平面与平面垂直的判定

AB=3，求线段CD的长。
l
B
C
D
A
练习 如图，已知A、B是120的二
面角—l—棱l上的两点，线段AC， BD分别在面，内，且AC⊥l，
l
B
C
D
BD⊥l ，AC=2，BD=1，AB=3，求 线分段析C：D的长。
AO
∠OAC ＝120 AO=BD=1, AC=2
四边形ABDO为矩形, DO=AB=3
∵sin∠ADO= O
2 3 3 42
A
D
O
∴ ∠ADO=D60°
l
∴二面角 － l－ 的大小为60 °
小结:二 面 角 从一条直线出发的两个半
平面所1组、成二的面图角形的叫平做面二角
一、二面角的定义： 二
二 二
二面面面 、角角角二C－－－面12AA、、l角BB－根利－－直的据用作D定直表出义线来示作和出平方来面法做垂面角二：角的面。棱2角这。、的条这二必的在面直两面须大棱。线个角满小上叫半的足与的做平三位其二面个置顶面叫角条无点件关
A
D
O
l
解：过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连
AO⊥ l 平面 AO⊥l, OD⊥ l
l⊥平面AOD AD 平面AOD 得 AD⊥ l
∴∠ADO就是二面角 － l－ 的平面角
∵ AO为 A到的距离 ， AD为 A到 l 的距离
A
∴AO=23
，AD=4
在Rt △ADO中，A
知识回顾 1.在平面几何中"角"是怎样定义的？ 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样 定义的？
直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O, 分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b' 所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的 角。
O
A
0 180
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中
求:二面角D’-AB-D的大小
D’
C’
求:二面角A’-AB-D的大小 A’
B’
D
C
A
B
例2:已知锐二面角－ l－ ，A为面内一点， A到 的距离为 23 ，到 l 的距离为 4，求 二面角 － l－ 的大小。
CO2 AC 2 AO2 2AO AC COS120 7
在Rt △COD中，
CD CO2 DO2 7 32 4
练习 如图，已知A、B是120的二
面角—l—棱l上的两点，线段AC， BD分别在面，内，且AC⊥l， BD⊥l ，AC=2，BD=1，AB=3，
E
l
B
C
D
求解线：段在C平D面的长内。，过A作AO⊥l ，使
22
观察下面两个图形,它们之间有什么关系?
一、两个平面垂直的定义
B A
O
如果两个平面相交 所成的二面角是直二 面角，那么我们称这 两个平面相互垂直.
记作：
画法：
二、两个平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面互相垂直．
A
已知：AB⊥β，AB⊂α. 求证：α⊥β。
AO
AO=BD, 连结CO、DO, 则∠OAC就是
二面角—l—的平面角，即 ∠OAC ＝120，
∵BD⊥l ∴ AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形,
∴ DO∥ l ， AO=BD ∵ AC⊥l ， AO⊥l ，
∴ l ⊥平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DO
∵ BD=1 ∴ AO=1，在△OAC中，AC=2，
二面角 AB
QB
二面角P l Q
l
P
二面角P AB Q A
二面角的画法
F
E
l
A
B
D
C
二面角－ l－
C
B D
A
二面角C－AB－ D
角
二面角
图形
顶点 O
A 边
边B
A 棱a 面
B面
定义
从一点出发的两条射线 所组成的图形叫做角。
从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫 做二面角。
Hale Waihona Puke 构成3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎 样定义的？
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角。
思考：异面直线所成的角、直线和平面所成的 角与有什么共同的特征？
它们的共同特征都是将三维空间的角转化 为二维空间的角,即平面角。
一条直线上的一个点把这条直线分成两个 部分，其中的每一部分都叫做射线。
∴ CO2 AC 2 AO2 2AO AC COS120 7
在Rt △COD中，DO=AB=3
CD CO2 DO2 7 32 4
面面垂直的判定
复习回顾：
从一条直线出发的两个半
平面1、所二组面成角的的图平形面叫角做二
一、二面角的定义： 面角。这必条须直满线足叫三做个二条面件 1、根据定义作出来——角定的2义、棱法二。面这角两的个平半面平角面叫 2、利用直线和平面垂做直二作面出角来的的大面小。与 其顶点
3、二面角的大小用
三、二面角12、、的找证平到明或面1作中角出的二角：面就角是的所平求面的它小角的来角平度面量角的大
四、二面角3、的计平算所面求角的角的作法：
五、二面角的计算：
一“作”二“证”三“计算”
练习 如图，已知A、B是120的
二面角—l—棱l上的两点，线段
AC，BD分别在面，内，且
AC⊥l，BD⊥l ，AC=2，BD=1，
[证明]：设α∩β=CD，
边—点—边 （顶点）
面—直线—面 （棱）
表示法
∠AOB
二面角—l— 或二面角—AB—
二面角的度量
以二面角的棱上任意一点 为端点，在两个面内分别作 垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角 的平面角。
二面角的平面角的三个特征:
1.点在棱上 2.线在面内
B D
3.与棱垂直
B
O
l
A C
二面角的大小的范围:
二、二面角—的—表垂线示垂方面法法： 在棱上的位置无关
3、二面角的大小用
三、二面角12、、的找证平到明或面1作中角出的二角：面就角是的所平求面的它小角的来角平度面量角的大
二 二
四面面、角角二C－面－AA角BB3－－、的计D平算所面求角的角的作法：
二 五面、角二－面角l－的 计算：
一“作”二“证”三“算”
一个平面内的一条直线把这个平面分成两
个部分，其中的每一部分都叫做半平面。
Al
l
定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱。
这两个半平面叫做二面角的面。
B
l
α
o
A
β
二面角由半平面--线--半平面构成。
平面角由射线--点--射线构成。
二面角的表示
二面角 l