1990年希望杯第1届八年级第2试及答案
历届(第1-23届)希望杯数学竞赛初一七年级真题及答案
“希望杯”全国数学竞赛（第1-23届）初一年级/七年级第一/二试题目录1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题......................003-0052.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题......................010-0123.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-0204.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。
-0265.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-0326.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。
-0407.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-0508.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。
-0589.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-06610.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。
-07311.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。
-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。
-08713.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。
-09814.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。
-10515.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。
-11316.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。
-12017.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。
希望杯第一届至第十届五年级试题与答案
10．三个武术队进行擂台赛，每队派 6 名选手，先由两队各出 1 名选手上擂台比武，负者下台，不再上 台，胜者继续同其它队的一位选手比武，负者下台，和胜者不同队的双一位选手上台……继续下去。当有 两个队的选手全部被击败时，余下的队即获胜。这时最少要进行_____场比武。
1 6
11．两种饮水器若干个，一种容量 12 升水，另一种容量 15 升水。153 升水恰好装满这些饮水器，其中 15 升容量的_____个。
14．小光前天登录到数理天地网站 ，他在首页看到"您是通过什么方式知道本网站的？" 调查，他查看了投票结果，发现投票总人数是 500 人，"杂志"项的投票率是 68%。当他昨天再次登录数理 天地网站时，发现"杂志"项的投票率上升到 72%，则当时的投票总人数至少是_____ 。
的四位数是
。
8． a ， b ， c 都是质数，并且 a ＋ b ＝33， b ＋ c ＝44， c ＋ d ＝66，那么 d ＝
，
BA
9．如果A◆B＝ A B ，那么1◆2－2◆3－3◆4－…－2002◆2003－2003◆2004＝
。
10．用1－8这八个自然数中的四个组成四位数，从个位到千位的的数字依次增大，且任意两个数字的
1．计算
_______ 。
2．将 1、2、3、4、5、6 分别填在右图中的每个方格内，使折叠成的正方体中对面数字的 和相等。
3．在纸上画 5 条直线，最多可有_______ 个交点。
4．气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表：
景区
千岛湖 张家界 庐山 三亚 丽江 大理 九寨沟 鼓浪屿
气温(℃) 11/1
算英语，平均分是91分。小永三门功课的平均成绩是
第二届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试(1991年)
第二届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试一、选择题：1．如图29，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 为线段AC 的中点，P 为NA 的中点，Q 为MA 的中点，则:MN PQ 等于（ ）A ．1；B ．2；C ．3；D ．4；2．两个正数,m n 的比是(1)t t >若m n s +=，则,m n 中较小的数可以表示为（ ）A.ts ；B.s ts -；C.1ts s+；D.1s t +；3.0y > ）A.-B.；C.-D.4．())()(x b b x c ++是完全平方式，则,,a b c 的关系可以写成（ ）A ．a b c <<；B ．22()()0a b b c -+-=；C ．c a b <<；D ．a b c =≠；5．如图30，AC CD DA BC DE ====，则BAE ∠是BAC ∠的（ ）A ．4倍；B ．3倍；C ．2倍；D ．1倍；6．D 是等腰锐角三角形ABC 的底边BC 上一点，则,,AD BD CD 满足关系式（ ）A.222AD BD CD =+；B ．222AD BD CD >+；C ．2222AD BD CD =+；D ．2222AD BD CD >+； 7.方程2191()1010x x -=+的实根个数为（ ） A ．4；B ．3；C ．2；D ．1；8.能使分式33x y y x -的值为22,x y 的值是（ ）A.2212x y ==；B. 2222x y ==C. 2277x y =+=-D. 2212x y =+=9．在整数0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ，则x y z u +++的值为（ ）A ．17；B ．15；C ．13；D ．11；10．两个质数,a b ，恰好是x 的整系数方程2210x x t -+=的两个根，则b a a b +等于（ ） A.2213；B.5821；C.240249；D.36538； 二、填空题： 1.198919911991199119891989⨯-⨯=________； 2.分解因式:22223345a b c ab ac bc +++++=________；3.222():[():()]a ba bc ac b bc ca ab c ca ab bc +++++++++的平方根是________；4．边数为,,a b c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角，其和为180︒， 那么111a b c++=________； 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解，则正整数a =_______；6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精________升；搅匀后，再倒出13升混合液，并加入等量的水，搅匀后,再倒出13升混合液，并加入等量的水，这时，所得混合液中还有________升酒精； 7．如图31，在四边形ABCD 中，5,8,24,26AB cm BC cm CD cm DA cm ====，且90ABC ∠=︒，则四边形ABCD 的面积是________；8．如图32，123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=________； 9.2243x x +++的最小值的整数部分是________；10．已知两数积1ab ≠，且222123456789030,3123456789020a a b b ++=++=，则a b=________；三、解答题：1.已知两个正数的立方和是最小的质数，求证：这两个数之和不大于2；2．一块四边形的地（如图33）(//,//EO FK OH KG )内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF 改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF 的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时，那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明；答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞2b，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。
希望杯第1-8届五年级数学试题及答案(WORD版)
第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第1试一、填空题1．计算＝_______ .2．将1、2、3、4、5、6分别填在图中的每个方格内，使折叠成的正方体中对面数字的和相等。
3．在纸上画5条直线，最多可有_______ 个交点.4．气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表:其中，温差最小的景区是______ ,温差最大的景区是______ 。
5．，各表示一个两位数，若＋＝139，则＝_______ 。
6．三位数和它的反序数的差被99除,商等于_______ 与_______ 的差。
7．右图是半个正方形，它被分成一个一个小的等腰三角形，图2中,正方形有_______ 个，三角形有_______ 个。
8．一次智力测验，主持人亮出四块三角形的牌子:在第(4)块牌子中，？表示的数是_______ 。
9．正方形的一条对角线长13厘米，这个正方形的面积是平方厘米。
10．六位自然数1082□□能被12整除,末两位数有种情况。
11．右边的除法算式中，商数是。
12．比大，比小的分数有无穷多个，请写出三个：。
13．A、B、C、D、E五位同学进行乒乓球循环赛（即每2人赛一场),比赛进行了一段时间后，A赛了4场，B赛了3场，C赛了2场,D赛了1场，这时，E 赛了场.14．观察5*2＝5＋55＝60,7*4＝7＋77＋777＋7777＝8638,推知9*5的值是。
15．警察查找一辆肇事汽车的车牌号（四位数）,一位目击者对数字很敏感，他提供情况说：“第一位数字最小,最后两位数是最大的两位偶数，前两位数字的乘积的4倍刚好比后两位数少2”。
警察由此判断该车牌号可能是。
16．一个小方木块的六个面上分别写有数字2，3，5，6,7，9。
小光，小亮二人随意往桌上扔放这个木块。
规定:当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数,得1分。
当小亮扔时,如果朝上的一面写的是奇数，得1分。
每人扔100次，得分高的可能性最大。
17．从1,2，3，4，5，6，7，8，9。
小学四年级希望杯历年数学竞赛试题与答案1-14届(最新全套完整版)
第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）四年级第1试1．下边三个图中都有一些三角形，在图A中，有个；在图B中，有个；在图C中，有个。
2．写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立:0.6＋0.06＋0.006＋…＝2002÷。
3．观察1，2，3，6，12，23，44，x，164的规律，可知x ＝。
4．如图，将一个三角形(有阴影)的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的______倍。
5．如果规定a※b ＝13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是。
6．气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表：其中，温差最小的景区是，温差最大的景区是。
7．AOB是三角形的纸，OA＝OB，图中的虚线是折痕，至少折次就可以得到8个相同的三角形。
8．有的两位数，加48，就变成3位数；减48，就变成1位数，这样的两位数有，它们的和等于。
9．甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。
这时四个组的书一样多。
这说明甲组原来有书本。
10．幼儿园老师给几组小朋友分苹果，每组分7个，少3个；每组分6个，则多4个，苹果有个，小朋友共组。
11．在 a＝20032003×2002和 b＝20022003×2003中，较大的数是，它比较小的数大。
12．小明的家离学校2千米，小光的家离学校3千米，小明和小光的家相距千米。
13．甲、乙、丙三人中只有1人会开汽车。
甲说：“我会开。
”乙说：“我不会开。
”丙说：“甲不会开。
”三人的话只有一句是真话。
会开车的是。
14．为了支援西部，1班班长小明和2班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完，小明要了26本书，小光要了18本书。
回校后，小明补给小光28元。
小明、小光各带了元，每本书价元。
第一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试(1990年)
第一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试一、选择题：1.等腰三角形周长是24cm ，一腰中线将周长分成5:3的两部分，那么这个三角形的底边长是（ ）A ．7.5；B ．12；C ．4；D ．12或4；2.已知2(1989)P -，那么P 的值是（ ）A ．1987；B ．1988；C ．1989；D ．1990；3．若,,,,,a b c x y z M ax by cz N az by cx P ay bz cx Q az bx cy >>>>=++=++=++=++，则（ ）A ．M P N >>且M Q N >>；B ．N P M >>且N Q M >>；C ．P M Q >>且P N Q >>；D ．Q M P >>且Q N P >>；4．凸四边形ABCD 中，90,:2:1,:DAB BCD CDA ABC AD CB ∠=∠=︒∠∠==BDA ∠=（ ）A ．30︒；B ．45︒；C ．60︒；D ．不能确定；5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割（ ）A ．是不存在的；B ．恰有一种；C ．有有限多种，但不只是一种；D ．有无穷多种；二、填空题：1．ABC ∆中，90,CAB B C ∠-∠=︒∠的平分线与AB 交于,L C ∠的外角平分线与BA 的延长线交于N ，已知3CL =，则CN =________；2.2(2)0ab -=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++⋅⋅⋅+++++的值是________； 3.已知,,a b c 满足0,8a b c abc ++==，则C 的取值范围是________；4.ABC ∆中，30,B AB BC ∠=︒==ABC ∆中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是________；5.设,,a b c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题：1．从自然数1,2,3,,354⋅⋅⋅中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177，2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和''''A B C D ，且正方形''''A B C D 的顶点'A 在正方形ABCD 的中心．当正方形''''A B C D 绕'A 转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值，这个结论对吗？证明你的判断；3．用1,9,9,0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n 之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n 由小到大排成一列1234n n n n <<<⋅⋅⋅，试求：12n n ⋅之值；答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即a b=k ×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即a b=177．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积SA＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴SA＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即 n1=4，n2=7∴ n1×n2=4×7=28．。
(2020年编辑)希望杯数学竞赛第一届至十历届四年级全部试题与答案打
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2．写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立:0.6＋0.06＋0.006＋…＝2002÷。
3．观察1，2，3，6，12，23，44，x，164的规律，可知x ＝。
4．如图，将一个三角形(有阴影)的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的______倍。
八年级数学第2届“希望杯”第1试试题
山东省滨州市无棣县埕口中学八年级数学第2届“希望杯”第 1试试题一、选择题 : （每题 1分，共 15分）1．如图 1，已知 AB=8， AP=5，OB=6，则 OP 的长是 []A ．2;B ．3;C ．4;D ．52．方程 x 2-5x+6=0 的两个根是 []A O P B(1)A ．1，6 ;B ．2，3;C ．2，3;D ．1，63．已知△ ABC 是等腰三角形，则 [ ]A ． AB=AC;B ． AB=BC;C ． AB=AC 或 AB=BC;D ． AB=AC 或 AB=BC 或 AC=BC5(1 3) 24 34.a=, b, c4 , 则 a,b,c 的大小关系是 [ ]( 5)21 3 3 14A ． a ＞ b ＞ cB ． a=b=cC ． a=c ＞ b D． a=b ＞ c5. 若 a ≠ b, 则(b-a) a b 等于 [ ]A. 3 (ab)3 ; B. 3(a b)3 ; C.3(a b)3 ; D.3(ba)36．已知 x ，y 都是正整数，那么三边是 x ， y 和 10的三角形有 []A ． 3个B ． 4个;C ． 5个D ．无数多个7．两条直线订交所成的各角中，[ ]A ．必有一个钝角 ;B ．必有一个锐角 ;C ．必有一个不是钝角 ;D ．必有两个锐角 8．已知两个角的和构成的角与这两个角的差构成的角互补，则这两个角[ ]A ．一个是锐角另一个是钝角 ;B ．都是钝角 ;C ．都 是直角 ;D ．必有一个角是直角 9．方程 x 2+|x|+1=0 有 []个实数根．A ．4;B ．2;C ．1;D ．010．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去 -2 ，仍得原数，这个两位数是 [ ]A ． 26;B ． 28;C ． 36;D ． 3811．若 11个连续奇数的和是 1991，把这些数按大小次序摆列起来，第六个数是[ ]A ． 179;B ． 181;C ． 183;D ． 18512. 假如2 x3x 1, 那么 3 (x 2)3(x 3)2 等于 []A ． 2x+5B ． 2x-5; C．1 D．113．方程 2x 5+x 4-20x 3-10x 2+2x+1=0有一个实数根是 [ ]A. 53; B. 5 2; C. 3 2; D. 5 314．当 a ＜ -1 时，方程 (a 3+1)x 2 +(a 2+1)x-(a+1)=0 的根的状况是 []A ．两负根 ;B ．一正根、一负根且负根的绝对值大C ．一正根、一负根且负根的绝对值小;D ．没有实数根15．甲乙二人，从 M 地同时出发去 N 地．甲用一半时间以每小时 a 公里的速度行走，另一半时间以每小时 b 公里的速度行走； 乙以每小时 a 公里的速度行走一半行程， 另一半路 程以每小时 b 公里的速度行走．若 a ≠ b 时，则 [ ]抵达 N 地．A ． 二人同时 ;B ．甲先;C ．乙先 ;D ．若 a ＞ b 时，甲先抵达，若a ＜b 时，乙先二、填空题 : （每题 1分，共 1 5分）1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于 ______度．2. 有理化分母 :57=______________.573. 方程 x 1 x 0 的解是 x=________.4．分解因式： x 3+2x 2y+2xy 2+y 3=______．5．若方程 x 2+(k 2-9)x+k+2=0 的两个实数根互为相反数，则k 的值是 ______．6．假如 2x 2-3x-1 与a(x-1) 2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不一样形式 , 那么ab=__.c7．方程 x 2-y 2=1991有 ______个整数解．8．当 m______时，方程 (m-1)x 2+2mx+m-3=0有两个实数根．9．如图 2，在直角△ ABC 中， AD 均分∠ A ，且 BD ∶DC=2∶ 1，则∠ B 等于 ______度．D ECAAFBEGC BB DC A DF(2)(3) (4)10．如 图 3，在圆上有 7个点， A ， B ， C ， D ， E ，F ，和 G ，连接每两个点的线段共可作出 __条． 11． D ， E 分别是等边△ ABC 两边 AB ， AC 上的点，且 AD=CE ，BE 与 CD 交于 F ，则∠ BFC 等于 __度．12．如图 4，△ ABC 中， AB=AC=9，∠ BAC=120°， AD 是△ ABC 的中线， AE 是△ ABD 的角均分线， DF ∥ AB 交 AE 延伸线于 F ，则 DF 的长为 ______．13．在△ ABC 中， AB=5， AC=9，则 BC 边上的中线 AD 的长的取值范围是 ______ ．14．等腰三角形的一腰上的高为10cm ，这条高与底边的夹角为 45°，则这个三角形的面积是 ______．15．已知方程 x 2+px+q=0有两个不相等的整数根， p ， q 是自然数，且是质数，这个方程的根是 ______．答案与提示一、提示：1．∵ OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3 ．∴ (B) ． 2．∵以 2，3代入方程，合适．故 (B) ．3．∵有两条 相等的三角形是等腰三角形．∴(D) ．4．∵ a=1，b=- 1， c=1．∴ (C) ．6．∵ x=y ＞5的任何正整数，都能够和 10作 三角形的三条 ．∴(D) ． 7．两直 订交所成角能够是直角，故而 (A) ， (D) 均不可以建立．∴(C) ．8． 两个角 α, β.( α +β )+( α - β )=180 ° ,即α =9 0°．故 (D) ．9．∵不 x 何 数， x 2+|x| +1 是大于零的．∴(D) ．即 7a=2b+2，可 a 只好 偶数， b+1是 7的倍数．故取 (A) ． 11． 11个 奇数 ： 2n+1， 2n+3，2n+5，⋯， 2n+21． (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+ ⋯+(2n+21)=1991 ．即 11(2n+11)=1991 ．解得 n=85．∴第六个数是 2× 85+11=181．故 (B) ．∴ (A) ． 13．原方程可化(2x 5-20x 3+2x)+(x 4-10x 2+1)=0 ．即 (2x+1)(x4-10x 2+1)=0 ．即 x 4-10x 2+1=0．故取 (C) ．14 ．a＜ -1 时，a3+1＜ 0，a2+1＞ 0， a+1＜0．而若方程的两根为x1， x2，则有15．设 M， N两地距离为 S，甲需时间 t 1，乙需时间 t 2，则有∴ t 1＜ t 2，即甲先．此外：设 a=1， b=2，则甲走 6小时，共走了 9公里，这时乙走的时间为(B) ．从这个计算中，能够看到，a，b的值交换，不影响结果．故取二、填空题提示：1．设所求角为α，则有(180 ° - α )-(90 ° - α )=90 °．4． x 3+2x 2y+2xy 3+y 3=(x 3+y 3)+(2x 2y+2xy 2)=(x+y)(x2-xy+y 2)+2xy(x+y)=(x+y)(x 2+xy+y 2)5． 二根 x ， -x ， x +(-x 1)=-(k 2-9) ．1 1 1即 k 2-9=0 ．即 k= ± 3．又，要有 数根，必 有△≥ 0．即 (k2-9) 2-4(k+2) ＞ 0．然k=3 不合适上边的不等式，∴k=-3 ．6．由 2x 2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c 是恒等式，故由 x=1代入，得 c=-2 ；x 2 的系数相等，有 a=2， 再以 x=0代入，得 -1=a-b+c ．即 b=1．7． x 2-y 2=1991， (x-y)(y+x)=11× 181能够是9． BD ∶ DC=2∶ 1，故有 AB ∶ AC=2∶ 1，直角三角形斜 与直角 之比2∶ 1， 有∠ B=30°．10．从 A 出 可 6条，从 B 出 可 5条，（因 BA 就是 AB ），从 C 出 可 4条，⋯，从F 出 可 一条．共 1+2+3+4+5+6=21（条）．另法：每个点出 均可6条，共有 42条．但每条都重复 一次，11．如 28．∠F=∠ 1+∠A+∠ 2．又：△ ADC≌△CEB．∴ ∠ 1=∠3．∴∠ F=∠3+∠ A+∠2=∠ B+∠ A=120°．12．△ ABC是等腰三角形， D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠ BAD=60°，∠ ADB=90°．又： AE是分角线，故∠ DAE=∠EAB=30°．又： DF∥ AB，∴∠ F=∠ BAE=30°．在△ ADF中，∠ DAF=∠ F=30°．∴ AD=DF．而在△ ADB中， AB=9，∠ B=30°．13．∵ 4＜ BC＜ 14．∴当 BC为4时， BD=CD=2，AD＜ 7．当 BC=14时， BC=CD=7，有 AD＞ 2．∴ 2＜ AD＜7．14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，则顶角是 90°，高就是腰，其长为 10cm．15．设两根为 x1， x2．则x1+x2=-p ①x1x2=q②由题设及①，②可知， x1，x2均为负整数． q为质数，若 q为奇数，则 x1，x2均为奇数．从而 p为偶数，而偶质数只有 2，两个负整数之和为 -2 ，且不相等，这是不行能的．若q为偶数（只好是 2），两个负整数之积为 2，且不相等，只好是 -1 和 -2 ．∴方程的根是 -1 和 -2 ．。
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希望杯第一届（1990）第二试试题
一、选择题:（每题1分，共5分）
1.等腰三角形周长是24cm ，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[ ] A ．7.5 B ．1
2. C ．4. D ．12或4
2.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ]
A ．1987
B ．1988.
C ．1989
D ．1990
3．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则[ ]
A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞N.
B ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞M
C ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q.
D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P
4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1则∠BDA=[ ]
A ．30°
B ．45°.
C ．60°.
D ．不能确定
5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]
A ．是不存在的.
B ．恰有一种.
C ．有有限多种，但不只是一种.
D ．有无穷多种
二、填空题:（每题1分，共5分）
1． △ABC 中，∠CAB ∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA
的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______．
2． 2(2)0ab -=,那么
1
1
1
(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++ 的值是_____.
3． 已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．
4． ΔABC 中, ∠B=300三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三
个圆面积之和的最大值的整数部分是______．
5． 设a,b,c 是非零整数,那么a b
c ab ac bc abc
a b c ab ac bc abc ++++++的值等于
_________.
三、解答题:（每题5分，共15分）
1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．
2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A＇B＇C＇D＇，且正方形A＇B＇C＇D＇的顶点A＇在正方形ABCD的中心．当正方形A＇B＇C＇D＇绕A＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．
3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……，
试求：n1·n2之值．
答案与提示
一、选择题
提示：
1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．
又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．
=19882+3×1988+1-19892
=(1988+1)2+1988-19892=1988
3．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．
4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB
5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．
二、填空题
提示：
1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．
5．当a，b，c均为正时，值为7．
当a，b，c不均为正时，值为-1．
三、解答题
1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．
证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．
因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即a b=k×177．
又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即
a b=177．
∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．
2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．
证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知
∠A＇BE=∠A＇CF=45°．
又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，
∴S A＇EBF=S△A＇BC．
∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．
3．可能的四位数有9种：
1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．
其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．
1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,
9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，
9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．
即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．
即余数只有0，2，3，5，6五种．
它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．
又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．
即 n1=4，n2=7
∴ n1×n2=4×7=28．。