第1章概率论基础3精品PPT课件
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概率论基础 PPT课件
正概率点为至多可列个
连续型 其他
任何随机变量X都是从负无穷到正无穷
离散型随机变量特点：正概率点为有限个或者可列个
0，1：正概率点 P(1)=1/2
P(0)=1/2
非离散型
连续型 其他
三.随机变量(random variable)的分布
4.1 概率的数学（公理化）定义 概率就是广义的函数
数学定义：设E是一个随机试验，Ω为它的样本空间，以E中所有的随机事件 组成的集合（事件体）为定义域，定义一个函数P(A)（其中A为任一随机事件），
且P(A)满足以下三个公理，则称函数P(A)为事件A的概率。
公理1（非负性） 0≤P(A)≤1 公理2（规范性） P(Ω)=1 公理3（可列可加性） 若A1,A2, …,An,…两两相斥，则
第一章 概率论基础
§1.1 概率简述
1. 随机现象及其统计规律性
在一组不变的条件下，具有多种可能发生的结果的现象称为随机现象， 这类现象的一个共同点是： 事先不能预言多种可能结果中究竟出现哪一种。
2. 随机试验与随机事件 我们把对随机现象进行的一次观测或者一次实验统称为一个试验， 如果这个试验满足下面的三个条件： （1）在相同的条件下，试验可以重复地进行；（可重复） （2）试验的结果不止一种，而且事先可以确知试验的所有结果； （3）在进行试验前不能确定出现哪一个结果。（不可预测） 那么我们就称它是一个随机试验，简称试验。一般用字母E表示。
数值p为事件A在条件S下发生的概率(probability) ，记作P(A)=p。
例2：捕鱼问题
× f
n
A
n
P
A
池塘中有鱼若干（不妨假设为n条），先捞上1000条作记号，放回后再
随机信号概率论基础ppt课件
98
1.6典型分布
7.正态分布（Normal/Gaussian）： 许多随机变量由大量相互独立的随机因素
39
1.2 多维随机变量与条件随机变量
40
1.2 多维随机变量与条件随机变量
41
1.2 多维随机变量与条件随机变量
42
1.3 随机变量的函数
43
1.3 随机变量的函数
44
1.3 随机变量的函数
45
1.3 随机变量的函数
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1.3 随机变量的函数
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1.3 随机变量的函数
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1.3 随机变量的函数
31
1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
37
1.2 多维随机变量与条件随机变量
38
1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.4 数字特征与条件数学期望
70
1.4 数字特征与条件数学期望
71
1.4 数字特征与条件数学期望
72
1.4 数字特征与条件数学期望
73
1.4 数字特征与条件数学期望
74
1.4 数字特征与条件数学期望
75
1.4 数字特征与条件数学期望
76
1.5 特征函数
77
1.5 特征函数
78
60
1.4 数字特征与条件数学期望
61
1.4 数字特征与条件数学期望
62
1.4 数字特征与条件数学期望
1.6典型分布
7.正态分布（Normal/Gaussian）： 许多随机变量由大量相互独立的随机因素
39
1.2 多维随机变量与条件随机变量
40
1.2 多维随机变量与条件随机变量
41
1.2 多维随机变量与条件随机变量
42
1.3 随机变量的函数
43
1.3 随机变量的函数
44
1.3 随机变量的函数
45
1.3 随机变量的函数
46
1.3 随机变量的函数
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1.3 随机变量的函数
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1.3 随机变量的函数
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.2 多维随机变量与条件随机变量
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1.4 数字特征与条件数学期望
70
1.4 数字特征与条件数学期望
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1.4 数字特征与条件数学期望
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1.4 数字特征与条件数学期望
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1.4 数字特征与条件数学期望
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1.4 数字特征与条件数学期望
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1.4 数字特征与条件数学期望
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1.5 特征函数
77
1.5 特征函数
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1.4 数字特征与条件数学期望
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1.4 数字特征与条件数学期望
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1.4 数字特征与条件数学期望
精品课程《概率论》ppt课件(全)
2. 频率的基本性质：
(1)
(2)
0 f（ A ） 1 ； （非负性） n f n (S ) 1; （规范性）
（3）若A1，A 2， , Ak 两两互不相容 ,则 f n ( A1 A 2 A k ) fn ( A1 ) fn ( A 2 ) fn ( Ak ).(有限可加性）
1.离散样本空间:样本点为有限多个或 可列多个.
2.无穷样本空间:样本点在区间或区域 内取值.
(二) 随机事件 样本空间S的子集称为随机事件，简 称为事件。
E2:将一枚硬币抛两次,观察正反面出现的情况.
事件发生:在一次试验中，当且仅当这 一子集中的一个样本点出现时，称这一 事件发生。
基本事件:由一个样本点组成的单点集. 必然事件: 样本空间S是自身的子集，在 每次试验中总是发生的，称为必然事件。 不可能事件：空集φ不包含任何样本点， 它在每次试验中都不发生，称为不可能 事件。
起源：
17世纪中叶法国贵族梅勒 赌博问题 帕斯卡(1623-1662)
成为数学分支：
瑞士人 雅克比-贝努力(1654-1705)
费马(1601-1665)
荷兰人惠更斯(1629-1695)：1657年<<论赌博中的计算>>
这一时期称为组合概率阶段
大数定理(LLN) 成为数学分支
Black-Scholes期权定价模型：1973年首次在 政治经济学杂志(Journal of Political Economy)发表， 1997年获诺贝尔经济学奖 彭实戈(1947-): 1995年“倒向随机微分方程”获得国家自然科学二等奖(一等奖空缺)。 许宝禄(1910-1970)，陈希孺(1934-2005)，严加安(1941---) 马志明(1948----)，陈木法 (1946---)
第一章概率论基础3(1)PPT课件
• 概率分布函数
– 分布在x左边的总质量
• 概率密度函数
– 在x处的概率的密度
随机变量的分类
• 离散型随机变量
– 除了cdf和pdf，还可以用pmf描述
• 连续型随机变量
– 只能用cdf和pdf描述，不能用pmf描述
1.3.2随机向量
• 样本空间标准化为高维欧氏空间 • 总概率1分布在n维欧氏空间内 • 分布的方式和一维类似
(Ω ,F, P)是概率空间。记Ω上的实值映射X (ω)=k,ω Ω,k=0,1,2
即： X10,,21,or3
2, 4
X(ω)是定义在概率空间(Ω ,F, P)上的离散型随机变量。 并且，它的分布律为：
X~0.0360.1480.216
分布函数为：0,F()0 . 360
.
84
, ,
1 ,
F(x)P(:X()x)P({:X()xi}) xix
P(:X()xi)Pi
xix
xix
۞离散型随机变量的分布函数是右连续单调不减的阶梯函数.
设X是取有穷个值的随机变量，不失一般性，假设x0<x1<x2< ∙∙∙ <xn, ，那么在分布律(a)下， X 的分布函数FX (x)具有下图所 表现的一般特征。
(b)
x
FX(x) fX(u)du
连续型随机变量的分布函数
其中 f (x)称作随机变量 X 的概率密度函数(probability density function)。
۞设 f (x) (xR1)是连续型随机变量 X=X(ω)的概率密度函数，其性质：
(1) f (x) ≥ 0 , xR1 ;
(2)
– 当样本空间为定义于某个数集上的函数组成，则称 该函数集合为随机过程
– 分布在x左边的总质量
• 概率密度函数
– 在x处的概率的密度
随机变量的分类
• 离散型随机变量
– 除了cdf和pdf，还可以用pmf描述
• 连续型随机变量
– 只能用cdf和pdf描述，不能用pmf描述
1.3.2随机向量
• 样本空间标准化为高维欧氏空间 • 总概率1分布在n维欧氏空间内 • 分布的方式和一维类似
(Ω ,F, P)是概率空间。记Ω上的实值映射X (ω)=k,ω Ω,k=0,1,2
即： X10,,21,or3
2, 4
X(ω)是定义在概率空间(Ω ,F, P)上的离散型随机变量。 并且，它的分布律为：
X~0.0360.1480.216
分布函数为：0,F()0 . 360
.
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, ,
1 ,
F(x)P(:X()x)P({:X()xi}) xix
P(:X()xi)Pi
xix
xix
۞离散型随机变量的分布函数是右连续单调不减的阶梯函数.
设X是取有穷个值的随机变量，不失一般性，假设x0<x1<x2< ∙∙∙ <xn, ，那么在分布律(a)下， X 的分布函数FX (x)具有下图所 表现的一般特征。
(b)
x
FX(x) fX(u)du
连续型随机变量的分布函数
其中 f (x)称作随机变量 X 的概率密度函数(probability density function)。
۞设 f (x) (xR1)是连续型随机变量 X=X(ω)的概率密度函数，其性质：
(1) f (x) ≥ 0 , xR1 ;
(2)
– 当样本空间为定义于某个数集上的函数组成，则称 该函数集合为随机过程
概率论第一章ppt课件
i1
i1
13
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
i1
14
4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
15
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝ 。
A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
”: BCACAB
:
ABC
:
ABC
21
小结
P Ak
k 1
k
k 1 k!
e
1 e
．
本题可采用另外一种解法． A A0 { 该地一年内
未发生交通事故} ，于是
P(A) 1 P(A) 1 P( A0) 1 e ．
33
小结
• 本节课主要讲授： 1.概率的统计定义； 2.概率的公理化定义； 3.概率的性质（重点）。
34
§1.3 古典概型与几何概型
验，简称试验。随机试验常用E表示。
7
1.1.3 随机事件与样本空间
❖样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为 试验E的样本空间, 记为Ω. ❖样本点: 试验的每一个可能出现的结果（样本空 间中的元素）称为试验E的一个样本点, 记为ω.
8
例1-2：
概率第一章第3讲 ppt课件
P(B|A)
2020/12/27
6 例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两 次，每次取一个，取后不放回。
(1)已知第二次取到红球，求第一次也取到红球的概率； (2)求第二次取到红球的概率； (3)求两次均取到红球的概率。
解 设A:第一次取到红球,B:第二次取到红球
(1)P( A | B) 1 (2)P(B) 21 3 2 2
P(B A) P( AB) P( A)
2020/12/27
11
例2 一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有红、白两
色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的
是一只红球，试求该红球是新球的概率。
设A:从盒中随机取到一只红球。
红白
B:从盒中随机取到一只新球。 新 40 30
nA 60 nAB 40
设事件组A1, A2,…,An组成样本空间Ω的一个划分， 且设 P(Ai)>0, (i=1,2,…n),则
n
P(B)＝ P(Ai )P(B | Ai ) i 1
此公式称为全概率公式。
例4 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为 0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0；求他 迟到的概率。
P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2)...P(An|A1…An－1)
2020/12/27
14 三、全概率公式与贝叶斯公式
在概率论中，我们经常利用已知的简单事件的概率， 推算出未知的复杂事件的概率。
为此，常须把一个复杂事件分解为若干个互不相容 的简单事件的和，再由简单事件的概率求得最后结 果。 完备事件组
2020/12/27
19
3、贝叶斯公式(Bayes)
2020/12/27
6 例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两 次，每次取一个，取后不放回。
(1)已知第二次取到红球，求第一次也取到红球的概率； (2)求第二次取到红球的概率； (3)求两次均取到红球的概率。
解 设A:第一次取到红球,B:第二次取到红球
(1)P( A | B) 1 (2)P(B) 21 3 2 2
P(B A) P( AB) P( A)
2020/12/27
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例2 一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有红、白两
色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的
是一只红球，试求该红球是新球的概率。
设A:从盒中随机取到一只红球。
红白
B:从盒中随机取到一只新球。 新 40 30
nA 60 nAB 40
设事件组A1, A2,…,An组成样本空间Ω的一个划分， 且设 P(Ai)>0, (i=1,2,…n),则
n
P(B)＝ P(Ai )P(B | Ai ) i 1
此公式称为全概率公式。
例4 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为 0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0；求他 迟到的概率。
P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2)...P(An|A1…An－1)
2020/12/27
14 三、全概率公式与贝叶斯公式
在概率论中，我们经常利用已知的简单事件的概率， 推算出未知的复杂事件的概率。
为此，常须把一个复杂事件分解为若干个互不相容 的简单事件的和，再由简单事件的概率求得最后结 果。 完备事件组
2020/12/27
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3、贝叶斯公式(Bayes)
《概率论基础》课件
《概率论基础》PPT课件
本课程将为您介绍概率论的基础知识，包括概率的基本概念、性质，常见的 概率模型，概率计算方法以及在实际问题中的应用。
课程介绍
欢迎参加《概率论基础》课程！它将帮助您理解概率论的重要性以及其在实 际生活中的应用。
在本课程中，您将学习概率的基本概念、概率的性质，以及如何使用概率模 型解决实际问题。
天气预报
探索概率在天气预报中的应 用。
医学研究
学习如何使用概率在医学研 究中进行数据分析。
总结和回顾
感谢您参加《概率论基础》课程！在本课程中，我们深入学习了概率的基本概念、性质，常见的 概率模型，概率计算方法以及概率在实际问题中的应用。 希望您通过本课程的学习，加深对概率论的理解，并能将其应用于实际生活和工作中。
连续概率分布
了解连续概率分布，如 正态分布和指数分布。
混合概率模型
探索混合概率模型和它 们的应用。
概率计算方法
1
排列组合
学习如何使用排列和组合计算概率。
条件概率树
2
掌握使用条件概率树解决复杂问题
的方法。
3
贝叶斯定理
了解贝叶斯定理在概率计算中的重 要性。
概率在实际问题中的应用
股票市场
了解如何使用概率计算股票 行情和投资决策。
概率的基本概念
1 随机事件
了解随机事件的定义和特征。
3 事件的概率
学习如何计算事件的概率。
2 样本空间
掌握样本空间的概念和表示方法。Βιβλιοθήκη 概率的性质互斥事件
研究互斥事件的特性和计算 方法。
独立事件
条件概率
探讨独立事件的概念和性质。
学习如何计算条件概率和应 用。
常见的概率模型
本课程将为您介绍概率论的基础知识，包括概率的基本概念、性质，常见的 概率模型，概率计算方法以及在实际问题中的应用。
课程介绍
欢迎参加《概率论基础》课程！它将帮助您理解概率论的重要性以及其在实 际生活中的应用。
在本课程中，您将学习概率的基本概念、概率的性质，以及如何使用概率模 型解决实际问题。
天气预报
探索概率在天气预报中的应 用。
医学研究
学习如何使用概率在医学研 究中进行数据分析。
总结和回顾
感谢您参加《概率论基础》课程！在本课程中，我们深入学习了概率的基本概念、性质，常见的 概率模型，概率计算方法以及概率在实际问题中的应用。 希望您通过本课程的学习，加深对概率论的理解，并能将其应用于实际生活和工作中。
连续概率分布
了解连续概率分布，如 正态分布和指数分布。
混合概率模型
探索混合概率模型和它 们的应用。
概率计算方法
1
排列组合
学习如何使用排列和组合计算概率。
条件概率树
2
掌握使用条件概率树解决复杂问题
的方法。
3
贝叶斯定理
了解贝叶斯定理在概率计算中的重 要性。
概率在实际问题中的应用
股票市场
了解如何使用概率计算股票 行情和投资决策。
概率的基本概念
1 随机事件
了解随机事件的定义和特征。
3 事件的概率
学习如何计算事件的概率。
2 样本空间
掌握样本空间的概念和表示方法。Βιβλιοθήκη 概率的性质互斥事件
研究互斥事件的特性和计算 方法。
独立事件
条件概率
探讨独立事件的概念和性质。
学习如何计算条件概率和应 用。
常见的概率模型
概率论第一章PPT课件
2021/3/24
-
10
费尔马的解法
费尔马注意到，如果继续赌下去，最多只要再赌4轮便可 决出胜负，如果用“甲”表示甲方胜，用“乙”表示乙方胜， 那么最后4轮的结果，不外乎以下16种排列。
甲甲甲甲 甲甲甲乙 甲甲乙甲 甲乙甲甲 乙甲甲甲 乙甲甲乙
甲甲乙乙 甲乙甲乙 甲乙乙甲 乙乙甲甲 乙甲乙甲
甲乙乙乙 乙甲乙乙 乙乙甲乙 乙乙乙甲 乙乙乙乙
2021/3/24
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8
直到1654年，一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的 亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题“，求助其对这种现 象作出解释，引起了这位法国天才数学家的兴趣，帕斯卡接 受了这些问题，但他没有立即去解决它，而是把它交给另一 位法国数学家费尔马。之后，他们频频通信，互相交流，围 绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后 来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他也开 始就这方面展开研究。
若每次试验中，事件A与事件B不能同时发生， 即A∩B= 。则称事件A与事件B互斥或互不相 容。
有时，我们也称满足以上三个特点的试验为随机 试验。
2021/3/24
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20
§1.1.2 样本空间 随机事件
一、样本空间
随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为E的 样本空间，记为Ω。Ω的每个元素，即Ω的每一个可能 的结果，称为E的一个样本点或基本事件。
指的是基本 结果
2021/3/24
样本点
-
21
特征：条件不能完全决定结果。
确定性现象与随机现象的共同特点是事物本身的含 义确定。随机现象与模糊现象的共同特点是不确定性， 随机现象的不确定性是指试验的结果不确定，而模糊现 象的不确定性有两层含义，一是指事物本身的定义不确 定，二是结果不确定。
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{ω : X(ω) = xi } (xiX)都是事件。记 P(ω : X(ω) = xi ) =pi ( xi X , i=1,2, ∙∙∙)
或
X~xp00
x1 p1
x2 p2
(a)
称(a)为离散型随机变量 X= X(ω)的概率分布律， pi0，pi =1
1.3 随机变量
۞ 对于任意离散型随机变量 X= X(ω) ，若它的概率分布律由 式(a)给出，则它的分布函数为：
xa
(3) 记： F () liF m (x );F ( ) liF m (x )
x
x
则： F () 0,F ( ) 1
定义3:假设X= X (ω)是概率空间(Ω ,F, P)上的随机变量， 对任意集合类A B1 （包含R 上所有形如集合（ ∞<a ]的最小域），记实值集函数PX(A)=P{ω： X (ω) A}, ，称PX(A)为随机变量X(ω)的概率分布。
1.3 随机变量
1.3.1 随机变量 1.3.1.1随机变量及其分布函数和概率分布 定义1：设(Ω ,F, P)为概率空间， X(ω)(ω Ω)是定义在
Ω上的单值实函数，若对aR，有 {ω： X(ω) ≤ a } F ，
则称X(ω)为随机变量(random variable)。 分类:
——离散型随机变量； ——连续型随机变量； ——混合型随机变量。
F(x)P(:X()x)P({:X()xi}) xix
P(:X()xi)Pi
xix
xix
۞离散型随机变量的分布函数是右连续单调不减的阶梯函数.
1.3 随机变量
设X是取有穷个值的随机变量，不失一般性，假设x0<x1<x2< ∙∙∙ <xn, ，那么在分布律(a)下， X 的分布函数FX (x)具有下图所 表现的一般特征。
Or FX (x)=P{X≤ x}= P{X (-∞ ,x]}, x R =(-∞, ∞) 称F X(x)为随机变量X = X(ω)的分布函数(distribution
function)。也称为概率累积函数(probability cumulative function).
1.3 随机变量
随机变量分布函数的说明：
1.3 随机变量
手机话费 （随机变量的两要素
– 变量特征 – 概率特征（统计特征）
1.3 随机变量 概率质量函数
(pmf: probability mass function)
• 任何一种离散型随机变量都可以统一地用概率质量函数表示 • 其他事件的概率通过概率质量函数计算得到 • 连续型随机变量不可以用概率质量函数表示
۞分布函数FX(x)是x的实值函数,记为F (x) ； ۞ x R1为自变量； ۞以事件{ω： X(ω) ≤ x}的概率测度为函数值； ۞取值在[0，1]上。
1.3 随机变量
定理: 任意随机变量的分布函数，具有下列性质:
(1)单调不减性：对 -∞<x1<x2< ∞ ，有 F(x1) F(x2)
(2)右连续性：对 -∞<a< ∞ ，有 limF(x)F(a)
解：令F 为Ω一切子集构成的事件σ-代数，令Ui={第i次命中目 标 } ， Ū i={第i次未命中目标} (i=1,2)， 则由题目可知：P (Ui)=0.4， P (Ū i)=0.6。
则由独立性可得：P({ω1})=P(Ū1 ∩Ū2)= P(Ū1) P(Ū2)=0.36 ; P({ω2})=P(Ū1 ∩U2)= P(Ū1) P(U2)=0.24 ; P({ω3})=P(U1 ∩Ū2)= P(U1) P(Ū2)=0.24 ; P({ω4})=P(U1 ∩U2)= P(U1) P(U2)=0.16 ;
1.3 随机变量
1.3.1.2离散型随机变量
定义4：最多取有穷个或可数个值的随机变量叫做离散型随机变量(discrete random variable)。 ۞ 假设 X(ω)是定义在概率空间(Ω ,F, P)上的离散型随机变量，
X = (x1, x2, ∙∙∙)是 X 所取的一切可能值的集合，含有有穷或可数个不同的实数，
1.3 随机变量
• 样本空间、概率、随机变量间的映射关系 R
Ω
ωk A ω1 ω2
ωi ωk
ωn B
a {ω : X(ω)≤ a}
ak = X(ωk)
ak
a1 = X(ω1)
a1 a2 = X(ω2)
事件的概率
a2
x1 =P(A)
x2 =P(B)
0 x1 x2 1
1.3 随机变量
随机对象 • 映射方法：将具体的样本空间映射到数集或者
函数集（传统的方法；概率论中常用） • 直接方法：直接指定样本空间为数集或函数集
– 当样本空间为一维实数集合时，则称该一维实变量 为随机变量
– 当样本空间为一维复数集合时，则称该一维复数变 量为复随机变量
– 当样本空间为高维实数空间时，则称该高维实数空 间为随机向量
– 当样本空间为定义于某个数集上的函数组成，则称 该函数集合为随机过程
pk
x3
xk xk+1 x
1.3 随机变量
例 随机试验E：连续进行两次射击，以 X表示命中目标的次数， 假设每一次命中目标的概率为0.40， 以0 表示未命中目标，1
Ω 表示命中目标，那么随机试验E的所有可能结果为 1 0 , 0 ,2 0 , 1 ,3 1 , 0 ,4 1 , 1
1.3 随机变量 概率分布函数
(cdf: cumulative distribution function)
1.3 随机变量 概率密度函数
(pdf: probability density function)
概率分布函数的导数 概率在直线上的密度
1.3 随机变量
定义2：假设X是概率空间(Ω ,F, P)上的随机变量，那 么对于任意x R =(-∞, ∞)， P{ω: X(ω) ≤ x}有意义， 因而此概率是x的函数，记作 FX (x)=P{ω: X(ω) ≤ x}, x R =(-∞, ∞)
对任意A B1 ，有
FX (x)
P(A)P(:X()A)P({:X()xi}) 1 xiA
P(:X()xi)pi
xiA
xiA
——是离散型随机变量的概率分布。
离散型随机变量的分布函数为
p2
p1
F(x)P(:X()x)P(x ix{:X()xi})p0x0 x1 x20
P(:X()xi)Pi
xix
xix
或
X~xp00
x1 p1
x2 p2
(a)
称(a)为离散型随机变量 X= X(ω)的概率分布律， pi0，pi =1
1.3 随机变量
۞ 对于任意离散型随机变量 X= X(ω) ，若它的概率分布律由 式(a)给出，则它的分布函数为：
xa
(3) 记： F () liF m (x );F ( ) liF m (x )
x
x
则： F () 0,F ( ) 1
定义3:假设X= X (ω)是概率空间(Ω ,F, P)上的随机变量， 对任意集合类A B1 （包含R 上所有形如集合（ ∞<a ]的最小域），记实值集函数PX(A)=P{ω： X (ω) A}, ，称PX(A)为随机变量X(ω)的概率分布。
1.3 随机变量
1.3.1 随机变量 1.3.1.1随机变量及其分布函数和概率分布 定义1：设(Ω ,F, P)为概率空间， X(ω)(ω Ω)是定义在
Ω上的单值实函数，若对aR，有 {ω： X(ω) ≤ a } F ，
则称X(ω)为随机变量(random variable)。 分类:
——离散型随机变量； ——连续型随机变量； ——混合型随机变量。
F(x)P(:X()x)P({:X()xi}) xix
P(:X()xi)Pi
xix
xix
۞离散型随机变量的分布函数是右连续单调不减的阶梯函数.
1.3 随机变量
设X是取有穷个值的随机变量，不失一般性，假设x0<x1<x2< ∙∙∙ <xn, ，那么在分布律(a)下， X 的分布函数FX (x)具有下图所 表现的一般特征。
Or FX (x)=P{X≤ x}= P{X (-∞ ,x]}, x R =(-∞, ∞) 称F X(x)为随机变量X = X(ω)的分布函数(distribution
function)。也称为概率累积函数(probability cumulative function).
1.3 随机变量
随机变量分布函数的说明：
1.3 随机变量
手机话费 （随机变量的两要素
– 变量特征 – 概率特征（统计特征）
1.3 随机变量 概率质量函数
(pmf: probability mass function)
• 任何一种离散型随机变量都可以统一地用概率质量函数表示 • 其他事件的概率通过概率质量函数计算得到 • 连续型随机变量不可以用概率质量函数表示
۞分布函数FX(x)是x的实值函数,记为F (x) ； ۞ x R1为自变量； ۞以事件{ω： X(ω) ≤ x}的概率测度为函数值； ۞取值在[0，1]上。
1.3 随机变量
定理: 任意随机变量的分布函数，具有下列性质:
(1)单调不减性：对 -∞<x1<x2< ∞ ，有 F(x1) F(x2)
(2)右连续性：对 -∞<a< ∞ ，有 limF(x)F(a)
解：令F 为Ω一切子集构成的事件σ-代数，令Ui={第i次命中目 标 } ， Ū i={第i次未命中目标} (i=1,2)， 则由题目可知：P (Ui)=0.4， P (Ū i)=0.6。
则由独立性可得：P({ω1})=P(Ū1 ∩Ū2)= P(Ū1) P(Ū2)=0.36 ; P({ω2})=P(Ū1 ∩U2)= P(Ū1) P(U2)=0.24 ; P({ω3})=P(U1 ∩Ū2)= P(U1) P(Ū2)=0.24 ; P({ω4})=P(U1 ∩U2)= P(U1) P(U2)=0.16 ;
1.3 随机变量
1.3.1.2离散型随机变量
定义4：最多取有穷个或可数个值的随机变量叫做离散型随机变量(discrete random variable)。 ۞ 假设 X(ω)是定义在概率空间(Ω ,F, P)上的离散型随机变量，
X = (x1, x2, ∙∙∙)是 X 所取的一切可能值的集合，含有有穷或可数个不同的实数，
1.3 随机变量
• 样本空间、概率、随机变量间的映射关系 R
Ω
ωk A ω1 ω2
ωi ωk
ωn B
a {ω : X(ω)≤ a}
ak = X(ωk)
ak
a1 = X(ω1)
a1 a2 = X(ω2)
事件的概率
a2
x1 =P(A)
x2 =P(B)
0 x1 x2 1
1.3 随机变量
随机对象 • 映射方法：将具体的样本空间映射到数集或者
函数集（传统的方法；概率论中常用） • 直接方法：直接指定样本空间为数集或函数集
– 当样本空间为一维实数集合时，则称该一维实变量 为随机变量
– 当样本空间为一维复数集合时，则称该一维复数变 量为复随机变量
– 当样本空间为高维实数空间时，则称该高维实数空 间为随机向量
– 当样本空间为定义于某个数集上的函数组成，则称 该函数集合为随机过程
pk
x3
xk xk+1 x
1.3 随机变量
例 随机试验E：连续进行两次射击，以 X表示命中目标的次数， 假设每一次命中目标的概率为0.40， 以0 表示未命中目标，1
Ω 表示命中目标，那么随机试验E的所有可能结果为 1 0 , 0 ,2 0 , 1 ,3 1 , 0 ,4 1 , 1
1.3 随机变量 概率分布函数
(cdf: cumulative distribution function)
1.3 随机变量 概率密度函数
(pdf: probability density function)
概率分布函数的导数 概率在直线上的密度
1.3 随机变量
定义2：假设X是概率空间(Ω ,F, P)上的随机变量，那 么对于任意x R =(-∞, ∞)， P{ω: X(ω) ≤ x}有意义， 因而此概率是x的函数，记作 FX (x)=P{ω: X(ω) ≤ x}, x R =(-∞, ∞)
对任意A B1 ，有
FX (x)
P(A)P(:X()A)P({:X()xi}) 1 xiA
P(:X()xi)pi
xiA
xiA
——是离散型随机变量的概率分布。
离散型随机变量的分布函数为
p2
p1
F(x)P(:X()x)P(x ix{:X()xi})p0x0 x1 x20
P(:X()xi)Pi
xix
xix