中考数学解题技巧13：初中数学解题技巧四边形面积最值
求四边形的面积方法
求四边形的面积方法平行四边形的面积公式：底×高（可运用割补法，推导）；如用“h”表示高，“a”表示底，“s”表示平行四边形面积，则s平行四边形=公式：s=ah，平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值；如用“a”“b”表示两组邻边长，α表示两边的夹角，“则s平行四边形=ab×sinα。
平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。
平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。
注：在用字母表示四边形时，一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点。
在欧几里德几何中，平行四边形就是具备两对平行边的直观（非自平行）四边形。
平行四边形的相对或相对的侧面具备相同的长度，并且平行四边形的恰好相反的角度就是成正比的。
相比之下，只有一对平行边的四边形是梯形。
平行四边形的三维对应是平行六面体。
平行四边形的对边就是平行的（根据定义），因此永远不能平行。
平行四边形的面积是由其对角线之一创建的三角形的面积的两倍。
平行四边形的面积也等同于两个相连边的矢量交叉乘积的大小。
任何通过平行四边形中点的线将该区域平分。
任何非自旋线性变换都使用平行四边形的平行四边形。
平行四边形具有2阶（至°）的旋转对称性（如果是正方形则为4阶）。
如果它也具有两行反射对称性，那么它必须是菱形或长方形（非矩形矩形）。
如果它有四行反射对称，它是一个正方形。
平行四边形的周长为2（a + b），其中a和b为相连边的长度。
与任何其他凸多边形相同，平行四边形无法镌刻在任何大于其面积的两倍的三角形。
在平行四边形的内侧或外部构造的四个正方形的中心是正方形的顶点。
如果与平行四边形平行的两条线与对角线循序形成，则在该对角线的相对侧上构成的平行四边形面积成正比平行四边形的对角线将其分成四个相等面积的三角形。
2024年中考数学二次函数中三角形面积最值及平行四边形存在性问题(必考知识点)
一、知识梳理1．三角形面积公式：S 2024年中考数学二次函数中三角形面积最值及平行四边形存在性问题（必考知识点）=21×底×高2．平行四边形的性质：对边相等、对角相等、对角线互相平分3．判别式法求最值：通过判别式判断二次方程的根的情况，进而求出最值二、问题分析1．三角形面积最值存在性问题：∙利用二次函数的性质和对称性，找到合适的底和高，计算三角形的面积；∙设置关于底和高的二次方程，利用判别式判断方程的根的情况，进而求出面积的最值。
2．平行四边形存在性问题：∙利用二次函数的对称性和性质，找到满足平行四边形性质的点；∙利用平行四边形的性质证明这些点构成平行四边形。
三、例题解析【例1】已知抛物线y=x2−2x和直线y=2x+b相交于A、B两点，且∠AOB=90°，其中O为坐标原点。
求△AOB的面积。
【答案】联立方程组：y=x2−2x，y=2x+b.消去y得：x2−4x−b=0.由于直线与抛物线有两个交点，所以判别式Δ>0：Δ=16+4b>0⇒b>−4.设交点A、B坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，由韦达定理得：x1+x2=4，x1x2=−b.由于∠AOB=90，所以x1x2+y1y2=0。
代入y1=2x1+b和y2=2x2+b，解得：−b+(2x1+b)(2x2+b)=0.化简得：−b−4b+8b+b2=0⇒b2+3b=0.解得：b=−3或b=0。
当b=0时，A、B坐标分别为(0，0)和(4，8)，点A和点O重合，不符合条件。
因此，b =−3，代入方程组得A (1，-1)，B (3，3)。
所以，△AOB 的面积为：S =21×∣O A ∣×∣O B ∣=21×2211）（）（-+×2233）（）（+=21×2×18=3.【例2】抛物线6221y 2--=x x 与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C 。
平行四边形的最值问题方法技巧
平行四边形的最值问题方法技巧平行四边形，这个名字听起来是不是有点高大上？但其实它就是我们日常生活中随处可见的形状，比如你窗户的形状、桌子上摆放的书本，甚至是你最爱的披萨切成的片儿，嘿，不小心又饿了！今天我们就来聊聊如何通过平行四边形的最值问题，找到那些“藏在角落里的小秘密”。
我们先来搞清楚几个基本概念，之后再深入挖掘其中的技巧，保证让你一边学一边乐，像是在吃冰淇淋那样爽！1. 平行四边形的基本知识1.1 什么是平行四边形？简单来说，平行四边形就是两组对边平行且相等的四边形。
听起来像是在说数学咒语，其实你看看书本、课桌，都是这些家伙的身影。
它的对角线虽然不一定相等，但相交时却恰好把彼此分成两个相等的部分，真是个小聪明啊。
1.2 平行四边形的面积和周长说到平行四边形，咱们不能不提面积和周长。
这俩小子就像是平行四边形的“身份证”，一个告诉你这个形状有多大，另一个则告诉你它的边界有多长。
面积的计算其实很简单，底边乘以高就能搞定，记住了么？周长嘛，就是把四条边加起来，简简单单，就像数钱一样。
2. 最值问题的引入2.1 什么是最值问题？最值问题，顾名思义，就是找出某个数值的最大或最小值。
就像你想知道，哪种披萨的切片最大，或者今天你吃的那一碗面条，能不能多来几块肉？在平行四边形中，最值问题经常会出现，比如找最大面积、最小周长等等。
这种问题其实蛮有趣的，像是一场智力的较量。
2.2 如何求解最值问题？这儿就需要用到一些小技巧了。
首先，得明确你要找的是什么最值，是面积、周长还是其他？比如，面积最大的时候，底边和高得是完美的搭档，想象一下，正方形就是平行四边形中面积最大的，真是个“勤奋”的小家伙。
而要找最小周长时，注意这家伙的两边得保持比例，得心应手，才能事半功倍。
3. 实际应用与技巧3.1 实际应用平行四边形的最值问题不仅仅是在课本上跳舞，它在生活中也很常见。
例如，在建筑设计中，工程师们常常要计算出某个区域的最大利用面积，来规划更合理的空间布局。
初中数学知识归纳四边形的面积计算
初中数学知识归纳四边形的面积计算四边形是几何形状中最常见、最基本的一种，包括矩形、正方形、平行四边形、梯形等。
计算四边形的面积是数学学习中很基础的一项技能，下面我们将对初中数学中关于四边形面积计算的知识进行归纳总结。
一、矩形的面积计算：矩形是一种特殊的四边形，它的相邻边相等且相互垂直。
矩形的面积计算公式为：面积 = 长 ×宽。
例如，一个矩形的长为6cm，宽为4cm，那么它的面积为：6 × 4 = 24平方厘米。
二、正方形的面积计算：正方形是一种特殊的矩形，它的四条边相等且相互垂直。
正方形的面积计算公式为：面积 = 边长 ×边长，或者面积 = 边长的平方。
例如，一个正方形的边长为5cm，那么它的面积为：5 × 5 = 25平方厘米。
三、平行四边形的面积计算：平行四边形是一种具有两组平行边的四边形。
平行四边形的面积计算公式为：面积= 底边长×高，其中底边是平行四边形的任意一条边，高是从底边到对边平行边的垂直距离。
例如，一个平行四边形的底边长为6cm，高为4cm，那么它的面积为：6 × 4 = 24平方厘米。
四、梯形的面积计算：梯形是一种具有两条平行边的四边形，且其余两条边不平行。
梯形的面积计算公式为：面积 = （上底 + 下底）×高 ÷ 2，其中上底和下底是梯形的两条平行边，高为从上底到下底的垂直距离。
例如，一个梯形的上底长为3cm，下底长为7cm，高为5cm，那么它的面积为：（3 + 7）× 5 ÷ 2 = 25平方厘米。
以上是初中数学中关于四边形面积计算的主要知识点归纳总结。
矩形的面积计算公式为：面积 = 长 ×宽；正方形的面积计算公式为：面积 = 边长 ×边长，或者面积 = 边长的平方；平行四边形的面积计算公式为：面积 = 底边长 ×高；梯形的面积计算公式为：面积 = （上底 + 下底）×高 ÷ 2。
二次函数综合(动点)问题——四边形面积最值存在问题培优教案(横版)
教学过程一、课堂导入在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（5，0），C（3，3），D（2，4），问题：这是在平面直角坐标系那章我们经常遇到的求四边形面积的题目，这类问题相信大家都有不同的解题方法，在二次函数这一章，我们依然要研究四边形的面积，如果我们将二次函数容纳其中，在抛物线(直线、坐标轴等)上求作一点，使得四边形面积最大并求出该点坐标时,又该如何解答呢？二、复习预习（一）二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质：（二）相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
（三）相似三角形模型探究与解题技巧：1、课堂导入题解如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为_________________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）．解：∵点C在x轴上，∴点C的纵坐标是0，且当∠BOC=90°时，由点B、O、C组成的三角形与△AOB 相似，即∠BOC应该与∠BOA=90°对应，①当△AOB∽△COB，即OC与OA相对应时，则OC=OA=4，C（-4，0）；②当△AOB∽△BOC，即OC与OB对应，则OC=1，C（-1，0）或者（1，0）．故答案可以是：（-1，0）；（1，0）．解析：分类讨论：①当△AOB∽△COB时，求点C的坐标；②当△AOB∽△BOC时，求点C的坐标；如果非直角三角形也要分类讨论，对应边不一样就得到不同的结果。
2、几种常见的相似三角形模型①直角三角形相似的几种常见模型②非直角三角形相似的几种常见模型3、解题技巧函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径。
平行四边形最值问题及解决方法
平行四边形最值问题及解决方法一、边长相关的最值问题。
题目1：在平行四边形ABCD中，AB = 5，AD = 3，对角线AC和BD相交于点O，点E 是边AD上的动点，求OE的最大值。
解析：因为平行四边形的对角线互相平分，所以AO=(1)/(2)AC。
在AOD中，OE是AOD的中线，根据三角形中线的性质，OE<(1)/(2)AD。
当E点与D点重合时，OE取得最大值，此时OE=(1)/(2)AD=(3)/(2)。
题目2：已知平行四边形ABCD中，AD = 6，∠ DAB=60^∘，E是AB上的动点，连接DE，求DE的最小值。
解析：过D作DF⊥ AB于F。
在Rt ADF中，∠ DAB = 60^∘，AD=6，则DF =AD×sin60^∘=6×(√(3))/(2)=3√(3)。
因为垂线段最短，所以当E点与F点重合时，DE取得最小值3√(3)。
题目3：平行四边形ABCD中，AB = 8，BC=10，P是平行四边形ABCD内一点，求PA + PC的最小值。
解析：利用平行四边形的对称性，连接AC、BD相交于点O，PA + PC≥slant AC。
根据平行四边形的性质，AC=√(AB^2)+BC^{2- 2AB× BC×cos∠ ABC}。
因为平行四边形ABCD，AB = 8，BC = 10，设∠ ABC=θAC=√(64 + 100-2×8×10×cosθ)根据平行四边形对角线互相平分，PA+PC的最小值就是AC的长。
由平行四边形性质可知cos∠ ABC=cos∠ BAD在ABC中，AC=√(8^2)+10^{2-2×8×10×cos∠ ABC}=√(64 + 100-160×cos∠ ABC)当cos∠ ABC = 1时（∠ ABC = 0^∘，这种极限情况方便计算最小值）AC=√(64+100 - 160)=2实际上，根据平行四边形性质计算AC=√(8^2)+10^{2-2×8×10×cos∠ ABC}=√(164-160cos∠ ABC)，AC的最小值为2二、面积相关的最值问题。
中考数学中的三角形与四边形面积计算技巧总结
中考数学中的三角形与四边形面积计算技巧总结在中考数学考试中，求解三角形与四边形的面积是一个常见的题型。
正确运用计算技巧可以快速准确地得出结果。
本文将总结中考数学中常用的三角形与四边形面积计算技巧，帮助同学们提高解题效率。
一、三角形面积计算技巧1. 直角三角形面积计算直角三角形是最简单的三角形，其面积计算公式为：面积 = 底边长度 ×高其中，底边是直角边，高是与底边垂直的边。
在解题时，可以利用勾股定理求得直角三角形的底边与高，从而计算出面积。
2. 一般三角形面积计算对于一般的三角形，我们可以利用海伦公式计算面积。
海伦公式的表达式为：面积= √[s × (s - a) × (s - b) × (s - c)]其中，s是三角形的半周长，等于三边长之和的一半；a、b、c分别是三角形的边长。
二、四边形面积计算技巧1. 矩形面积计算矩形是一种特殊的四边形，其面积计算公式为：面积 = 长 ×宽矩形的特点是四个角都是直角，且相对的两边长度相等。
在考试中遇到矩形的面积计算问题时，只需知道其长和宽即可直接计算出结果。
2. 平行四边形面积计算平行四边形也是一种常见的四边形，其面积计算公式为：面积 = 底边长度 ×高平行四边形的特点是两对边平行且相等，且相对的两个角也相等。
在计算平行四边形面积时，只需知道底边的长度以及与底边平行的高的长度即可。
3. 梯形面积计算梯形是一种具有两对平行边的四边形，其面积计算公式为：面积 = (上底 + 下底) ×高的一半梯形的关键是知道上底、下底和高的长度，通过将梯形划分为两个三角形和一个矩形，可以利用三角形和矩形的面积计算公式得出最终结果。
4. 菱形面积计算菱形是一种具有四个边相等的四边形，其面积计算公式为：面积 = 对角线1长度 ×对角线2长度的一半在计算菱形面积时，只需知道两条对角线的长度即可。
总结：在中考数学中，掌握三角形与四边形的面积计算技巧对解题非常重要。
四边形面积最值问题解题技巧
四边形面积最值问题解题技巧
解决四边形面积最值问题，可以使用以下技巧：
1. 首先，计算四边形的面积公式。
对于一般的四边形，可以使用海龙公式或狄利克雷公式来计算面积。
如果是特殊的四边形（如矩形、平行四边形等），则可以使用其特定的面积公式。
2. 确定四边形的类型。
不同类型的四边形有不同的性质和限制条件，因此需要根据具体情况采用不同的方法求解。
3. 利用不等式技巧。
对于某些特定的四边形类型，可以运用不等式技巧来求解其最大或最小面积。
例如，对于一个长方形，可以利用不等式“算术平均数大于等于几何平均数”来证明其最大面积出现在正方形时。
4. 画图分析。
通过画图来理解和分析四边形的性质和限制条件，可以更加直观地找到最大或最小面积。
同时，画图也可以帮助我们发现一些规律和特点，为解决问题提供思路和启示。
总之，在解决四边形面积最值问题时，需要结合具体情况选择合适的方法和技巧，充分利用已知条件和性质来求解。
同时，需要多加练习，不断提高自己的数学水平和解题能力。
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（1）求抛物线的解析式和 A ， B 两点的坐标；
（2）如图，若点 P 是抛物线上 B 、 C 两点之间的一个动点（不与 B 、 C 重合），是否存在
点 P ，使四边形 PBOC 的面积最大？若存在，求点 P 的坐标及四边形 PBOC 面积的最大值；
若不存在，请说明理由；
故
PQ
m
4
1 2
m2
m
4
1 2
m2
2m
，
当 m=-2 时，PQ 取到最大值 2，此时△BPC 面积最大，四边形 ABPC 面积最大．
此时 P 点坐标为（-2，-4）．
y
B
O
Ax
P
C
【2019 枣庄中考（删减）】
已知抛物线 y ax2 3 x 4 的对称轴是直线 x 3 ，与 x 轴相交于 A ， B 两点（点 B 在点 A 2
y
B
O
Ax
P
C
考虑 A （2,0）、B（-4,0）、C（0，-4），故 S
ABC
1 6 4 12 ， 2
接下来求△BPC
的面积，设
P
点坐标为
m,
1 2
m2
m
4
，
连接 BC，则直线 BC 的解析式为：y=-x-4
过点 P 作 PQ⊥x 轴交 BC 于点 Q，则 Q 点坐标为（m，-m-4），
2
y
C P
OA
DB x
【2019 相城区一模】
如图，抛物线 y ax2 3ax 4a(a 0) 与 x 轴交于 A ， B 两点，直线 y 1 x 1 经过点 A ， 22
与抛物线的另一个交点为点 C ，点 C 的横坐标为 3，线段 PQ 在线段 AB 上移动， PQ 1 ， 分别过点 P 、 Q 作 x 轴的垂线，交抛物线于 E 、 F ，交直线于 D ，G ．
初中数学解题技巧 四边形面积最值
解题技巧： 特四找公式，普四化为三．
1 课堂导入
除了关于三角形的各种面积问题之外，四边形问题也是中考题中常见的
一种问法，鉴于四边形一般是普普通通的四边形，因此问题一般也是普普通
通的问题，本文分享一点关于四边形面积的题目．
y
A
D
思考：如何求一个普通的四边形的面积？
C
A
O PQ B
x
22
（2）注意题目的描述：线段 PQ 在线段 AB 上移动，故四边形可能在 C 点左侧，可能在 C
点右侧，可能横跨 C 点．
显然四边形面积的最大 值存在于第一种情况．
当四边形在 点
C
左侧时，设
D
m,
B
O
x
解法也很普通，连对角线分割为两个三角形即可求得面积， 至于三角形面积参考铅垂法．
y
A
D
y
A
D
B O
C x
B O
C x
就是这么的简单粗暴，甚至还有一点无聊~ 搞定了四边形的面积，就可以看看四边形面积的最值了，还是来看点例子吧：
【2019 东营中考（删减）】
已知抛物线 y ax2 bx 4 经过点 A(2,0) 、 B(4,0) ，与 y 轴交于点C ．
这个题目四边形已拆好 ，只要负责计算就可以了，而计算的内容 ，与三角形无异．
B x
【2019 日照中考】 如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y 5x 5 与 x 轴， y 轴分别交于 A ，C 两点，抛物线
y x2 bx c 经过 A ， C 两点，与 x 轴的另一交点为 B ．
（1）求抛物线解析式及 B 点坐标；
（2）若点 M 为 x 轴下方抛物线上一动点，连接 MA 、 MB 、 BC ，当点 M 运动到某一位置
时，四边形 AMBC 面积最大，求此时点 M 的坐标及四边形 AMBC 的面积；
（3）如图 2，若 P 点是半径为 2 的 B 上一动点，连接 PC 、 PA ，当点 P 运动到某一位置
时， PC 1 PA 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由． y
根据 B、C 坐标可得 BC 的解析式为 y 1 x 4 2
x=3 y
P
过点
P
作
PQ⊥x
轴交
BC
于点
Q，则
Q
点坐标为
m,
1 2
m
4
，
C
故
PQ
1 4
m2
3Байду номын сангаас2
m
4
1 2
m
4
1 4
m2
2m
，
Q A
O
当 m=4 时，PQ 取到最大值 4，
S
BPC
1 84 2
16
，
故四边形 PBOC 的最大面积为 32，此时 P 点坐标为（4,6）．
y
2
C
C
P
OA
B
x
OA
Bx
图1
图2
【分析】
（1）由题意得：A（1,0）、C（0,5），代入可解抛物线解析式为： y x2 6x 5 ，点 B 坐标
为（5,0）．
y
（2）显然四边形 AMBC 可拆为△ABC 和△AMB ，
S
ABC
1 2
AB OC
1 4 5 10 2
，
C P
显然，当 M 点在抛物线顶点时，△AMB 面积最大，
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，点 P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形 ABPC 的面积最大时，求点 P
的坐标．
y
【分析】 （1） y 1 x2 x 4 ；
2
B
O
Ax
P
C
（2）此处四边形 ABPC 并非特殊四边形，所以可以考虑连接对角线将四边形拆为两个三角 形求面积． 若连接 AP，则△ABP 和△APC 均为动三角形，非最佳选择； 若连接 BC，可得定△ABC 和动△BPC，只要△BPC 面积最大，四边形 ABPC 的面积 便最大．
【分析】 （1）抛物线： y 1 x2 3 x 4
42 点 A 坐标为（-2,0），点 B 坐标为（8,0）．
x=3 y
P
C
A O
B x
（2）显然将四边形 PBOC 拆为△BOC 和△PBC，点 C 坐标为（0,4），
故S
BOC
1 2
84
16 ，
设
P
点坐标为
m,
1 4
m2
3 2
m
4
，
（1）求抛物线的解析式；
（2）在线段 PQ 的移动过程中，以 D 、E 、F 、G 为顶点的四边形面积是否有最大值，若
有求出最大值，若没有请说明理由．
y
【分析】
EF
（1）由题意得 C 点坐标为（3,2），代入抛物线解析式得： a 1 ， 2
DG C
抛物线解析式为： y 1 x2 3 x 2 ．
OA
Bx
此时 M 点坐标为（3，-4），
S
AMB
1 44 2
8
，
M
故四边形 AMBC 面积最大值为 10+8=18，此时 M 点坐标为（3，-4）．
（3）这才是本题重点啊！这个重点掩藏得很不认真． 显然是个“阿氏圆”问题，构造 1 PA 即可，参考阿氏圆解决方法，
2 取点 D（4,0），连接 PD，任意时刻，均有 PD 1 PA ，问题易解．