矩阵分析结课论文

矩阵分析在电路中的应用
本人主要通简单的实例，进行浅显地说明矩阵在求解方程过程中的应用：第一，通过矩阵进行相容方程的求解；第二，通过矩阵进行不相容方程的求解；其中，在不相容方程的求解过程中，会涉及到广义逆矩阵、伪逆矩阵以及矩阵的满秩分解。

在具有实际物理背景下的有关方程组能够通过矩阵的理论知识，得到、高效地求解。

一、 矩阵在相容方程求解中的应用
已知n 元线性方程组如下表示：
11112211
21122222
1122...............n n n n n n nn n n
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨
⎪⎪+++=⎩ 其矩阵的表达形式如下：
111112*********
2n n n n nn n n x b a a a a a a x b a a a x b ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 矩阵A 可记为
1112121
2221
2
n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
如果矩阵A 满秩，且非矛盾方程，则可以通过消元法计算出每个未知量。

见如下示例：
例1设桥式电路中闭合回路的电流分别为
3
21I I I 、、，如图2所示：
图2
已知14
,1,2,1,1,254321======E R R R R R ，计算流过中央支路AB 的电
流AB I .
解：由基尔霍夫第二定律（电压定律）得如下方程组：
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+-=-+-+=-+-+E
I I R I I R I I R I I R I R I I R I I R I R )()(0)()(0
)()(2341321253242331221511
即
⎪⎩⎪
⎨⎧=+--=-+-=--14
3202404321
321321I I I I I I I I I
同样计算如下几个行列式
2132124
1
114=------=A
8432
1424
1101=----=D
1263
14120
11042=----=D 210
14
2104
1
0143=----=D 所以
10,6,4332211======
A
D I A D
I A D I
从而，流过中央支路AB 的电流为221-=-=I I I AB . 即电流是从B 流向A 的.
二、 矩阵在不相容方程组求解中的应用
但是在实际问题中，会出现A 不满秩，需要根据实际情况补充相关的方程，使得方程封闭；同时，在求解的实际问题当中，可能会出现矛盾方程，因为这些系数不是通过理论的推导得到，而是经过数值的计算或是实验的测量，往往不是精确解。

如何才能得到满足精度要求，且得到最优的解。

这就用到矩阵的广义逆相关理论知识。

若线性方程组Ax b =，对于任意m 维向量()b R A ∈，有使解x A b -=成立的A -存在时，便称A -为A 矩阵的广义逆矩阵。

广义逆矩阵应满足AA A A -=。

设,,m n n A C b C ⨯∈∈n 维向量0x 满足对于任何一个n 维向量x ，都有
22
0Ax b Ax b -≤-
便称0x 是方程组Ax b =的一个最小二乘解。

x A b -=是方程组的最小二乘解，其中广义逆矩阵A -还需满足Penrose-Moore 方程（1）、（3）。

即满足()H
AA AA --=、()H
A A A A --=。

有了广义逆便可以得到矛盾方程的最小二乘解，也就是可以得到一组近似解，该近似解带入原方程后，与方程右端b 向量的误差最小。

通过广义逆，可以求解矛盾方程，但是对于一个确定的矩阵（对应一个方程组）有着多个符合上述条件的广义逆矩阵，这样带来新的问题便是如何在这多组最小二乘解中确定一组最优解。

矩阵分析给出了最佳最小二乘解，也就是所有最小二乘解中，解向量模长最小的一组解。

{}0min u x =，则u 为最佳最小二乘解。

在求解最佳最小二乘解时，需要系数矩阵A 的伪逆矩阵A +。

伪逆矩阵是唯一的，这也对应着最佳最小二乘解唯一性。

把满足Penrose-Moore 4个方程的矩阵定义为伪逆矩阵。

伪逆矩阵A +的求法一般通过矩阵A 的满秩分解A=BC ，得到矩阵B 、C ，然后
以某一算法求得对应的伪逆矩阵，一般通过A +=()()
1
1
H H H
H C CC B B B --得到伪逆
矩阵。

通过一个示例给出矩阵的满秩分解方法， 例2求矩阵
1415
6200014124012
6557A -⎡⎤
⎢⎥-⎢
⎥=⎢⎥
--⎢⎥
--⎣⎦ 的满秩分解。

解：对矩阵A 只做初等行变换
1000
71415610
290
10
20001477124015
25001
7
72
65
5
70
000
0A -⎡⎤⎢
⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥
⎢
⎥=→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
注意将矩阵化为阶梯型矩阵，且每行首元素为1，并且该元素1所在列的其他元素必为0。

然后以主元所在列对应变换前的矩阵A 的各列向量构成矩阵B
1
412001242
65B -⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
--⎢⎥-⎣⎦
以阶梯矩阵主元所在行向量构成矩阵C
1000710
29010
77525001
77C ⎡
⎤
⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
容易验证A=BC
在构造B 矩阵时，若所化简的阶梯阵形式不同，则所选取的列向量会有差别，这也导致了矩阵的满秩分解不唯一。

那么，是否与伪逆矩阵的唯一性相协调？
虽然，矩阵的满秩分解不唯一，如11A BC B C ==，但由BC 以及11B C 求得的伪逆矩阵是唯一的。

即()()
()()1
1
11
H
H H
H
H
H H H 1
11
1
11C CC B B B C
C C B
B B ----=。

现给
出证明， 证明：
若11A BC B C ==，则H H 11BCC B C C =，
易知H rank rank C CC r ==（r 也为矩阵A 的秩），H r r r CC C ⨯∈， 则()1H H 1111B B C C CC B θ-== （1）
记()
1
H
H 11C C
CC θ-=
同理可知()
1
H
H 1121C B B
B B
C C θ-==， （2）
记()1
H H 21B B B B θ-=
将式（1）、（2）带入11BC B C =可得111121B C B C θθ= 则有H H H H 1111111211B B C C B B C C θθ= 因此12θθ=E
再将()1
H H 1111B B C C CC B θ-==、()1
H H 1121C B B B B C C θ-==带入到
()
()
1
1
H H H
H C CC B B B --
可得
()
()()
()1
1
1
1
H H H H H H H H 111111C CC B B B C C C B B B ----=
通过以上内容介绍了矩阵在方程求解过程的应用。

. .。