料力学课件第八章应力状态与强度理论
单向受力状态
x
x
纯剪切受力状态
y x
双向等拉
R=x/2
o
x/2
R=x
o
o
➢ 一般受力状态的应力圆
y y
y
x
x
x
x
y
B
A
(A, A)
B
A
o
(0, )
o
(B, B)
(0, ) 2(-)
例：分别用解析法和图解法求图示单元体的 (1)指定斜截面上的正应力和剪应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大剪应力值。
80 60
(-40,60)
C
O
60
10M 2 Pa, 22MPa max10M 5 Pa,min65MPa 0 22.5, max85MPa
主平面： 剪应力为零的平面
3
主应力： 主平面上的正应力 主方向： 主平面的法线方向
2
1
1
可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个 互相垂直的主平面。
三个主应力用1、 2 、 3表示，按代数值大小顺序 排列，即1 ≥ 2 ≥ 3 。
应力状态的分类
单向应力状态：三个主应力中只有一个不等于零 二向应力状态：三个主应力中有二个不等于零 三向应力状态：三个主应力均不等于零
第8章 应力状态分析与强度理论
※ 应力状态概述 ※ 二向应力状态分析 ※ 广义虎克定律 ※ 复杂应力状态下的变形比能 ※ 强度理论概述 ※ 四种常用强度理论
§8-1 应力状态的概念
低碳钢和铸铁的拉伸实验
铸铁
低碳钢
断口与轴线垂直
低碳钢和铸铁的扭转实验
低碳钢
铸铁
螺旋桨轴:
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D =140 mm，壁厚d =10
mm。
30
例题 8-2
解: 1. 约束力为FA=FB=5 kN。折杆的受力图如图b所示。 根据对称性，只需分析折杆的一半，例如AC杆。将FA分解
为沿AC 杆轴线和垂直于AC轴线方向上的两个分力FAx和FAy 。
31
例题 8-2
由图a所示的几何关系，可见sina =3/5 ，cosa=4/5， FAx = FA sina=3kN和 FAy= FA cosa = 4 kN。AC杆的长度为2m，m-
25
轴向拉力会因杆件有弯曲变形而产生附加弯矩，但它与横向 力产生的弯矩总是相反的，故在工程计算中对于弯一拉组合变 形的构件可不计轴向拉力产生的弯矩而偏于安全地应用叠加原 理来计算杆中的应力。
26
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力引起的附 加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有杆的弯曲刚度相 当大（大刚度杆）且在线弹性范围内工作时才可应用叠加原 理。
Mey=Fe sina =F·zF , Mez=Fe cosa =F·yF
37
由于Mey和Mez作用在包含形心主惯性轴的纵向面内，故引 起的都是平面弯曲。可见偏心拉伸（压缩）实为轴向拉伸 （压缩）与平面弯曲的组合，且当杆的弯曲刚度相当大时 可认为各横截面上的内力相同。
38
图c所示任意横截面n-n上的内力为
第 8 章 组合变形及连接部分的计算
§8-1 概述 §8-2 双对称截面梁在两个相互
垂直平面内的弯曲 §8-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形 §8-4 扭转和弯曲的组合变形 §8-5 连接件的实用计算法 §8-6 铆钉和螺栓连接的计算
1
§8-1 概 述
Ⅰ. 组合变形 构件在荷载的作用下如发生两种或两种以上基本形式的
指外力的作用线与直杆的轴 线平行但不重合的情况。
图a所示等直杆受偏心距 为e 的偏心拉力F 作用，杆 的横截面的形心主惯性轴为 y轴和z轴。
36
(1) 偏心拉(压)杆横截面上的内力和应力 将偏心拉力F向其作用
截面的形心O1简化为轴向 拉力F和力偶矩Fe，再将 该力偶矩分解为对形心主 惯性轴y和z的分量Mey和 Mez(图b及图c)：
22
例题 8-1
z
(e)
MyA
z
D1 z D2
MzA
y
y
y
( max )A
M yA Wy
M zA Wz
0.642q 31.5
(12 10 6
)
0.266q (12 ) 237 106
(21.5103 ) q
( max )D
M yD Wy
M zD Wz
0.444q 31.5
(12 106
21
例题 8-1
3. 分析梁的危险截面，并求max
A截面上My最大，MyA=0.642 qa2,该截面上Mz虽不是最大， 但因工字钢Wy<<Wz ，故A截面是可能的危险截面， MzA=0.226qa2。 D 截面上Mz 最大：
MzD=0.456 qa2 ，且 MyD= 0.444 qa2，
故D 截面也是可能的危险面。为确定危险截面，需比较A 截面和D 截面上的最大弯曲正应力。
t,max
3 103 40.8 10-4
N m2
8 103 N m 124 10-6m3
63.8106 Pa 63.8 MPa
c,max
3 103 40.8 10-4
N m2
8 103 N m 124 10-6m3
65.2106 Pa 65.2 MPa
35
II.偏心拉伸(压缩) 偏心拉伸或偏心压缩是
变形，且几种变形所对应的应力（和变形）属于同一数量级， 则构件的变形称为组合变形（combined deformation）。
烟 囱 ( 图 a) 有 侧 向 荷 载 （风荷，地震力）时发生弯 压组合变形。
2
齿轮传动轴（图b）发生弯曲与扭 转组合变形（两个相互垂直平面内的 弯曲加扭转）。
吊车立柱（图c）受偏心压缩，发 生弯压组合变形。
16
确定中性轴的方向后，作平行于中 性轴的两直线，分别与横截面的周边 相切，这两个切点（图a中的点D1、D2） 就是该截面上拉应力和压应力为最大 的点。从而可分别计算水平和竖直平 面内弯曲时这两点的应力，然后叠加。
17
18
对于如图b所示横截面具有 外棱角的梁，求任何横截面上 最大拉应力和最大压应力时， 可直接按两个平面弯曲判定这 些应力所在点的位置，而无需
3
立柱内力：轴力，弯矩。拉伸+弯曲
4
拉+弯+弯+扭
5
两个平面内的弯曲(图d)由于计算构件横截面上应力及横 截面位移时，需要把两个平面弯曲的效应加以组合，故归于 组合变形。
6
7
对于组合变形下的构件，在线性弹性范围内且小 变形的条件下，可应用叠加原理将各基本形式变形 下的内力、应力或位移进行叠加。
Wy=31.5×10-6 m3；钢的许用弯曲正应力[ ]=160 MPa。
19
例题 8-1
解: 1. 将集中荷载F 沿梁横截面的两个对称轴y、z分解为
Fy
F
cos 40o
qa 2
cos 40o
0.383qa
Fz
F sin 40o
qa sin 40o 2
0.321qa
20
例题 8-1
2. 梁的计算简图如图b所示，并分别作水平弯曲和竖直弯曲 的弯矩My图和Mz 图（图c ,d）。
m截面上的内力分别为
FN=-FAx=-3 kN Mmax=FAy×2m= 8 kN·m 可见此杆产生弯、压组合变形。
32
例题 8-2
2. AC杆危险截面m-m上的最大拉应力t,max和最大压应 力c,max分别发生在该截面的下边缘f点处和上边缘g点处(图
b)，其计算公式分别为
t,max
FN A
M max W
27
图a所示发生弯一拉组合变形的杆件，跨中截面为危险截
面应，的其拉上伸的正内应力力为t为FN均=F匀t，分布Mm(图ax b)。，14 F该l 横截面 t上与F，AN轴而力与FAFt最N对
大弯矩Mmax对应的弯曲正应力在上、下边缘处(图c)，其绝对
值
b
。M max W
Fl 4W
28
在FN 和Mmax共同作用下，危险截
由于竖直外力F2 Mz(x)=F2 (x-a)
弯曲正应力 M y z
Iy
13
Mz y
Iz
注意到在F1 作用下x 截面绕中性轴y 转动，在F2 作用下x 截面 绕中性轴z 转动,可见在F1和F2共同作用下，x 截面必定绕通过y 轴与z 轴交点的另一个轴转动，这个轴就是梁在两个相互垂直平 面内同时弯曲时的中性轴，其上坐标为y、z的任意点处弯曲正应 力为零。
FN=F， My=Mey=F·zF， Mz=Mez=F·yF
横截面上任意点C ( y, z ) 处的正应力为
FN M y z M z y
A Iy
Iz
F FzF z FyF y (b)
A Iy
Iz
39
在工程计算中，为了便于分析一些问题，常把惯性矩Iy和Iz 写作如下形式：
Iy
Ai
2 y
或
c,max
FN A
M max W
(a)
33
例题 8-2
3. 钢管横截面的几何性质分别为
A π[D2 (D 2d )2 ]
4 40.8 104m2
I π [D4 (D 2d )4]
64 868 108m4 W I 124 106m3
D/2
34
例题 8-2
4. 将FN 和Mmax以及A和W的值代入式(a)得
)
0.456q (12 ) 237 ax )A ( max )，D 可见A截面为危险截面。由图e可
见A截面上的外棱角D1和D2处分别为c,max和t,max 。
23
例题 8-1
4. 求许可荷载集度[q]。
根据强度条件 ( max )A ，[有 ]
具有双对称截面 的梁，它在任何一 个纵向对称面内弯 曲时均为平面弯曲。
故具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向 外力作用时，在线性弹性且小变形情况下，可以分别按平面弯 曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移，然后叠加。
12
图示悬臂梁 x 截面上的弯矩和任意点C处的正应力为：
由于水平外力F1 弯 矩 My(x)=F1 x
Fe作用的纵向面）和y轴之间的夹角。
43
tan b Iz tana
由此式可知：
Iy
1. 若偏心拉力作用在形心主惯性轴y上(即tana=0)或者作 用在形心主惯性轴z上,则恒有tanb =tana ,即中性轴垂直于力
偶矩Fe所在的纵向面；
2. 当偏心拉力不作用在任何一根形心主惯性轴而tana 0，
在具体计算中，究竟先按内力叠加（按矢量法则叠加） 再计算应力和位移，还是先计算各基本形式变形下的应力或 位移然后叠加，须视情况而定。
Ⅱ.连接件的实用计算 连接件（螺栓、铆钉、键等）以及构件在与它们连接
处实际变形情况复杂。 螺栓连接中，螺栓主要受剪切及挤压（局部压缩）。
8
9
键连接中，键主要受剪切及挤压。
（21.5×10-3)q ≤160×106 Pa
解得 于是
q
160 106 21.5 103
7.44 103
N/m
[q]=7.44×103 N/m =7.44 kN/m
24
§8-3 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
Ⅰ. 横向力与轴向力共同作用
图a为由两根槽钢组成的杆件，受横向力F和轴向力Ft 作用时的计算简图，该杆件发生弯曲与拉伸的组合变形。
mm。
30
例题 8-2
解: 1. 约束力为FA=FB=5 kN。折杆的受力图如图b所示。 根据对称性，只需分析折杆的一半，例如AC杆。将FA分解
为沿AC 杆轴线和垂直于AC轴线方向上的两个分力FAx和FAy 。
31
例题 8-2
由图a所示的几何关系，可见sina =3/5 ，cosa=4/5， FAx = FA sina=3kN和 FAy= FA cosa = 4 kN。AC杆的长度为2m，m-
25
轴向拉力会因杆件有弯曲变形而产生附加弯矩，但它与横向 力产生的弯矩总是相反的，故在工程计算中对于弯一拉组合变 形的构件可不计轴向拉力产生的弯矩而偏于安全地应用叠加原 理来计算杆中的应力。
26
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力引起的附 加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有杆的弯曲刚度相 当大（大刚度杆）且在线弹性范围内工作时才可应用叠加原 理。
Mey=Fe sina =F·zF , Mez=Fe cosa =F·yF
37
由于Mey和Mez作用在包含形心主惯性轴的纵向面内，故引 起的都是平面弯曲。可见偏心拉伸（压缩）实为轴向拉伸 （压缩）与平面弯曲的组合，且当杆的弯曲刚度相当大时 可认为各横截面上的内力相同。
38
图c所示任意横截面n-n上的内力为
第 8 章 组合变形及连接部分的计算
§8-1 概述 §8-2 双对称截面梁在两个相互
垂直平面内的弯曲 §8-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形 §8-4 扭转和弯曲的组合变形 §8-5 连接件的实用计算法 §8-6 铆钉和螺栓连接的计算
1
§8-1 概 述
Ⅰ. 组合变形 构件在荷载的作用下如发生两种或两种以上基本形式的
指外力的作用线与直杆的轴 线平行但不重合的情况。
图a所示等直杆受偏心距 为e 的偏心拉力F 作用，杆 的横截面的形心主惯性轴为 y轴和z轴。
36
(1) 偏心拉(压)杆横截面上的内力和应力 将偏心拉力F向其作用
截面的形心O1简化为轴向 拉力F和力偶矩Fe，再将 该力偶矩分解为对形心主 惯性轴y和z的分量Mey和 Mez(图b及图c)：
22
例题 8-1
z
(e)
MyA
z
D1 z D2
MzA
y
y
y
( max )A
M yA Wy
M zA Wz
0.642q 31.5
(12 10 6
)
0.266q (12 ) 237 106
(21.5103 ) q
( max )D
M yD Wy
M zD Wz
0.444q 31.5
(12 106
21
例题 8-1
3. 分析梁的危险截面，并求max
A截面上My最大，MyA=0.642 qa2,该截面上Mz虽不是最大， 但因工字钢Wy<<Wz ，故A截面是可能的危险截面， MzA=0.226qa2。 D 截面上Mz 最大：
MzD=0.456 qa2 ，且 MyD= 0.444 qa2，
故D 截面也是可能的危险面。为确定危险截面，需比较A 截面和D 截面上的最大弯曲正应力。
t,max
3 103 40.8 10-4
N m2
8 103 N m 124 10-6m3
63.8106 Pa 63.8 MPa
c,max
3 103 40.8 10-4
N m2
8 103 N m 124 10-6m3
65.2106 Pa 65.2 MPa
35
II.偏心拉伸(压缩) 偏心拉伸或偏心压缩是
变形，且几种变形所对应的应力（和变形）属于同一数量级， 则构件的变形称为组合变形（combined deformation）。
烟 囱 ( 图 a) 有 侧 向 荷 载 （风荷，地震力）时发生弯 压组合变形。
2
齿轮传动轴（图b）发生弯曲与扭 转组合变形（两个相互垂直平面内的 弯曲加扭转）。
吊车立柱（图c）受偏心压缩，发 生弯压组合变形。
16
确定中性轴的方向后，作平行于中 性轴的两直线，分别与横截面的周边 相切，这两个切点（图a中的点D1、D2） 就是该截面上拉应力和压应力为最大 的点。从而可分别计算水平和竖直平 面内弯曲时这两点的应力，然后叠加。
17
18
对于如图b所示横截面具有 外棱角的梁，求任何横截面上 最大拉应力和最大压应力时， 可直接按两个平面弯曲判定这 些应力所在点的位置，而无需
3
立柱内力：轴力，弯矩。拉伸+弯曲
4
拉+弯+弯+扭
5
两个平面内的弯曲(图d)由于计算构件横截面上应力及横 截面位移时，需要把两个平面弯曲的效应加以组合，故归于 组合变形。
6
7
对于组合变形下的构件，在线性弹性范围内且小 变形的条件下，可应用叠加原理将各基本形式变形 下的内力、应力或位移进行叠加。
Wy=31.5×10-6 m3；钢的许用弯曲正应力[ ]=160 MPa。
19
例题 8-1
解: 1. 将集中荷载F 沿梁横截面的两个对称轴y、z分解为
Fy
F
cos 40o
qa 2
cos 40o
0.383qa
Fz
F sin 40o
qa sin 40o 2
0.321qa
20
例题 8-1
2. 梁的计算简图如图b所示，并分别作水平弯曲和竖直弯曲 的弯矩My图和Mz 图（图c ,d）。
m截面上的内力分别为
FN=-FAx=-3 kN Mmax=FAy×2m= 8 kN·m 可见此杆产生弯、压组合变形。
32
例题 8-2
2. AC杆危险截面m-m上的最大拉应力t,max和最大压应 力c,max分别发生在该截面的下边缘f点处和上边缘g点处(图
b)，其计算公式分别为
t,max
FN A
M max W
27
图a所示发生弯一拉组合变形的杆件，跨中截面为危险截
面应，的其拉上伸的正内应力力为t为FN均=F匀t，分布Mm(图ax b)。，14 F该l 横截面 t上与F，AN轴而力与FAFt最N对
大弯矩Mmax对应的弯曲正应力在上、下边缘处(图c)，其绝对
值
b
。M max W
Fl 4W
28
在FN 和Mmax共同作用下，危险截
由于竖直外力F2 Mz(x)=F2 (x-a)
弯曲正应力 M y z
Iy
13
Mz y
Iz
注意到在F1 作用下x 截面绕中性轴y 转动，在F2 作用下x 截面 绕中性轴z 转动,可见在F1和F2共同作用下，x 截面必定绕通过y 轴与z 轴交点的另一个轴转动，这个轴就是梁在两个相互垂直平 面内同时弯曲时的中性轴，其上坐标为y、z的任意点处弯曲正应 力为零。
FN=F， My=Mey=F·zF， Mz=Mez=F·yF
横截面上任意点C ( y, z ) 处的正应力为
FN M y z M z y
A Iy
Iz
F FzF z FyF y (b)
A Iy
Iz
39
在工程计算中，为了便于分析一些问题，常把惯性矩Iy和Iz 写作如下形式：
Iy
Ai
2 y
或
c,max
FN A
M max W
(a)
33
例题 8-2
3. 钢管横截面的几何性质分别为
A π[D2 (D 2d )2 ]
4 40.8 104m2
I π [D4 (D 2d )4]
64 868 108m4 W I 124 106m3
D/2
34
例题 8-2
4. 将FN 和Mmax以及A和W的值代入式(a)得
)
0.456q (12 ) 237 ax )A ( max )，D 可见A截面为危险截面。由图e可
见A截面上的外棱角D1和D2处分别为c,max和t,max 。
23
例题 8-1
4. 求许可荷载集度[q]。
根据强度条件 ( max )A ，[有 ]
具有双对称截面 的梁，它在任何一 个纵向对称面内弯 曲时均为平面弯曲。
故具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向 外力作用时，在线性弹性且小变形情况下，可以分别按平面弯 曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移，然后叠加。
12
图示悬臂梁 x 截面上的弯矩和任意点C处的正应力为：
由于水平外力F1 弯 矩 My(x)=F1 x
Fe作用的纵向面）和y轴之间的夹角。
43
tan b Iz tana
由此式可知：
Iy
1. 若偏心拉力作用在形心主惯性轴y上(即tana=0)或者作 用在形心主惯性轴z上,则恒有tanb =tana ,即中性轴垂直于力
偶矩Fe所在的纵向面；
2. 当偏心拉力不作用在任何一根形心主惯性轴而tana 0，
在具体计算中，究竟先按内力叠加（按矢量法则叠加） 再计算应力和位移，还是先计算各基本形式变形下的应力或 位移然后叠加，须视情况而定。
Ⅱ.连接件的实用计算 连接件（螺栓、铆钉、键等）以及构件在与它们连接
处实际变形情况复杂。 螺栓连接中，螺栓主要受剪切及挤压（局部压缩）。
8
9
键连接中，键主要受剪切及挤压。
（21.5×10-3)q ≤160×106 Pa
解得 于是
q
160 106 21.5 103
7.44 103
N/m
[q]=7.44×103 N/m =7.44 kN/m
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§8-3 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
Ⅰ. 横向力与轴向力共同作用
图a为由两根槽钢组成的杆件，受横向力F和轴向力Ft 作用时的计算简图，该杆件发生弯曲与拉伸的组合变形。