简单的三角恒等变换专题及答案
专题12 简单的三角恒等变换（解析版）
于是 b + c = 2R (sinB + sinC )
=
43 3
sinB
+
sin
2 3
−
B
=
43 3
3 sinB + 2
3 2
cosB
=
4sin
B
+
6
.
因为 ABC 是锐角三角形且 A = ， 3
所以由 C
2
，得
2 3
−
B
2
，因此
B
的取值范围是
6
,
2
.
6/7
( 而由
；（2）
−
2 2
,1
.
【解析】（1）由正弦定理得： sinA = sinBcosC + sinCsinB
因为： sinA = sin ( B + C ) = sinBcosC + cosBsinC
故 cosBsinC = sinCsinB 因为 sinC 0 ，所以 cosB = sinB 因为 0 B ，所以 B =
2
2
∴ A .
6
4
) ∵
a
=
2
，∴
a sinA
2
2,4
.又 b + c = a ， sinB + sinC sinA
3/7
( ) ∴ b + c 2 2, 4 . sinB + sinC
( ) 故答案为 2 2, 4
7．（三角恒等变换在实际中的运用）如图，有一壁画，最高点 A 处离地面 6m，最低点 B 处离地面 3.5m.若 从离地高 2m 的 C 处观赏它，则离墙______m 时，视角 最大.
4.5 简单的三角恒等变换
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【例1】 求证： 】 证明： 法一：左端＝ 证明：证法一：左端＝ ＝sin α＋cos α＝右端则原恒等式成立． ＋ ＝右端则原恒等式成立． 证法二：设sin α＋cos α＝t，则左端＝ 证法二： ＋ ＝ ，则左端＝ ＝t＝右端则原恒等式成立． ＝右端则原恒等式成立．
＝sin α＋cos α. ＋
(2)f(θ)＝2sin2 ＝ ＝(1＋sin 2θ)－ ＋ － ＝2sin ∵θ∈ ∈ ∴2≤2sin 即当θ＝ 即当 ＝ ＋1≤3. ＋1.
cos 2θ＝ ＝ cos 2θ＝sin 2θ－ ＝ － cos 2θ＋1 ＋
cos 2θ
时，f(θ)max＝3；当θ＝ ； ＝
时，f(θ)min＝2.
【分析点评】 分析点评】
∴sin 2x＝－ ＝－ ∴原式＝ 原式＝
变式2.求 变式 求值：
解答： 解答：原式＝
＝
＝
解决三角函数的图象与性质问题很大程度上可通过三角恒等变换将函数转化为y 解决三角函数的图象与性质问题很大程度上可通过三角恒等变换将函数转化为 的形式， ＝Asin(ωx＋φ)的形式，进而可解决函数的周期、奇偶性、单调性和作函数图象 ＋ 的形式 进而可解决函数的周期、奇偶性、 等问题． 等问题．
4.5
简单的三角恒等变换
能运用同角三角函数的基本关系、诱导公式、 能运用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差三角函 数公式进行简单的恒等变换
1．降幂公式 ． sin αcos α＝ ＝ 2．半角公式 ． sin 2α；sin2α＝ ； ＝
3．Asin x＋Bcos x＝ ． ＋ ＝ cos φ＝ ＝
【例3】已知函数 】 知函数f(x)＝sin ＝ x∈R(其中 ∈ 其中 其中ω>0)． ． (1)求函数 的值域； 求函数f(x)的值域 的值域； 求函数 (2)若对任意的 ∈R，函数 ＝f(x)，x∈(a，a＋π]的图象与直线 ＝－ 有且仅 若对任意的a∈ ，函数y＝ ， ∈ ， ＋ 的图象与直线 ＝－1有且仅 的图象与直线y＝－ 若对任意的 有两个不同的交点，试确定 的值 不必证明)，并求函数y＝ ， ∈ 的单 的值(不必证明 有两个不同的交点，试确定ω的值 不必证明 ，并求函数 ＝f(x)，x∈R的单 调增区间． 调增区间．
三角恒等变换大题(含详细解答)
三角恒等变换1．已知0＜α＜π4，0＜β＜π4且3sin β＝sin(2α＋β),4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值． 2．化简：(1－sinα)(1－sinβ)－⎝⎛⎭⎫sin α＋β2－cos α－β2 2. 3．已知sin(2α－β)＝35，sinβ＝－1213，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求sinα 4．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，求cos2α－sin2β 5．函数y ＝12sin2x ＋sin2x ，x ∈R ，求y 的值域 6．已知0＜α＜π4，0＜β＜π4且3sinβ＝sin(2α＋β),4tan α2＝1－tan2α2，求α＋β的值． 7．化简：(1－sinα)(1－sinβ)－⎝⎛⎭⎫sin α＋β2－cos α－β2 2. 8．已知函数()sin()cos()f x x x θθ=+++的定义域为R ，（1）当0θ=时，求()f x 的单调区间；（2）若(0,)θπ∈，且sin 0x ≠，当θ为何值时，()f x 为偶函数． 9 已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值 10 若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围 11 求值：0010001cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20-+-- 12 已知函数.,2cos 32sinR x x x y ∈+=（1）求y 取最大值时相应的x 的集合；（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象参考答案1. 解：由4tan α2＝1－tan 2α2得tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12. 由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，得3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α.∴tan(α＋β)＝2tan α.∴tan(α＋β)＝1.又∵0＜α＜π4，0＜β＜π4，∴0＜α＋β＜π2，∴α＋β＝π4评析：首先由4tan α2＝1－tan 2α2的形式联想倍角公式求得tan α，再利用角的变换求tan(α＋β)，据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范围求角，两步必不可少．2. 分析：本题由于α＋β2＋α－β2＝α，α＋β2－α－β2＝β，因此可以从统一角入手，考虑应用和差化积公式． 解：原式＝1－(sin α＋sin β)＋sin αsin β－⎝⎛ sin 2α＋β2－⎭⎫2sin α＋β2cos α－β2＋cos 2α－β2 ＝1－2sin α＋β2cos α－β2＋sin αsin β－⎣⎡⎦⎤1－cos(α＋β)2＋1＋cos(α－β)2－2sin α＋β2cos α－β2 ＝sin αsin β＋12[cos(α＋β)－cos(α－β)]＝sin αsin β＋12·(－2)sin αsin β＝0. 评析：(1)必须是同名三角函数才能和差化积；(2)若是高次函数必须用降幂公式降为一次．3． 解：∵π2<α<π，∴π<2α<2π.又－π2<β<0，∴0<－β<π2.∴π<2α－β<5π2.而sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos (2α－β)＝45.又－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513， ∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β＝45×513－35×⎝⎛⎭⎫－1213＝5665. 又cos2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝3130130. 评析：由sin(2α－β)求cos(2α－β)、由sin β求cos β，忽视2α－β、β的范围，结果会出现错误．另外，角度变换在三角函数化简求值中经常用到，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α－β)＋(α＋β)，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2等． 4. 解析：∵cos(α＋β)cos(α－β)＝13， ∴12(cos2α＋cos2β)＝13， ∴12(2cos 2α－1＋1－2sin 2β)＝13， ∴cos 2α－sin 2β＝13. 5． 解析：y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x －12cos2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 评析：本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 的模式．一般地，a cos x ＋b sin x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2cos x ＋b a 2＋b 2sin x ＝a 2＋b 2(sin φcos x ＋cos φsin x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝a b，也可以变换如下：a cos x ＋b sin x ＝a 2＋b 2(cos φcos x ＋sin φsin x )＝a 2＋b 2cos(x －φ)，其中tan φ＝b a. 6. 解：由4tan α2＝1－tan 2α2 得tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12. 由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，得3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， ∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α. ∴tan(α＋β)＝1.又∵0＜α＜π4，0＜β＜π4，∴0＜α＋β＜π2， ∴α＋β＝π4. 评析：首先由4tan α2＝1－tan 2α2的形式联想倍角公式求得tan α，再利用角的变换求tan(α＋β)，据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范围求角，两步必不可少．7. 分析：本题由于α＋β2＋α－β2＝α，α＋β2－α－β2＝β，因此可以从统一角入手，考虑应用和差化积公式． 解：原式＝1－(sin α＋sin β)＋sin αsin β－⎝⎛sin 2α＋β2－ ⎭⎫2sin α＋β2cos α－β2＋cos 2α－β2 ＝1－2sin α＋β2cos α－β2＋sin αsin β－ ⎣⎡⎦⎤1－cos(α＋β)2＋1＋cos(α－β)2－2sin α＋β2cos α－β2 ＝sin αsin β＋12[cos(α＋β)－cos(α－β)]＝sin αsin β＋12·(－2)sin αsin β＝0. 评析：(1)必须是同名三角函数才能和差化积；(2)若是高次函数必须用降幂公式降为一次．8. 解：（1）当0θ=时，()sin cos )4f x x x x π=+=+ 322,22,24244k x k k x k πππππππππ-≤+≤+-≤≤+()f x 为递增； 3522,22,24244k x k k x k πππππππππ+≤+≤++≤≤+()f x 为递减 ()f x ∴为递增区间为 3[2,2],44k k k Z ππππ-+∈； ()f x 为递减区间为5[2,2],44k k k Z ππππ++∈。
简单的三角恒等变换(含解析)
第六节简单的三角恒等变换[知识能否忆起]半角公式(不要求记忆)1．用cos α表示sin 2α2，cos 2α2，tan 2α2.sin 2α2＝1－cos α2；cos 2α2＝1＋cos α2；tan 2α2＝1－cos α1＋cos α. 2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.sin α2＝± 1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝± 1－cos α1＋cos α.3．用sin α，cos α表示tan α2.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. [小题能否全取]1．(教材习题改编)已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α2等于( )A.63 B ．－63 C.33D ．－33解析：选B ∵cos α＝13，α∈(π，2π)，∴α2∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1＋132＝－63.2．已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π12等于( ) A.12B ．－12C.32D ．－32解析：选B f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－sin 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝－sin π6＝－12. 3．已知tan α＝12，则cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α等于( )A ．3B ．6C ．12D.32解析：选A cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α＝2cos 2α＋2sin α·cos αcos 2α＝2＋2tan α＝3. 4.sin 20°cos 20°cos 50°＝________.解析：sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.答案：125．若1＋tan α1－tan α＝2 013，则1cos 2α＋tan 2α＝________.解析：1cos 2α＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(cos α＋sin α)2cos2α－sin2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 013.答案：2 013三角恒等变换的常见形式三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．典题导入[例1] 化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x .[自主解答] 原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x＝12(1－sin 22x )2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝12cos 2x . 由题悟法三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．以题试法1．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎫1＋tan α·tan α2. 解：法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2sin α2－sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α·sin α2cos α2＝cos 2α2－sin 2α2sin α2·cos α2·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcos α2＝2cos αsin α·cos ⎝⎛⎭⎫α－α2cos αcosα2 ＝2cos αsin α·cosα2cos αcosα2＝2sin α. 法二：原式＝1－tan 2α2tan α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αsin α2cos αcos α2＝2tan α·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcosα2 ＝2cos αsin α·cos α2cos α·cosα2＝2sin α.典题导入[例2] (1)(2012·重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.32. (2)已知α、β为锐角，sin α＝35，cos ()α＋β＝－45，则2α＋β＝________.[自主解答] (1)原式＝sin (30°＋17°)－sin17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.(2)∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝45，∵cos(α＋β)＝－45，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝35，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝35×⎝⎛⎭⎫－45＋45×35＝0. 又2α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，3π2. ∴2α＋β＝π. [答案] (1)C (2)π由题悟法三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．以题试法2．(2012·广州一测)已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π9的值；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，若f ⎝⎛⎭⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝⎛⎭⎫α－π4的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫π9＝tan ⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝tan π3＋tanπ41－tan π3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3. (2)因为f ⎝⎛⎭⎫α3＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋3π4＋π4＝tan(α＋π)＝tan α＝2， 所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②解得cos 2α＝15.因为α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos α＝－55，sin α＝－255. 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋⎝⎛⎭⎫－255×22＝－31010.典题导入[例3] (2011·四川高考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.[自主解答] (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加得2cos βcos α＝0.∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.在本例条件不变情况下，求函数f (x )的零点的集合． 解：由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝0，∴x －π4＝k π(k ∈Z )， ∴x ＝k π＋π4(k ∈Z )．故函数f (x )的零点的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π4，k ∈Z .由题悟法三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．以题试法3．已知函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f (α)＝1，求α的值．解：(1)因为f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2 x ＋sin x cos x －3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以最小正周期T ＝π.(2)由f (α)＝1，得2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝1， 又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π3， 所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π12.1．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( )A.π4 B.3π4 C.π3D.π6解析：选A tan A ＝tan [π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C＝－－2＋131－(－2)×13＝1.故A ＝π4.2.sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2αcos (90°＋α)等于( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α解析：选D 原式＝(－sin 2α)·cos 2α(1＋cos 2α)·(－sin α)＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α.3．(2013·深圳调研)已知直线l: x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )A ．－73B.73C.57D ．1解析：选D 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1， 即tan β＝－13，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1.4．(2012·山东高考)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A.35B.45C.74D.34解析：选D 因为θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π， 所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.5．(2012·河北质检)计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α ＝cos 2αcos 2α＝1. 6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：选D 依题意有sin αcos β－cos αsin β ＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32. 故β＝π3.7．若tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝3，则cos 2θ1＋sin 2θ＝________. 解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝3， ∴tan θ＝－12.∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1－tan 2θtan 2θ＋2tan θ＋1＝1－1414－1＋1＝3.答案：38．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.答案：π39．计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________.解析：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝2(sin 30°cos 10°＋cos 30°sin 10°)2sin 240°＝2sin 40°2sin 40°＝ 2.答案： 210．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求f ′(x )及函数y ＝f ′(x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的值域． 解：(1)由题意可知，f ′(x )＝cos x －sin x ＝－2·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，所以y ＝f ′(x )的最小正周期为T ＝2π. (2)F (x )＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1. ∴函数F (x )的值域为[0,1＋ 2 ]．11．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值． 解：(1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1， 解得sin α＝45⎝⎛⎭⎫sin α＝－45舍去. (2)由(1)知cos α＝1－sin 2α ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝210， ∴sin(β－α)＝1－cos 2(β－α)＝ 1－⎝⎛⎭⎫2102＝7210， 于是sin β＝sin[α＋(β－α)] ＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210＝22. 又β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴β＝3π4.12．已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析式．解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β， 得sin [(α＋β)＋α]＝3sin [(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α.(2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy ＝2x ，∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x1＋2x 2.1．(2012·郑州质检)已知曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 与直线y ＝12相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|15P P |等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选B 注意到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋sin 2x ，又函数y ＝1＋sin 2x 的最小正周期是2π2＝π，结合函数y ＝1＋sin 2x 的图象(如图所示)可知，|15P P |＝2π.2.3－sin 70°2－cos 210°等于( )A.12B.22 C ．2D.32解析：选C3－sin 70°2－cos 2 10°＝3－cos 20°2－cos 210°＝3－(2cos 210°－1)2－cos 210°＝2(2－cos 210°)2－cos 210°＝2.3．(2012·江西重点高中模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3cos 2x －m ，若f (x )的最大值为1.(1)求m 的值，并求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若f (B )＝3－1，且3a ＝b ＋c ，试判断三角形的形状．解：(1)f (x )＝2sin 2x ·cos π3＋3cos 2x －m ＝sin 2x ＋3cos 2x －m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－m . 又f (x )max ＝2－m ，所以2－m ＝1，得m ＝1. 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得到k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． (2)由f (B )＝3－1，得2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3－1＝3－1，所以B ＝π6.又3a ＝b ＋c ，则3sin A ＝sin B ＋sin C ， 3sin A ＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A ，即sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12， 所以A ＝π3，C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．1．求证：tan α＋1tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝1cos α.证明：左边＝sin αcos α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝sin αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＋cos αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2cos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2－αcos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α2cos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2cos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝1cos α＝右边． 故原式得证．2．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．解：(1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45.cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤54π. 故－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1，则0≤f (x )≤2＋12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12.。
考向13 简单的三角恒等变换(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(解析版)
考向13 简单的三角恒等变换1．【2022年新高考2卷第6题】角,αβ满足sin()cos()22)sin 4παβαβαβ+++=+，则A ．tan()1αβ+=B ．tan()1αβ+=-C ．tan()1αβ-=D ．tan()1αβ-=-【答案】D【解析】解法一：设0β=则sin cos 0αα+=，取34απ=，排除A ，C ；再取0α=则sin cos 2sin βββ+=，取4πβ=，排除B ；选D ．解法二：由sin()cos()2sin()2sin[()]44ππαβαβαβαβ+++=++=++2sin()cos 2cos()sin 44ππαβαβ=+++，故2sin()cos 2cos()sin 44ππαβαβ+=+， 故sin()cos cos()sin 044ππαβαβ+-+=，即sin()04παβ+-=， 故22sin()sin()cos()0422παβαβαβ-+=-+-=，故sin()cos()αβαβ-=--，故tan()1αβ-=-．故选D. 2.【2022年北京卷第5题】已知函数()cos sin f x x x =-，则 （A ）()f x 在()26ππ--,上单调递减 （B ）()f x 在()412ππ-,上单调递增（C ）()f x 在(0)3π,上单调递减 （D ）()f x 在7()412ππ,上单调递增【答案】C【解析】因为()22cos sin cos2f x x x x =-=.对于A 选项，当26x ππ-<<-时，23x ππ-<<-，则()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错； 对于B 选项，当412x ππ-<<时，226x ππ-<<，则()f x 在,412ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上不单调，B 错； 对于C 选项，当03x π<<时，2023x π<<，则()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，C 对；对于D 选项，当7412x ππ<<时，7226x ππ<<，则()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，D 错.故选：C.3．【2022年浙江卷第13题】若3sin cos 10,2παβαβ-=+=，则sin α= ，cos 2β= ．【答案】3104,105【解析】由题3sin cos 10,2παβαβ-=+=，所以3sin cos 10αα-=，解得310sin 10α=． 所以24cos 2cos(π2)cos 212cos 5βααα=-=-=-=．1.三角函数公式的应用策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反．”(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． 2.三角函数公式活用技巧①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用． 3.三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；②注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式． 4.三角公式求值中变角的解题思路①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 5.三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．1.降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.2.升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.3.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， 1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4.辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)，其中tan φ＝ba .1.明确二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍．2.解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．3.运用公式时要注意公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变形．4.在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一．1．sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α＝( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32 【答案】C2．已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A ．－211 B.211 C.112 D ．－112A ．－1718B ．1718C ．－89D ．89 ⎝ ⎛⎭π4＋A ．13 B ．23 C ．－23 D ．－13A．2sin 67.5°cos 67.5°B．2cos2π12－1C．1－2sin215°D．2tan 22.5°1－tan222.5°A．∃x∈R，sin2x2＋cos2x2＝12B．∃x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin yC．∀x∈[0，π], 1－cos 2x2＝sin xD．sin x＝cos y⇒x＋y＝π28．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________．【答案】－7210【解析】因为α是第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.9.已知α，β都是锐角，cos(α＋β)＝513，sin(α－β)＝35，则cos 2α＝________． 【答案】－1665. 【解析】因为α，β都是锐角，所以0<α＋β<π，－π2<α－β<π2，又因为cos(α＋β)＝513，sin(α－β)＝35，所以sin(α＋β)＝1213，cos(α－β)＝45，则cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝513×45－1213×35＝－1665. 10．已知sin α＝－45，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π，若sin （α＋β）cos β＝2，则tan(α＋β)＝________．【答案】613.【解析】因为sin α＝－45，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π，所以cos α＝35. 又因为sin （α＋β）cos β＝2，所以sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，所以tan(α＋β)＝613.一、单选题1．（2022·广西桂林·模拟预测（文））若1sin 72πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3sin 214πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ） A ．35B ．12-C ．12D ．13【答案】Csin160tan203+=，则实数A．4B．C．23D)()2sin60cos20cos60sin20tan203cos20sin201sin20cos2018020sin402--==-40440=.A.3．（2022·湖北武汉·二模）设sin32k=，则1tan16tan16+=（）A．2kB．1kC．2k D．k4．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知不等式()2sin cos cos02x x x m m-++≥∈R对,43xππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，则m的最小值为（）A B．12C．D5．（2022·福建省福州第一中学三模）若3sin 5α=-，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2α-=+（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．-2在平面直角坐标系内，点(),P m n -为角α终边上任意一点，则()()sin 2g x x α=-的一个对称中心为（ ） A ．5,08⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,02π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．(),0π-D ．()0,0120cos 40cos802sin 20cos 20cos 40cos802sin 20=⨯111sin 40cos 40cos80sin80cos802sin 202sin 202⨯︒︒︒=⨯︒︒︒︒111sin160sin 201︒︒当0k =时，函数的一个对称中心是5,08⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：A7．（2021·上海虹口·二模）在平面上，已知定点()2,0A ，动点()sin ,cos P αα.当α在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上变化时，动线段AP 所形成图形的面积为（ ） A ．24π-B ．33π-C ．6πD ．4π 【答案】D【解析】因为22sin cos 1αα+=，所以点()sin ,cos P αα在单位圆221x y +=上，由于sin cos 2παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以，cos ,sin 22P ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是其与x 轴正方向的有向角为2AOP πα∠=-，,44ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则3,244πππα⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，记点22,22B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，22,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以，点P 的轨迹是劣弧CB ， 所以，动线段AP 所形成图形为阴影部分区域，因为ABC OBC S S =△△，因此，阴影部分区域的面积为211144OBC S S ππ==⨯=扇形.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查动线段运动轨迹图形的面积，解题的关键在于确定动点P 的轨迹图形，数形结合求出图形的面积.．（浙江绍兴模拟预测）已知，设函数1，2，若当12对[,]()∈<x m n m n 恒成立时，n m -的最大值为3π2，则（ ） A ．21a ≥ B ．21a ≤C ．22≥bD ．22≤b 【答案】A二、多选题9．（2022·全国·模拟预测）已知函数()223cos2xf x =-，则下列说法正确的有（ ） A ．函数()f x 的最大值为2B ．函数()f x 在区间2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 图像的一个对称中心为1π,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．将函数()f x 的图像向左平移π2个单位长度得到函数()13sin 12y x =+的图像10．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）向量22(sin ,cos ),sin (),cos ,0,242x a x x b ωπωωω⎛⎫==+> ⎪⎝⎭ 函数()f x a b =⋅，则下述结论正确的有（ ）A ．若()f x 的图像关于直线2x π=对称，则ω可能为12B ．周期T π=时，则()f x 的图像关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．若()f x 的图像向左平移3π个单位长度后得到一个偶函数，则ω的最小值为34D ．若()f x 在2,56ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【解析】()sin f x =(1sin x ω⋅+选项，若f 时，1ω=，故三、填空题11．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）已知1cos 63πα⎛⎫ ⎪⎝=⎭+，则5cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为______． 形三个内角都小于23π时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为23π.已知点P 为ABC 的费马点，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 2sin cos 6A C B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且22()6b a c =-+，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅的值为__________.ABCS=PA PB ⋅故答案为：【点睛】三角恒等变换是化简已知条件常用的方法，13．（2022·全国·模拟预测）已知63α<<，sin 4sin cos tan 15315315αα⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭α=______．面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ABC 的三个内角均小于120︒时，则使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒的点P 即为费马点．已知点P 为ABC 的费马点，且AC BC ⊥，若||||||PA PB PC λ+=，则实数λ的最小值为_________． 为ABC 的费马点，ABC 的三个内角均小于120CPA =︒，所以在BCP 和ACP △中，,,3236CBP ACP CAP ACP ππππααα∠=-∠=-∠=-∠=-，且均为锐角，所以,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以由正弦定理得：sin sin 3BPPC παα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin sin 26PA PCππαα=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin sin 3BP PC απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin 2sin 6PA PC παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为||||||PA PB PC λ+=所以333sin cos sin sin cos 44sin 2233sin sin sin cos sin cos 3644πααααααλππαααααα⎛⎫⎛⎫-- ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭=+==⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3341132sin 23sin cos 4ααα=-=---，因为,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,33ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以(2sin 230,23α⎤-∈-⎦， 所以)31232,2sin 23α⎡-∈++∞⎣- 故实数λ的最小值为232+. 故答案为：232+【点睛】本题考查数学文化背景下的解三角形，三角恒等变换解决三角函数取值范围问题，考查运算求解能力，数学建模能力，化归转化思想，是难题.本题解题的关键在于根据题目背景，通过设PCB α∠=，进而建立解三角形的模型，再根据正弦定理及三角恒等变换化简求最值即可.1．（2021·北京高考真题）若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(),sin())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___． 【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可） 【解析】(cos ,sin )P θθ与cos ,sin 66Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称， 即,6πθθ+关于y 轴对称， 2,6k k Z πθθππ++=+∈，则5,12k k Z πθπ=+∈， 当0k =时，可取θ的一个值为512π.故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）. 2．(2021年高考全国甲卷理科)若cos 0,,tan 222sin ααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α= ( ) A ．1515B 5C ．53D ．153【答案】A 【解析】cos tan 22sin ααα=-2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，215cos 1sin 4αα∴=-=，sin 15tan cos 15ααα∴==． A ．cos2α>0 B ．cos2α<0 C ．sin2α>0D ．sin2α<0【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α< 故选：D ．4．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知，且，则 ( )A ．3B ．23C ．13D ．9又(0,απ∈故选：A ．5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知2tan θ–tan(θ+4)=7，则tan θ= ( )A ．–2B ．–1C ．1D ．2【答案】D 【解析】2tan θ-tan ,t θ=≠故选：D ．6．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos21αα=+，则sin α= ( )A ．1 B C D7．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)若sin 3α=，则cos2α= ( )A ．8 B ．7 C ．7-D ．8-a A ．πB ．π C ．3π D ．π9．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)若tan 4α=,则2cos 2sin 2αα+= ( )A ．6425B ．4825C ．1D ．162510．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若π3cos 45α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2α= ( ) A ．725 B ．15 C ．15-D ．725-。
三角恒等变换专题复习带答案
三角恒等变换专题复习教学目标：1、能利用单位圆中的三角函数线推导出 απαπ±±,2的正弦、余弦、正切的诱导公式；2、理解同角三角函数的基本关系式：；3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题; 教学重难点：可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题 基础知识一、同角的三大关系：① 倒数关系 tan α•cot α=1 ② 商数关系 sin cos αα= tan α ； cos sin αα= cot α ③ 平方关系 22sin cos 1αα+=温馨提示：1求同角三角函数有知一求三规律,可以利用公式求解,最好的方法是利用画直角三角形速解;来源:学+科+网2利用上述公式求三角函数值时,注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号;二、诱导公式口诀：奇变偶不变,符号看象限用诱导公式化简,一般先把角化成,2k z α+∈的形式,然后利用诱导公式的口诀化简如果前面的角是90度的奇数倍,就是 “奇”,是90度的偶数倍,就是“偶”；符号看象限是,把α看作是锐角,判断角2k πα+在第几象限,在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”,就加在前面;用诱导公式计算时,一般是先将负角变成正角,再将正角变成区间0(0,360)的角,再变到区间00(0,180)的角,再变到区间00(0,90)的角计算;三、和角与差角公式 ：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=变 用 tan α±tan β=tan α±β1 tan αtan β四、二倍角公式：sin 2α= 2sin cos αα.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-五、注意这些公式的来弄去脉这些公式都可以由公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=推导出来;六、注意公式的顺用、逆用、变用;如：逆用sin cos cos sin sin()αβαβαβ±=± 1sin cos sin 22ααα=变用22cos 1cos 2αα+=22cos 1sin 2αα-= 21cos 4cos 22αα+= 七、合一变形辅助角公式把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式;()22sin cos αααϕA +B =A +B +,其中tan ϕB=A． 八、万能公式ααα2tan 1tan 22sin += ααα22tan 1tan 12cos +-= ααα2tan 1tan 22tan -=九、用αsin ,αcos 表示2tanααααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=十、积化和差与和差化积积化和差 )]sin()[sin(cos sin βαβαβα-++=； )]sin()[sin(sin cos βαβαβα--+=；)]cos()[cos(cos cos βαβαβα-++=； )]cos()[cos(sin sin βαβαβα--+=.和差化积 2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2cos 2sin sin ϕθϕθϕθ-+=- 2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+ 2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=-十一、方法总结1、三角恒等变换方法观察角、名、式→三变变角、变名、变式1 “变角”主要指把未知的角向已知的角转化,是变换的主线,如α=α+β－β=α－β+β, 2α=α+β+ α－β, 2α=β+α－β－α,α+β=2·错误! , 错误! = α－错误!－错误!－β等.2“变名”指的是切化弦正切余切化成正弦余弦sin cos tan ,cot cos sin αααααα==, 3“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂,利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等; 2、恒等式的证明方法灵活多样①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由繁到简.②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子. ③比较法, 即设法证明: "左边－右边=0" 或" 错误! =1";④分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.例题精讲例1 已知α为第四象限角,化简：ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-解：1因为α为第四象限角所以原式=αααααα2222cos 1)cos 1(sin sin 1)sin 1(cos --+-- ()ααααααααααsin cos cos 1sin 1sin cos 1sin cos sin 1cos -=---=--+-=例2 已知360270<<α,化简α2cos 21212121++ 解：360270<<α,02cos,0cos <>∴αα所以原式2111cos211cos 22222αα++=+21cos cos cos 222ααα+===- 例3 tan20°+4sin20°解：tan20°+4sin20°=0020cos 40sin 220sin +=0sin(6040)2sin 40cos 20-+00003340sin 403cos 20223cos 20+=== 例4 05天津已知727sin()2425παα-==,求sin α及tan()3πα+．解：解法一：由题设条件,应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=,即57cos sin =-αα ①由题设条件,应用二倍角余弦公式得)sin (cos 57)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722ααααααααα+-=+-=-== 故51sin cos -=+αα ② 由①和②式得53sin =α,54cos -=α因此,43tan -=α,由两角和的正切公式11325483343344331433tan 313tan )3tan(-=+-=+-=-+=+ααπα 解法二：由题设条件,应用二倍角余弦公式得αα2sin 212cos 257-==, 解得 259sin 2=α,即53sin ±=α 由1027)4sin(=-πα可得57cos sin =-αα由于0cos 57sin >+=αα,且057sin cos <-=αα,故α在第二象限于是53sin =α,从而5457sin cos -=-=αα 以下同解法一小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力,可从已知角和所求角的内在联系均含α进行转换得到．2、在求三角函数值时,必须灵活应用公式,注意隐含条件的使用,以防出现多解或漏解的情形． 例 5 已知,,A B C 为锐角ABC ∆的三个内角,两向量(22sin ,cos sin )p A A A =-+,(sin cos ,q A A =-1sin )A +,若p 与q 是共线向量.1求A 的大小；2求函数232sin cos()2C By B -=+取最大值时,B 的大小. 解：122// 2(1)(1+)- p q sinA sinA sin A cos A ∴-=22220 120cos A cos A cos A ∴+=∴+= 1cos 2A 2∴=-0<2A<π,002A 120 A=60∴=∴200A=60 B+C=120∴ 2013y=2sin B+cos(602B)1cos 2B+cos 2B sin 2B 22-=-+31 =sin 2B cos 2B+1=sin(2B )1226π--+ , 2B B 623πππ-=当时，即=． 小结：三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意例6 设关于x 的方程sinx ＋3cosx ＋a ＝0在0, 2π内有相异二解α、β.1求α的取值范围; 2求tan α＋β的值. 解: 1∵sinx ＋3cosx ＝221sinx ＋23cosx ＝2 sinx ＋3π, ∴方程化为sinx ＋3π＝－2a.∵方程sinx ＋3cosx ＋a ＝0在0, 2π内有相异二解, ∴sinx ＋3π≠sin 3π＝23 .又sinx ＋3π≠±1 ∵当等于23和±1时仅有一解, ∴|－2a |<1 . 且－2a≠23. 即|a |<2且a ≠－3.∴ a 的取值范围是－2, －3∪－3, 2.2 ∵α、 β是方程的相异解, ∴sin α＋3cos α＋a ＝0 ①. sin β＋3cos β＋a ＝0 ②. ①－②得sin α－ sin β＋3 cos α－ cos β＝0. ∴ 2sin2βα-cos2βα+－23sin2βα+sin2βα-＝0, 又sin2βα+≠0, ∴tan2βα+＝33.∴tan α＋β＝2tan22tan22βαβα+-+＝3.小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别,这里不能忘记0, 2π这一条件. 例7 已知函数()x x m x f cos sin 2-=在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上单调递减,试求实数m 的取值范围．解：已知条件实际上给出了一个在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上恒成立的不等式． 任取∈21,x x ⎪⎭⎫⎝⎛2,0π,且21x x <,则不等式()()21x f x f >恒成立,即>-11cos sin 2x x m 22cos sin 2x x m -恒成立．化简得()()2112sin 2cos cos x x x x m ->- 由2021π<<<x x 可知：0cos cos 12<-x x ,所以()1221cos cos sin 2x x x x m --<上式恒成立的条件为：()上的最小值，在区间⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--<20cos cos sin 21221πx x x x m . 由于()2sin 2cos 22sin 2sin 22cos 2sin4cos cos sin 22121212121211221x x x x x x x x x x x x x x x x +-=-+--=-- 2sin2cos 2cos 2sin 2sin 2sin 2cos 2cos 221212121x x x x x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2tan2tan 2tan 2tan 122121x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=且当2021π<<<x x 时,42,2021π<<x x ,所以 12tan ,2tan 021<<x x , 从而 02tan 12tan 12tan 2tan 2tan 2tan1212121>⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x , 有 22tan2tan 2tan 2tan 122121>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x , 故 m 的取值范围为]2,(-∞.基础精练1．已知α是锐角,且sin 错误!＝错误!,则sin 错误!的值等于A.错误! B ．－错误! C.错误! D ．－错误!2．若－2π＜α＜－错误!,则 错误!的值是A ．sin 错误!B ．cos 错误!C ．－sin 错误!D ．－cos 错误!3.错误!·错误!等于A.－sinαB.－cosαC.sinαD.cosα4.已知角α在第一象限且cosα＝错误!,则错误!等于A.错误!B.错误!C.错误!D.－错误!5.定义运算错误!＝ad －bc.若cosα＝错误!,错误!＝错误!,0<β<α<错误!,则β等于A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!6.已知tanα和tan 错误!－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根,则a 、b 、c 的关系是A.b ＝a ＋cB.2b ＝a ＋cC.c ＝b ＋aD.c ＝ab7.设a ＝错误!sin56°－cos56°,b ＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°,c ＝错误!,d ＝错误!cos80°－2cos 250°＋1,则a,b,c,d 的大小关系为A.a ＞b ＞d ＞cB.b ＞a ＞d ＞cC.d ＞a ＞b ＞cD.c ＞a ＞d ＞b8．函数y ＝错误!sin2x ＋sin 2x,x ∈R 的值域是A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!9.若锐角α、β满足1＋错误!tanα1＋错误!tanβ＝4,则α＋β＝ .10.设α是第二象限的角,tanα＝－错误!,且sin 错误!<cos 错误!,则cos 错误!＝ .11.已知sin-4πx=135,0<x<4π,求)4cos(2cos x x +π的值;12.若),0(,πβα∈,31tan ,507cos -=-=βα,求α+2β;拓展提高1、设函数fx ＝sin 错误!－错误!－2cos 2错误!＋11求fx 的最小正周期.2若函数y ＝gx 与y ＝fx 的图像关于直线x ＝1对称,求当x ∈0,错误!时y ＝gx 的最大值2.已知向量a ＝cosα,sinα,b ＝cosβ,sinβ,|a －b|＝错误!1求cosα－β的值；2若0<α<错误!,－错误!<β<0,且sinβ＝－错误!,求sinα.3、求证：αβαsin 2sin ）（+－2cos α+β=αβsin sin .基础精练参考答案4．C 解析原式＝错误!＝错误!＝错误!＝2×cosα＋sinα＝2×错误!＋错误!＝错误!. 5.D 解析依题设得：sinα·cosβ－cosα·sinβ＝sin α－β＝错误!.∵0<β<α<错误!,∴cosα－β＝错误!. 又∵cosα＝错误!,∴sinα＝错误!.sinβ＝sinα－α－β＝sinα·cosα－β－cosα·sinα－β ＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!,∴β＝错误!.6.C 解析tan tan()4,tan tan(),4b a c a πααπαα⎧+-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∴tan 错误!＝tan 错误!－α＋α＝错误!＝1,∴－错误!＝1－错误!,∴－b ＝a －c,∴c ＝a ＋b.7.B 解析a ＝sin56°－45°＝sin11°,b ＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin52°－40°＝sin12°,c ＝错误!＝cos81°＝sin9°,d ＝错误!2cos 240°－2sin 240°＝cos80°＝sin10°∴b ＞a ＞d ＞c.8.C 解析y ＝错误!sin2x ＋sin 2x ＝错误!sin2x －错误!cos2x ＋错误!＝错误!sin 错误!＋错误!,故选择C. 9. 错误!解析由1＋错误!tanα1＋错误!tanβ＝4,可得错误!＝错误!,即tanα＋β＝错误!. 又α＋β∈0,π,∴α＋β＝错误!.10. －错误!解析：∵α是第二象限的角,∴错误!可能在第一或第三象限,又sin 错误!<cos 错误!,∴错误!为第三象限的角, ∴cos 错误!<0.∵tanα＝－错误!,∴cosα＝－错误!,∴cos 错误!＝－ 错误!＝－错误!.12.解析∵),0(,πβα∈,507cos -=α∴),0,33(71tan -∈-=α),0,33(31tan -∈-=β∴),65(,ππβα∈,α+2β)3,25(ππ∈,又tan2β=43tan 1tan 22-=-ββ,12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα,来源:Zxxk ∴α+2β=411π拓展提高参考答案1、解析 1fx ＝sin 错误!cos 错误!－cos 错误!sin 错误!－cos 错误!x ＝错误!sin 错误!x －错误!cos 错误!x＝错误!sin 错误!x －错误!,故fx 的最小正周期为T ＝错误!＝82法一：在y ＝g x 的图象上任取一点 x,gx,它关于x ＝1的对称点2－x,gx.由题设条件,点2－x ,gx 在y ＝fx 的图象上,从而gx ＝f2－x ＝错误!sin 错误!2－x －错误! ＝错误!sin 错误!－错误!x －错误!＝错误!cos 错误!x ＋错误!,当0≤x≤错误!时, 错误!≤错误!x ＋错误!≤错误!,因此y ＝gx 在区间0,错误!上的最大值为gx max ＝错误!cos 错误!＝错误!.法二：因区间0,错误!关于x ＝1的对称区间为错误!,2,且y ＝gx 与y ＝fx 的图象关于x ＝1对称,故y ＝gx 在0,错误!上的最大值为y ＝fx 在错误!,2上的最大值,由1知fx ＝错误!sin 错误!x －错误!, 当错误!≤x ≤2时,－错误!≤错误!x －错误!≤错误!,因此y ＝gx 在0,错误!上的最大值为gx max ＝错误!sin 错误!＝错误!.2、解析1∵a ＝cos α,sinα,b ＝cosβ,sinβ, ∴a －b ＝cosα－cosβ,sinα－sinβ. ∵|a －b|＝错误!,∴错误!＝错误!, 即2－2cosα－β＝错误!,∴cosα－β＝错误!.2∵0<α<错误!,－错误!<β<0,∴0<α－β<π,∵cosα－β＝错误!,∴sinα－β＝错误! ∵sin β＝－错误!,∴cosβ＝错误!,∴sinα＝sinα－β＋β＝sinα－βcosβ＋cosα－βsinβ＝错误!·错误!＋错误!·－错误!＝错误!。
高考数学专题《三角恒等变换》习题含答案解析
专题5.4 三角恒等变换1．（2021·四川德阳市·高三二模（文））在平面直角坐标系中，已知点()2cos80,2sin 80A ︒︒，()2cos 20,2sin 20B ︒︒，那么AB =（ ）A ．2B．C．D ．4【答案】A 【解析】利用利用两点间的距离公式求得AB .【详解】AB ==2====.故选：A2．（2018·全国高考真题（文））（2018年全国卷Ⅲ文）若sin α=13，则cos2α=（ ）A ．89 B ．79 C ．―79 D ．―89【答案】B 【解析】cos2α=1―2sin 2α=1―29=79故答案为B.3．（2021·商丘市第一高级中学高三月考（文））已知2sin 21sin 22πθθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则tan θ的所有取值之和为（ ）A ．－5B ．－6C ．－3D ．2【答案】D练基础利用诱导公式和二倍角公式化简已知式，得到sin cos θθ=-或sin 3cos θθ=，即得tan θ的可能取值，求和即可.【详解】依题意得，2cos 21sin 2θθ-=+，即()()2222sincos sin cos θθθθ-=+，即()()()22sin cos sin cos sin cos θθθθθθ+-=+，故sin cos 0θθ+=或()2sin cos sin cos θθθθ-=+，所以sin cos θθ=-或sin 3cos θθ=，可得tan 1θ=-或tan 3θ=，所以tan θ的所有取值之和为2．故选：D.4．（2021·北京北大附中高三其他模拟）已知()0,απ∈，且1cos 23α=，则sin α=（ ）A B ．23C ．13D 【答案】A 【解析】由余弦的二倍角公式，先求出2sin α的值，结合角α的范围可得答案.【详解】由21cos 212sin 3αα=-=，可得21sin 3α=又()0,απ∈，则sin α=故选：A5．（2022·河南高三月考（理））若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且23cos sin 210αα-=，则tan α=（ ）A ．-7B ．13C ．17-D ．-7或13【答案】A 【解析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再解方程即可；解：因为23cos sin 210αα-=，所以2222cos sin 2cos 2sin cos 31sin cos 10ααααααα--==+，所以212tan 3tan 110αα-=+，得23tan 20tan 70αα+-=，则tan 7=-α或1tan 3α=，又,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以tan 7=-α.故选：A6．（2021·江苏淮安市·高三三模）设2sin 46a =︒，22cos 35sin 35b =︒-︒，2tan 321tan 32c ︒=-︒，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c<<【答案】D 【解析】根据正弦函数的单调性，结合不等式性质，可得到a 的范围；利用二倍角公式化简b 、c ，结合函数单调性，可得到b 、c 的大致范围；从而，可以比较a 、b 、c 的大小.【详解】因为sin 45sin 46sin 60︒<︒<︒，所以有222sin 45sin 46sin 60︒<︒<︒，即222sin 46<︒<，所以1324a <<；因为222cos 35sin 3512sin 35︒-︒=-︒，而sin 30sin 35sin 45︒<︒<︒，所以有211sin 3542<︒<，所以21012sin 352<-︒<，即102b <<；因为22tan 3212tan 321tan 641tan 3221tan 322︒︒=⨯=︒-︒-︒，而tan 64tan 60︒>︒=所以c >显然，b a <，而22233(44c >=>，所以34c >，即c a>所以b a c <<故选：D7．（2020·河北高三其他模拟（文））已知函数()22sincos f x x x x ωωω=+(0>ω)的最小正周期为π，关于函数()f x 的性质，则下列命题不正确的是（ ）A ．1ω=B ．函数()f x 在R 上的值域为[]1,3-C ．函数()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 图象的对称轴方程为3x k ππ=+(k ∈Z )【答案】D 【解析】首先把函数的关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果.【详解】解：函数()22sincos f x x x xωωω=+1cos 222sin 216x x x πωωω⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，由于函数()f x 的最小正周期为π，即22ππω=，所以1ω=，故A 正确；故()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.对于B ：由于x ∈R ，所以函数()f x 的最小值为1-，函数的最大值为3，故函数的值域为[]1,3-，故B 正确；对于C ：当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,622πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦x ，故函数在该区间上单调递增，故C 正确；对于D ：当262x k πππ-=+，()k Z ∈时，整理得23k x ππ=+(k ∈Z )为函数的对称轴，故D 错误.故选：D .8.（2020·全国高考真题（文））若，则__________．【答案】【解析】.故答案为：.9．（2021·贵溪市实验中学高二期末）tan 42tan1842tan18︒+︒︒︒的值是___________.【解析】由()tan18tan 42tan 60tan 18421tan18tan 42︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒进行转化，可得答案.【详解】解：由()tan18tan 42tan 60tan 18421tan18tan 42︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒)tan18tan 421tan18tan 42∴︒+︒=-︒⋅︒tan18tan 42tan 42∴︒+︒︒⋅︒=.10．（2021·山东高三其他模拟）若tan()4πα-=，则3cos 22απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝__________________．【答案】﹣817【解析】先用诱导公式化简，再根据二倍角及22sin cos 1a a +=变形，再求值即可.【详解】解：因为tan （π﹣α）＝﹣tan α＝4，2sin 3x =-cos 2x =1922281cos 212sin 12()1399x x =-=-⨯-=-=19所以tan α＝﹣4，则cos （2α＋32π）＝sin2α＝2sin αcos α＝222sin cos sin cos a a a a +＝22tan 1tan a a+＝﹣817．故答案为：﹣817．1．（2021·广东佛山市·高三其他模拟）(sin 40tan10-=（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．－1【答案】D 【解析】利用切化弦，三角恒等变换，逆用两角差的正弦公式，二倍角公式，诱导公式化简求值.【详解】(sin 40tan10sin10=sin40(cos10sin 40sin 402(cos 60sin10sin 60cos10)sin 40cos102sin(1060)sin 40cos102sin 50sin 40cos102sin -︒︒⋅-︒==︒⋅︒-︒⋅︒=︒⋅︒︒-︒=︒⋅︒-︒=︒⋅︒-=⋅ 40cos 40cos10sin 80cos101︒⋅︒︒-︒=︒=-2．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．辽宁省实验中学校园内的明心亭，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，练提升它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（ ）．ABCD【答案】A 【解析】分别用SA 和θ表示出AB 的一半，得出侧棱与底面边长的比，再根据正八边形的结构特征求出底面内切圆的半径与边长的关系，即可求出结果．【详解】设O 为正八棱锥S ABCDEFGH -底面内切圆的圆心，连接OA ，OB ，取AB 的中点M ，连接SM 、OM ，则OM 是底面内切圆半径R ，如图所示：设侧棱长为x ，底面边长为a ，由题意知2ASB θ∠=，ASM θ∠=，则12sin axθ=，解得2sin a x θ=；由底面为正八边形，其内切圆半径OM 是底面中心O 到各边的距离，AOB V 中，45AOB ∠=︒，所以22.5AOM ∠=︒，由22tan 22.5tan 4511tan 22.5︒︒==-︒，解得tan 22.51︒=，所以12tan 22.512aa R R==︒=-，所以2sin 12x R θ=-，解得x R =，．故选:A ．3.（2020·海南枫叶国际学校高一期中）若，则的值为( )3cos 22sin()4παα=-(,)2παπ∈sin 2αA ．B ．C ．D．【答案】C 【解析】因为，所以，，，因为，所以，所以所以，两边平方得，所以，故选：C4．（2019·江苏高考真题）已知，则的值是_____..【解析】由，得，解得，或.79-793cos 22sin()4παα=-3cos 22(sincos cossin )sin )44ππααααα=-=-223(cos sin )sin )αααα--3(cos sin )(cos sin )sin )αααααα+--(,)2παπ∈cos sin 0αα-≠3(cos sin )αα+cos sin αα+=212cos sin 9αα+=7sin 29α=-tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭23tan 5tan 20αα--=tan 2α=1tan 3α=-，当时，上式当时，上式综上，5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数2ππ()sin 6212x f x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[0,]m 上恰有10个零点，则m 的取值范围是________________．【答案】55π61π,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】先用降幂公式和辅助角公式化简()f x ，再转化为图象与x 轴交点个数问题.【详解】∵()2ππππsin sin 1cos 621266x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦π2sin 6x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴π()02sin 06f x x ⎛⎫=⇔-= ⎪⎝⎭，∵()f x 在[0,]m 上恰有10个零点，sin 2sin 2cos cos 2sin444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎭222tan 1tan tan 1ααα⎫+-⎪+⎭tan 2α=22221221⎫⨯+-⎪+⎭1tan 3α=-22112133113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴πsin 06x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[0,]m 上恰有10个解，∴π9π10π6m -<…，解得55π61π66m <…，故答案为：55π61π,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭．6．（2021·上海复旦附中高三其他模拟）已知函数()3sin 24cos 2f x x x =+.若存在0x R ∈，对任意x ∈R ，都有()()0f x f x ≥成立.给出下列两个命题：（1）对任意x ∈R ，不等式()02f x f x π⎛⎫+⎪⎝⎭≤都成立.（2）存在512πθ>-，使得()f x 在005,12x x πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减.则其中真命题的序号是__________.（写出所有真命题的序号）【答案】（1）（2）【解析】由辅助角公式可得()5sin(2)f x x ϕ=+，由题意可得0x 是()f x 的最小值点，()f x 关于0x x =对称，由三角函数的性质逐个分析各个选项，即可求得结论．【详解】解：函数()3sin 24cos 25sin(2)f x x x x ϕ=+=+，其中ϕ为锐角，且3cos 5ϕ=，由题意，0x 是()f x 的最小值点，所以()f x 关于0x x =对称，因为()f x 的最小正周期22T ππ==，所以0()2f x π+为最大值，所以任意x ∈R ，0()(2f x f x π+…，故（1）正确；因为函数()f x 在()00,2x k x k k Z πππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递减，取4πθ=-，则00005,,1242x x x x πππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Ü，所以()f x 即在005,124x x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递减，故（2）正确；故答案为：（1）（2）7．（2021·全国高三其他模拟（文））已知角0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，若3sin 35πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1cos 32πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()cos αβ-=___________.【答案】【解析】根据,αβ的范围确定,33ππαβ--的范围，然后求出cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭和sin 3πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将()cos αβ-变形为cos 33ππαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合两角和的余弦公式即可求解.【详解】∵0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3312πππα-<-<-，2336πππβ-<-<-，又3sin 35πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1cos 032πβ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，∴2332πππβ-<-<-∴4cos 35πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭，sin 3πβ⎛⎫-=== ⎪⎝⎭∴()cos cos 33ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 3333ππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭413525⎛⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝=.故答案为：.8．（2021·江西新余市·高一期末（理））已知单位圆上第三象限内的一点P 沿圆周逆时针旋转4π到点Q ，若点Q 的横坐标为35，则点P 的横坐标为___________.【答案】【解析】首先设(cos ,sin )2P πθθπθ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭，根据题意得到cos ,sin 44ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而得到3cos 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4sin 45πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再根据cos cos 44ππθθ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦求解即可.【详解】由题意设(cos ,sin )2P πθθπθ⎛⎫-<<-⎪⎝⎭，从而点P 沿圆周逆时针旋转4π到点Q ，即Q 点坐标为cos ,sin 44ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3cos 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3,444πππθ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，∵3cos 045πθ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，∴,424πππθ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，则4sin 45πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以cos cos cos cos sin sin 444444ππππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3455=-=所以点P 的横坐标为故答案为：9.（2020·浙江吴兴�湖州中学高三其他）已知，，，则02πα<<4sin 5α=1tan()3αβ-=-tan β=_________.【答案】3 【解析】因为，，所以，所以，因为所以，，故答案为：3；.10．（2021·聊城市·山东聊城一中高三其他模拟）在①6x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴，②12π是函数()f x 的一个零点，③函数()f x 在[],a b 上单调递增，且b a -的最大值为2π，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数1()2sin cos (02)62f x x x πωωω⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭，__________，求()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择见解析；单调递减区间为,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得()sin(2)6f x x πω=-，=3202πα<<4sin 5α=3cos 5α===sin 4tan cos 3ααα==1tan()3αβ-=-tan tan()tan tan[()]1tan tan()ααββααβααβ--=--=+-415()33334151()339--===+⨯-sin tan 33cos sin 1tan 132βββββ---====---32若选①，利用正弦函数的对称性可得362k πωπππ--=+，k Z ∈，得32k ω=--，k Z ∈，又02ω<<，可得ω，可求()sin(26f x x π=-；若选②，由题意可得2126k ππωπ⨯-=，可得61k ω=+，k Z ∈，又02ω<<，可得ω，可求()sin(2)6f x x π=-；若选③，可求22T ππω==，可得1ω=，可得()sin(2)6f x x π=-，利用正弦函数的单调性，结合22x ππ-……，即可求解()f x 在[2π-，]2π上的单调递减区间．【详解】解：11()2sin cos 2sin cos cos sin sin 62662f x x x x x x πππωωωωω⎛⎫⎛⎫=--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21sin sin 2x x x ωωω=+-12cos 22x x ωω=-sin x π⎛⎫=ω- ⎪⎝⎭26．①若6x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴，则362k πωπππ--=+，k Z ∈，即233k πωππ-=+，k Z ∈，得32k ω=--，k Z ∈，又02ω<<，∴当1k =-时，1ω=，()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．②若12π是函数()f x 的一个零点，则2126k ππωπ⨯-=，即66k ππωπ=+，k Z ∈，得61k ω=+，k Z ∈．又02ω<<，∴当0k =时，1ω=，所以，()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．③若()f x 在[],a b 上单调递增，且b a -的最大值为2π．则22T ππω==，故1ω=，所以()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由3222262k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈，得536k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，令0k =，得536x ππ≤≤，令1k =-，得236k ππ-≤≤-，又22x ππ-≤≤，所以()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．1．（2021·全国高考真题（文））函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（ ）A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和2【答案】C 【解析】利用辅助角公式化简()f x ，结合三角函数最小正周期和最大值的求法确定正确选项.【详解】由题，()34x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2613T pp ==.故选：C ．2．（2021·北京高考真题）函数()cos cos 2f x x x =-，试判断函数的奇偶性及最大值（ ）A ．奇函数，最大值为2B ．偶函数，最大值为2C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98【答案】D 【解析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】练真题由题意，()()()()cos cos 2cos cos 2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98.故选：D.3．（2019·全国高考真题（文））tan255°=（ ）A ．－2B ．－C ．2D ．【答案】D 【解析】=4．（2019·全国高考真题（文理））已知a ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ）A ．BCD【答案】B 【解析】，．，又，，又，B ．5.（2020·全国高考真题（理））已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．2【答案】D000000tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)=+==+000tan 45tan 3021tan 45tan 30+==+-π2152sin 2cos 21α=α+ 24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭sin 0,2sin cos α>∴α=α22sin cos 1αα+=2215sin 1,sin 5∴α=α=sin 0α>sin α∴=【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=.故选：D.6．（2020·全国高考真题（文））已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A ．12B C ．23D 【答案】B 【解析】由题意可得：1sin sin 12θθθ++=，则：3sin 12θθ+=1cos 2θθ+=从而有：sin coscos sin66ππθθ+=，即sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故选：B.。
专题12 三角恒等变换(纯答案)
专题12三角恒等变换 答案例1、【答案】A【解析】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin 3αα∈π∴==. 故选：A ．变式1、 【答案】35；13 【解析】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++， tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++， 故答案为：31,53- 变式2、【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+---+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 变式3、【解析】 (1)因为cos 2β＝－35，cos 2β＝2cos 2β－1， 所以 2cos 2β－1＝－35，解得cos 2β＝15.(2分) 因为β为钝角，所以cos β＝－55. 从而sin β＝1－cos 2β＝1－15＝255.(5分) 所以tan β＝sin βcos β＝255－55＝－2.(7分) (2)因为α为钝角，sin α＝35， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－2531⎪⎭⎫ ⎝⎛-＝－45. (9分) 所以 sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×⎪⎭⎫ ⎝⎛-54＝－2425，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎪⎭⎫ ⎝⎛532＝725. (11分) 从而cos (2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝725×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-55－⎪⎭⎫ ⎝⎛-2524×255 ＝415125.(14分)题型二、变角问题例2、【答案】17【解析】因为sin cos 11cos 2ααα=-，所以2sin cos 2sin ααα=且cos 0α≠，所以1tan 2α=； 又1tan()3αβ-=， 所以()()()11tan tan 123tan tan 11tan tan 716ααββααβααβ---=--===⎡⎤⎣⎦+-+. 故答案为：17. 变式1、【解析】（1）因为4tan 3=α，sin tan cos =ααα， 所以4sin cos 3=αα． 因为22sin cos 1+=αα，所以29cos 25=α， 因此，27cos 22cos 125=-=-αα． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,)+∈παβ．又因为cos()+=αβ，所以sin()+==αβ， 因此tan()2+=-αβ． 因为4tan 3=α，所以22tan 24tan 21tan 7==--ααα，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11-+-=-+==-++ααβαβααβααβ． 变式2、【答案】A【解析】0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,444πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭4cos 45πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭， cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦43525210=⨯-⨯=. 故选：A题型三、求角问题例3、【解析】 (1) 由cos α＝437，α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，得sin α＝1－cos 2α＝27341⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-＝17.(2分) 所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ4＝sin π4cos α＋cos π4sin α(4分) ＝22×437＋22×17＝46＋214.(6分) (2) 因为α，β∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，所以α＋β∈(0，π)． 又cos (α＋β)＝1114，则sin (α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝214111⎪⎭⎫ ⎝⎛-＝5314.(8分) 所以sin β＝sin (α＋β－α)＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α(10分)＝5314×437－1114×17＝12.(12分) 因为β∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，所以β＝π6.(14分) 变式【解析】 因为锐角α的终边与单位圆交于点A ，且点A 的横坐标是31010， 所以由任意角的三角函数的定义可知cos α＝31010， 从而sin α＝1－cos 2α＝1010.(2分) 因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B 的纵坐标是255，所以sin β＝255， 从而cos β＝－1－sin 2β＝－55.(4分) (1) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝31010×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-55＋1010×255＝－210.(8分) (2) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1010×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-55＋31010×255＝22.(11分)因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈⎪⎭⎫⎝⎛232ππ，， 所以α＋β＝3π4.(14分) 易错警示 求角的大小，经常会因为忽略角的取值范围而导致增解．另外，在求角的大小时，一般地，应首先确定所求角的范围，然后根据角的范围来确定求角的哪个三角函数，通常所选择的那个三角函数应该在范围内是单调的．1、【答案】B 【解析】2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=. 故选B.2、【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k απ+π<<π+π∈Z ， 所以34244,k k k απ+π<<π+π∈Z此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α<，故选：D ． 方法二：当6απ=-时，cos 2cos 03απ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误； 当3απ=-时，2cos 2cos 03απ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误； 由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D ．3、【答案】D 【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271t t t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D ．4、【答案】B【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ． 5、【答案】13【解析】221sin ())(1sin 2)42παααα+=+=+ 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴= 故答案为：136、【答案】12- 【解析】因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα所以11sin ,cos 22==αβ， ()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα7、【答案】【解析】由于1sin 4x =，x 为第二象限角，所以cos x ==所以1sin 22sin cos 2448x x x ⎛==⨯⨯-=- ⎝⎭.故答案为：8、【答案】A【解析】2π2π2πππcos 2cos π2cos 2cos 22sin 133333ααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1721168=⨯-=-． 故选A ．。
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简单的三角恒等变换专题一、选择题1．已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53B ．－19 C.19 D.532．2cos10°－sin20°sin70°的值是( )A.12B.32 C.3 D. 23．若sin76°＝m ，用含m 的式子表示cos7°为( )A.1＋m 2B.1－m 2 C ．±1＋m2 D.1＋m24．若cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π4＝－22，则sin α＋cos α的值为( )A ．－22B ．－12 C.12 D.725．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为( )A ．4 3 B.833C ．4D ．86．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋sin α＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值是( )A ．－25 B.25 C.4315 D ．－43157．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，满足tan(α＋β)＝4tan β，则tan α的最大值是( )A.14B.34C.34 2D.328．已知tan α＝4，则1＋cos2α＋8sin 2αsin2α的值为( )A ．4 3 B.654 C ．4 D.2339．已知sin2α＝－2425，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则sin α＝( ) A.35 B.45 C ．－35 D ．－4510．已知α∈(0，π)，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝22，则tan2α＝( )A.33 B ．－33C. 3 D ．－ 3二、填空题11． 3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝________.12．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________.13．设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α＝________.14．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.三、解答题15．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．16．已知α，β∈(0，π)，f (α)＝3－2cos2α4sin α.(1)用sin α表示f (α)；(2)若f (α)＝sin β，求α及β的值．简单的三角恒等变换专题答案一、选择题1．已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53 B ．－19 C.19 D.53解析：依题意得cos(π－2α)＝－cos2α＝2sin 2α－1＝2×(23)2－1＝－19，选B.答案：B 2．2cos10°－sin20°sin70°的值是( )A.12B.32 C.3 D. 2 解析：原式＝2cos (30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3.答案：C3．若sin76°＝m ，用含m 的式子表示cos7°为( )A.1＋m 2 B.1－m2C ．±1＋m2D.1＋m2解析：∵sin76°＝cos14°＝2cos 27°－1＝m ， ∴cos 27°＝1＋m2，∴cos7°＝1＋m2. 答案：D 4．若cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π4＝－22，则sin α＋cos α的值为( ) A ．－22 B ．－12 C.12 D.72 解析：由已知三角等式得cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－22，整理得sin α＋cos α＝12.答案：C5．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为( )A ．4 3 B.833 C ．4 D ．8解析：∵f (x )＝2(tan x ＋cos x sin x )＝2×(sin x cos x ＋cos xsin x) ＝2×1cos x ·sin x ＝4sin2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sin π6＝8. 答案：D6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋sin α＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值是( )A ．－25 B.25 C.4315 D ．－4315解析：由条件知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α＋sin α＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝4315，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－4315. 答案：D7．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，满足tan(α＋β)＝4tan β，则tan α的最大值是( )A.14B.34C.34 2D.32解析：α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故tan α，tan β>0.由tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝4tan β得tan α＝3tan β1＋4tan 2β＝34tan β＋1tan β≤34，故选B. 答案：B8．已知tan α＝4，则1＋cos2α＋8sin 2αsin2α的值为( )A ．4 3 B.654 C ．4 D.233解析：1＋cos2α＋8sin 2αsin2α＝2cos 2α＋8sin 2α2sin αcos α＝2＋8tan 2α2tan α＝2＋8×422×4＝654.故选B.答案：B 9．已知sin2α＝－2425，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则sin α＝( ) A.35 B.45 C ．－35 D ．－45解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴cos α<0，sin α>0，且|cos α|>|sin α|，又(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α＝1－2425＝125，∴sin α＋cos α＝－15，同理可得sin α－cos α＝75，∴sin α＝35，故选A. 答案：A10．已知α∈(0，π)，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝22，则tan2α＝( )A.33 B ．－33C. 3 D ．－ 3解析：由α∈(0，π)，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝22， 所以α＋π6＝π4，即α＝π12，tan2α＝tan π6＝33，故选A.答案：A 二、填空题 11．3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝________.解析：原式＝3sin12°cos12°－32(2cos 212°－1)sin12°＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin12°－32cos12°cos12°2cos24°sin12°＝23sin (－48°)2cos24°sin12°cos12°＝－23sin48°sin24°cos24°＝－23sin48°12sin48°＝－4 3. 答案：－4 312．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________.解析：∵α是第二象限角，∴α2可能在第一或第三象限．又sin α2<cos α2，∴α2为第三象限角，∴cos α2<0，∵tan α＝－43，∴cos α＝－35，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－55. 答案：－5513．设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α＝________. 解析：sin3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin2αcos α＋cos2αsin αsin α＝135.∴2cos 2α＋cos2α＝135，2cos 2α－1＋cos2α＝85. ∴cos2α＝45.∵2k π－π2<α<2k π，∴4k π－π<2α<4k π(k ∈Z)．又∵cos2α＝45>0，∴2α为第四象限的角，sin2α＝－1－cos 22α＝－35，∴tan2α＝－34.答案：－3414．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.解析：方法1：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，得sin α＋cos α＝12213， 两边平方，得1＋2sin αcos α＝288169， ∴2sin αcos α＝119169， ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos α>sin α，∴cos α－sin α>0，∴cos α－sin α＝(cos α－sin α)2 ＝1－2sin αcos α＝5213， ∴cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α－sin 2α22sin α＋22cos α＝2(cos α－sin α)＝1013. 方法2：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴0<π4－α<π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513，∴cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝120169，∴cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1013. 答案：1013三、解答题15．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，∴sin2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π.又由(1)知sin2α＝12，∴cos2α＝－32.∴tanα－1tanα＝sinαcosα－cosαsinα＝sin2α－cos2αsinαcosα＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝2 3.16．已知α，β∈(0，π)，f(α)＝3－2cos2α4sinα.(1)用sinα表示f(α)；(2)若f(α)＝sinβ，求α及β的值．解：(1)f(α)＝3－2(1－2sin2α)4sinα＝1＋4sin2α4sinα.(2)∵0<α<π，∴sinα>0.∴f(α)＝sinα＋14sinα≥214＝1，当且仅当sinα＝1 4sinα即sinα＝12时，等号成立．又f(α)＝sinβ≤1，∴f(α)＝1.此时sinα＝14sinα，即sinα＝12，∴α＝π6或5π6.又∵0<β<π，0<sinβ≤1，f(α)≥1，所以f(α)＝sinβ＝1，所以β＝π2.综上可知α＝π6或5π6，β＝π2.。