第二章 材料力学

4kN
图2-6
以横坐标 x 表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的轴力 FN ，选取适当比例，绘出轴 力图（图（e） ） 。在轴力图中正的轴力（拉力）画在 x 轴上侧，负的轴力（压力）画在 x 轴下 侧。 例 2-2 传动轴在图 2-7（a）所示。主动轮 A 输入功率为 PA＝36kW，从动轮 B、C、D 输出功率分别为 PB＝PC＝11kW，PD＝14kW，轴的转速为 n＝300r/min。试作轴的扭矩图。 解：1．计算各轮上的外力偶矩
计算简图为：
轴
图2-2
2）外力偶矩 传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出， 而是根据轴的转速 n 与传递的功率 P 来计算。 当功率 P 单位为千瓦（kW） ，转速为 n（r/min）时，外力偶矩为
M e = 9549
P (N . m) n
当功率 P 单位为马力（PS） ，转速为 n（r/min）时，外力偶矩为 M e = 7024 3）扭矩、扭矩图 当外力偶矩已知，利用截面法可求任一横截面上的内力偶矩—扭矩，用 T 表示。 扭矩的正负号规定：按右手螺旋法则，T 矢量背离截面为正，指向截面为负（或矢量与 截面外法线方向一致为正，反之为负） 。 表示扭矩随杆件轴线变化规律的图线称为扭矩图。扭矩图作法与轴力图相似。正的扭矩 画在 x 轴上方，负的扭矩画在 x 轴下方。 3．弯曲内力 1）基本概念 弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直 线的轴线变为曲线的变形称为弯曲变形。 以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。 对称弯曲：工程中最常见的梁，其横截面一般至少有一根 对称轴，因而整个杆件有一个包含轴线的纵向对称面。若所有 外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯曲变形后的轴线将是位 于该平面内的一条曲线，这种弯曲形式称为对称弯曲。其力学模 型如图 2-3 所示。 2）梁的计算简图 静定梁：所有支座反力均可由静力平衡方 程确定的梁。 静定梁的基本形式有简支梁、悬臂梁、外伸梁。计算简图分 别如图 2-4（a） 、 （b） 、 （c）所示。3）剪力和弯矩 图 2-4 剪力： 受弯构件任意横截面上与横截面相切的分布内力系的合力， 称为剪力， 用 FS 表示。 弯矩：受弯构件任意横截面上与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩，称为弯矩，用 M 表示。 剪力和弯矩的正负号规定：从梁中取出长为 dx 的微段，若横截面上的剪力使 dx 微段有 左端向上而右端向下的相对错动趋势时，此剪力 FS 规定为正，反之为负（或使梁产生顺时针 转动的剪力规定为正，反之为负） ，如图 2-5（a） 、 （b）所示；若弯矩使 dx 微段的弯曲变形凸 向下时，截面上的弯矩 M 规定为正，反之为负（或使梁下部受拉而上部受压的弯矩为正，反
max
FS = FS ( x) M = M ( x)
、 M
max
的数值。
（2）微分关系法：即利用载荷集度、剪力与弯矩之间的关系绘制剪力图和弯矩图。 载荷集度 q（x） 、剪力 FS（x）与弯矩 M（x）之间的关系为: dFS ( x) = q( x) dx dM ( x) = FS ( x) dx d 2 M ( x) dFS ( x) = = q( x) dx dx 2 根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。 (a)若某段梁上无分布载荷，即 q ( x) = 0 ，则该段梁的剪力 FS（x）为常量，剪力图为平行 于 x 轴的直线；而弯矩 M ( x) 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。 (b)若某段梁上的分布载荷 q ( x) = q （常量） ，则该段梁的剪力 FS（x）为 x 的一次函数，剪 力图为斜直线；而 M ( x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。当 q > 0 （ q 向上）时，弯矩图为 向下凸的曲线；当 q < 0 （ q 向下）时，弯矩图为向上凸的曲线。 dM ( x) (c)若某截面的剪力 FS（x）=0，根据 = 0 ，该截面的弯矩为极值。 dx 利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系 直接绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下： 第一，求支座反力（对悬臂梁，若从自由端画起，可省去求支反力） ；
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
P M A = 9549 A = 1146 N⋅ m n P M B = M C = 9549 B = 350 N⋅ m n
M D = 9549 PD = 446 N⋅ m n
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
446N .m
2．计算各段扭矩 BC 段：以截面 I—I 将轴分为两段，取左段部 分（图(b)） 。由平衡方程 T1 + M B = 0 得 TΙ = − M B = −350 N⋅ m 负号说明 T1 所假定的方向与实际扭矩相反 同理，在 CA 段内， T2 + M C + M B = 0 T2 = − M C − M B = −700 N⋅ m 在 AD 段内， T3 − M D = 0 T3 = M D = 446 N⋅ m 3．以横坐标 x 表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的扭矩大小，选取适当比例，绘 出扭矩图。正的扭矩画在 x 轴上侧，负的扭矩画在 x 轴下侧。 例 2-3 图示简支梁受集中力 F 作用，试利用剪力方程 和弯矩方程绘出该梁的剪力图和 弯矩图。解：1.求支反力。 由 ∑ Fy = 0, ∑ M A ( F ) = 0 ，得
Fa (l − x ), (a ≤ x ≤ l ) 3.求控制截面内力， 作剪力图、 弯矩图。 l FS 图：在 AC、CB 段内，剪力方程均为常数，因此两段剪力图均为平行于 x 轴的直线。 M ( x) = FB (l − x ) =
在集中力 F 作用处， FS C左 = － =
Fb Fa ，左、右两侧截面的剪力值发生突变，突变量 ，FS C右 = l l
第二，分段确定剪力图和弯矩图的形状； 第三，求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图； 第四，确定 FS
FS
max
和M
max
。 可能出现的地方：①剪力
max
可能出现的地方：①集中力 F 作用处；②支座处。 M
max
FS=0 的截面；②集中力 F 作用处；③集中力偶 M 作用处。
6）平面刚架和平面曲杆的弯曲内力 刚架：杆系结构若在节点处为刚性连接，则这种结构称为刚架。 平面刚架：由在同一平面内、不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。 各杆连接处称为刚节点。 刚架变形时，刚节点处各杆轴线之间的夹角保持不变。静定刚架：凡未知反力和内力能 由静力学平衡条件确定的刚架。 平面刚架各杆的内力，除了剪力和弯矩外，一般还有轴力。作刚架内力图的方法和步骤 与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定：弯矩图画在各杆的受压 一侧，且不注明正、负号。剪力图及轴力图可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外 侧） ，且必须注明正负号；剪力正负号的规定与梁相同，轴力仍以拉伸为正，压缩为负。 平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆。平面曲杆横截面上的内力情况及其内力图的绘制方 法，与刚架相类似。 三、典型例题分析 例 2-1 在图 2-6（a）中，沿杆件轴线作用 F1、 F2、F3、F4。已知：F1=6kN，F2=18kN，F3=8kN， F4=4kN。试求各段横截面上的轴力，并作轴力图。 解：1．计算各段轴力 AC 段：以截面 1-1 将杆分为两段，取左段部分 （图（b） ） 。 由 ∑ Fx = 0 得 FN 1 = F1 = 6 kN （拉力） CD 段：以截面 2-2 将杆分为两段，取左段部分 （图(c)） 。 由 ∑ Fx = 0 得
Fb Fa − (− ) = F ； M 图：在 AC、CB 段内，弯矩方程 M ( x) 均是 x 的一次函数，因此两段 l l Fab ，标在 M − x 坐标系中，并 l
弯矩图均为斜直线。求出控制截面弯矩 M A = M B = 0，M C =
分别连成直线，即得该梁的弯矩图。显然在集中力 F 作用处左、右两侧截面上弯矩值不变， 但在该截面处弯矩图斜率发生突变，因此在集中力 F 作用处弯矩图上为折角点。 例 2-4 受均布载荷作用的简支梁，如图 2-9 所示，试作
轴线 图 2-3
纵向对称面
P (N . m) n
之为负） ，如图 2-5（c） 、 （d）所示 。
图 2-5
根据内力与外力的平衡关系，若外力对截面形心取矩为顺时针力矩，则该力在截面上产 生正的剪力，反之为负的剪力（顺为正，逆为负） ；固定截面，若外力或外力偶使梁产生上挑
的变形，则该力或力偶在截面上产生正的弯矩，反之为负的弯矩（上挑为正，下压为负） 。4） 剪力方程和弯矩方程 一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以坐标 x 表示横截面 在梁轴线上的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为 x 的函数，即 上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。 5）剪力图和弯矩图 为了直观地表达剪力 FS 和弯矩 M 沿梁轴线的变化规律，以平行于梁轴线的横坐标 x 表 示横截面的位置，以纵坐标按适当的比例表示响应横截面上的剪力和弯矩，所绘出的图形分 别称为剪力图和弯矩图。 剪力图和弯矩图的绘制方法有以下两种： （1）剪力、弯矩方程法：即根据剪力方程和弯矩方程作图。其步骤为： 第一，求支座反力。 第二，根据截荷情况分段列出 FS(x)和 M(x)。 在集中力（包括支座反力） 、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能 发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。 第三，求控制截面内力，作 FS、M 图。一般每段的两个端点截面为控制截面。在有均布 载荷的段内，FS=0 的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。将控制截面的内力 值标在的相应位置处。分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。并注明 FS
FAy = FBy = ql 2
l
梁的剪力图和弯矩图。解：1.求支反力
2.列剪力、弯矩方程
FS ( x) = FAy − qx = ql − qx, (0 < x < l ) 2