上海市华师大二附中2016-2017学年高一下学期3月月考数学试卷【PDF版无答案】
一、填空题 4×10=40 分
1、若 4α 20° 的终边相同 则适合 0° ≤ α ≤ 360° 的角α 的集合用列举法表示为__________． 2、在半径为 2 的圆中 扇形的周长等于半圆的弧长 则扇形的面积为__________．
D． α 且 β 为真
14、已知
x,
y
∈
−
π 4
,
π 4
A． − 1 2
B． 1 2
a∈R
且
4
y
x3 + sin 3 + sin y
x − 2a = 0 cos y + a =
0
则 cos(2x + y) =
C．1
D． −1
、解答题 本大题共 4 题 10 10 12 12＝44 分
a,b ≠ 0
则 a = __________． b
6、化简 2 1+ sin10 − 2 + 2 cos10 = __________．
7、若α ∈ (0,2π )
则适合
1+ cosα 1− cosα
−
1− cosα 1+ cosα
= 2 cot α 的角α 的集合是__________．
8、
1
−
x
+
cos 2016 b 2014
x
=
__________．
二、选择题 4×4=16 分
11、已知 tan110° = a 求 tan 50° 的值 用 a 表示
王老师得到的结果是 a − 3 张老师得到的结果是 1− 2a
1+ 3a
a2
对 你的判断是 A．王老师对、张老师错 C．张老师对、王老师错
去 海延安东路外滩测 金 大厦的高 由于阳光刺眼 王老师派小 同学在一 m 米高楼楼顶 A 点 人的
高 忽略 计 测得大厦楼顶 P 处的仰角为α 在 A 处再测底 Q 的俯角为 β ． 设金 大厦的高 为 h
1
证明
h
=
m
+
m
⋅
tan tan
α β
2 已知测 数据为 α = 74° β = 21° m = 41.66 米 试计算金 大厦的高 ．
B．两人都对 D．两人都错
12、 列四个命题 其中为假命题的是
A． 存在无 多个角α 和 β 使得 sin(α + β ) = sin α cos β − cosα sin β
B．存在这样的角α 和 β 使得 cos(α + β ) = cosα cos β + sinα sin β
C．对任意角α 和 β 都有 cos(α + β ) = cosα cos β − sin α sin β
1 讨论 f (x) 的奇偶性 单调性
2
若
等式
f (x)
<
2
的解集为
x
−
1 2
<
x<
1 2
求 a 的值
3 设 f (x) 的反函数为 f −1(x) 若 f −1(1) = 1 解关于 x 的 等式 f −1(x) < m m ∈ R ． 3
18、 12 分 海的金 大厦是改革开放以来 海超高层标志性建筑．在一次数学探 实践课 王老师带同学们
15、 10 分 已知关于 x 的方程 (1− a)x2 + (a + 2)x − 4 = 0 a ∈ R ．
1 若方程有两个 根 求 a 的取值 围 2 若方程至少有一 根 求 a 的取值 围．
16、 10 分 已知α 为锐角 利用 角函数线的有关知识证明 sin α < α < tanα ． 17、 12 分 已知函数 f (x) = loga (1+ x) − loga (1− x) a > 0 且 a ≠ 1 ．
D． 存在这样的角α 和 β 使得 sin(α + β ) ≠ sinα cos β + co; 1 是 x > 1 的充要条件 命题 β x2 − 8x +16 ≤ x − 4 的解集为[4,5] 那么 x
A． α 或 β 为假
B． α 且 β 为真
C． α 且 β 为真
3、锐角α 的终边 有一点 P 的坐标是 (2 sin 2,−2 cos 2) 则α = __________．
α 4、已知 tan
=
2
2
则
1+ 1+
sin sin
2α 2α
− cos 2α + cos 2α
= __________．
5、若 7 sin β = sin(2α + β ) 时 a tan(α + β ) − b tanα = 0 恒成立
1
−
1 1 1
1− csc
2
α
= __________．
9、已知 sin x + sin y = 2 cos x + cos y = 2 3 则 tan x tan y = __________． 3
10、设 a,b 是非 实数
x∈R
若
sin 4 a2
x
+
cos4 b2
x
=
a2
1 + b2
则
sin 2016 a 2014
2016-2017年上海市华师大二附中高一(下)期中数学试卷和答案
2016-2017学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一.填空题1．（3分）弧度数为3的角的终边落在第象限．2．（3分）=．3．（3分）若函数f（x）=asinx+3cosx的最大值为5，则常数a=．4．（3分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=8，a4+a6=0，则S8=．5．（3分）在△ABC中，，，则=．6．（3分）函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．7．（3分）方程3sinx=1+cos2x的解集为．8．（3分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．9．（3分）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为．10．（3分）在锐角△ABC中，若sinA=3sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．二.选择题11．（3分）已知，，，则β=（）A．B．C．D．12．（3分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）13．（3分）“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5三.简答题15．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．16．已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n项和．17．已知函数；（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．18．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；（3）若方程在区间[5，15]上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．2016-2017学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）弧度数为3的角的终边落在第二象限．【解答】解：因为＜3＜π，所以3弧度的角终边在第二象限．故答案为：二2．（3分）=﹣．【解答】解：=cos=﹣cos=﹣，故答案为：．3．（3分）若函数f（x）=asinx+3cosx的最大值为5，则常数a=±4．【解答】解：函数f（x）=asinx+3cosx=sin（x+θ），其中tanθ=．∵sin（x+θ）的最大值为1．∴函数f（x）的最大值为，即=5可得：a=±4．故答案为：±4．4．（3分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=8，a4+a6=0，则S8=8．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=8，a4+a6=0，∴2×8+8d=0，解得d=﹣2．则S8=8×8﹣2×=8．故答案为：8．5．（3分）在△ABC中，，，则=．【解答】解：∵，，∴由正弦定理，可得：=，解得：sinC=，C为锐角，可得C=，∴由A+B+C=π，可得：B=，∴===．故答案为：．6．（3分）函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．7．（3分）方程3sinx=1+cos2x的解集为．【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，即3sinx=1+1﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0，求得sinx=﹣2（舍去），或sinx=，∴x∈，故答案为：．8．（3分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案为：﹣．9．（3分）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为4．【解答】解：对任意n∈N*，S n∈{2，3}，可得当n=1时，a1=S1=2或3；若n=2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；若n=3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；若n=4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；…即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，﹣1．故答案为：4．10．（3分）在锐角△ABC中，若sinA=3sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是12．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=3sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=3sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=3tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=3tanBtanC，可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，﹣=（﹣）2﹣，由t＞1得，﹣≤﹣＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为12．故答案为：12．二.选择题11．（3分）已知，，，则β=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，，∴α﹣β∈（﹣，），cos（α﹣β）==，又∵，可得：cos=，∴sinβ=﹣sin[（α﹣β）﹣α]=﹣sin（α﹣β）cosα+cos（α﹣β）sinα=﹣（﹣）×+=，∴．故选：C．12．（3分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，=，故T=π，ω=2，故y=2sin（2x+φ），将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，则φ=﹣满足要求，故y=2sin（2x﹣），故选：A．13．（3分）“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由α为第三、四象限角，可得sinα＜0．反之不成立，例如．故选：B．14．（3分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．三.简答题15．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．【解答】解：（1）∵a2+c2=b2+ac，可得：a2+c2﹣b2=ac．∴cosB===，∵B∈（0，π），∴B=．（2）由（1）得：C=﹣A，∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）=cosA﹣cosA+sinA=sinA．∵A∈（0，），∴故当A=时，sinA取最大值1，即cosA+cosC的最大值为1．16．已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n项和．【解答】解：（1）设{a n}的公比为q，则﹣=，即1﹣=，解得q=2或q=﹣1．若q=﹣1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符合题意．∴q=2，∴S6==63，∴a1=1．∴a n=2n﹣1．（2）∵b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，∴b n=（log2a n+log2a n+1）=（log22n﹣1+log22n）=n﹣．﹣b n=1．∴b n+1∴{b n}是以为首项，以1为公差的等差数列．设{（﹣1）n b n2}的前2n项和为T n，则T n=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n===2n2．17．已知函数；（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．【解答】解：（1）由tanx有意义得x≠+kπ，k∈Z．∴f（x）的定义域是，f（x）=4tanxcosxcos（x﹣）﹣=4sinxcos（x﹣）﹣=2sinxcosx+2sin2x ﹣=sin2x+（1﹣cos2x）﹣=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）．∴f（x）的最小正周期T==π．（2）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．[﹣+kπ，+kπ]∩[﹣，]=[﹣，]，[+kπ，+kπ]∩[﹣，]=[﹣，﹣]，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴f（x）的最小值为f（﹣）=﹣2，又f（﹣）=﹣1，f（）=1，∴f（x）的最大值为f（）=1．18．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；（3）若方程在区间[5，15]上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．【解答】解：（1）当时，arctan+arctan（2﹣x）=，∴，解得x=﹣1或x=2，∴当x=﹣1时，=arccos（﹣）=π﹣arccos=；当x=2时，arccos=arccos1=0，（2）∵，∴tana==当x=4时，tana=0，当x≠4时，tana=，∵4﹣x +≥2或4﹣x +≤﹣2，∴0＜tana ≤或≤tana＜0，综上，≤tana ≤，∴a ∈．（3）由（2）知=tana在[5，15]上有两解α，β，即tana•x2+（1﹣2tana）x+2tana﹣4=0在[5，15]有两解α，β，∴α+β==2﹣，∴△=（1﹣2tana）2﹣8tana（tana﹣2）=﹣4tan2a+12tana+1＞0，解得＜tana ＜且tana≠0．①若tana＞0，则对称轴=1﹣＜1，方程在[5，15]上不可能有两解，不符合题意，舍去；②若tana＜0，令5＜1﹣＜15，解得﹣＜tana ＜﹣，又，解得tana ≤﹣，综上，＜tana ≤﹣，∴当tana=﹣时，α+β取得最大值2+17=19．第11页（共11页）。
上海华师大二附中高一数学理月考试题含解析
上海华师大二附中高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中，最小正周期是且在区间()上是增函数的是A． B． C． D．参考答案：D略2. 已知△ABC周长为6，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，则·的取值范围为（）A．[2，18）B．（，2] C．[2，）D．（2，9﹣3）参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知a+b+c=6，且b2=ac，由基本不等式及三角形中的边角关系求得b的范围得到b的范围，代入数量积公式可得?=﹣（b+3）2+27．则?的取值范围可求．【解答】解：由题意可得a+b+c=6，且b2=ac，∴b=≤=，从而0＜b≤2．再由|a﹣c|＜b，得（a﹣c）2＜b2，（a+c）2﹣4ac＜b2，∴（6﹣b）2﹣4b2＜b2，得b2+3b﹣9＞0，又b＞0，解得b＞，∴＜b≤2，∵cosB==，∴?=ac?cosB====﹣（b+3）2+27．则2≤?＜．故选：C．3. 如下图所示，已知棱长为的正方体（左图），沿阴影面将它切割成两块，拼成右图所示的几何体，那么拼成的几何体的全面积为A、 B、 C、 D、参考答案：D4. 函数图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】余弦函数的对称性．【分析】由题意，令x+=kπ+，k∈Z，可得对称中心为（2kπ+，0），k∈Z，即可得出结论．【解答】解：令x+=kπ+，k∈Z，可得对称中心为（2kπ+，0），k∈Z，k=0，对称中心为（，0），故选：C．5. 如图所示的程序框图输出的S是126，则①应为（）A. B. C. D.参考答案：B试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．∵S=2+22+…+26=126，故①中应填n≤6．故选B点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．6. 不等式的解集为（）A. B.C. D.参考答案：D 【分析】运用一元二次不等式的解法来求解，可以先因式分解，结合图像来求解集.【详解】不等式可以因式分解为，又因为其图像抛物线开口向上，要求大于或等于零的解集，则取两根开外，故不等式的解集为，故选D.7. 若直线与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】直线的斜率；两条直线的交点坐标．【专题】计算题．【分析】联立两直线方程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集即可得到k 的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率k，根据正切函数图象得到倾斜角的范围．【解答】解：联立两直线方程得：，将①代入②得：x=③，把③代入①，求得y=，所以两直线的交点坐标为（，），因为两直线的交点在第一象限，所以得到，由①解得：k＞﹣；由②解得k＞或k＜﹣，所以不等式的解集为：k＞，设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＞，所以θ∈（，）．故选B．【点评】此题考查学生会根据两直线的方程求出交点的坐标，掌握象限点坐标的特点，掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，是一道综合题．8. （5分）若函数f（x）=log a x（0＜a＜1）在区间上的最大值是最小值的3倍，则a等于（）A．B．C．D．参考答案：A考点：对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：由函数f（x）=log a x（0＜a＜1）不难判断函数在（0，+∞）为减函数，则在区间上的最大值是最小值分别为f（a）与f（2a），结合最大值是最小值的3倍，可以构造一个关于a的方程，解方程即可求出a值．解答：∵0＜a＜1，∴f（x）=log a x是减函数．∴log a a=3?log a2a．∴log a2a=．∴1+log a2=．∴log a2=﹣．∴a=．故选A点评：函数y=a x和函数y=log a x，在底数a＞1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为增函数，当底数0＜a＜1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，而f（﹣x）与f（x）的图象关于Y轴对称，其单调性相反，故函数y=a﹣x和函数y=log a（﹣x），在底数a＞1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，当底数0＜a＜1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为增函数．9. log525=（）A．5 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算法则即可得出．【解答】解：原式==2．故选：B．10. 一组数平均数是，方差是，则另一组数，平均数和方差分别是（）A. B.C. D.参考答案：B【分析】直接利用公式：平均值方差为，则的平均值和方差为：得到答案.【详解】平均数是，方差是，的平均数为：方差为：故答案选B【点睛】本题考查了平均数和方差的计算：平均数是，方差是，则的平均值和方差为：.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，圆锥形容器的高为h圆锥内水面的高为，且，若将圆锥形容器倒置，水面高为，则等于__________．（用含有h的代数式表示）参考答案：【分析】根据水的体积不变，列出方程，解出的值，即可得到答案.【详解】设圆锥形容器的底面面积为，则未倒置前液面的面积为，所以水的体积为，设倒置后液面面积为，则，所以，所以水的体积为，所以，解得.【点睛】本题主要考查了圆锥的结构特征，以及圆锥的体积的计算与应用，其中解答中熟练应用圆锥的结构特征，利用体积公式准确运算是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.12. 已知数列中， .设则数列的通项公式为_______参考答案：略13. 若实数，满足不等式组，则的最小值是．参考答案：略14. 如图，过原点O 的直线AB与函数的图像交于A ，B两点，过A ，B 分别作x轴的垂线，与函数的图像分别交于D，C两点.若BD平行于x轴，则四边形ABCD的面积为__________.参考答案：因为点D和点B的纵坐标相等，设点D的横坐标为a，点B的横坐标为b，则有，∵，∴，又，在一条过原点的直线上，∴，∴，∴，，，，所以15. 设函数这两个式子中的较小者，则的最大值为___________.参考答案：6略16. 若幂函数f（x）的图象过点，则= ．参考答案：【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设出幂函数的解析式，然后把点的坐标代入求出幂指数即可． 【解答】解：设幂函数为y=x α，因为图象过点，则，∴，α=﹣2．所以f （x ）=x ﹣2．==2﹣1=故答案为：．17. 点到的距离相等，则的值为 ▲ .参考答案： 1三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
上海市华二高一下学期数学3月阶段测试及答案
设
DA
Q
=
，
BA
P
=
，其中
,
,
+
0,
2
，
则 tan = DQ = 1− CQ = 1− CQ ，类似 tan =1− CP ， DA 1
∴ tan (
+ ) = tan + tan
1 − tan tan
= 2 − CP − CQ
1− (1− CQ)(1− CP )
=
2 − CP − CQ CP + CQ − CP CQ
25
25
∴ 1 + sin 2 =
1 + 24 25
= 49 ．
1 + cos 2 1 + (− 7 ) 18
25
（2）由单位圆可知： OC = OB = 1， COB = + ， 3
由余弦定理得：
BC 2
=
OC 2 + OB
2
− 2 OC
OB
cos COB
= 1+1− 2cos
+
3
=
2
−
2
∵ c2
=
a2
+ b2
− ab = 3a2
=
4 ，∴ a
=
23 3
，b
=
43 3
， S△A BC
=
1 absin C 2
=
23 3
，
综上，△A BC 的面积为 2 3 ． 3
17．（1）S△A OB
=
S△A OP
+ S△BOP
1 OA 2
OB
sin (
+
上海市华东师范大学第二附属中学2016_2017学年高二数学10月月考试题
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 上海市华东师范大学第二附属中学2016-2017学年高二数学10月月考试题2016.10一. 填空题1. 在平面凸四边形ABCD 中，(1,2)AC =u u u r ，(4,2)BD =-u u u r，则该四边形的面积为2. 已知O 为坐标原点，点(4,2)A ，(6,4)B --，(,1)C x -共线，且OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r，则mn =3. 若实数,,,a b c d 满足矩阵等式11240202a b c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则行列式a b c d = 4. 已知||2a =r ，||3b=r ，a r 与b r 的夹角为45︒，若向量a b λ+r r 与a b λ+r r的夹角为锐角时，则λ的取值范围为5. 执行右图程序框图，则输出的结果是6. 平面直角坐标xOy 上的定点(1,2)A ，(2,3)B ，(2,1)C ，矩阵211k ⎛⎫⎪-⎝⎭将向量OA u u u r 、OB uuu r 、OC u u u r分别变换成向量1OA u u u r 、1OB u u u r 、1OC u u u u r，如果联结它们的终点1A 、1B 、1C 构成直角三角形，且斜边 为11B C ，则k 的值为7. 已知△ABC 中，O 为外心，且3AB =，2BC =，4CA =，则OA BC ⋅=u u u r u u u r8. 若|2|3a b -≤r r，则a b ⋅r r 的最小值为9. 设n 阶方阵21352121232541414345612(1)12(1)32(1)521n n n n n n A n n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅-⎛⎫⎪+++⋅⋅⋅- ⎪⎪=+++⋅⋅⋅-⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪ ⎪-+-+-+⋅⋅⋅-⎝⎭，任取n A 中的一个元素，记为1x ，划去1x 所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成1n -阶 方阵1n A -，任取1n A -中的一个元素，记为2x ，划去2x 所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成2n -阶方阵2n A -，……，将最后剩下的一个元素记为n x ，令12n S x x =++n x ⋅⋅⋅+，则3lim1nn S n →∞=+10. 设I 为△ABC 的内心，三边长7AB =，6BC =，5AC =，点P 在边AB 上，且2AP =，若直线IP 交直线BC 于点Q ，则线段QC 的长为二. 选择题11. 已知12,e e u r u u r 为不共线的非零向量，且12||||e e =u r u u r，则以下四个向量中模最大的是（ ）A. 121122e e +u r u u rB. 121233e e +u r u u rC. 122355e e +u r u u rD. 121344e e +ur u u r12. 已知非零向量,a b r r 不平行，c r 满足c xa yb =+r r r(,)x y R ∈，且0a c ⋅>r r ，0b c ⋅>r r ，则下列正确的是（ ）A. 若0a b ⋅<r r ，则0x >，0y >B. 若0a b ⋅<r r，则0x <，0y <C. 若0a b ⋅>r r ，则0x >，0y >D. 若0a b ⋅>r r，则0x <，0y <13. 已知111(,)P a b ，222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上的两个不同的点，则下列关于,x y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况判断正确的是（ ）A. 无论12,,k P P 如何，总是无解B. 无论12,,k P P 如何，总是唯一解C. 存在12,,k P P ，使之恰有两解D. 存在12,,k P P ，使之有无穷多解14. 已知在△ABC 中，0P 是边AB 上的一个定点，满足014P B AB =u u u r u u u r，且对于边AB 上任意一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则（ ） A. 2B π= B. 2A π=C. AB AC =D. AC BC =三. 解答题15. 在△ABC 中，10AB =，7AC =，O 为边BC 的中点，点,M N 满足32AM MB =u u u u r u u u r ，43AN NC =u u u r u u u r，又90MON ︒∠=，求角A 的大小；16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,1)A 、(2,3)B 、(3,2)C ，点P 在△ABC 三边围 成的区域（含边界）上；（1）若0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r ，求||OP uuu r；（2）设OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r，求动点(,)Q m n 所构成的图形的面积；17. 在平行四边形OABC 中，过点C 的直线与线段OA 、OB 分别相交于点M 、N ，若OM xOA =u u u u r u u u r ，ON yOB =u u u r u u u r ；（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）定义函数1()1()F x f x =-(01)x <≤，点列(,())i i i P x F x (1,2,,,2)i n n =⋅⋅⋅≥在函 数()y F x =的图像上，且数列{}n x 是以1为首项，0.5为公比的等比数列，O 为原点，令12n OP OP OP OP =++⋅⋅⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r，是否存在点(1,)Q m ，使得OP OQ ⊥u u u r u u u r ？若存在，求出Q 点 的坐标，若不存在，说明理由；（3）设函数()G x 为R 上的偶函数，当[0,1]x ∈时，()()G x f x =，又函数()G x 的图像关 于直线1x =对称，当方程1()2G x ax =+在[2,22)x k k ∈+()k N ∈上有两个不同的实数 解时，求实数a 的取值范围；18. 已知△AOB 中，边2OA =，3OB =，令OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，1a b ⋅=r r，过AB 边上一点1P （异于端点）引边OB 的垂线11PQ ，垂足为1Q ，再由1Q 引边OA 的垂线11Q R ，垂 足为1R ，又由1R 引边AB 的垂线12R P ，垂足为2P ，同样的操作连续进行，得到点列{}n P 、{}n Q 、{}n R ，设()n n AP t b a =-u u u r r r (01)n t <<； （1）求||AB uuu r；（2）结论“112(1)3BQ t b =--u u u u r r ”是否正确？请说明理由；（3）若对于任意*n N ∈，不等式121||42n n t t t ++⋅⋅⋅+-<恒成立，求1t 的取值范围；参考答案一. 填空题 1. 5 2.143. 84. 11851185(,)(,1)(1,)66---+-∞+∞U U 5. 11 6. 2 7. 72- 8. 98- 9. 1 10. 138二. 选择题11. D 12. A 13. B 14. D三. 解答题 15. 3arccos8； 16.（1）22（2）12； 17.（1）1x y x =+；（2）11(1,)2n Q --；（3）1[,0)4(1)k -+； 18.（13；（2）正确；（3）100.75t <<；。
上海市华东师范大学第二附属中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案
华师大二附中2019届高一期中考试数学试卷满分100分时间90分钟2016.11一. 填空题1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}1,3,5,7M =，{}5,6,7N =，则()U C M N =2. 集合*{|16,}x x x N <<∈的非空真子集的个数为3. 若命题:p ()(2)0x m x m ---≤；命题:q 431x -≤，且p 是q 的必要非充分条件， 则实数m 的取值范围是4. 已知集合{}42A x m x m =-<<，{}14B x x =-<<，若AB B =，则实数m 的 取值范围为5. 下列命题：①a b c a c b >⇒-<-；②a b >，0c c c a b >⇒<；③22a b ac bc >⇒>； ④33a b a b >⇒>，其中正确的命题个数是6. 不等式2(4)(3)054x x x x ++<-+的解集为 7.函数0()f x =的定义域是 8. 若2()3f x ax a =+是定义在2[5,1]a a --上的偶函数，令函数()()(1)g x f x f x =+-， 则函数()g x 的定义域为 9. 已知函数251()1x x f x a x x x -<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是 10. 函数()y f x =定义域是D ，若对任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤， 则称函数()f x 在D 上为非减函数，设函数()y f x =在[0,1]上为非减函数，满足条件：①(0)0f =；②1()()32x f f x =；③(1)1()f x f x -=-；则11()()32016f f +=二. 选择题11. 设集合{|10}P m m =-<≤，2{|440Q m mx mx =+-<对任意x 恒成立}，则P 与 Q 的关系是（ ）A. P Q ⊆B. Q P ⊆C. P Q =D. P Q =∅12. 已知x y z >>且0x y z ++=，则下列不等式恒成立的是（ ）A. xy yz >B. xz yz >C. xy xz >D. ||||x y z y >13. 下列判断中正确的是（ ）A.2()f x =是偶函数 B. 1)(2--=x x x x f 是奇函数 C. 1212)(-+=x x x f 是偶函数 D.()|3|3f x x =--是奇函数 14. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时， 2()f x x =，若对任意的[,2]x a a ∈+， 不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [1,)+∞B. )+∞C. [2,)+∞D. 不存在三. 解答题15. 已知关于x 的不等式2(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈；（1）当4k =时，求上述不等式的解集；（2）当上述不等式的解集为(5,4)-时，求k 的值；16. 某地区的农产品A 第x 天*(120,)x x N ≤≤∈的销售价格50|6|p x =--（元/百斤）， 一农户在第x 天*(120,)x x N ≤≤∈农产品A 的销售量|8|q a x =+-（百斤）（a 为常数）， 且该农户在第7天销售农产品A 的销售收入为2009元；（1）求该农户在第10天销售农产品A 的销售收入是多少？（2）这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？销售收入最大的值为多少？17. 已知函数()|| (0)t f x x t x x=-+>； （1）判断函数()y f x =在区间(0,]t 上的单调性，并证明；（2）若函数()y f x =的最小值为与t 无关的常数，求实数t 的取值范围；18. 已知函数2()(2)4f x x a x a =--+-；（1）若函数)(x f y =在区间[1,2]上的最小值为4a -，求实数a 的取值范围；（2）是否存在整数n m ,，使得关于x 的不等式n x f m ≤≤)(的解集恰好为[,]m n ，若存在， 求出n m ,的值，若不存在，请说明理由；参考答案一. 填空题1. {2,4,8}2. 143. 1[1,]2-4. [2,3]5. 26. (4,3)(1,4)-- 7. (,3)(3,0)-∞-- 8. [0,1] 9. [4,1]- 10.65128二. 选择题11. C 12. C 13. D 14. B三. 解答题15.（1）(,4)(5,)-∞+∞；（2）1-或4-； 16.（1）1932；（2）2，2116；17.（1）单调递减；（2）1t ≥；18.（1）6a ≥；（2）1m =-，3n =或2m =-，2n =；。
上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年下学期高一3月月考数学试题
sin C tan A
sin C tan B
4 cos C
tan tan
C A
tan C tan B
4
．
【第 12 题解析】
sin sin
x1 x1
sin x2 sin 2sin x2 n
xn sin
x
0 n
2019
① ②
为了使得 n 尽量小，②式中权重“ n ”越大的项 sin xn 应尽量多的取 1，
，则
2cos2 sin 2
2 sin(
1 )
4
． ．
10．已知 tan tan 3 ，则 (2 cos 2 )(2 cos 2 )
．
3
11．在锐角
△ABC
中，
A
、
B
、
C
的对边分别是
a
、
b
、
c
，
b a
a b
6cos C
，则
tan C tan A
tan tan
A C
12．如果方程组
sin sin
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
14．若 ,
(
,
)
，且
tan
cot
，则（
）
2
A．
B．
C． 3 2
D． 3 2
15．已知 是第二象限角，且 cos 1 ，那么， 22
1 sin
2 cos
1 cos
的值是（
）
2
A．1
B． 1
C． 2 2
（3）若 sin2 A sin2 B sin2 C 2 ，则 △ABC 是钝角三角形；
2016-2017学年上海市华师大二附中高一(上)10月月考数学试卷+
卷
一.填空题
1．（4 分）设 A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若 A∩B＝B，则实数 a 组成的集合
是
．
2．（4 分）设全集 U 是实数集 R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|
集合是
．
1}，则图中阴影部分所表示
【点评】本题主要考查 Venn 图表达 集合的关系和运算，比较基础． 3．（4 分）用集合的描述法表示：除（3，4）这个点之外，坐标平面上的所有点组成的集合
{（x，y）|x≠3 且 y≠4} ． 【分析】除（3，4）这个点之外，坐标平面上的所有点是指平面上所有点中去掉（3，4） 外的所有点的集合．
．
14．（4 分）用 C（A）表示非空集合 A 中元素的个数，定义
⺁
， ，
，＞
若 A＝{1，2}，B＝{x|（x2+ax）（x2+ax+2）＝0}，且 A*B＝1，设实数 a 的所有可能取值
构成集合 S，则 C（S）＝
．
二.选择题
15．（5 分）某个命题与自然数 n 有关，若 n＝k（k∈N*）时命题成立，那么可推得当 n＝k+1
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2016-2017 学年上海市华师大二附中高一（上）10 月月考 数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题 1．（4 分）设 A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若 A∩B＝B，则实数 a 组成的集合
是 ，⺁，ͷ ． 【分析】由题意：A∩B＝B，可得 B⊆A，那么有 B 可能是空集，B 是 A 的真子集． 【解答】解：∵A＝{x|x2﹣8x+15＝0}＝{3，5}． 当 B＝∅时，即 ax﹣1＝0 无解，得：a＝0． 当 B≠∅时，即 ax﹣1＝0 有解，解得 x⺁ 由题意：A∩B＝B， 可得： ⺁ ⺁ 或 ⺁ ͷ
上海市华东师范大学第二附属中学2016-2017学年高一3月第二次月考数学试题 含答案 精品
华二附中高一月考数学卷2017.3一. 填空题1. 已知角θ的终边上一点(3,4)P -，则cos θ=2. 已知1sin 4θ=，则cos2θ= 3. 已知函数()arcsin(21)f x x =-，则x 的取值范围为4. 已知(0,)2πα∈，4sin 5α=，则tan()4πα-= 5. 已知4cos 3sin cos()A θθθϕ-=+(0)A >，则tan ϕ= 6. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边，已知4a =，3B π=，512C π=， 则b =7. 若0ω>，0ϕπ<<，直线3x π=和43x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像两条相邻 的对称轴，则ϕ= 8. 设函数()sin(2)4f x x π=-的图像为C ，下面结论中正确的序号是① 函数()f x 的最小正周期是2π；② 图像C 关于直线8x π=-对称；③ 函数()f x 在区间(,)124ππ-上是增函数；④ 图像C 可由将函数()sin g x x =的图像沿x 轴方向压缩为原来 的一半，再向右平移4π个单位得到.9. 已知函数sin(2)cos(2)sin(2)cos(2)()||22x x x x f x ππππ+-=+，对任意x R ∈，都有不等式12()()()f x f x f x ≤≤恒成立，则21||x x -的最小值为10. 为了研究问题方便，有时候余弦定理会写成：2222cos a ab C b c -+=，利用这个结构 解决如下问题，如果三个正实数x 、y 、z 满足：229x xy y ++=，2216y yz z ++=，2225z zx x ++=，则xy yz zx ++=二. 选择题11. 已知△ABC 中，2AC =，1BC =，则角A 的取值范围是（ ） A. (0,)3πB. (0,]6πC. (0,]4πD. (0,)6π12. 函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图像如图所示，为了得到()sin()g x A x ω= 的图像，可以将()f x 的图像（ ）A. 向右平移6π个单位长度B.向左平移3π个单位长度C. 向左平移6π个单位长度D. 向右平移3π个单位长度13. 已知函数1sin()()20192019x xx f x π-=+()x R ∈，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 是奇函数B. 函数()f x 在区间[2,2]ππ-上共有5个零点C. 函数()f x 在区间(0,1)上单调递增D. 函数()f x 的图像是轴对称图形14. ABC 的边AB 、AC 上分别取M 、N 两点，沿线段MN 折 叠三角形，使顶点A 正好落在边BC 上，则AM 的长度的最小值为（ ）A. 14 B. 13 C. 2 D.32三. 解答题15. 已知三角方程22sin 3cos sin(2)x x x -=，且x 为第一象限角； （1）求tan x 的值；（2）求此方程的解集.（用反正切形式表示）16. 若2()()sin()cos()2f x x x x ωωω=--(0)ω>的图像与直线y m =(0)m > 相切，并且任意两个相邻切点之间的距离为π； （1）求ω和m 的值；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边，若点(,0)2A是函数()f x 图像的一个对称中心，且1a =，求△ABC 外接圆的面积.17. 已知函数()sin()cos()f x a x b x ωω=+，其中220a b +≠且0ω>；（1）若a =1b =，2ω=，求函数()f x 的单调递增区间，并求方程()1f x =在区间[0,2]π内的解集；（2）根据本题条件我们可以知道，函数()f x 的性质取决于变量a 、b 和ω的值，当x R ∈ 时，试写出一个条件，使得函数()f x 满足“图像关于点(,0)3π对称，且在6x π=处()f x 取得最大值”.（本题将根据答案的不同层次，给予不同评分）18. 在平面直角坐标系中，锐角α、β的终边分别与单位圆交于A 、B 两点；（1）如果A 点的纵坐标为513，B 点的横坐标为35，求cos()αβ+的值；（2）若角αβ+的终边与单位圆交于C 点，设角α、β、αβ+的正弦线分别为MA 、NB 、PC ，求证：线段MA 、NB 、PC 能构成一个三角形；（3）探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是， 请说明理由.参考答案一. 填空题1. 35- 2. 78 3. [0,1] 4. 17 5. 346.7. 6π 8. ②③ 9. 38 10.二. 选择题11. B 12. A 13. D 14. C三. 解答题15.（1）tan 3x =；（2）{|arctan32,}x x k k Z π=+∈. 16.（1）1m =，1ω=；（2）3S π=.17.（1）[,]36k k ππππ-++，k Z ∈，4{0,,,}33πππ； （2）63k ω=+，k Z ∈，0a ≠，0b =. 18.（1）1665；（2）略；（3）4π。
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二下学期3月月考数学试题
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．对于实系数一元二次方程20ax bx c --=，在复数范围内其解是12,x x ，下列结论中不正确的是（ ）A ．若240b ac -=，则12x x R =∈B ．若240b ac -<，则12x x R ∉∉且12x x =C ．一定有1212,b c x x x x a a +=-=D ．一定有()221224b ac x x a --=2．教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．异面 3．若,a b 为非零实数，则以下四个命题都成立：①10a a+≠；②()2222a b a ab b -=--；③若a b =，则a b =±；④若2a ab =，则a b =.则对于任意非零复数,a b ，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个.A ．1B ．2C ．3D ．44．（2013•浙江）在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记B=f π（A ）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，Q 1=f β[f α（P ）]，Q 2=f α[f β（P ）]，恒有PQ 1=PQ 2，则（ ）A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°二、填空题5．设312i z i+=+，则Imz =______． 6．设m ∈R ，m 2+m ﹣2+（m 2﹣1）i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m= ． 7．若复数z 满足31i z z +=+，则z =_____．8．若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且2z =，则p = ．9．已知空间四边形ABCD 中，2==AC BD ，点E F 、分别是边BC 和AD 的中点，且EF =AC 和BD 所成角的大小是_________________________； 10．已知在长方体1111A B C D ABCD -中，4AB =，3BC =，13CC =，则直线1AB 与平面11ACC A 所成角的大小是______．11．已知点P 是边长为1的等边三角形ABC 所在平面外一点，且2PA PB PC ===，则点P 到平面ABC 的距离是_________________________；12．已知直线l 、m 与平面α、β，下列命题：①若l 平行α内的一条直线，则//l α；②若l 垂直α内的两条直线，则l α⊥；③若m α⊂，l α⊂，且//m β，l β//，则//αβ；④若m α⊂，l β⊂，且l m ⊥，则αβ⊥；⑤若//l α，l β⊂且m αβ=，则//l m ；⑥若//αβ，l αγ=，m βγ=，则//l m ． 其中正确的命题为______（填写所有正确命题的编号）．13．设集合{},,M αβγ=，其中αβγ、、是复数，若集合M 中任意两数之积及任意一个数的平方仍是M 中的元素，则集合M =___________________；14．如图，已知正方体1111A B C D ABCD -的棱长为a ，点P 为线段1BC 上一点，Q 是平面ABCD 上一点，则1D P PQ +的最小值是______．三、解答题15．在正方体1111A B C D ABCD -中，E 、F 分别是BC 、11A D 的中点．（1）求证：四边形1B EDF 是菱形；（2）作出直线1A C 与平面1B EFD 的交点（写出作图步骤）．16．如图，在长方体1111A B C D ABCD -中，E 、F 分别是棱1AA 、AB 的中点，4AB BC ==，13AA =，求：（1）EF 与11A C 所成的角；（2）1A C 与平面ABCD 所成的角．17．如图，在空间四边形ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，90BCD ∠=，且1AB BC ==，BD =（1）若CE BD ⊥，EF AD ⊥，求证：AD ⊥平面CEF ；（2）求二面角C AD B --的大小．18．复数1z 所对应的点在点()1,1及()1,1-为端点的线段上运动，复数2z 满足21z =，求：（1）复数12•z z 模的取值范围；（2）复数21z 对应的点的轨迹方程.19．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.参考答案1．D【分析】实系数方程20ax bx c --=可从∆与0的大小关系进行分情况讨论，对选项逐一研究筛选．【详解】选项A 、B 显然成立；在实数范围内韦达定理得到的选项C 的结论，在复数范围内由计算可得，同样也能成立；选项D ：复数范围内()()2221212122b 4ac x x x x 4x x a --=+-=，故选D 【点睛】在复数范围内，实系数方程20ax bx c --=的判别式∆<0时，方程的根可以通过虚数进行表示．2．B【分析】直线与平面三种位置关系，对每个选项举反例排除或证明．【详解】解：选项A ，当直尺所在直线与地面只有一个公共点时，若地面上能找出一条直线与此相平行，则直尺所在直线与地面是平行的，线面平行时，直尺所在直线与地面是没有公共点的，与条件矛盾，选项A 错误选项B ：直线与地面共有三种位置关系，1.直线在地面内，可以找到一条直线与已知直线垂直；2.直线与地面有一共公共点，即相交时，可以找到一条直线与已知直线垂直；3. 直线与地面平行时，可以找到一条直线与已知直线异面垂直，所以选项B 正确．选项C ：当直尺所在直线与地面平行时，直尺所在直线与地面是没有公共点的，所以不可能找出一条直线与直尺所在直线相交，选项C 错误选项D ：当直尺所在直线在地面内时，直尺所在直线与地面上所有直线都是共面的，所以不可能找出一条直线与直尺所在直线异面，选项D 错误【点睛】说明命题的错误，可试着去寻找出反例；若命题是正确的，则应用相应定理进行证明．直线与平面的位置共有三种，对每一种情况进行具体分析求解．3．B【解析】【分析】本题主要考查复数的性质，可根据复数的运算性质进行判断．【详解】解：在复数范围内，存在a i =±使10a a+=，命题①错误； ②在复数范围内，复数,a b 满足()()()2a b a b a b -=--，根据运算性质可得到222()2a b a ab b -=-+，故成立；③在复数范围内||||a b =表示的是复数a 与b 的模长，模长相等，复数可以不相等．④在复数范围内，由于,a b 是非零复数，所以在2a ab =得两边同时除以a 可得a b =，故成立．故选B【点睛】实数运算成立的等式，在复数范围内未必成立，不同范围成立条件不一样，注意合理使用．4．A【解析】设P 1=f α（P ），则根据题意，得点P 1是过点P 作平面α垂线的垂足∵Q 1=f β[f α（P ）]=f β（P 1），∴点Q 1是过点P 1作平面β垂线的垂足同理，若P 2=f β（P ），得点P 2是过点P 作平面β垂线的垂足因此Q 2=f α[f β（P ）]表示点Q 2是过点P 2作平面α垂线的垂足∵对任意的点P ，恒有PQ 1=PQ 2，∴点Q 1与Q 2重合于同一点由此可得，四边形PP 1Q 1P 2为矩形，且∠P 1Q 1P 2是二面角α﹣l ﹣β的平面角∵∠P 1Q 1P 2是直角，∴平面α与平面β垂直故选：A5．1【解析】【分析】通过运算，将复数z 转化为a bi +形式,即可得解.【详解】 解：()()()()31235511212125i i i i z i i i i -+-+====+--+,所以Imz=1 【点睛】本题考查复数的除法运算，复数的虚部的定义，其中正确进行复数的除法运算是解题的关键，是基础题.6．﹣2【解析】2220{210m m m m +-=⇒=--≠． 【考点定位】考查复数的定义及运算，属容易题．75【解析】【分析】设z a bi =+，则z a bi =-，利用复数相等，求出a ，b 的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【详解】设z a bi =+，则z a bi =-， 则由31z z i +=+得3()1a bi a bi i ++-=+，即421a bi i +=+，则4121a b =⎧⎨=⎩，得1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则||4z ====，故答案为4． 【点睛】本题主要考查复数模长的计算，利用待定系数法，结合复数相等求出复数是解决本题的关键． 8．4【解析】设z a bi =+,则方程的另一个根为z a bi '=-,且22z =⇒=，由韦达定理直线22,1,z z a a +==-∴=-'23,b b ∴==所以(1)(1) 4.p z z =⋅=-'--=9．3π 【解析】【分析】要求异面直线AC 和BD 所成角，先找出与异面直线AC 和BD 平行的两条相交的直线，探寻出异面直线AC 和BD 所成角，进而在三角形中解决角的大小问题【详解】解：取CD 的中点H ，连接、EH FH因为，F H 、为AD CD 、中点所以，//FH AC同理：//EH BD所以，异面直线AC 和BD 所成角即为、EH FH 所成角异面直线AC 和BD 所成角即为EHF ∠或其补角在EHF ∆中，由余弦定理得0EHF 120∠=异面直线AC 和BD 所成角为60°【点睛】异面直线所成角问题，要借助平行关系，找出具体角，然后在三角形中，求出角的大小． 10．12arcsin25 【解析】【分析】利用面面垂直的性质作出1B 在平面11ACC A 上的垂足E ，连接AE 得1AB 的射影，即得斜线与平面所成的角，进而可得解．【详解】如图，在上底面作111B E AC ⊥于E ，连接AE ，易知1EAB ∠即为1AB 与平面11ACC A 所成的角，利用所给数据，求得15AB =，1125EB =， 11112sin 25EB EAB AB ∴∠==， 112arcsin25EAB ∴∠=， 故答案为：12arcsin 25．【点睛】此题考查了斜线与平面所成的角，难度不大．11．3【解析】【分析】由于2PA PB PC ===，所以点P 在平面ABC 的射影为底面等边三角形ABC 的重心，设重心为点O ，所以，PO AO ⊥，在三角形POA 求解。
上海市华东师范大学二附中2018-2019学年高一下学期数学3月阶段测试题(解析版)
华东师范大学二附中2021届高一下学期数学3月阶段测试一、填空题（每小题4分，共40分）1.已知点在角的终边上，且，则______________.【答案】【解析】【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，利用诱导公式化简，则可得结果．【详解】因为，则r13a，∴sinα，cosα，又,故答案为.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，涉及诱导公式及同角基本关系式的应用，属于基础题．2.求值：______________.【答案】1【解析】【分析】先利用同角基本关系将原式切化弦，再利用两角和的正弦公式，结合二倍角的正弦公式化简分子，进而再利用诱导公式变形，约分后即可得到结果．【详解】因为＝•）＝•＝•＝•＝1．故答案为：1.【点睛】本题考查了三角函数的化简求值问题，考查了两角和的正弦公式、同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键．3.已知，则的值为_______________.【答案】【解析】【分析】由下向上依次运算，1﹣csc2x＝﹣cot2x，11+tan2x，11﹣cos2x．【详解】原式代入得．故答案为.【点睛】本题考查了化简求值问题，考查了同角三角函数的基本关系及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．4.已知锐角是钝角的两个内角，且的终边过点，则是第______象限角.【答案】二【解析】【分析】由题意得，利用正弦函数的单调性及诱导公式可得结果.【详解】若△ABC为钝角三角形且为锐角，则，因此，则sin<sin（）＝cos，同理可得sin<sin（）＝cos，所以，，故P在第二象限，故答案为：二.【点睛】本题考查了三角形内角的关系，考查了正弦函数单调性的应用，考查了诱导公式的应用，属于中档题.5.在中，已知，给出以下四个论断：①②③④，其中正确的是.【答案】②④【解析】试题分析：因为，整理得，所以不正确，，，，所以②正确，，③错，，，，故④正确，故答案为②④.考点：1、三角形内角和定理及诱导公式；2、两角和的正弦公式及同角三角函数之间的关系.【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考察三角函数的有界性、三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式、同角三角函数关系以及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.6.已知，则____________.【答案】【解析】【分析】利用二倍角的三角函数公式，结合弦化切化简得，由，直接得出结果．【详解】∵分子、分母都除以cos2θ，∴得=，（）∵，∴所求=故答案为．【点睛】本题考查了二倍角的三角函数公式与同角三角函数基本关系的应用，考查了弦化切的方法，属于中档题．7.已知，，则__________．【答案】【解析】分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果.详解：因为，，所以，因此点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.8.已知，且是关于的方程的两个根中较小的根，则的值为____________.【答案】【解析】【分析】由方程的两根之积为1和较小根为tanα得到方程较大的根为即cotα，然后根据两根之和等于﹣2secα列出等式，利用同角三角函数间的基本关系化简得到sinα的值，根据正弦函数的周期和特殊角的三角函数值求出α的值，代入到两根之中检验得到符合题意的值．【详解】∵tan是方程x2+2x sec+1＝0的较小根，且两根之积为1，∴方程的较大根是cot．∴tan+cot＝﹣2sec，即，且tan<cot,∴．又，解得或，又tan<cot，∴，故答案为.【点睛】本题考查了韦达定理的应用，考查了利用同角三角函数间的基本关系化简求值，易错点是容易忽视的范围及条件而导致没有取舍，属于中档题．9.在中，已知．则______．【答案】【解析】【详解】由三角万能公式得．解得或．又由、、为的三个内角知，，．故．因此，．10.在中，，则____________.【答案】【解析】【分析】根据余弦定理化简，得到；由题意，在BC上取D，使得BD＝AD，连接AD，找出A﹣B，设BD＝x，在△ADC中两次利用余弦定理将cos（A﹣B）及cos C表示出，分别求出x建立关于a，b 的方程，化简变形后利用整体换元求出答案．【详解】由题意知，4cos C，∴由余弦定理得，4，化简可得＝2，则,又中不妨设a＞b，∴A＞B．在BC上取D，使得BD＝AD，连接AD，设BD＝x，则AD＝x，DC＝a﹣x，AC＝b，在△ADC中，cos∠DAC＝cos（A﹣B），由余弦定理得：（a﹣x）2＝x2+b2﹣2x•b•，即：(b﹣6a)x＝，解得：x＝．①又在△ADC中，由余弦定理还可得cos C，∴cos C，化简得x＝，②由①②可得，又＝2，联立可得=,即=,两边同时除以，得=+6，令，则12，解得t=或，又由题意，∴t=cos C=，故答案为：.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查了运算化简的技巧，考查利用几何图形解决问题的能力，属于难题．二、选择题（每小题4分，共16分）11.若角和角的终边关于轴对称，则下列等式恒成立的是（）A. B. C. D. .【答案】A【解析】由角和角的终边关于轴对称得 ,所以, , ,.选A.12.“”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分亦不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据两角和的正切公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】由（1+tanα）（1+tanβ）＝2得1+tanα+tanβ+tanαtanβ＝2，即tanα+tanβ＝1﹣tanαtanβ，∴1，∴．(k，不一定有“”；反之，“”不一定有“”，如=，，此时无意义；∴“”是“”的既不充分亦不必要条件．故选D．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，考查了两角和的正切公式，举反例说明命题不成立是解决此类题的常用方法，属于基础题．13.已知中，且，，则是（）A. 正三角形B. 直角三角形C. 正三角形或直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形【答案】C【解析】【分析】由tan A+tan B tan A tan B，推导出C＝60°，由，推导出A＝60°或90°，从而得到△ABC 的形状．【详解】∵tan A+tan B tan A tan B，即tan A+tan B（1﹣tan A tan B），∴tan（A+B），又A与B都为三角形的内角，∴A+B＝120°，即C＝60°，∵，∴,∴2B＝60°或120°，则A=90°或60°∴△ABC为直角三角形或等边三角形．故选：C．【点睛】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用．14.设且则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由已知得，，去分母得，，所以，又因为，，所以，即，选考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式．【此处有视频，请去附件查看】三、解答题：15.如图，点是单位圆上的两点，点是圆与轴的正半轴的交点，将锐角的终边按逆时针方向旋转到.（1）若点的坐标为，求的值；（2）用表示，并求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知利用任意角的三角函数的定义可得，cos和sin的值，再利用二倍角公式求得sin2和cos2的值，可得的值．（2）由题意可得，|OC|＝|OB|＝1，∠COB＝，由余弦定理可得的解析式．根据∈（0，），利用余弦函数的定义域和值域求得|BC|的范围．【详解】（1）由已知，，∴，∴；（2）由单位圆可知：，由余弦定理得：，∵，∴，∴，∴，∴.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查了二倍角公式及余弦定理的应用，考查了余弦函数求值域的问题，属于中档题．16.在中，已知.（1）求周长的最大值；（2）若，求的面积.【答案】（1）6；（2）.【解析】【分析】（1）由余弦定理及已知条件可得：，利用基本不等式解得，从而可求周长的最大值．（2）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得，分类讨论分别求出a，b的值，利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】（1）由余弦定理，得，于是得，当且仅当时，等号成立，∴，即周长的最大值为6；（2），⇒，或，①时，，此时，②时，由正弦定理，知，∵，∴，综上，的面积为.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．17.（1）如图，点在线段上，直线外一点对线段的张角分别为，即.求证：.（2）在中，，其中，试用表示线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式将表示出来，化简整理可得结论；（2）选用三角形的面积公式：可得，再利用正弦定理表示出整理可得BC. 【详解】（1）等式两边同除，即得；（2）∵，∴.【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用，灵活选择三角形面积公式是解决本题的关键，属于基础题. 18.如图，边长为1的正方形中，分别为边上的点，且的周长为2.（1）求线段长度的最小值；（2）试探究是否为定值，若是，给出这个定值；若不是，说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据△CPQ周长为2，并且△CPQ是直角三角形，设∠CPQ＝θ，根据三角函数的定义，CP＝PQ cosθ，CQ＝PQ sinθ，因此可以表示出，求该函数的最小值即可；（2）利用解析法求解：分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设Q（x，1），P（1，y），利用两点间距离公式求出PQ，根据△CPQ周长为2，找出x，y的关系，求出∠PAQ的正切值，即可求得结果．【详解】（1）设∠CPQ＝θ，则CP＝PQ cosθ，CQ＝PQ sinθ（）∴∴（2）分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设Q（x，1），P（1，y），设∠DAQ＝，∠PAB＝∴，即xy+（x+y）＝1又tan＝x，tan＝y∴，∴∴【点睛】本题考查三角函数的应用，特别求角的问题，转化为求角的某个三角函数值，体现了用数研究形的数学思想，考查运算能力和分析解决问题的能力，属于中档题．。