线性代数知识点归纳
线性代数知识点全归纳
线性代数知识点全归纳线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性映射。
它广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
下面将对线性代数的主要知识点进行全面归纳。
1.矩阵及其运算：矩阵是线性代数的基本概念之一，由若干行和列组成的方阵。
常见的矩阵运算有加法、减法、数乘、矩阵乘法和转置等。
2.向量及其运算：向量是一个有序数组，具有大小和方向。
常见的向量运算有加法、减法、数乘、点乘和叉乘等。
3.线性方程组：线性方程组是线性代数的核心内容之一、包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组。
解线性方程组的方法有高斯消元法、克莱姆法则和矩阵求逆等。
4.向量空间与线性变换：向量空间是线性代数的基本概念之一，包含零向量、加法和数乘运算。
线性变换是一种保持向量空间结构的映射。
5.基与维度：基是向量空间的一组线性无关向量，可以由基线性组合得到向量空间中的任意向量。
维度是向量空间中基的数量。
6.线性相关与线性无关：向量组中的向量线性相关指存在非零的线性组合，其系数不全为零。
如果向量组中的向量线性无关，则任何线性组合的系数都为零。
7.线性变换与矩阵：线性变换可以用矩阵表示，矩阵的列向量表示线性变换作用于基向量上后的结果。
矩阵乘法可以将多个线性变换组合为一个线性变换。
8.特征值与特征向量：对于一个线性变换，如果存在一个非零向量，使得它在该线性变换下只发生伸缩而不发生旋转，那么这个向量称为该线性变换的特征向量，对应的伸缩比例为特征值。
9.二次型与正定矩阵：二次型是线性代数中的重要概念，是一个关于变量的二次函数。
正定矩阵是指二次型在所有非零向量上的取值都大于零。
10.内积与正交性：内积是向量空间中的一种运算，它满足线性性、对称性和正定性。
正交性是指两个向量的内积为零，表示两个向量互相垂直。
11.正交变换与正交矩阵：正交变换是指保持向量长度和向量之间夹角的变换。
正交矩阵是一种特殊的方阵，它的行向量和列向量两两正交，并且长度为112.奇异值分解与特征值分解：奇异值分解将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，另外两个是对角矩阵。
线性代数的重点知识点总结
线性代数的重点知识点总结线性代数是数学中的一个重要分支，它研究向量空间和线性变换的性质。
在数学、物理、计算机科学等领域中，线性代数都有着广泛的应用。
本文将总结线性代数的一些重点知识点，帮助读者更好地理解和应用线性代数。
1. 向量和矩阵向量是线性代数中的基本概念，它表示空间中的一点或者一个方向。
向量可以表示为一个有序的数列，也可以表示为一个列矩阵。
矩阵是由多个向量按照一定规则排列而成的矩形阵列。
矩阵可以进行加法、减法和数乘等运算。
矩阵的转置、逆矩阵和行列式等概念也是线性代数中的重要内容。
2. 线性方程组线性方程组是线性代数中的一个重要问题，它可以表示为多个线性方程的组合。
线性方程组的求解可以通过消元法、矩阵的逆等方法进行。
当线性方程组有唯一解时，称为可逆方程组；当线性方程组无解或者有无穷多解时，称为不可逆方程组。
3. 向量空间和子空间向量空间是线性代数中的一个核心概念，它包含了所有满足线性组合和封闭性的向量的集合。
子空间是向量空间中的一个子集，它也满足线性组合和封闭性的性质。
子空间可以通过一组线性无关的向量来生成，这组向量称为子空间的基。
子空间的维度等于基向量的个数。
4. 线性变换线性变换是线性代数中的一个重要概念，它是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，并且保持向量空间的线性性质。
线性变换可以用矩阵表示，矩阵的每一列表示线性变换后的基向量。
线性变换有很多重要的性质，比如保持向量的线性组合、保持向量的线性无关性等。
5. 特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的一个重要概念，它们描述了线性变换对向量的影响。
特征向量是指在线性变换下保持方向不变或者仅仅改变长度的向量，特征值是特征向量对应的标量。
特征值和特征向量可以通过求解线性方程组来得到。
6. 内积和正交性内积是线性代数中的一个重要概念，它表示两个向量之间的夹角和长度的关系。
内积可以用来判断向量是否相互垂直或者平行，还可以用来计算向量的长度和夹角。
线性代数知识点总结大全
求向量组秩、极大无关组，表示方式
将
向量组按列
1 2 m
排
放
初等行 变换
行阶梯 型矩阵
A11 A12 A1r
A22 A2r
Arr
i1
i2
ir
一个极大无关组
A1r 1
A2 r 1
A1m
A2m
r
Arr 1
Arm
i1 ,i2 ,,ir
原向量组一个极大无关组
第一等价链
1，
2，，
为正交向量组
m
1，
2，，
为线性无关向量组
m
1，
2，，
为线性无关向量组
m
Schmidt 正交化、单位化
单位正交向量组: 1，2，，m
与初始向量组等价
正交矩阵 定义：
若 n 阶方阵 A 满足 AAT E，则称矩阵A为 n阶正交矩阵.
正交矩阵的性质：
若A, B为n阶 正 交 矩 阵 ， 则 有 ： (1) A1 AT ; (2) A 1 或 1;
线性无关：对于向量组1,...,r下列条件等价 • 1,...,r线性无关
• 当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0 • 当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0 • 1,...,r的秩数等于r • (1,...,r)是列满秩矩阵
24
极大无关组与秩数：
1.1,...,rS是S的一个极大无关组当且仅当 ① 1,...,r线性无关 ② S的每个向量都可由1,...,r线性表示
③
Ax=b的解的线性组合是
Ax=0的解，当系数和＝0时； Ax=b的解，当系数和＝1时.
线性代数知识点全面总结
线性代数知识点全面总结线性代数是研究向量空间、线性变换、矩阵、线性方程组及其解的一门数学学科。
它是高等数学的基础课程之一，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
下面将全面总结线性代数的知识点。
1.向量向量是线性代数的基本概念之一，它表示有方向和大小的物理量。
向量可以表示为一个有序的元素集合，也可以表示为一个列向量或行向量。
向量的加法、减法、数乘等运算满足一定的性质。
2.向量空间向量空间是一组向量的集合，其中的向量满足一定的性质。
向量空间中的向量可以进行线性组合、线性相关、线性无关等运算。
向量空间的维数是指向量空间中线性无关向量的个数，也称为向量空间的基的个数。
3.矩阵矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它是由若干个数排成的矩形阵列。
矩阵可以表示线性方程组、线性变换等。
矩阵的加法、数乘运算满足一定的性质，矩阵的乘法满足结合律但不满足交换律。
4.线性方程组线性方程组是由线性方程组成的方程组。
线性方程组可以表示为矩阵乘法的形式，其中未知数对应为向量。
线性方程组的解可以通过高斯消元法、矩阵的逆等方法求解。
5.行列式行列式是一个包含数字的方阵。
行列式的值可以通过一系列的数学运算求得，它可以表示方阵的一些性质，例如可逆性、行列式的大小等。
6.矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵的重要性质。
特征值表示线性变换后的方向，特征向量表示与特征值对应的方向。
通过求解特征值和特征向量可以分析矩阵的性质，例如对角化、矩阵的相似等。
7.线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它满足线性性质。
线性变换可以通过矩阵的乘法表示，矩阵中的元素代表了向量的变换规则。
8.最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化误差的平方和来求解线性方程组的方法。
最小二乘法可以用于求解多项式拟合、数据拟合等问题，它可以通过求矩阵的伪逆来得到解。
9.正交性与正交变换正交性是指向量或函数满足内积为零的性质。
正交变换是一种保持向量长度和夹角不变的线性变换。
线性代数知识点归纳,超详细
线性代数知识点归纳,超详细线性代数复习要点第⼀部分⾏列式1. 排列的逆序数2. ⾏列式按⾏（列）展开法则3. ⾏列式的性质及⾏列式的计算⾏列式的定义1.⾏列式的计算：①(定义法)②（降阶法）⾏列式按⾏（列）展开定理：⾏列式等于它的任⼀⾏（列）的各元素与其对应的代数余⼦式的乘积之和.推论：⾏列式某⼀⾏（列）的元素与另⼀⾏（列）的对应元素的代数余⼦式乘积之和等于零.③(化为三⾓型⾏列式)上三⾓、下三⾓、主对⾓⾏列式等于主对⾓线上元素的乘积.④若都是⽅阵（不必同阶）,则⑤关于副对⾓线：⑥范德蒙德⾏列式：证明⽤从第n⾏开始，⾃下⽽上依次的由下⼀⾏减去它上⼀⾏的倍，按第⼀列展开，重复上述操作即可。
⑦型公式：⑧(升阶法)在原⾏列式中增加⼀⾏⼀列，保持原⾏列式不变的⽅法.⑨(递推公式法) 对阶⾏列式找出与或,之间的⼀种关系——称为递推公式，其中,,等结构相同，再由递推公式求出的⽅法称为递推公式法.(拆分法) 把某⼀⾏（或列）的元素写成两数和的形式，再利⽤⾏列式的性质将原⾏列式写成两⾏列式之和，使问题简化以例计算.⑩(数学归纳法)2. 对于阶⾏列式，恒有：，其中为阶主⼦式；3. 证明的⽅法：①、；②、反证法；③、构造齐次⽅程组，证明其有⾮零解；④、利⽤秩，证明；⑤、证明0是其特征值.4. 代数余⼦式和余⼦式的关系：第⼆部分矩阵1.矩阵的运算性质2.矩阵求逆3.矩阵的秩的性质4.矩阵⽅程的求解1.矩阵的定义由个数排成的⾏列的表称为矩阵.记作：或①同型矩阵：两个矩阵的⾏数相等、列数也相等.②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等.③矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为.c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则，其中注：矩阵乘法不满⾜：交换律、消去律, 即公式不成⽴.a. 分块对⾓阵相乘：,b. ⽤对⾓矩阵○左乘⼀个矩阵,相当于⽤的对⾓线上的各元素依次乘此矩阵的○⾏向量；c. ⽤对⾓矩阵○右乘⼀个矩阵,相当于⽤的对⾓线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.d. 两个同阶对⾓矩阵相乘只⽤把对⾓线上的对应元素相乘.④⽅阵的幂的性质：，⑤矩阵的转置：把矩阵的⾏换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.a. 对称矩阵和反对称矩阵:是对称矩阵.是反对称矩阵.b. 分块矩阵的转置矩阵：⑥伴随矩阵：，为中各个元素的代数余⼦式.,, .分块对⾓阵的伴随矩阵：，矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：r(A)与r(A*)的关系若r（A）=n，则不等于0，A*=可逆，推出r（A*）=n。
线性代数知识点汇总
第一章矩阵矩阵的概念：A*（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵)m n矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律数乘kAA (ka ) ---------分配、结合律ij m*n乘法lA B (a ik ) b a b* A A A**( ) ( )m l kj l*n ik kj m*n1（一般 AB=BA，不满足消去律；由 AB=0，不能得 A=0 或 B=0）转置：(A T )T A A (A A B)T A A T A B T(kA)T A kA T (AB)T A B T A T方幂：A k1 A k2 A A k1 A k2(A k k A A kA k1 )(A k k AA k A k2 1 2逆矩阵：设 A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵 B 的AB=BA=I 则称 A 是可逆的，且A A1 A B矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵 A 的逆矩阵也是可逆的，且(A A1)A1 A A1 112、可逆矩阵 A 的数乘矩阵 kA 也是可逆的，且kA)( A A A Ak3、可逆矩阵 A 的转置A T 也是可逆的，且(A T )A1 A (A A1)T4、两个可逆矩阵 A 与 B 的乘积 AB 也是可逆的，且)(AB A A B A A A，但是两个可逆矩1 1 1阵 A 与 B 的和 A+B 不一定可逆，即使可逆，但)(A A B A A A1 A B A。
A 为 N 阶方阵，若|A|=0，1则称 A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。
5、若 A 可逆，则 1 A1AA A A逆矩阵注：①AB=BA=I 则 A 与 B 一定是方阵②BA=AB=I 则 A 与 B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若 A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
分块矩阵：加法，数乘，乘法都类似普通矩阵转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素初等变换：1、交换两行（列）2.、非零 k 乘某一行（列）3、将某行（列）的 K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性，初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵A I O AD A A r等价标准形矩阵AArA AO O第二章行列式N 阶行列式的值：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和A Aa ij ( 1) a a ...aA A ( j j .. j )1 2 n1 j2 j njn 1 2 nj j j1 2 n行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结篇1第一章行列式知识点1：行列式、逆序数知识点2：余子式、代数余子式知识点3：行列式的性质知识点4：行列式按一行（列）展开公式知识点5：计算行列式的方法知识点6：克拉默法则第二章矩阵知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律知识点8：矩阵的乘法运算及运算律知识点9：计算方阵的幂知识点10：转置矩阵及运算律知识点11：伴随矩阵及其性质知识点12：逆矩阵及运算律知识点13：矩阵可逆的判断知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15：矩阵方程的求解知识点16：初等变换的概念及其应用知识点17：初等方阵的概念知识点18：初等变换与初等方阵的关系知识点19：等价矩阵的概念与判断知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式知识点21：矩阵的秩的概念与判断知识点22：矩阵的秩的性质与定理知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例第三章向量知识点25：向量的概念及运算知识点26：向量的线性组合与线性表示知识点27：向量组之间的线性表示及等价知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念知识点29：线性表示与线性相关性的关系知识点30：线性相关性的判别法知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系知识点33：求向量组的最大无关组知识点34：有关向量组的定理的综合运用知识点35：内积的概念及性质知识点36：正交向量组、正交阵及其性质知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法知识点38：向量空间（数一）知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）知识点40：基变换下的坐标变换（数一）第四章线性方程组知识点41：齐次线性方程组解的性质与结构知识点42：非齐次方程组解的性质及结构知识点43：非齐次线性线性方程组解的各种情形知识点44：用初等行变换求解线性方程组知识点45：线性方程组的公共解、同解知识点46：方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系知识点47：方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例第五章矩阵的特征值与特征向量知识点48：特征值与特征向量的概念与性质知识点49：特征值和特征向量的求解知识点50：相似矩阵的概念及性质知识点51：矩阵的相似对角化知识点52：实对称矩阵的相似对角化.知识点53：利用相似对角化求矩阵和矩阵的幂第六章二次型知识点54：二次型及其矩阵表示知识点55：矩阵的合同知识点56 : 矩阵的等价、相似与合同的关系知识点57：二次型的标准形知识点58：用正交变换化二次型为标准形知识点59：用配方法化二次型为标准形知识点60：正定二次型的概念及判断线性代数知识点总结篇2行列式一、行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
线性代数知识点归纳
线性代数知识点归纳线性代数是一门研究向量、向量空间、线性变换以及有限维线性方程组的数学分支。
它广泛应用于各个领域，如物理、计算机科学、工程学等。
线性代数的核心概念和工具包括行列式、矩阵、向量组以及线性方程组等。
下面将详细介绍线性代数的相关知识点。
一、行列式1.1 行列式的概念：行列式是一个函数，它从n×n阶方阵到实数（或复数）的映射。
行列式记作|A|，其中A是一个n×n的方阵。
1.2 逆序数：在n×n阶方阵A中，将行列式中元素a_ij与a_ji互换，所得到的新的行列式称为原行列式的逆序数。
1.3 余子式：在n×n阶方阵A中，将第i行第j列的元素a_ij删去，剩下的(n-1)×(n-1)阶方阵的行列式称为原行列式的余子式，记作M_ij。
1.4 代数余子式：在n×n阶方阵A中，将第i行第j列的元素a_ij替换为它的相反数，然后计算得到的新的行列式，称为原行列式的代数余子式，记作A_ij。
1.5 行列式的性质：行列式具有以下性质：（1）交换行列式中任意两个元素的位置，行列式的值变号。
（2）行列式中某一行（列）的元素乘以常数k，行列式的值也乘以k。
（3）行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）的元素相加，行列式的值不变。
（4）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的元素相减，行列式的值变号。
1.6 行列式的计算方法：行列式的计算方法有：降阶法、按行（列）展开法、克拉默法则等。
二、矩阵2.1 矩阵的概念：矩阵是一个由数组元素构成的矩形阵列，矩阵中的元素称为矩阵的项。
矩阵记作A，其中A是一个m×n的矩阵，A_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
2.2 矩阵的线性运算：矩阵的线性运算包括加法、减法、数乘等。
2.3 矩阵的乘法：两个矩阵A和B的乘法，记作A×B，要求A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵。
矩阵的乘法满足交换律、结合律和分配律。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B22
AB
A11B11
A22 B22
,
An
A1n1
A2n2
○ ○ b. 用对角矩阵 左 乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的 行 向量；
a1 0
B
0
a2
0
0
0 b11 b12
0
b21
b22
am
bm1
bm2
b1n a1b11
b2n
a2b21
bmn
○ ○ 对 A 施行一次初等 行 变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵 左 乘 A ； ○ ○ 对 A 施行一次初等 列 变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵 右 乘 A .
注意： 初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.
5. 矩阵的秩 关于 A 矩阵秩的描述： ①、 r(A) r ， A 中有 r 阶子式不为 0， r 1阶子式 (存在的话) 全部为 0； ②、 r(A) r ， A 的 r 阶子式全部为 0； ③、 r(A) r ， A 中存在 r 阶子式不为 0；
☻矩阵的秩的性质：
① A O r(A) ≥1; A O r(A) 0 ; 0 ≤ r( Amn ) ≤ min(m, n)
② r( A) r( AT ) r( AT A)
③ r(kA) r(A) 其中k 0
④
若Amn
,
Bns
,
若r
(
AB)
0
r(A) r(B) n B的列向量全部是Ax
初等列变换
B
X
(II)的解法：将等式两边转置化为AT X T BT， 用(I)的方法求出X T，再转置得X
第三部分 线性方程组
1. 向量组的线性表示
2. 向量组的线性相关性
3. 向量组的秩
4. 向量空间
5.线性方程组的解的判定
6. 线性方程组的解的结构（通解）
（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）
（2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）
1.线性表示：对于给定向量组 ,1,2 , ,n ，若存在一组数 k1, k2 , , kn 使得 k11 k22 knn ，
则称 是1,2 , ,n 的线性组合，或称称 可由1,2 , ,n 的线性表示.
线性表示的判别定理:
可由1,2 , ,n 的线性表示
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
Ax
amn xm bm
x1
b1
an
x2
（全部按列分块，其中
b2
）；
xn
bn
第 7 页 共 20 页
④、 a1x1 a2 x2 an xn （线性表出） ⑤、有解的充要条件： r(A) r(A, ) n （ n 为未知数的个数或维数）
0的解
⑤ r( AB) ≤ minr(A), r(B)
⑥ 若 P 、 Q 可逆，则 r(A) r(PA) r(AQ) r(PAQ) ； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.
Ax 只有零解
⑦
若
r(
Amn
)
n
r(AB) r(B) A在矩阵乘法中有左消去律
AB O B O AB AC B C
4. 代数余子式和余子式的关系： Mij (1)i j Aij
第二部分 矩阵
1. 矩阵的运算性质
Aij (1)i j Mij
2. 矩阵求逆
3. 矩阵的秩的性质
4. 矩阵方程的求解
a11 a12
1.
矩阵的定义
由
m
n
个数排成的
m
行
n
列的表
A
a21
a22
am1 am2
记作： A aij mn 或 Amn
线性代数复习要点
第一部分 行列式
1. 排列的逆序数
2. 行列式按行（列）展开法则
3. 行列式的性质及行列式的计算
行列式的定义
1. 行列式的计算：
a11 a12 ① (定义法) Dn a21 a22
an1 an2
a1n
a2n
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
anjn
j1 j2 jn
；
若
r
(
Bns
)
n
r(AB) r(B) B在矩阵乘法中有右消去律.
⑧
若r(
A)
r
A与唯一的
Er O
O O
等价，称
Er O
O O
为矩阵A的
等价标准型.
⑨ r(A B) ≤ r(A) r(B) , maxr(A), r(B) ≤ r(A, B) ≤ r(A) r(B)
⑩
r
A O
由 n 个未知数 m 个方程的方程组构成 n 元线性方程：
a11 x1 a12 x2
①、 a21 x1 a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn b1
a2n xn b2 有解
anm xn bn
a11 a12
②、
a21
a22
am1 am2
③、 a1 a2
ambm1
a1b12 a2b22
ambm2
a1b1n
a2b2n
ambmn
○ ○ c. 用对角矩阵 右 乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的 列 向量.
b11 b12
B
b21
b22
bm1 bm2
b1n a1 0
b2n
0
a2
bmn
0
0
0 a1b11
0
a1b21
O
B
O
B
A
1
B1
B
A1
A O 1 A1
O
C
B
B
1CA1
B
a1
④
a2
a3
1
1 a1
1 a2
,
1 a3
a3
a2
a1
1
1 a1
1 a2
1 a3
⑤ 配方法或者待定系数法 （逆矩阵的定义 AB BA E A1 B ）
3. 行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为 0 ；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖
a. 对称矩阵和反对称矩阵: A 是对称矩阵
A AT .
A 是反对称矩阵
A AT .
b.
分块矩阵的转置矩阵：
A C
B
T
AT
D
BT
CT
DT
A11 A21
⑥ 伴随矩阵：
A*
Aij
T
A12
A22
A1n
A2n
An1
An
2
，
Aij 为
A
中各个元素的代数余子式.
Ann
AA* A* A A E , A* A n1 , A1 A 1 .
使问题简化以例计算.
⑩ (数学归纳法)
n
2. 对于 n 阶行列式 A ，恒有： E A n (1)k Sknk ，其中 Sk 为 k 阶主子式； k 1
3. 证明 A 0 的方法：
第 2 页 共 20 页
①、 A A ； ②、反证法； ③、构造齐次方程组 Ax 0 ，证明其有非零解； ④、利用秩，证明 r(A) n ； ⑤、证明 0 是其特征值.
分块对角阵的伴随矩阵：
A
* BA*
B
AB*
B
A*
(1)mn
B A
(1)mn A B
第 4 页 共 20 页
矩阵转置的性质： ( AT )T A
( AB)T BT AT
AT A
( A1)T ( AT )1
( AT ) ( A )T
矩阵可逆的性质： ( A1)1 A
11 x1 x2 ⑥ 范德蒙德行列式： x12 x22
O an1
O
1
xn
xn2
xi x j
1 jin
x x n1
n1
1
2
xn1 n
abb
b
bab ⑦ a b 型公式： b b a
b
n1
b [a (n 1)b](a b)
bbb
a
⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.
线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在列的其他元素都是 0 时，
称为行最简形矩阵
4. 初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换
初等变换
初等矩阵
初等矩阵的逆
初等矩阵的行列式
ri rj ( ci c j ) ri k ( ci k ) ri rj k ( ci c j k )
( A)1
A A
( Ak ) ( A )k
Ak A k
AA AA A E （无条件恒成立）
①伴随矩阵法 A1 A A
○注 ：
a
c
b 1
1 d
d
ad
bc
c
b
a
主 换位 副 变号
② 初等变换法 ( A E) 初等行变换(E A1)
③
分块矩阵的逆矩阵：
A
1
A1
B
B
1
A C 1 A1 A1CB1
( AB)1 B1 A1 A1 A 1 ( A1)k ( Ak )1 Ak
伴随矩阵的性质： ( A) A n2 A ( AB) B A
n
r
(
A
)
1
0
若r( A) n 若r( A) n 1 若r( A) n 1