平面与平面垂直的判定 优秀教案
《平面与平面垂直的判定定理》教学设计
《平面与平面垂直的判定定理》教学设计一、本节内容分析本节内容按照直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的研究过程展开.对于直线与直线的垂直,首先定义异面直线所成的角,两条直线垂直包括共面垂直与异面垂直对于直线与平面的垂直、平面与平面的垂直主要研究它们的判定定理和性质定理.直线与平面垂直的判定定理是指一条直线与构成该平面的基本元素—直线满足什么条件才能使此直线与该平面垂直,而平面与平面垂直的判定定理是指构成其中一个平面的直线与另平面或这个平面内的直线具备什么条件才能使两个平面垂直,实际上是在寻找平面与平面垂直的充分条件.性质是指直线与平面垂直、平面与平面垂直时,其基本构成要素具有怎样的确定不变的关系,实际上是必要条件,性质和判定之间具有互逆的关系,这也是我们研究问题的一个自然的起点.本节内容的处理继续遵循“直观感知—操作确认—思辨论证”的认识过程展开.通过本节课的学习与研究,可进步完善学生的知识结构,更好地培养学生观察记忆、空间想象及推测解释能力,使其体会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想,提升直观想象、数学运算和逻辑推理核心素养.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:二、学情整体分析上一节,我们研究了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系,本节在上一节基础上研究空间直线、平面间的另一特殊位置关系——垂直.由于学生的知识积累、解决问题的方法都已较为丰富,所以本节内容的学习既要继续加强从“一般观念”上的引导,让学生明确“什么是空间直线、平面的垂直”以及“空间直线、平面垂直时,其要素(直线、平面)有什么确定的不变关系”;又要充分类比对空间直线、平面平行关系的研究方式,引导学生研究空间直线、平面之间的垂直关系.研究的对象尽量由学生去提出,研究的内容要学生去确定,研究的方法启发学生去寻找.学情补充:____________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 三、教学活动准备【任务专题设计】1.平面与平面垂直【教学目标设计】1.通过实例直观感知“二面角”概念的形成过程,理解二面角的概念,掌握二面角的作法,理解并掌握两个平面互相垂直的概念,两个平面垂直的判定定理及其应用方法.2.发展学生的推测解释能力、观察记忆能力和空间想象力,培养学生的质疑思辨、创新的精神.【教学策略设计】1.在平面与平面垂直的实际教学中,建议采用启发引导、分组合作、讲练结合的教学方法,使学生形成“直观感知—操作确认—数学抽象—归纳猜想—严谨证明—灵活应用”的探究式学习方法,从而达到以学生为主体、教师为主导、师生共同发展的课堂教学效果.【教学方法建议】启发教学法、探究教学法、情境教学法,还有________________________________【教学重点难点】重点1.直观感知、操作确认,概括出平面与平面垂直的判定定理难点3.平面与平面垂直的判定定理的应用.【教学材料准备】1.常用材料:多媒体课件、计算机、实物模型、__________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教学活动设计教学导入探究1 平面与平面垂直的判定定理师:在工程建设中,建筑工人用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直,如果系有铅锤的细线紧贴墙面,则确定墙面与地面垂直,否则不垂直.为什么线要紧贴墙面?生:为了说明细线在墙面内,细线与地面垂直,墙面就和地面垂直.师:满足什么条件的时候,才能使平面与平面互相垂直?【师生活动】教师组织学生思考、讨论,归纳出下面的结论.生:如果一个平面内有一条直线垂直于另一个平面,则这两个平面垂直.师:如何用图形语言和符号语言描述平面与平面垂直的判定定理.【师生活动】教师指导学生画出图形并将文字语言转化成符号语言,并出示多媒体.【推测解释能力】通过对实际问题观察和理解,使学生形成面面垂直的判定定理,通过学生交流讨论,把实际问题抽象成数学符号的表达方式,培养学生严谨的数学思维习惯【要点知识】平面与平面垂直的判定定理⊥⎫lα【教师总结】这个定理说明,可以由直线与平面垂直,证明平面与平面垂直.师:门所在平面与地面始终垂直吗?大家将课本打开,直立放在桌面上,每页纸张与桌面是否垂直?为什么?【师生活动】教师组织学生讨论、交流,用面面垂直判定定理来解释现象.师:下面请看如何利用平面与平面垂直的判定定理来解决实际问题.【活动学习】通过用判定定理解释生活中的常见现象,让学生意识到数学来源于生活,服务于生活,也体现了从特殊到一般,再到特殊的知识认知过程,促进学生数学思想方法的形成,引导学生确实掌握“降维”的转化与化归的数学思想方法【说明论证能力】通过学生尝试用定理解决问题,从而加强对面面垂直判定定理的理解和掌握,巩固所学知识,进一步体会由证明面面垂直转化为证明线面垂直,提升学生的逻辑思维和分析问题、解决问題的说明论证能力【典型例题】平面与平面垂直的判定定理的应用例1 如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求证:平面A'BD⊥平面ACC'A'【师生活动】教师出示多媒体并读题,引导学生分析题意,梳理解题思路,得到要用面面垂直的判定定理证明两个平面垂直,关键是找到一个平面内有一条直线垂直于另一个平面.学生独立完成例题证明,教师巡视课堂,并适时给予学生指导,教师出示规范解答.【典例解析】平面与平面垂直的判定定理的应用分析:要证平面A'BD ⊥平面ACC'A',根据两个平面垂直的判定定理,只需证明平面A'BD 经过平面ACC'A'的一条垂线即可.这需要利用AC,BD 是正方形ABCD 的对角线.证明:ABCD-A'B'C'D'是正方体,AA'⊥平面ABCD ,AA'BD ⊥又BD AC ⊥,AA'AC=A ⋂，∴BD ⊥平面ACC'A',又BD ⊂平面A'BD ,平面A'BD ⊥平面ACC'A'.师:请看下一道例题.【意义学习】通过教师对证明过程进行规范、完整的板书,引导学生注意证明过程的规范性和严谨性,帮助学生养成良好的学习习惯【典型例题】平面与平面垂直的判定定理的应用例2 如图,AB 是O 的直径,PA 垂直于O 所在的平面,C 是圆周上不同于,A B 的任意一点.求证:平面PAC ⊥平面PBC .【师生活动】教师引导学生分析解题思路,鼓励学生交流、讨论,并请学生做板演,教师对学生的解答过程做评价,随后教师给出规范性解答.【典例解析】平面与平面垂直的判定定理的应用分析:要证明两个平面垂直,根据两个平面垂直的判定定理,只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面,而由直线和平面垂直的判定定理,还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直.在本题中,由题意可知BC AC ⊥,,BC PA AC PA A ⊥⋂=,从而BC ⊥平面PAC ,进而平面PAC ⊥平面PBC .证明:∵PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面,ABC PA BC ∴⊥.∵点C 是圆周上不同于,A B 的任意一点,AB 是O 的直径,∴90BCA ∠=︒,即BC AC ⊥. 又∵,PA AC A PA ⋂=⊂平面,PAC AC ⊂平面,PAC BC ∴⊥平面PAC .又∵BC ⊂平面,PBC ∴平面PAC ⊥平面PBC .【深度学习】通过教师引导学生分析解题思路,使学生掌握判断面面垂直有两种方法:一种是定义法(证二面角的平面角是直角),一种是判定定理法(证一个平面过另个平面的一条垂线),深化学生对两种方法的掌握能力【说明论证能力】通过例题巩固所学知识,使学生能够熟练应用知识解决说明论证的问题【教师总结】从本节的讨论可以看到,由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直由直线与平面垂直的定义可以得到直线与直线垂直;由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直;而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直,这进一步揭示了直线平面之间的位置关系可以相互转化.师:通过这节课的学习,同学们都学到了哪些知识?【师生活动】教师引导学生归纳总结、完善本节课所学知识.【整体学习】引导学生学习直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系,进一步体会空间中直线与平面的位置关系之间的相互转化,培养学生对转化与化归数学思想方法的理解,发展学生的逻辑推理学科核心素养【课堂小结】平面与平面垂直1.判定平面与平面垂直的方法有哪些?判定平面与平面垂直的方法体现了什么数学思想?2.平面与平面垂直的判定定理是什么?能够解决哪些问题?3.如何实现空间垂直关系的相互转化?请指出下面图中空间垂直关系转化的依据.【设计意图】通过理解和掌握面面垂直的判定和性质,能够证明面面垂直和线面垂直,培养学生的推测解释、说明论证能力,提升逻辑推理核心素养【课后作业】教材P235练习3、4题教学评价垂直关系的相互转化:线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的,能够相互转化,转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理在解决问题时,可以从条件入手,分析已有的垂直关系,再从结论探求所需的关系,从而架起条件与结论的桥梁.空间平行、垂直关系之间的转化:【设计意图】引导学生对线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质探究分析,帮助学生体会知识的生成、发展、完善的过程.通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力(概括理解、推理解释、说明论证、猜想探究等)分析问题、解决问题,从而达到直观想象、逻辑推理、数学抽象核心素养目标要求【以学定教】根据学情,因材施教,以人为本,以生为本,根据学生逐步掌握的知识点和定理,依据生活实例和模型,采取不同探究式教学法,让学生逐步掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直的知识教学反思本节的知识(直线与直线的垂直关系、直线与平面的垂直关系、平面与平面的垂直关系)与学生学习的生活联系密切,教师一方面引导学生从生活实际出发,把知识与周围的事物联系起来;另一方面,教师引导学生经历从现实的生活空间中抽象出空间图形的过程,注重探索空间图形位置关系的判定与性质的过程本节课教师特别注重数学中的文字语言与符号语言的相互转化,将空间问题向平面问题转化,有效地体现了转化与化归的数学思想.在判定定理的教学中,遵循了“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程,学生通过观察分析、自主探究,在教师的引导下,进行适当推理而归纳出判定定理关于判定和性质定理的应用,教师没有简单直接讲解,而是由学生先行自主探究,教师适时点拨,以增强学生自主学习的意识,再通过实物投影,来规范学生的解答过程,提高学生数学表达能力.【以学论教】对教学活动整个过程的学习情况进行追踪,根据学生实际学习情况和课堂效果使学生通过观察分析、自主探究学习和掌握空间线面的垂直关系。
平面与平面垂直的性质教案
一、教学目标1. 让学生理解平面与平面垂直的概念，掌握平面与平面垂直的性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学内容1. 平面与平面垂直的定义2. 平面与平面垂直的性质定理3. 平面与平面垂直的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：平面与平面垂直的性质定理及其应用。
2. 教学难点：平面与平面垂直的性质定理的理解和运用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解平面与平面垂直的定义、性质定理及应用。
2. 利用几何模型和实物模型，直观展示平面与平面垂直的现象，增强学生的空间想象力。
3. 开展小组讨论，让学生互相交流、探讨，加深对平面与平面垂直性质的理解。
4. 运用例题讲解，培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
五、教学步骤1. 导入新课：通过展示生活中的实例，引导学生思考平面与平面垂直的现象。
2. 讲解平面与平面垂直的定义，让学生理解垂直的概念。
3. 讲解平面与平面垂直的性质定理，引导学生通过图形进行验证。
5. 总结本节课的主要内容，布置课后作业。
教案仅供参考，具体实施时可根据学生的实际情况进行调整。
六、教学评价1. 课后作业：布置有关平面与平面垂直性质的习题，巩固所学知识。
2. 课堂练习：设置一些有关平面与平面垂直的应用题，检验学生对性质定理的掌握程度。
3. 学生互评：鼓励学生之间相互评价，提高学生的沟通能力。
七、教学拓展1. 探讨平面与平面垂直的其他性质定理。
2. 研究平面与平面垂直在实际工程中的应用。
八、教学反思1. 教师在课后要对课堂进行反思，总结教学过程中的优点和不足。
2. 针对学生的学习情况，调整教学策略，提高教学效果。
九、课后作业1. 习题：完成教材后的相关习题，加深对平面与平面垂直性质的理解。
2. 实践作业：观察生活中的平面与平面垂直现象，拍摄图片，进行简要描述。
十、教学进度安排1. 本节课计划用2课时完成，第1课时讲解平面与平面垂直的定义和性质定理，第2课时进行应用讲解和课后作业布置。
平面与平面垂直的性质定理教学设计及平面与平面垂直的判定与性质教案完美版
平面与平面垂直的性质定理教学设计及平面与平面垂直的判定与性质教案完美版教学设计：一、教学目标：1.知识目标：掌握平面与平面垂直的性质定理，了解平面与平面垂直的判定方法。
2.能力目标：能够正确判断平面与平面是否垂直，并运用性质定理求解问题。
3.情感目标：培养学生对几何知识的兴趣，提高解决几何问题的能力。
二、教学内容：1.平面与平面垂直的性质定理。
2.平面与平面垂直的判定方法。
三、教学步骤：1.导入新知识（10分钟）教师引入本节课的知识内容，告诉学生本节课要学习平面与平面垂直的性质定理和判定方法，并和学生一起回顾正交的概念，引发学生的思考。
2.学习性质定理（30分钟）教师通过多个例子，引导学生观察和总结平面与平面垂直的性质定理。
-性质定理一：如果两个平面的法向量相互垂直，则这两个平面垂直。
-性质定理二：如果两个平面中的各一条直线互相垂直，则这两个平面垂直。
教师先给出性质定理一的证明过程，再由学生自行推导性质定理二的证明过程。
学生在学习性质定理的过程中，教师可以组织学生进行小组讨论，让学生互相讨论并分享自己的理解和想法。
3.学习判定方法（30分钟）教师介绍平面与平面垂直的判定方法：-判定方法一：如果两个平面的法向量相互垂直，则这两个平面垂直。
-判定方法二：如果两个平面中的各一条直线互相垂直，则这两个平面垂直。
教师给出一些实际应用的例子，引导学生通过观察图形来判断两个平面是否垂直。
4.综合练习（20分钟）教师设计一些相关练习题，让学生通过运用刚刚学习的性质定理和判定方法来解决问题。
5.总结和课堂小结（10分钟）教师总结本节课学习的内容，提醒学生注意关键点，并给出总结性的提问，激发学生思维。
四、教学手段：1.教师板书法通过板书法概括和总结平面与平面垂直的性质定理和判定方法。
2.多媒体教学法运用多媒体教学展示相关的图片和视频，帮助学生更好地理解和掌握平面与平面垂直的性质定理和判定方法。
3.讨论和合作学习通过讨论和合作学习的方式，激发学生思维，增加学生的参与感和主动性。
平面与平面垂直的教案
8.6.3 平面与平面垂直——平面与平面垂直的性质一、教学目标1.掌握平面与平面垂直的性质定理；2.学会运用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的问题；3.通过对平面与平面垂直性质定理的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养.二、教学重难点1.掌握平面与平面垂直的性质定理；2.会运用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的问题。
三、教学过程：1、复习回顾（1）怎样找二面角的平面角？在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角．（2）平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.2、探究新知如果两个平面互相垂直，根据已有的研究经验，我们可以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么位置关系．【探究活动】如图，已知平面α⊥平面β，α∩β=a ，则β内任意一条直线b 与a 是什么位置关系？相应地，b 与α是什么位置关系？为什么？由此：猜想：,,,.a b b a b αβαβαα⊥=⊂⊥⇒⊥证明：如图，设b ∩a ＝A ，过点A 在α内作直线c ⊥a ，则直线b,c 所成的角就是二面角a αβ--的平面角.由α∠β，故b∠c ．又因为b∠a ，a∩c ＝A ，所以b∠α．3.得出定理平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．图形表示：符号语言：,,,.a b b a b αβαβαα⊥=⊂⊥⇒⊥4.定理应用【例1】判断下列命题是否正确.（1）若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β.（2）若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线平行于平面β.（3）若平面α不垂直平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β.答案：（1）错；（2）对；（3）对.【例2】已知：如图，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥平面PAB.证明过程略。
《平面与平面垂直的判定》教案、导学案、课后作业
《8.6.3 平面与平面垂直》教案第1课时平面与平面垂直的判定【教材分析】在平面与平面的位置关系中，垂直是一种非常重要的关系，本节内容是直线与平面垂直关系延续和提高.通过本节使学生对整个空间中的垂直关系有一个整体的认知，线线垂直、线面垂直、面面垂直是可以相互转化的.【教学目标与核心素养】课程目标1．理解二面角的概念，并会求简单的二面角；2．理解直二面角与面面垂直的关系，理解平面和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题.3.通过面面垂直定理的理解及运用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳平面和平面垂直的判定定理，找垂直关系；2. 数学运算：求二面角；3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【教学重点和难点】重点：平面与平面垂直的判定定理及其应用.难点：平面与平面垂直的判定定理，找垂直关系.【教学过程】一、情景导入我们知道如果两个平面的二面角是直角，那么这两个平面一定垂直.那么有没有更简单的方法证明两个平面垂直？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本155-158页，思考并完成以下问题1、什么是二面角？什么是直二面角？2、平面与平面平行的判定定理是什么？3、怎样用符号语言表示平面与平面平行的判定定理？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究 1.二面角(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫二面角的面.图中的二面角可记作:二面角α-AB-β或α-l-β或P-AB-Q.(2)二面角的平面角:如图,在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O,以点O 为垂足,在半平面α和β内分别作垂直与直线l 的射线OA,OB,则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.2.平面与平面垂直(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记作 α⊥β.(2)判定定理四、典例分析、举一反三题型一 对面面垂直判定定理的应用例1 如图，是的直径，点是上的动点，垂直于所在的AB O ⊙C O ⊙PA O ⊙平面．证明：平面平面. 【答案】证明见解析．【解析】证明：∵是的直径，点是上的动点， ∴，即．又∵垂直于所在平面，平面 ∴． ∴ ∴平面． 又平面， ∴平面平面．解题技巧（判定两个平面垂直的常用方法）(1)定义法:即说明两个平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.跟踪训练一1、如图所示,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=1,AA 1=2,M 是棱CC 1的中点.证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M.ABC PAC ⊥PBC AB O ⊙C O ⊙90ACB ∠=︒BC AC ⊥PA O ⊙BC ⊂O ⊙PA BC ⊥PA AC A =BC ⊥PAC BC ⊂PCB PAC ⊥PBC【答案】证明见解析.【解析】证明由长方体的性质可知,A1B1⊥平面BCC1B1,又BM⊂平面BCC1B1,所以A1B1⊥BM.又CC1=2,M为CC1的中点,所以C1M=CM=1.在Rt△B1C1M中,B1同理又B1B=2,所以B1M2+BM2=B1B2,从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M=B1,所以BM⊥平面A1B1M.因为BM⊂平面ABM,所以平面ABM⊥平面A1B1M.题型二求二面角例2如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中:(1)求二面角D′-AB-D的大小;(2)若M是C′D′的中点,求二面角M-AB-D的大小.【答案】(1) 45°.(2)45°.【解析】(1)在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB⊥平面ADD′A′,所以AB⊥AD′,AB⊥AD,因此∠D′AD为二面角D′-AB-D的平面角,在Rt△D′DA中,∠D′AD=45°.所以二面角D′-AB-D的大小为45°.(2)因为M 是C′D′的中点,所以MA=MB,取AB 的中点N,连接MN,则MN ⊥AB.取CD 的中点H,连接HN,则HN ⊥AB.从而∠MNH 是二面角M-AB-D 的平面角.∠MNH=45°. 所以二面角M-AB-D 的大小为45°. 解题技巧： (作二面角的三种常用方法)(1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,则∠AOB 为二面角α-l-β的平面角.(2)垂直法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB 为二面角α-l-β的平面角.(3)垂线法:过二面角的一个面内异于棱上的一点A 向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B 向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB 为二面角的平面角或其补角.如图③,∠AOB 为二面角α-l-β的平面角.跟踪训练二1、如图,在三棱锥P-ABC 中,PA ⊥平面PBC,PA=PB=2,PC=4,BC=2√3 . (1)求证:平面PAB ⊥平面ABC;(2)E 为BA 的延长线上一点,若二面角P-EC-B 的大小为30°,求BE 的长.【答案】证明见解析【解析】（1）证明:因为PA ⊥平面PBC,所以PA ⊥PC,PA ⊥PB. 经计算,得所以AB 2+BC 2=AC 2,故BC ⊥AB.又PA ⊥平面PBC,所以PA ⊥BC.因为PA∩AB=A,所以BC ⊥平面PAB. 又BC ⊂平面ABC,故平面PAB ⊥平面ABC. (2)如图,取AB 的中点F,连接PF.因为PA=PB,所以PF ⊥AB.由(1)知平面PAB ⊥平面ABC, 又平面PAB∩平面ABC=AB,PF ⊂平面PAB, 所以PF ⊥平面ABC,PF ⊥EC. 过F 作FG ⊥EC 于G,连接PG. 因为PF ⊥EC,PF∩FG=F, 所以EC ⊥平面FPG. 因为PG ⊂平面FPG, 所以EC ⊥PG.于是∠PGF 是二面角P-EC-B 的平面角, 因此,∠PGF=30°. 又所以设由(1)知BC ⊥AB, 所以△EFG ∽△ECB,得=.因此,即x 2解得舍去).所以五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计FG BCEF EC七、作业课本158页练习，162页习题8.6的3、6、7、8题.【教学反思】学生了解两个平面垂直的判定，但在问题中应用的时候就不够灵活或找不到需要的条件.为此，本节的课堂中心是判定定理的引入与理解，判定定理的应用及立体空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养.《8.6.3 平面与平面垂直》导学案第1课时平面与平面垂直的判定【学习目标】知识目标1．理解二面角的概念，并会求简单的二面角；2．理解直二面角与面面垂直的关系，理解平面和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题.3.通过面面垂直定理的理解及运用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．核心素养1.逻辑推理：探究归纳平面和平面垂直的判定定理，找垂直关系；2. 数学运算：求二面角；3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【学习重点】：平面与平面垂直的判定定理及其应用.【学习难点】：平面与平面垂直的判定定理，找垂直关系.【学习过程】一、预习导入阅读课本155-158页，填写。
平面与平面垂直的判定 优秀教案
平面与平面垂直的判定
【教学目标】
1．知识与技能
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用。
2．过程与方法
（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3．情态、态度与价值观
通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
【教学重难点】
重点：平面与平面垂直的判定；
难点：如何度量二面角的大小。
【教学方法】
实物观察、类比归纳、语言表达，讲练结合。
的求法与画法
AB ．面分别为、
在半平面α和内分别作垂直于棱l 的射线OA 和αβ
β
与垂直，记作α⊥
把这个正方形折成一个
备选例题
例1 如图，四棱锥P –ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD ．
证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°。
【分析】由△PAD ≌ △PCD ，可利用定义法构造二面角的平面角，证明所成角的余弦值恒小于零即可。
【评析】求二面角的大小应注意作（找）、证、求、答。
平面与平面垂直的判定教案
平面与平面垂直教学目标1．知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理、性质定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.教学重点：平面与平面垂直的判定；教学难点：平面与平面垂直的判定。
一．复习引入：二．新课探知：1、平面与平面垂直的定义2、平面与平面垂直的判定定理（1）探究问题：如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？（2）平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直.线面垂直⇒面面垂直例1、如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC.练习：1、A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD，BC=CD,E是BD的中点，求证：平面AEC⊥平面BCD2、已知Rt∆ABC中，AB=AC=a，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC成直角。
求证：1、平面ABD⊥平面BDC,平面ACD⊥平面BDC2、∠BAC=6003、两平面垂直的性质定理：例2、已知：如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB=4cm，AC,BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB,并且AC=3cm，BD=12cm，求CD的长。
练习1．已知如图AB⊥平面BCD ，BC⊥CD，求证：平面ACD⊥平面ABC.A巩固练习：一、选择题1．若平面α的斜线l在α上的射影为l′，直线b∥α，且b⊥l′，则b与l（）A．必相交B．必为异面直线C．垂直D．无法确定2．下列命题①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影；③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长．其中，正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个n 4个3．在下列四个命题中，假命题为（）A．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直B．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边C．过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内D．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面4．已知P是四边形ABCD所在平面外一点且P在平面ABCD内的射影在四边形ABCD内，若P到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（）A．圆内接四边形B．矩形C．圆外切四边形D．平行四边形5．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离等于（）A．5B．52C．35D．45二、填空题6．AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线A′A_________．7．如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l＝β∩γ，l⊥α，m α和m⊥γ，现给出以下四个结论：①α∥γ且l⊥m；②αγ且m∥β③αβ且l⊥m；④αγ且l⊥m；其中正确的为“________”．（写出序号即可）8．在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有____________个．9．如图，正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且PA⊥平面A BCD则在△PAB、△PBC、△PCD、△PAD、△PAC及△PBD中，为直角三角形有_________个．三、解答题10．已知直线a∥平面α,直线b⊥平面α，求证：a⊥b．11．如图，在长方体AC1中，已知AB＝BC＝a，BB1＝b（b＞a），连结BC1，过B l作B1⊥BC1交CC1于E，交BC1于Q，求证：AC⊥平面EB l D112．如图在△ABC中，已知∠ABC＝90°，SA⊥△ABC所在平面，又点A在SC和SB上的射影分别是P、Q．求证：PQ⊥SC．。
平面与平面垂直的判定教案
平面与平面垂直的判定教案教学目标：1. 理解平面的概念及性质，掌握平面与平面垂直的判定方法。
2. 能运用平面与平面垂直的判定方法解决实际问题，提高空间想象能力和逻辑推理能力。
3. 通过对平面与平面垂直的判定方法的学习，培养学生数学思想和方法的应用意识。
教学重、难点：1. 教学重点：平面与平面垂直的判定方法及其应用。
2. 教学难点：如何灵活运用平面与平面垂直的判定方法解决实际问题。
教学准备：1. 多媒体课件：包含判定定理的证明过程、图形示例等内容的PPT 或视频资料。
2. 几何画板：学生可利用几何画板进行自主探究和实践，绘制相关图形，加深理解。
3. 白板讲解：利用白板或黑板进行现场讲解和互动问答，提高教学效果。
4. 学生练习册：根据教学目标和内容，设计相应的练习册或习题集，供学生练习使用。
教学方法和手段：1. 课堂讲解：教师精讲判定定理及其应用，注意逻辑清晰，表达准确。
2. 小组讨论：学生针对课堂练习或实际问题的讨论，促进互相学习和交流。
3. 互动问答：教师鼓励学生提问，通过回答问题了解学生对知识的掌握情况，并及时调整教学策略。
4. 多媒体辅助：使用多媒体课件展示图形和实例，增强视觉效果，帮助学生更好地理解。
5. 工具应用：引导学生使用几何画板等工具进行自主探究和实践，提高教学效率。
教学过程：1.概念讲解教师引导学生复习平面的概念及性质，强调平面的基本属性，为后续学习做好铺垫。
2. 定理介绍教师介绍平面与平面垂直的判定方法，即“一面四点两线”判定定理。
指出定理的现代形式如下：如果一个平面内的四条直线与另一个平面内的四条直线对应平行，那么这两个平面垂直。
并深入讲解该定理的证明过程及应用范围。
3. 范例分析教师通过实例讲解如何运用判定方法解决实际问题。
如：通过观察教室墙面和地面的关系，引导学生用判定方法判断两个平面是否垂直，并指导学生在练习本上画出相应的图形，锻炼学生的实际应用能力。
4. 课堂练习教师布置与课堂内容同步的作业，学生完成后进行展示和交流。
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5．已知二面角 的平面角为 ， ，若 到平面 的距离为 ，则 点在 上的射影 到平面 的距离为________________．
6．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是（）
A．相等B．互补C．互余D．无法确定
7．如图5， ，过点 引 所在平面的斜线 ， 与 、 分别成 、 角，求二面角 的平面角的余弦值．
布置作业：课本习题1，2，3，4，5．
板书设计：
1．二面角例1练习
2．二角面的平面角
例2
8．提示：连结 交 于点 ，连结 ，证明 就是二面角 的平面角．
9．提示：分别作 、 垂直于面 、 于点 、 ，证明 面 ，令 交于 于点 ，连结 、 ，证明 ， ， 为所求．在△ 中用余弦定理算出 ．又 、 、 、 共圆，可由正弦定理去算 ．
［总结提炼］
求二面角的平面角，首先要选择一个合适的方案画出二面角，其次要能够根据定义作出二面角的平面角，用三垂线定理作二面角的平面角是最常用的方法，用三垂线定理必须先找到一个参考平面，二面角的两个半平面之一往往就是参考平面，而三垂线定理的特点是斜线和射影同时垂直于面内的直线，这恰好符合二面角的平面角的两边同时垂直于棱的要求，最后要注意作、证、算的步骤安排，当然有时也直接按定义去作二面角的平面角．
［探索研究］
1．二面角
（1）半平面
平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．
（2）二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
（3）二面角的画法：分直立式与平卧式两种．图1，记作二面角 ．
①直立式②平卧式
图1
2．二面角的平面角
图5
8．如图6，在正方体 中，求二面角 的平面角的正切值．
图6
9．如图7，在 的二面角 内有一点 ，它到 、 面的距离分别为3和5，求 点到棱 的距离．
图7
［参考答案］
1．略．2．C 3．D 4．C 5． 6．B
7．提示：在 上任取一点 ，作 交 于 点，作 交 与 点，令 ，则 即为所求，先在 △ 及△ 中算出 、 、 、 ，再在 △ 中算出 ．
教师提出问题：平面几何中可以把角理解为一个旋转量，同样，一个二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的，也是一个旋转量．这说明二面角不仅有大小．而且其大小是惟一确定的．
平面与平面的位置关系，总的说来只有相交或平行两种情况．为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，我们有必要来研究二面角的度量问题．从而提问：二面角的大小应该怎么度量？
平面与平面垂直的判定和性质
第一课时
教学目标：
1．理解二面角的有关概念，能画出二面角．
2．会求二面角的平面角．
教具准备：投影胶片、三角板．
教学过程：
［设置情境］
看看日常生活中常见的例子：公路上的坡面与水平面，打开的门与门框所在的平面等．它们中的两个面成一定的角度．为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角．那么，怎么定义两个平面所成的角呢？
解：如图4．设 、 是 、 在平面 上的射影，延长 交平面 于 ，
则平面 ．
由已知可得 、 分别是 和 的中点．
∴
图4
由 得 ．
又 ，故 ，由三垂线逆定理得 ．
由于 ，则 ．
∴ ．
［演练反馈］
1．课本练习1，2，3，4．
2．二面角指的是（）
A．两个平面相交所成的角
B．经过同一条直线的两个平面所组成的图形
C．从一条直线出发的两个半平面组成的图形
D．两个相交平面所夹的不大于 的角
3．已知△ 中， ， ， ， 在平面 内，△ 所在平面与面 成 角，则△ 在平面 内的射影面积可能是（）
A． B． C． D．
4．已知二面角 的平面角是锐角 ， 内一点 到 的距离为3，点 到棱 的距离为4，那么 的值等于（）
平面角是直角的二面角叫做直二面角．
3．例题分析
例1如图3，平面角为锐角的二面角 ， ， ， ，若 与 所成角为 ，求二面角 的平面角．
图3
解：作 于 ，作 于 ，连结 ，
则 ， 是二面角的平面角．
又 是 与 所成的角，
设 ，
则 ， ， ．
∴ ．
例2正三角形 边长为10， 平面 ， 、 与平面 的距离为4和2， 、 在平面 的同侧，求：平面 与平面 所成的角 ．
让学生主动动手操作并与同学讨论交流，尝试找到度量二面角大小的方法．
现给出二面角的平面角的定义：
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
如图2，二面角 ， ， ， ， ， ． 是二面角 的平面角．
图2
二面角的平面角的范围是 ，当两个半平面重合时，平面角为 ；当两个半平面合成一个平面时，平面角为 ．求解二面角问题的关是确定平面角的位置，需抓住“二面角的平面角”的三个要素：（1）确定二面角的棱上一点；（2）经过这点分别在两个面内引射线；（3）所引的射线都垂直于棱．