高二年级下学期期中考试数学科试卷AqqHUl
高二年级下学期期中考试数学科试卷
高二年级下学期期中考试数学科试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．一所中学有高一、高二、高三共三个年级的学生1600名，其中高三学生400名.如果通过分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个容量为80人的样本，那么应当从高三年级的学生中抽取的人数是（ ）A ．10B ．20C ．30D ．402．（理科）已知~(,)B n p ξ，E ξ=8，D ξ=1.6，则n 与p 的值分别为（ ） A ．10和0.8 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．40和0.8（文科）从总体中抽取的样本数据共有m 个a ，n 个b ，p 个c ，则总体的平均数x 的估计值为（ ） A ．3a b c ++ B ．3m n p++ C ．3ma nb pc++ D ．ma nb pc m n p++++3．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率是14，乙解出这个问题的概率是12，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是（ ）A ．34B ．18C ．78D ．584．若*(31)()n x n N -∈的展开式中各项的系数和为128，则2x 项的系数为（ ） A ．189 B ．252 C ．-189 D ．-2525．从6名田径运动员中选出4人参加4×100 m 接力赛，若甲、乙两人都不能跑第一棒，则不同的参赛方案有（ ）种．A ．180B ．240C ．300D ．3606．已知n 为奇数，且n ≥3，那么112217777n n n n n n n C C C ---+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅被9除所得的余数是（ ）A ．0B ．1C ．7D ．87．某仪表显示屏上有一排八个编号小孔，每个小孔可显示红或绿两种颜色灯光．若每次有且只有三个小孔可以显示，但相邻小孔不能同时显示，则每次可以显示（ ）种不同的结果．A ．20B ．40C ．80D ．1608．现有20个零件，其中16个一等品，4个二等品．若从20个零件中任取2个，那么至少有一个是一等品的概率是（ ） A ．11164220C C C B ．111619220C C C C ．2162201C C -D ．11216416220C C C C +9．七张卡片上分别写有0、0、1、2、3、4、5，现从中取出三张后排成一排，组成一个三位数，则共能组成（ ）个不同的三位数． A ．100 B ．105 C ．145 D ．15010．把一枚质地不均匀．．．．．的硬币连掷5次，若恰有一次正面向上的概率和恰有两次正面向上的概率相同（均不为0也不为1），则恰有三次正面向上的概率是（ ） A ．40243B ．1027C ．516D ．1024311．以三角形的三个顶点和它内部的四个点共7个点为顶点，能把原三角形分割成无重叠的小三角形的个数是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11 12．在2006()x y z ++的展开式中，合并同类项后共有（ ）项．A ．12007CB ．22007C C ．22008CD ．32008C二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．（理科）若随机变量2~(2,2)N ξ，则1()4D ξ的值为__________________．（文科）在某市高三数学统考的抽样调查中，对90分 以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为_____________人．14．方程2551616x x x C C --=的解集是____________________． 15．若某人投篮的命中率为p ，则他在第n 次投篮才首次命中的概率是________________．16．从1到10这10个数中任取不同的三个数，相加后能被3整除的概率是_____________． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）从集合A={1，3，6，8，9}和集合B={2，4，5，9}各取一个数分别记作m 、n ，（1）求m >n 的概率；（2）求m <n 的概率．18．（本小题满分12分）有A 、B 、C 、D 四封信和1号、2号、3号三个信箱，若四封信可以随意投入信箱，投完为止．（1）求3号信箱恰好有一封信的概率；（2）求A 信没有投入1号信箱的概率．19．（本小题满分12分）若非零实数m 、n 满足2m +n =0，且在二项式12()mn ax bx （a >0，b >0）的展开式中当且仅当常数项是系数最大的项，（1）求常数项是第几项；（2）求a b的取值范围．20．（本小题满分12分）在一次由甲、乙、丙三人参加的围棋争霸赛中，比赛按以下规则进行，第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者．根据以往战绩可知，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，（1）求比赛以乙连胜四局而告终的概率；（2）求比赛以丙连胜三局而告终的概率．21．（本小题满分12分）学校文艺队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有3人，会跳舞的有5人．现从中选2人，其中至少有一人既会唱歌又会跳舞的概率为35．(1)求文艺队的人数；(2) （理科）设ξ为选出的2人中既会唱歌又会跳舞的人数，求Eξ．（文科）若选出的2人一人唱歌，一人跳舞，求有多少种不同的选派方案？22．（本小题满分14分）一个口袋中装有三个红球和两个白球．第一步：从口袋中任取两个球，放入一个空箱中；第二步：从箱中任意取出一个球，记下颜色后放回箱中．若进行完第一步后，再重复进行三次第二步操作，（理科）设ξ表示从箱中取出红球的个数，求ξ的分布列，并求出Eξ和Dξ．（文科）分别求出从箱中取出一个红球、两个红球、三个红球的概率．参考答案一．B 、（理）A （文）D 、D 、C 、B C 、D 、D 、B 、A B 、C二．（13）（理）14（文）810； （14）{1，3}； （15）1(1)n p p --； （16）720三．（17）（1）P （m >n ）=13331542+++=⨯； ------（6分） （2）P （m <n ）=431195420+++=⨯． ------（12分）(或利用P （m <n ）=1- P （m >n ）-P (m =n )=119125420--=⨯)（18）（1）设3号信箱恰好有一封信的概率为P 1， -------（1分）则P 1 =134423C ⋅=3281 ； ------（6分） （2）设A 信没有投入1号信箱的概率为P 2， -------（7分）则132242333C P ⋅== ． ------（12分） （19）（1）设12112()()rm r n r r T C ax bx -+=为常数项， ------（1分）则可由(12)020,0,0m r nr m n m n -+=+=≠≠⎧⎨⎩------（3分）解得 r=4， ------（5分）所以常数项是第5项． ------（7分） （2）由只有常数项为最大项且a >0，b >0，可得48457512124843931212C a b C a b C a b C a b >>⎧⎨⎩ -------（10分） 解得8954ba <<------（12分） （20）（1）设乙连胜四局的概率为1P ，则1(10.4)0.5(10.4)0.50.09P =-⨯⨯-⨯= -------（6分） （2）设丙连胜三局的概率为2P ，则20.40.6(10.5)0.6(10.4)0.50.6(10.5)0.162P =⨯⨯-⨯+-⨯⨯⨯-= ------（12分） （21）（1）设文艺队中既会唱歌又会跳舞的人数为x ，则只会唱歌的人数为3-x ，只会跳舞的人数为5-x ，总人数为8-x 当x =1时，选出的2人中至少有1人既会唱歌又会跳舞的概率P =162727C C =,不合题意--------(2分) 当2≤x ≤3时，由选出的2人中至少有1人既会唱歌又会跳舞的概率P =11282228835x xx xxC C C CC ---+=-------(4分）可解得2x =, 所以文艺队共有6人． -------（6分）（或验证x =2,x =3时，选出的2人中至少有1人既会唱歌又会跳舞的概率,得2x =） （2）（理）由24262(0)5C P Cξ===，1124268(1)15C C P Cξ===，22261(2)15C P Cξ===，------（9分）得28101251515E ξ=⨯+⨯+⨯=23-------（12分）（文）若从既会唱歌又会跳舞的队员中选出1名队员唱歌，则有11248C C =种不同的选派方案， --------（8分）若从只会唱歌的队员中选出1名队员唱歌，则有11155C C =种不同的选派方案， - -------（10分）因此，共有8+5=13种不同的选派方案． --------（12分） （22）（理）解法一：设ξ表示从箱中取出红球的个数，则ξ可以取0、1、2、3， -------（1分）1）当0ξ=时，完成事件有两种可能，第一种可能是：第一步取出的2个球都是白球，此时事件发生的概率为2225110C C=；第二种可能是：第一步取出的2个球1红1白，此时事件发生的概率为11322353240C C C =，因此137(0)104040P ξ==+=-------(3分)2) 当1ξ=时，完成事件只有一种可能：第一步取出的2个球1红1白，此时事件发生的概率为1113232359(1)240C C C P C ξ===⋅ -------(5分)3）当2ξ=时，完成事件只有一种可能：第一步取出的2个球1红1白，此时事件发生的概率为1123232359(2)240C C C P C ξ===⋅ -------(7分)4）当3ξ=时，完成事件有两种可能，第一种可能是：第一步取出的2个球1红1白，此时事件发生的概率为11322353240C C C =⋅；第二种可能是：第一步取出的2个球都是红球，此时事件发生的概率为2325310C C =，因此333(3)40108P ξ==+=--------(9分)所以ξ的分布列为（10分）79939012340404085E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= --------（12分）22229799999363(0)(1)(2)(3)5405405405850D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= ------（14分）解法二：第一步操作结束后，箱子中没有红球的概率为2225110C C=，箱子中有1个红球的概率为11322535C C C =，箱子中有2个红球的概率为2325310C C =， -------（3分）则30313137(0)1()010521040P C ξ==⨯++⨯=⨯，123131139(1)0()010*******P C ξ==⨯+⨯+⨯=， 223131139(2)0()010*******P C ξ==⨯+⨯+⨯=，33313133(3)0()11052108P C ξ==⨯++⨯=⨯， --------（9分）以下同解法一（文）解法一：设从箱中取出一个红球、两个红球、三个红球的概率分别为123P P P 、、 ----（2分） 从箱中取出一个红球时，完成事件只有一种可能：第一步取出的2个球1红1白，此时事件发生的概率为11132312359240C C C P C ==⋅ --------(6分)从箱中取出两个红球时，完成事件只有一种可能：第一步取出的2个球1红1白，此时事件发生的概率为11232322359240C C C P C ==⋅ -------(10分)从箱中取出三个红球时，完成事件有两种可能，第一种可能是：第一步取出的2个球1红1白，此时事件发生的概率为11322353240C C C =⋅；第二种可能是：第一步取出的2个球都是红球，此时事件发生的概率为2325310C C=，因此333340108P =+=------(14分)解法二：设从箱中取出一个红球、两个红球、三个红球的概率分别为123P P P 、、 ----（2分） 第一步操作结束后，箱子中没有红球的概率为2225110C C=，箱子中有1个红球的概率为11322535C C C =，箱子中有2个红球的概率为2325310C C =， -------（5分）则12311311390()010*******P C =⨯+⨯+⨯=， --------（8分） 22321311390()010*******P C =⨯+⨯+⨯=， --------（11分）3333131330()11052108P C =⨯++⨯=⨯． -------（14分）。
吉林省2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2022-2023学年下学期高二年级期中考试数学学科试卷考试时间：120分钟 试卷满分：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回. 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题60分）一、单项选择题（本大题包括8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1. 若可导函数满足，则（ ）()f x ()()011lim 3x f x f x ∆→+∆-=∆()1f '=A. B.C.D.1234【答案】C 【解析】【分析】根据导数定义可直接得到结果. 【详解】由导数的定义知：.()()()111lim 3x f x f f x∆→+∆-'==∆故选：C.2. 邮递员把两封信随机投入A ，B ，C 三个空邮箱中，则不同的投入方法共有（ ） A. 6种 B. 8种C. 9种D. 10种【答案】C 【解析】【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.【详解】第一步先投一封信有3种不同的投法，第二步投剩余的一封信也有3种不同的投法，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的投法.339⨯=3. 设随机变量的概率分布列为： X X 12 34P 13m14 16则（ ） ()21P X -≤=A.B.C.D.141656512【答案】C 【解析】【分析】根据对立事件的概率公式求解即可.【详解】依题意，，即事件的对立事件是的事件， 2113X X -≤⇔≤≤21X -≤4X =所以. ()15211(4)166P X P X -≤=-==-=故选：C4. 我国自主研发的世界首套设计时速达600公里的高速磁浮交通系统，标志着我国掌握了高速磁浮成套技术和工程化能力，这是当前可实现的“地表最快”交通工具，因此高速磁浮也被形象地称为“贴地飞行”．若某高速磁浮列车初始加速至时速600公里阶段为匀加速状态，若此过程中，位移x 与时间t 关系满足函数（为初速度，k 为加速度且）．位移的导函数是速度与时间的关系()2012x t v t kt =+0v 0k ≠．已知从静止状态匀加速至位移公里需，则时速从零加速到时速600公里需()0v x t v kt '==+10760s （ ） A. B.C.D.120s 180s 210s 240s 【答案】C 【解析】【分析】根据题中所给函数解析式先求得k 的值，再利用即可求()2012x t v t kt =+()0v x t v kt '==+得答案.【详解】由题意得匀加速过程中，位移x 与时间t 关系满足函数， ()2012x t v t kt =+则由从静止状态匀加速至位移公里需可得， 10760s 2212060,2610770k k =⨯=⨯则由可得（s ）， ()0v x t v kt '==+220,2107660600030t t =⨯=⨯5. 现做如下定义：对一个三位数来说，如果其中间一位数比首尾的数字小，则称它为“凹数”，如果其中间一位数比首尾的数字大，则称其为“凸数”．现从1至7共7个数中，选取3个不同的数排成三位数，记其中“凹数”有个，“凸数”有个，则（ ） m n m n +=A. 135 B. 140 C. 150 D. 160【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，按“凹数”、 “凸数”的中间数分类分别求出、即可计算作答. m n 【详解】依题意，符合条件的“凹数”的中间数不可能是6和7，中间数为5的“凹数”个数为，22A 中间数为4的“凹数”个数为，中间数为3的“凹数”个数为，中间数为2的“凹数”个数为，23A 24A 25A 中间数为1的“凹数”个数为，于是；26A 2222223456A A A A A 2612203070m =++++=++++=符合条件的“凸数”的中间数不可能是1和2，中间数为3的“凸数”个数为，22A 中间数为4的“凸数”个数为，中间数为5的“凸数”个数为，中间数为6的“凸数”个数为，23A 24A 25A 中间数为7的“凸数”个数为，于是，26A 2222223456A A A A A 2612203070n =++++=++++=所以. 7070140m n +=+=故选：B6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） ()()323ln 2f x x x a x a =--∈R ()0,∞+a A. B. C. D. 23<a 23a ≤49a <-49a £-【答案】D 【解析】【分析】依题意转化为，即在上恒成立，再构造函数，利用导数求出最()0f x '≥3233a x x ≤-()0,∞+小值即可得解.【详解】， 2()33a f x x x x'=--依题意可得在上恒成立，即在上恒成立， 2330ax x x--≥()0,∞+3233a x x ≤-()0,∞+设， 32()33g x x x =-(0)x >则，2()96g x x x '=-3(32)x x =-当时，，当时，， 203x <<()0g x '<23x >()0g x '>所以在上为减函数，在上为增函数，()g x 2(0,32(,)3+∞所以. 32min 222()()3(3()333g x g ==⨯-⨯49=-故. 49a £-故选：D7. 某学校有6个数学兴趣小组，每个小组都配备1位指导老师，现根据工作需要，学校准备将其中4位指导老师由原来的小组均相应的调整到其他兴趣小组，其余的2位指导老师仍在原来的兴趣小组（不作调整），如果调整后每个兴趣小组仍配备1位指导老师，则不同的调整方案为（ ） A. 135种 B. 360种C. 90种D. 270种【答案】A 【解析】【分析】依次分析不做调整的两个小组和作了调整的4个小组的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，6个数学兴趣小组有位指导老师仍在原来的兴趣小组，则不做调整的两个小组有种情况，2615C =其余的4个小组的指导老师由原来的小组均相应地调整到其他数学兴趣小组， 假设4个小组为1、2、3、4，对应的4位指导老师依次为、、、，A B C D 不能在第1小组，有3种情况，假设分到第2小组，则有3种情况，剩下的两人有1种情况，A AB 则其余的4个小组有种调整方案， 339⨯=故有种调整方案， 159135⨯=故选：A ． 8. 已知，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）． πsin 15a =29b =2ln 3ln 7c =-A. B. a c b <<b a c <<C. D.b<c<a a b c <<【答案】D 【解析】【分析】构造函数，求导得出函数的单调区间，即可比较；构造函数()sin x x x f -=,a b ，求导得出函数的单调区间，即可比较，即可得解．()()1ln 10g x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭,b c 【详解】由条件知，，构造函数，， 29b =72ln 3l 9l n 7n c ==-()sin x x x f -=()0,x ∈+∞则，所以函数在上单调递增， ()1cos 0f x x '=-≥()f x ()0,∞+于是，所以， ()()00f x f >=ππ3π102sin151545459a b =<=<==构造函数，则， ()()1ln 10g x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭()22111x g x x x x-'=-=当时，，当时，，01x <<()0g x '<1x >()0g x '>所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，()g x ()0,1()1,+∞()()10g x g ≥=所以，于是，得到，所以． 91ln 10977⎛⎫ ⎪--> ⎪ ⎪⎝⎭912ln 19797>-=b c <a b c <<故选：D【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.二、多项选择题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（）y kx m =+()y f x =()()F x f x kx =-A. 1个极大值点，2个极小值点B. 2个零点C. 0个零点D. 2个极小值点，无极大值点【答案】AC 【解析】【分析】由图像知，根据函数有一个极大值点，两个极小值点，判断的符号即()f x ()()''F x f x k =-可得出A 正确；，，则，则没有零点, ()f x kx m ≥+0,0k m <>()0f x kx m -≥>()()F x f x kx =-C 正确. 【详解】解：直线与曲线相切于两点，y kx m =+()y f x =有两个根，且，()kx m f x ∴+=()f x kx m ≥+由图象知，则0,0k m <>()0f x kx m -≥>即，则函数，没有零点，故C 正确. ()()0F x f x kx =->()()F x f x kx =-函数有三个极值点，其中一个极大值点，两个极小值点， ()f x 设的三个极值点分别为，不妨设， ()f x ,,a b c a b c <<则，()()''F x f x k =-①当时，由图像知，图像上任意一点的切线斜率都小于，(),x a ∈-∞()f x k 即，，所以在递减， ()'0f x k <<()()''0F x f x k =-<()()F x f x kx =-(),a -∞②当时，由图像知，图像上任意一点的切线斜率都大于0， (),x a b ∈()f x 即，，所以在递增， ()'0f x >()()''0F x f x k =->()()F x f x kx =-(),a b ③当时，由图像知，图像上任意一点的切线斜率都小于，(),x b c ∈()f x k 即，，所以在递减， ()'0f x k <<()()''0F x f x k =-<()()F x f x kx =-(),a -∞④当时，由图像知，图像上任意一点的切线斜率都大于0， (),x c ∈+∞()f x 即，，所以在递增， ()'0f x >()()''0F x f x k =->()()F x f x kx =-(),c +∞综合①②③④有，有1个极大值点，2个极小值点，故A 正确. ()()F x f x kx =-故选：AC.【点睛】考查函数零点以及极值点个数的判断，函数的零点个数转化为方程解的个数或与轴交点的个x 数，函数的极值点个数转化为其导函数变号零点的个数，中档题.10. 已知展开式中的倒数第三项的系数为45，则（ ）n+A.B. 二项式系数最大的项为中间项 9n =C. 系数最大的项为中间项D. 含的项是第6项3x 【答案】BC 【解析】【分析】根据倒数第三项的系数求出，可知A 不正确；根据二项式系数的性质以及展开式的通项公式n 对另外三个选项进行分析可得答案.【详解】展开式的通项为，n +1C n kkk k n T -+=⋅11312=C k n knx-所以倒数第三项的系数为，故，即，所以， 2C n n -2C 45n n-=2C 45n =(1)452n n -=所以，得或（舍）.故A 不正确；(10)(9)0n n -+=10n =9n =-因为，所以展开式共有项，所以二项式系数最大的项为中间项，故B 正确； 10n =11因为展开式中各项的系数与该项的二项式相等，所以系数最大的项为中间项，故C 正确；因为，所以展开式的通项为，10n =10110C kkk k T -+=⋅113012=C k knx-令，得，所以含的项是第项，故D 不正确. 1130312k -=6k =3x 1617k +=+=故选：BC11. 如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位M N 1A 2A 3A 4A 于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网，处的甲､乙两人分别要到，处，他们分别随机地M N N M 选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，处为止，则下列说法正确的有N M （ ）A. 甲从到达处的走法种数为20M N B. 甲从必须经过到达处的走法种数为9 M 3A N C. 甲乙两人能在处相遇的走法种数36 3A D. 甲，乙两人能相遇的走法种数为162 【答案】AB 【解析】【分析】由到的最短路径向上3步，向右3步，问题为6步中任选3步向上或向右走，根据各选项M N 的描述，同理分析各种走法的种数，即可确定答案.【详解】A ：从到达只需向上、向右各走3步，即共走6步，走法种数为种，正确； M N 36C 20=B ：从到的走法有，再到达的走法有，共有种，正确；M 3A 23C N 23C 23C 23C 9=C ：由上，甲经过的走法有9种，同理乙经过的走法有9种，此处相遇共有81种走法，错误； 3A 3A D ：要使甲乙以相同的速度相遇，则相遇点，，，中的一个，而在、相遇各有1种走1A 2A 3A 4A 1A 4A 法，在，相遇各有81种走法，故甲、乙相遇的走法有种，错误. 2A 3A 118181164+++=故选：AB12. 下图是一块改造的高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最12后掉入编号为1，2，…，6的球槽内.用表示小球经过第7层通过的空隙编号（从左向右的空隙编号依X 次为0，1，2，…，6），用表示小球最后落入球槽的号码，则下列结论正确的是（ ）YA.16,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()()()323P Y P X P X ===+=C.()()25P Y P Y ===D. 若放入80个小球，则落入1号球槽的小球个数的期望为5 Z 【答案】ACD 【解析】【分析】小球下落过程中，每次向左、向右落下的概率均为 ，并且相互独立，根据独立重复试验事件12发生的概率公式，对各个选项做出判断即可.【详解】对于选项A ，小球从通道口落下通过第七层空隙要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为 ，并且相互独立，做了6次独立重复试验，此时小球经过第七层通过的空隙编号12时，说明小球经过的6次碰撞中，向右，（6-）次向左，即 ，()0,1,2,3,4,5,6X X =X X 1(62X B ，A 正确；对于选项B ，小球从通道口落入3号球槽要经过7次碰撞，其中3次向右，4次向左，根据独立重复试验事件发生的概率公式；由选项A 可得，故347371113)C 35222P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1(6)2X B ， 故B 错误；243362366111112)3)C C 3522222P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+=⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（（对于选项C ，小球从通道口落入2号球槽要经过7次碰撞，其中2次向右，5次向左，根据独立重复试验事件发生的概率公式可得， 同理可得：25727111(2)C 21222P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选项C 正确；52757111(5)C 21222P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于选项D ，06157016611111111(1)(0)+(1)C C 8222222216P Y P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⋅=+⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 又因为80个小球，每个小球落入1号球槽的概率都相同，且互不影响，故 ,故落入1号球1(8016Z B ，槽的小球个数的数学期望为， Z 1()80516E Z np ==⨯=D 正确； 故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13. 函数在区间上的最小值为__________. sin2x x y e e x -=-+[]0,π【答案】 0【解析】【分析】先对函数求导判断其单调性，然后利用单调性求函数的最小值 【详解】解：由，sin2xxy e ex -=-+得，当且仅当时取等号，即'2cos 22cos 22(1cos 2)x x y e e x x x -=+≥+++=x x e e -=0x =取等号，因为，所以函数在区间上单调递增，1cos 20x +≥sin2x xy e e x -=-+[]0,π所以当时，函数取得最小值0， 0x =故答案为：014. 的值为__________. 015666660156C C C C 2222-+-+ 【答案】164【解析】【分析】利用二项式定理计算即可.【详解】原式 015666660156C C C C 2222-+-+ 0615243342160666666665C 2C 2C 2C 2C 2C 2C 22⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅+⋅==()66211264-=故答案为：16415. 已知，，，则__________，__________． ()13P A =()23P B A =()14P B A =()P B =()P A B =【答案】 ①.②. 1136311【解析】【分析】根据条件概率公式以及对立事件概率关系转化条件，求出结果.【详解】因为，所以，()()()()()()A A A 21A 3113P B P B P B P B A P P A ====--()49A P B =因为，所以， ()()()()()3,14P BA P B A P B A P B A P A ==-=()14P BA =因此，, ()()()41259436P B P BA P BA =+=+=()()1B 6113P P B =-=从而. ()()()()11343111136P B A P A P A B PB ⨯===故答案为：；. 113631116. 在生物学研究过程中，常用高倍显微镜观察生物体细胞.已知某研究小组利用高倍显微镜观察某叶片的组织细胞，获得显微镜下局部的叶片细胞图片，如图所示，为了方便研究，现在利用甲、乙、丙、丁四种不同的试剂对、、、、、这六个细胞进行染色，其中相邻的细胞不能用同种试剂染A B C D E F 色，且甲试剂不能对C 细胞染色，则共有__________种不同的染色方法（用数字作答）.【答案】90. 【解析】【分析】先考虑C 细胞的染色试剂没有限制的条件下相邻的细胞不能用同种试剂染色的方法种数，然后考虑用甲试剂对C 细胞染色且相邻的细胞不能用同种试剂染色的方法种数，将两种方法种数作差即可得解.【详解】不考虑甲试剂不能对C 细胞染色，若C 、E 细胞的染色试剂相同，共有种方法， 4322=48⨯⨯⨯若C 、E 细胞的染色试剂不同，共有种方法， ()43212=72⨯⨯⨯+共120种方法.现考虑甲试剂对C 细胞染色，若C 、E 细胞的染色试剂相同，共有种方法， 322=12⨯⨯若C 、E 细胞的染色试剂不同，共有， ()3221=18⨯⨯+共30种方法.所以，符合条件的染色方法有120-30=90种. 故答案为：90.【点睛】求解染色问题一般直接用两个计算原理求解，通常的作法是，按区域的不同以区域为主分布计数，用分布乘法原理进行求解.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17. （1）已知 ，求 的值（用数字作答）.2155C C 1m m m -=>（）1236678C C C C m m m m ++++++（2）解不等式：.3221213A 2A 6A x x x +++≤+【答案】（1）；（2） 126{}2,3,4【解析】【分析】（1）根据组合数的运算性质可求得，再根据组合数的运算性质计算即可； m （2）利用排列数的计算公式计算即可.【详解】（1）因为，2155C C 1m m m -=>（）所以或，解得或（舍去）， 215m m +-=21m m =-2m =12m =则；123123233667877885989C 126C C C C C C C C C C m m m m m m m m m m +++++++++++++++=====（2），即为，3221213A 2A 6A x x x +++≤+()()()()()31122161132212x x x x x x x x x x ⎧+-≤++++⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎩解得， 24x ≤≤又因，N x +∈所以不等式的解集为.{}2,3,418. 在以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；条件②：只有第5项的二项式系数最大；条件③：所有项的二项式系数的和为256.问题：在的展开式中，_________. (0)nax a ⎛> ⎝（1）求的值；n （2）若展开式中的常数项为112，求展开式中的系数. 4x 【答案】（1）8 （2）1792-【解析】【分析】（1）分别选择这三个条件，利用二项式系数的性质，求的值；n （2）根据的值和展开式中的常数项为112，利用二项式求得的值，再求展开式中的系数. n a 4x 【小问1详解】选①，， ；26C C n n = 8n ∴=选②，∵只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，； 8n ∴=选③，∵所有项的二项式系数的和为256，， . 2256n ∴=8n ∴=【小问2详解】二项式的展开式的通项公式为8(0)ax a ⎛-> ⎝，令得，48883188C ()C (1)rrr r r r rr T ax a x ---+⎛==- ⎝4803r -=6r =∴展开式中的常数项为， 得，又，628C 112a ⋅=24a =0,2a a >∴= 的展开式的通项公式为， 2nx ⎛∴ ⎝488318C 2(1)r r r r r T x --+=-令得， ， 4843r -=3r =3534448C 2(1)1792T x x ∴=⋅-=-∴展开式中的系数为.4x 1792-19. 某知名电脑品牌为了解客户对其旗下的三种型号电脑的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如表： 电脑型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 回访客户（人数） 250 400 350 满意度 0.50.40.6满意度是指，回访客户中，满意人数与总人数的比值.用满意度来估计每种型号电脑客户对该型号电脑满意的概率，且假设客户是否满意相互独立.（1）从型号Ⅰ和型号Ⅱ电脑的所有客户中各随机抽取1人，记其中满意的人数为X ，求X 的分布列和期望；（2）用“”，“”，“”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型号电脑让客户满意，“”，“”，“11ξ=21ξ=31ξ=10ξ=20ξ=”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型号电脑让客户不满意，比较三个方差、、的大小关30ξ=()1D ξ()2D ξ()3D ξ系.【答案】（1）分布列见解析，；（2）. 910()()()123D D D ξξξ>=【解析】【分析】（1）由题意得X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望.（2）由题意，，都服从两点分布，由此能求出. 1ξ2ξ3ξ()()()123D D D ξξξ>=【详解】解：（1）由题意得X 的可能取值为0，1，2， 设事件A 为“从型号Ⅰ电脑所有客户中随机抽取的人满意”，事件B 为“从型号Ⅱ电脑所有客户中随机抽取的人满意”，且A ，B 为独立事件， 根据题意，，，()12P A =()25P B =，()()()()1230112510P X P AB P A P B ⎛⎫⎛⎫====-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()1212111125252P X P AB AB P AB P AB ⎛⎫⎛⎫==+=+=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()1212255P X P AB P A P B ====⨯=∴X 的分布列为： X 012P 3101215. ()3119012102510E X =⨯+⨯+⨯=（2）由题意，，都服从两点分布， 1ξ2ξ3ξ则， ()11111224D ξ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，()222615525D ξ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，()333615525D ξ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭∴.()()()123D D D ξξξ>=【点评】本题考查离散型随机变量的要布列、数学期望的求法，考查三个离散型随机变量的方差的大小的比较，考查相互独立事件概率乘法公式、两点分布的性质等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题. 20. 已知函数. ()xa f x x e =+（1）讨论函数的极值；()f x （2）若函数在上的最小值是，求实数的值. ()f x []0,143a 【答案】（1）答案见解析（2） 13e 【解析】【分析】（1）求得，分和两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；()x xe af x e -'=0a ≤0a >（2）由（1）知，当时，不符合题意；当时，分、和三种情况讨0a ≤0a >ln 0≤a 0ln 1a <<ln 1a ≥论，结合函数的单调性和，即可求解. min 4()3f x =【小问1详解】解：由题意，函数的定义域为，可得， ()x a f x x e =+R ()1x xxe af x ae e--'=-=当时，可得，单调递增，此时函数的无极值； 0a ≤()0f x ¢>()f x ()f x 当时，令，可得， 0a >()0f x '=ln x a =当时，，单调递减； ln x a <()0f x '<()f x 当时，，单调递增，ln x a >()0f x ¢>()f x 所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值.ln x a =()ln ln ln ln 1aa f a a a e =+=+综上所述，当时，函数无极值；0a ≤()f x 当时，函数的极小值为，无极大值. 0a >()f x ln 1a +【小问2详解】由（1）知，当时，单调递增，可得，即（舍去）； 0a ≤()f x ()403f =43a =当时，函数在上单调递减，上单调递增， 0a >()f x (,ln )a -∞(ln ,)a +∞若时，即时，函数在上单调递增，ln 0≤a 01a <≤()f x []0,1所以，解得（舍去） ()403f =43a =若时，即时，函数在上单调递减， ln 1a ≥a e ≥()f x []0,1可得，解得（舍去）， ()4113a f e =+=3ea =若时，即时，在上单调递减，在上单调递增， 0ln 1a <<1a e <<()f x [0,ln )a (ln ,1]a 可得，即，解得， ()4ln ln 13f a a =+=1ln 3a =13a e =综上可得，实数的值为.a 13e 21. 第届亚运会将于年月日至月日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚222023923108运会．为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，A 选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已A 知社区甲、乙、丙位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为、、，通过初赛后再通过决A 3121213赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响． 13（1）求这人中至多有人通过初赛的概率； 32（2）求这人中至少有人参加市知识竞赛的概率；31（3）某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：A 方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影112响，中奖一次奖励元；600方案二：只参加了初赛的选手奖励元，参加了决赛的选手奖励元．200500若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好． 【答案】（1） 1112（2）3181（3）方案二更好，理由见解析 【解析】【分析】（1）计算出人全通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； 3（2）计算出人各自参加市知识竞赛的概率，再利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的3概率；（3）利用二项分布及期望的性质求出方案一奖金总额的期望，对方案二，列出奖金总额为随机变量的所有可能取值，并求出对应的概率，求出其期望，比较大小作答.【小问1详解】解：人全通过初赛的概率为，321112312⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭所以，这人中至多有人通过初赛的概率为. 3211111212-=【小问2详解】解：甲参加市知识竞赛的概率为，乙参加市知识竞赛的概率为， 111236⨯=111236⨯=丙参加市知识竞赛的概率为， 131139⨯=所以，这人中至少有人参加市知识竞赛的概率为.31211311116981⎛⎫⎛⎫--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问3详解】解：方案一：设三人中奖人数为，所获奖金总额为元，则，且， X Y 600Y X =13,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以元， ()()160060039002E Y E X ==⨯⨯=方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为元，则的所有可能取值为、、、，Z Z 60090012001500则，()211160011236P Z ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()212111115900C 1112233212P Z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅--+-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()21211111112001C 1232233P Z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+⋅-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()211115002312P Z ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭所以，. ()1511600900120015001000612312E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=所以，，()()E Y E Z <所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好． 22. 已知函数． ()121eln 2x f x x x m x -=-+-（1）求曲线在处的切线方程． ()y f x =1x =（2）若存在使得，证明： 12x x ≠()()12f x f x =（i ）；0m >（ii ）． ()122e ln ln m x x >+【答案】（1） ()112y m x m =-++（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析 【解析】【分析】（1）求导，分别求得和，再写出切线方程；()1e 1x m f x x x-=-+-'()11f m '=-()312f =（2）（i ）根据题意得到有零点，即有正数解，利用导数法求解．（ii ）由()f x '()1e1x m x x -=-+，得到，代入，转化为证()()12f x f x =12112211221211e e 22ln ln x x x x x x m x x ---+-+-=-()122e ln ln m x x >+，令，利用()()122211*********e 1e e ln e ln 2222x x x x x x x x ---+->-+-()()2121e e ln 22x g x x x x -=-+-导数法证明在上单调递增即可. ()y g x =()0,∞+【小问1详解】 解：因为， ()1e1x mf x x x-=-+-'所以， ()11f m '=-又， ()312f =所以曲线在处的切线方程为， ()y f x =1x =()()3112y m x -=--即. ()112y m x m =-++【小问2详解】证明：（i ）依题意可知有零点，即有正数解．()f x '()1e 1x m x x -=-+令，则．()1e1x x x ϕ-=-+()1e 1x x ϕ-'=-当时，，单调递减；当时，，单调递增． ()0,1x ∈()0x ϕ'<()x ϕ()1,x ∈+∞()0x ϕ'>()x ϕ所以，所以．()()110x ϕϕ≥=>0m >（ii ）不妨设．由，得， 120x x >>()()12f x f x =12112211221211e e 22ln ln x x x x x x m x x ---+-+-=-因为，所以， 12x x >12ln ln x x >要证，()122e ln ln m x x >+只要证． ()()122211221112221e 1e e ln e ln 2222x x x x x x x x ---+->-+-令，即只要证， ()()2121e eln 22x g x x x x -=-+-()()12g x g x >即只要证在上单调递增， ()y g x =()0,∞+即只要证在上恒成立， ()1ln e 1e0x xg x x x-=-+-≥'()0,∞+即只要证在上恒成立． 1eln e 1x xx x--+≥()0,∞+令，则． ()eln xh x x =()()2e 1ln x h x x -='当时，，单调递增；当时，，单调递减． ()0,e x ∈()0h x '>()h x ()e,x ∈+∞()0h x '<()h x 所以． ()()e 1h x h ≤=由（i ）知，在上恒成立，()1e 11x x x ϕ-=-+≥()0,∞+所以在上恒成立， 1eln e11x xx x--+≥≥()0,∞+故．()122e ln ln m x x >+【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是通过，得到()()12f x f x =，代入，消去m ，转化为证12112211221211e e 22ln ln x x x x x x m x x ---+-+-=-()122e ln ln m x x >+，再令，利()()122211*********e 1e e ln e ln 2222x x x x x x x x ---+->-+-()()2121e e ln 22x g x x x x -=-+-用导数法证明在上单调递增而得证.()y g x =()0,∞+。
高二数学下学期期中考试试卷含答案(共5套,word版)
高二下学期数学期中考试试卷时量：120分钟 总分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集R I =，集合}1|{},3,log |{A 3-==>==x y x B x x y y ，则（ ）A ．B A ⊆ B ．A B A =⋃C ．φ=⋂B AD ．φ≠⋂)(B C A I 2.已知i 是虚数单位，复数z 满足i z i 2)1(=-，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．i C ．－1 D ．－i3. 函数x x f 3log )(=的图象与函数()sin g x x π=的图象的交点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54. 若向量,a b 的夹角为32π，且1||,2||==b a ，则向量b a 2+与向量a 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C. 23π D ．56π5. 已知0a >，0b >，若不等式313ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．246.已知21)4tan(=-πα，且0<<-απ，则αα2sin 22sin +等于（ ）A ．B ．25-C ．25D ．5127.已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，AB ⊥BC ，AB=BC=AA 1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．π48B ．π32C ．π12D ．π8 8. 已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记)3(log 5.0f a =,),2(),5(log 2m f c f b ==则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<9.直线02=++y x 分别与轴轴，y x 交于B A ,两点，点P 在圆2)2(22=+-y x 上，则ABP ∆面积的取值范围是（ ）A ．]6,2[B ．]8,4[ C. ]23,2[ D ．]23,22[ 10. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为（ ） A ．4B ．5C ．7D ．911.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，设函数)(x f 的导数为)(x f '，若对任意的0>x 都有0)()(2>'+x f x x f 成立，则（ ）A ．)3(9)2(4f f <-B ． )3(9)2(4f f >-C ．)2(3)3(2->f fD ．)2(2)3(3-<-f f12.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ，：的左、右焦点分别为1F 、2F 。
天津市部分区2023-2024学年高二下学期期中练习数学试题(含答案)
天津市部分区2023~2024学年度第二学期期中练习高二数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题公共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．曲线1y x x=-在2x =处的切线斜率为（ ）A ． 3-B ．34C ．54D ． 52．用0~6这7个自然数，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）A ．60B ．90C ．180D ．2103．函数ln xy x=的单调递增区间为（ ）A ． (),e -∞B ． ()0,e C ． ()1,+∞D ． ()e,+∞4． ()()52x y x y +-的展开式中33x y 项的系数为（ ）A ． 30-B ． 10-C ． 10D ．305．已知函数()y f x =，其导函数()y f x '=的图象如图所示，则对于()y f x =的描述正确的是（）A ．在区间(),0-∞上单调递减B ．当0x =时取得最大值C ．在区间()3,+∞上单调递减D ．当1x =时取得最小值6．甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种7．已知函数()32113f x x x ax =+-+在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ． (],1-∞-B ． (),1-∞-C ． ()1,-+∞D ． [)1,-+∞8．函数()()sin 1cos f x x x x =-+在区间[]0,2π上的最大值为（ ）A ． 1-B ．1C ．1π+D ．2π+9．若对任意的()12,,x x m ∈+∞，不等式122112ln ln 2x x x x x x ->-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ． 31,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． 31,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ． ()3e ,+∞D ． )3e ,⎡+∞⎣第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．10．设函数()21ex f x -=，()f x '为其导函数，则()1f '=______．11．765765A 6A 6A --=______．12．在1，2，3，…，500中，被5除余3的数共有______个．13．在6⎛ ⎝的展开式中，2x 的系数是______．（用数字作答）14．如图，现要用4种不同的颜色对4个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有______种不同的着色方法．（用数字作答）15．已知函数()()()()22f x x a x a =--∈R ，当2x =时，()f x 有极大值，则a 的取值范围为______．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()312f x x x =-．（1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 的极值．17．（本小题满分12分）班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛．（1）每个小组有多少种选法?（2）如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法?（3）如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每个小组有多少种选法?18．（本小题满分12分）已知函数()()()256ln f x a x x a =-+∈R ，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6．（1）求a 的值；（2）求()f x 在区间[]1,3上的最小值．19．（本小题满分12分）已知函数()ln af x x x=+，a ∈R ．（1）若()f x 在点()()1,1f 处取得极值．①求a 的值；②证明：()1f x ≥；（2）求()f x 的单调区间．20．（本小题满分12分）已知函数()e xf x x x a =--，()22g x x x =-，a ∈R ．（1）求函数()y f x =-的导数；（2）若对任意的[]11,e x ∈，[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≥成立，求a 的取值范围；（3）设函数()()ln h x f x x =-，若()h x 在区间()0,e 上存在零点，求a 的最小值．天津市部分区2023~2024学年度第二学期期中练习高二数学参考答案一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．题号123456789答案CCBBCBACD二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．10．2e 11．012．10013．192-14．4815．2a >三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）解：（1）函数()f x 的定义域为R ，导函数()2312f x x '=-，令()0f x '=，解得2x =±，则()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x(),2-∞-2-()2,2-2()2,+∞()f x '＋0－0＋()f x 单调递增取极大值单调递减取极小值单调递增故函数()f x 的单调增区间为(),2-∞-和()2,+∞，单调减区间为()2,2-；（2）由小问1知，当2x =-时，函数()f x 取得极大值16；当2x =时，函数()f x 取得极小值16-．17．（本小题满分12分）解：（1）每个小组从12名同学中选4名同学，选法种数为412C 495=；（2）每个小组从12名同学中选4名同学，选法种数为412C ，再从选出的同学中选定1名作为替补选法种数为14C ，因此还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组的选法种数为41124C C 1980=．（3）每个小组从12名同学中选4名同学并分别被指定为第一、二、三、四辩手，选法种数为412A 11880=．18．（本小题满分12分）解：（1）因为()()256ln f x a x x =-+，所以()()625f x a x x'=-+，令1x =，则()116f a =，()168f a '=-．所以曲线()yf x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()16681y a a x -=--．由点()0,6在切线上，可得61686a a -=-，解得12a =．（2）由（1）得()()()2156ln 02f x x x x =-+>所以()()()2365x x f x x x x--'=-+=令()0f x '=，解得12x =，23x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x()1,22()2,3()f x '＋0－()f x 单调递增单调递减又由于()18f =，()326ln 38f =+>．所以，当1x =时，()f x 取得最小值8．19．（本小题满分12分）解：（1）①()221a x af x x x x-'=-+=，因为()f x 在点()()1,1f 处取得极值，所以()11101af a -'==-=；所以1a =．②中①得，()1ln f x x x =+，()21x f x x-'=令()0f x '=，解得1x =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x()0,11()1,+∞()f x '－0＋()f x 单调递减1单调递增所以，当1x =时，()f x 取得最小值．所以()()11f x f ≥=，即()1f x ≥．（2）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()221a x a f x x x x-'=-+=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 的单调递增区将为()0,+∞，无单调递减区间；当0a >时，令()0f x '=解得x a =，()0f x '>的解集为{}x x a >，()0f x '<的解集为{}0x x a <<，所以()f x 的单调递增区间为(),a +∞，单调递减区间为()0,a 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(),a +∞，单调递减区间为()0,a ．20．（本小题满分12分）解：（1） ()e x y f x x x a -=-=-+-，所以e e 1x x y x --'=-++（2）因为()()1e 1x f x x '=+-，[]11,e x ∈，所以()0f x '≥，故()f x 在[]1,e 上单调递增，所以()e 1e 1,ee f x a a +⎡⎤∈----⎣⎦，又()()22211g x x x x =-=--，所以()g x 在[]1,2上也是单调递增，所以()[]1,0g x ∈-，因为对任意的[]11,e x ∈，[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≥成立，等价于()()12min max f x g x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦，即e 10a --≥，所以e 1a ≤-．故实数a 的范围是(],e 1-∞-．（3）由()e ln 0x h x x x x a =---=，即e ln x x x x a --=，令()e ln x p x x x x =--，()0,e x ∈，而()()()()1e 111e e 11e xx x xx x x p x x x x x x+-+'=+--=+-=，令()e 1x q x x =-，()0,e x ∈，则()ee 0xx q x x '=+>，即函数()q x 在()0,e 上单调递增，因为()010q =-<，()1e 10q =->，即()()010q q ⋅<，所以存在唯一的()00,1x ∈，使得()00q x =，即00e 10xx -=，即01ex x =，00ln x x =-，所以当00x x <<时，()0q x <，()0p x '<，函数()p x 单调递减；当0e x x <<时，()0q x >，()0p x '>，函数()p x 单调递增，所以()()0000000min e ln 11x p x p x x x x x x ==--=-+=，又0x +→时，()p x →+∞，所以要使()h x 在()0,e 存在零点，则1a ≥，所以a 的最小值为1．。
高二下学期期中考试理科数学试卷含答案(共5套)
高二下学期理科数学期中考试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}(){}2|560,|ln 1A x x x B x y x =--≤==-，则AB 等于（ ）A ．[]1,6-B ．(]1,6C ．[)1,-+∞D ．[]2,3 2．复数201811z i i=++在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3． 已知命题p ：存在实数α，β，sin()sin sin αβαβ+=+；命题q ：2log 2log 2a a +≥（0a >且1a ≠）. 则下列命题为真命题的是( )A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()p q ⌝∨ 4．已知平面向量,a b 满足3a =， 23b =，且a b +与a 垂直，则a 与b 的夹角为（ ）A.6π B. 3πC. 23πD. 56π5．设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：240ax y +-=与直线2l ：()120x a y +++=平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ，则y x z -=2的最大值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1D ．27．执行如图所示的程序框图，如果输入的a 依次为2，2，5时，输出的s 为17，那么在判断框 中，应填入（ ） A ．?n k < B ．?n k > C ．?n k ≥ D ．?n k ≤8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．121B ．49C ．92D ．39．某城市关系要好的A ， B ， C ， D 四个家庭各有两个小孩共8人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）A. 48种B. 36种C. 24种D. 18种 10．已知点D C B A ,,,在同一个球的球面上，2==BC AB ，2=AC ，若四面体ABCD 的体积为332，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为（ ）A ． π16B ．π8 C. π4 D ．425π11．P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点， 12,F F 分别为C 的左、右焦点， 212PF F F ⊥，若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，则C 的离心率为（ ）A ．2或3B ．2或3C ．2D ．212．已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数，()'f x 为其导函数，当0x >且1x ≠ 时，()()2'01f x xf x x +>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，则()1f =（ ）A. 12-B. 0C. 12D. 1第II 卷(非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．2-=⎰**** .14．5(2)(1)x x +-展开式中含3x 项的系数为 **** ．（用数字表示） 15．若sin 2cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2α= **** ． 16．对任一实数序列),,,(321 a a a A =，定义新序列),,,(342312 a a a a a a A ---=∆，它的第n 项为n n a a -+1，假设序列)(A ∆∆的所有项都是1，且02212==a a ，则=2a **** ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足()cos 2cos b C a c B =-. （1）求角B 的大小；（2）若b =，求ABC ∆面积的最大值．18．(本小题满分12分）某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按实现拟定的价格进行试销，得到一组检测数据),(i i y x （6,,2,1 =i ）如下表所示：已知变量,x y 具有线性负相关关系，且3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程为：甲：544+=x y ；乙：1064+-=x y ；丙：1052.4+-=x y ，其中有且仅有一位同学的计算是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？并求出,a b 的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”.现从检测数据中随机抽取2个，求至少有一个检测数据为“理想数据”的概率．19．(本小题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =， 121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =， 1n n n b b a n +=+-. （1）证明：{}n a n -是等比数列； （2）数列{}n c 满足()()111n n n n a nc b b +-=++，求数列{}n c 的前n 项的和n T ．20．(本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN ． （1）证明： MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点， 3PA PC AB ==， PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求二面角P AM N --的余弦值．21．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点)22,1(P ，且离心率为22. （1）求椭圆C 的方程；（2）设21,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点，不经过1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点B A ,，如果直线1AF 、l 、1BF 的斜率依次成等差数列，求焦点2F 到直线l 的距离d 的取值范围．22．（本小题满分12分）设函数e R a a x a e x f x,),ln(2)(∈+--=为自然对数的底数.（1）若0>a ，且函数)(x f 在区间),0[+∞内单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若320<<a ，判断函数)(x f 的零点个数并证明．高二下学期理科数学期中考试参考答案及评分标准13、2π； 14、10 ； 15、8； 16、100. 11、【解析】由于12PF F ∆为直角三角形，故外心在斜边中线上.由于22b PF a =，所以212b PF a a =+，故外接圆半径为21122b PF a a=+.设内切圆半径为r ，根据三角形的面积公式，有2221122222b b b c c a r a a a ⎛⎫⋅⋅=+++⋅ ⎪⎝⎭，解得2b r ac =+，故两圆半径比为22:2.52b b a a a c ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，化简得()()()1230e e e +--=，解得2e =或3e =.12、【解析】曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，所以()'11f =- ，当0x >且1x ≠时，()()2'01f x xf x x +>-，可得1x >时， ()()2'0,f x xf x +>01x <<时， ()()2'0f x xf x +<，令()()()2,0,,g x x f x x =∈+∞ ()()()()()2'2'2'g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤∴=+=+⎣⎦，可得1x >时，()'0,g x >01x <<时，()'0g x <，可得函数()g x 在1x =处取得极值， ()()()'121'10,g f f ∴=+=， ()()111'122f f ∴=-⨯=，故选C.17、【解析】 (1)由()cos 2cos b C a c B =-，得()sin cos 2sin sin cos B C A C B ⋅=-⋅sin()2sin cos sin B C A B A ∴+=⋅=，又sin 0A ≠, 1cos 2B ∴=， 又0B π<<, 3B π∴=. （2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，∴2212a c ac =+-，∵222a c ac +≥，∴12ac ≤，当且仅当a c ==∴11sin 12222ABC S ac B ∆=≤⨯⨯=即ABC ∆面积的最大值为.……………………10分18、解：（1）∵变量y x ,具有线性负相关关系， ∴甲是错误的. 又∵3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，∴80,5.6==y x ，满足方程1064+-=x y ，故乙是正确的.由3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，得8=a ，90=b . ……………………6分（2）由计算得不是“理想数据”有3个，即(5,84),(7,80),(9,68)，从6个检测数据中随机抽取2个，共有2615C =种不同的情形，其中这两个检测数据都不是“理想数据”有233C =中情形，故至少有一个检测数据为“理想数据”的概率为：341155P =-=.……………………12分19、【解析】（1）121n n a a n +=-+()()112n n a n a n +∴-+=-，又因为112a -=，所以{}n a n -是首项为2，公比为2的等比数列. …………………4分 （2）由（1）得()11122n n n a n a --=-⋅=，又1n n n b b a n +=+-12n n n b b +∴-=()()()()121112*********n n n n n n n n b b b b b b b b n -----∴=-+-+-+=++++=≥12b =满足上式. 2nn b ∴=()()()()1112111121212121n n n n n n n n n a n c b b +++-===-++++++12231111111111212121212121321n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭………12分20、【解析】（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥，因为AC PO O =且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN平面PBD MN =，所以//BD MN ，所以MN PC ⊥． ………………4分 （2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点， 所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ， 所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以，所以13,22AO PA PO PA ==， 因为3PA AB =，所以36BO PA =． 如图，分别以OA ， OB ， OP 为,,x y z 轴，建立所示空间直角坐标系， 设6PA =，则()()()()0,0,0,3,0,0,0,3,0,3,0,0O A B C -，()0,3,0,D -()3330,0,33,,0,22P H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 所以()9330,23,0,,0,,22DB AH ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ()()3,3,0,3,0,33AB AP =-=-．记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111230933022n DB y n AH x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令11x =，则110,3y z ==，所以()11,0,3n =，记平面PAB 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222223303330n AB x y n AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令23x =，则223,1y z ==，所以()23,3,1n =，记二面角P AM N --的大小为θ，θ为锐角 则1212122339cos cos ,13213n n n n n n θ⋅====⋅⋅ 所以二面角P AM N --的余弦值为3913．……………………12分21、解析：（1）由题意，知22111,22a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩考虑到222a b c =+，解得222,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ……………………3分 （2）设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程2212x y +=， 整理得222(12)42(1)0k x kmx m +++-=.由222(4)8(12)(1)0km k m ∆=-+->，得2221k m >-. ①设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122412kmx x k+=-+，21222(1)12m x x k -=+. 因为(1,0)F -，所以1111AF y k x =+，1221AF y k x =+. 因为1212211y yk x x =+++，且11y kx m =+，22y kx m =+， 所以12()(2)0m k x x -++=.因为直线AB ：y kx m =+不过焦点(1,0)F -，所以0m k -≠， 所以1220x x ++=，从而242014km k -+=+，即12m k k=+. ② 由①②得2212()12k k k>+-，化简得||2k > ③ 焦点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离211|2|2k d ++===.令t =||2k >t ∈.于是23132()2t d t t t+==+.考虑到函数13()()2f t t t=+在上单调递减，则(1)f d f <<2d <<.所以d的取值范围为2). ……………………12分22、解：(1)∵函数()x f 在区间[)∞+，0内单调递增， ∴01)('≥+-=ax e x f x在区间[)∞+，0内恒成立. 即x ea x-≥-在区间[)∞+，0内恒成立. 记()x ex g x-=-，则01)('<--=-x e x g 恒成立，∴()x g 在区间[)∞+，0内单调递减, ∴()()10=≤g x g ，∴1≥a ，即实数a 的取值范围为[)∞+，1.…………………4分 (2)∵320<<a ，ax e x f x+-=1)('， 记)(')(x f x h =，则()01)('2>++=a x e x h x， 知)('x f 在区间()+∞-,a 内单调递增. 又∵011)0('<-=a f ，1'(1)01f e a=->+， ∴)('x f 在区间()+∞-,a 内存在唯一的零点0x ， 即01)('000=+-=ax ex f x ， 于是ax ex +=01，()a x x +-=00ln . 当0x x a <<-时，)(,0)('x f x f <单调递减； 当0x x >时，)(,0)('x f x f >单调递增.∴()())ln(200min 0a x a ex f x f x +--==a a ax a x x a a x 3231210000-≥-+++=+-+=，当且仅当10=+a x 时，取等号. 由320<<a ，得032>-a ， ∴()()00min >=x f x f ，即函数()x f 没有零点. …………12分高二（下）理科数学期中考试试卷一、单选题（共12题；共60分）1．()()121-1x +=⎰A. 212+π B. 214+πC. 12+πD. 21+π2．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，以A 为顶点且过点C 的抛物线的一部分在矩形内.若在矩形ABCD 内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（）A.12 B. 23 C. 35D. 34 3．设复数z 满足()11z i i +=-，则z =（） A. 2i -- B. 1i -- C. 2i -+ D. 1i -+4．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[42ππ，），则点P横坐标的取值范围为()A. 12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， B. []10-，C. []01， D. 12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， 5．已知函数，在区间（0，1）内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是A. （15，B. [15，C. （，6） D. （，66．若,则下列不等式恒成立的是 ( )A.B.C. D.7．函数f(x)＝x 3＋ax 2+bx ＋a 2在x=1处的极值为10，则数对（a,b ）为( )A. （-3,3）B. （-11,4）C. （4，-11）D.（-3,3）或（4，-11） 8.已知对于任意恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A. 0B. 1C.D.9.函数f（x）= 的大致图象是（）A. B.C. D.10.已知函数，其导函数的图象如图，则函数的极小值为（）A. cB. a+b+cC. 8a+4b+cD. 3a+2b11.设函数的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.12.若函数在内无极值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（共4题；共20分）13.若，则= ________14.球的直径为，当其内接正四棱柱的体积最大时的高为________.15.已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是________.16.若函数在上有最小值，则实数的取值范围为________.三、解答题（共6题；共70分）17.已知．(满分10分) （1）若时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求函数的单调区间．18.已知函数，．（满分10分）（1）若，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.19.已知三棱锥A BCD -如图所示，其中90BAD BDC ∠=∠=︒，ADB DBC ∠=∠，面ABD 垂直面CBD.（满分14分）（1）证明：AB DC ⊥；（2）若E 为线段BC 的中点，且1AD =，tan 6CAD ∠=，求二面角B AD E --的余弦值.20.已知椭圆C1的方程为+ =1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而以双曲线C2的左、右顶点分别是椭圆C1的左、右焦点．（满分12分）（1）求双曲线C2的方程；（2）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C2相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2 ，求直线l的方程．21.已知椭圆E：+ =1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．（满分12分）22.已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx（a为实数）．（满分12分）（1）当a=0时，求函数f（x）在区间[ ，e]上的最大值和最小值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），g（x）=f（x）﹣2ax＜0恒成立，求实数a的取值范围．19、（满分14分）20. （满分12分）21、（满分12分）答案解析部分1,B 2,B 3,A 4,D 5,B 6,C 7,C8.【答案】C【解析】【解答】依题意得令，则,当时，，当时，，所以函数先增后减，最小值为，所以.故答案为:C.9.【答案】C【解析】【解答】解：∵f（x）= ，当x=0时，f（0）=﹣3，故排除AB当x= 时，f（）=0，故排除D，故选：C10.【答案】C【解析】【解答】由导函数的图象可知，在处取得极小值，.f(2)=8a+4b+c故答案为：C。
高二级下学期期中考试数学试卷含答案
高二下学期期中考试数学试卷时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}|14A x x =+≤，{}|2,n B x x n N ==∈，则A B =（ ）A. {}0,1,2B. {}1,2C. {}1,2,4D. {}0,1,2,42. 6月8日岳阳县一中高二年级组织了语文和英语基础知识竞赛活动.为了研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计某班学生的两科成绩得到如图所示的散点图（x 轴、y 轴的单位长度相同），用回归直线方程y bx a =+近似地刻画其相关关系，根据图形（见下图），以下结论最有可能成立的是（ ）A. 线性相关关系较强，b 的值为1.25B. 线性相关关系较强，b 的值为0.83C. 线性相关关系较强，b 的值为-0.87D. 线性相关关系较弱，无研究价值3. 如图，A ，B 两点在双曲线3y x=上，分别经过A ，B 两点向坐标轴作垂线段，已知阴影部分的面积S 为1，则面积12S S +等于（ ）A. 6B. 5C. 4D. 34. 已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80%，现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为（ ） A.518B.34C.14D.455. 若变量x ，y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -等于（ ） A. 5B. 6C. 7D. 86. 设函数224,4()log ,4x x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，若函数()y f x =在区间(),1a a +上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. (],1-∞ B. []1,4C. [)4,+∞D. (][),14,-∞+∞7. 已知3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 17-B. -7C. 43-D. 34-8. 已知二次函数()2f x x bx c =++，若对任意的[]12,1,1x x ∈-，都有()()126f x f x -≤，则实数b 的取值范围是（ ） A. []5,5-B. []4,4-C. []3,3-D. []2,2-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 数据5，4，4，3，5，2的众数是4B. 一组数据的标准差是这组数据的方差的算术平方根C. 数据2，3，4，5 的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D. 频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率 10. 将函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 5112g π⎛⎫=⎪⎝⎭B. ()g x 在区间53,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C. 12x π=-是()g x 图象的一条对称轴D. ,08π⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 图象的一个对称中心 11. 如图，在透明塑料制成的长方体1111ABCD A B C D -容器内灌进一些水（未满），现将容器底面一边BC 固定在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法： 则其中正确命题的是（ ）A. 水的部分始终呈棱柱状B. 水面四边形EFGH 的面积为定值C. 棱11A D 始终与水面EFGH 平行D. 若1E AA ∈，1F BB ∈，则AE BF +是定值12. 已知a ，b 为正实数，直线0x y a ++=与圆()()2212x b y -+-=相切，则（ ） A. 直线0x y a ++=与直线0x y b +-=的距离是定值 B. 点(),a b -一定在该圆外C.22a b +22D. 21a b +的取值范围是()0,+∞三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在三个数2log 0.2，0.22，0.30.2中，则最大的数为______.14. n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，32a =，2106a a =，则6S =______.15. 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交射线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB mAM =，AC nAN =，则mn 的最大值为______.16. 如图，在ABC △中1cos 4BAC ∠=，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，152AD =，则ABC △的面积的最大值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某皮鞋厂有一号、二号、三号三个车间进行生产，在今年5月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三号三个车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列.（1）求第二车间生产的产品数；（2）已知一号厂生产了800双，若总共抽查了9双皮鞋，从中再抽取两双，求这两双没有在同一个车间的概率.18. 已知向量m 和n ，且()()1,cos 2m x θ=+，()()sin ,n x a θ=+，()f x m n =⋅，其中a R ∈，,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭. （1）当2a =，4πθ=时，求()f x 在区间[]0,π上的最大值与最小值；（2）若02f π⎛⎫=⎪⎝⎭，()1f π=，求a ，θ的值. 19. 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A CD F --为60︒，//DE CF ，CD DE ⊥，2AD =，3DE DC ==，6CF =.（1）求证：//BF 平面ADE ；（2）求直线AC 与平面CDEF 所成角的正弦值. 20. 已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且()*1(1),2,3,4,n n n n a a n N n n a +-=∈=-.（1）求3a ，4a 的值； （2）设()*111n n b n N a +=-∈，求数列{}n b 的通项公式； （3）设()*1sin 3cos cos n n n c n N b b +=∈⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S . 21. 如图，已知圆O ：224x y +=与y 轴交于A ，B 两点（A 在B 的上方），直线l ：4y =-，点C 为直线l 上一动点（不在y 轴上），直线CA ，CB 的斜率分别为1k ，2k ，直线CA ，CB 与圆的另一交点分别为P ，Q .（1）是否存在实数m ，使得12k mk =成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由； （2）证明：直线PQ 经过定点，并求出定点坐标. 22. 已知函数()()22114f x x ax a =-+--，a R ∈，函数()ln g x x =. （1）当5a =时，记不等式()0f x >的解集为M ，求函数3()x y g g ex e ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，x M ∈的值域（e 是自然对数的底数）；（2）当1a <时，讨论函数()()()()()2f xg x f x g xh x ++-=的零点个数.高二下期期中考试数学试卷一、单项选择题 1-5：BBCBB 6-8：DBC1. 答案：B解析：{}{}|44|53A x x x x =+≤=-≤≤，{}{}|2,1,2,4,8n B x x n N ==∈=⋅⋅⋅，{}1,2A B =.2. 答案：B解析：散点大致在一条直线附近，且从左下角到右上角排列 所以线性相关关系较强，观察b 的值小于1，故选B. 3. 答案：C解析：面积12S S +等于3324+-=. 4. 答案：B解析：代表4次射击的结果的一组数中0与1至多出现1个，共15个， 所以估计该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为153204=. 5. 答案：B解析：作出可行域2z x y =+在点()1,1--，()2,1-时分别到到最小值和最大值， 所以()22136m n -=⨯---=. 6. 答案：D解析：如图，画出()224,4log ,4x x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩的图象，若使函数()y f x =在区间(),1a a +上单调递增， 则12a +≤或4a ≥，解得实数a 的取值范围是(][),14,-∞+∞.7. 答案：B解析：3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得4cos 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3tan 64πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， tan tan64tan tan 712641tan tan64ππαπππααππα⎛⎫+- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=+-==- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭++ ⎪⎝⎭.8. 答案：C解析：二次函数()2f x x bx c =++的对称轴为直线2bx =-， 当2b >时12b-<-，函数()f x 在[]1,1-递增， ()()min 11f x f b c =-=-+，()()max 11f x f b c ==++，故()()112f f b --=-，所以()()1126f f b --=≤，23b <≤. 当2b <-时12b->，函数()f x 在[]1,1-递减， 则()()1126f f b --=≤，32b -≤<-， 当22b -≤≤时112b -≤-≤，()f x 在1,2b ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦递减，在,12b ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递增，所以()162b f f ⎛⎫---≤ ⎪⎝⎭且()162b f f ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭解得33b -≤≤又22b -≤≤， 所以22b -≤≤. 综上33b -≤≤. 二、多项选择题9. BCD 10. ABC 11. ACD 12. ACD 9. 答案：BCD解析：A 众数4和5，A 错，其余都对. 10. 答案：ABC解析：()sin(2)3g x x π=-，55()sin()11263g πππ=-=，由3222232k x k πππππ+≤-≤+得5111212k x k ππππ+≤≤+， ()g x 在511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()g x 在区间53,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 由232x k πππ-=+得5212k x ππ=+，则()g x 图象的对称轴为直线5212k x ππ=+， 所以12x π=-是()g x 图象的一条对称轴，由23x k ππ-=得26k x ππ=+，()g x 图象的对称中心为,026k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭， ,08π⎛⎫⎪⎝⎭不是()g x 图象的一个对称中心，D 错. 11. 答案：ACD【解析】选ACD.结合题设中提供的图形信息可知:当容器底面一边BC 固定时，11////BC FG A D ，故由线面平行的判定定理可知结论“棱11A D 始终与水面EFGH 平行”成立；同时由于四边形ABFE ≅四边形DCGH ，且互相平行，则由棱柱的定义可知结论“水的部分始终呈棱柱状”正确；如图，由于水平放置时，水的高度是定值，所以当一部分上升的同时，另一面下降相同的高度，因为BF h FD =-，1AE h D E =+且1FD D E =，所以12BF AE h FD h D E h +=-++=（定值），即结论“若1E AA ∈，1F BB ∈，则AE BF +是定值”是正确的；因为水面四边形EFGH 的边长在变化，因此其面积是变化的，故结论“水面四边形EFGH 的面积为定值”的说法不正确.即命题ACD 是正确的.12. 答案：ACD【解析】因为0x y a ++=与圆()()2212x b y -+-=相切，所以122b ad ++==所以12a b ++=，即1a b +=（a ，b 为正实数）， 直线0x y a ++=与直线0x y b +-=()22a b --=A 对； ()()()222211201a b b a a --+-=+<<<点(),a b -一定在该圆内，B 错；22a b +1a b +=上的点(),a b 2，C 对；22(1)4(1)40111a b b b b b -==++-≥+++，所以21a b +的取值范围是()0,+∞.D 对. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 0.22 14. 63215. 1 16. 13. 答案：0.22解析：2log 0.20<，0.221>，0.300.21<<，所以最大的数为0.22. 14. 答案：632解析：因为{}n a 为等比数列，又32a =，2106a a =，所以()27333a q a q⨯=⨯，所以32a q ==，212a q ⨯=，所以112a =，()61616312a q S q -==-.15. 答案：1解析：112222m nAO AB AC AM AN =+=+，又M ，N ，O 三点共线，所以122m n +=，而2m n+≥所以1mn ≤当且仅当m n =时取等号.16.解析：3BD DC =，1344AD AB AC =+，又2AD = 所以2222193cos 161681344AD AB AC c b bc BAC ⎛⎫=+=++∠ ⎪⎝⎭22193161632c b bc =++，221519315416163232c b bc bc =++≥，所以8bc ≤，又sin BAC ∠=ABC △的面积11sin 822bc BAC ∠≤⨯=. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 解析：（1）a ，b ，c 构成等差数列所以2a c b +=，第二车间产品数为1360012003⨯=双. （2）一号车间生产了800双，由（1）知二号车间生产了1200双， 所以三号车间生产了1600双.依分层抽样总共抽查了9双皮鞋，知从一号、二号、三号车间分别抽取了2双，3双，4双皮鞋. 这两双没有在同一个车间的概率为1361313618++-=. 18. 解析：()()1,cos 2m x θ=+，()()sin ,n x a θ=+， ()()()sin cos 2f x m n x a x θθ=⋅=+++，（1）当a =4πθ=时()sin 42f x m n x x ππ⎛⎫⎛⎫=⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()cos )sin 4f x x x x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭， 因为[]0,x π∈，所以3,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 故函数()f x 在[]0,π时的最大值为2，最小值为-1. （2）由02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1f π=，得sin cos 2022sin()cos(2)0a a ππθθπθπθ⎧⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪+++=⎩， 得cos sin 20sin cos 20a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩，即2cos (12sin )02sin sin 1a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩， 而,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭知cos 0θ≠， 所以()12sin 02sin 1sin 1a a a θθθ-=⎧⎪⎨--=⎪⎩， 解得16a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩. 19. 证明：（1）∵ABCD 是矩形，∴//BC AD ，又∵BC ⊄平面ADE ，∴//BC 平面ADE ，∵//DE CF ，CF ⊄平面ADE ，∴//CF 平面ADE ，又∵BC CF C =，∴平面//BCF 平面ADF ，∵BF ⊂平面BCF ，∴//BF 平面ADE .解析：（2）∵CD AD ⊥，CD DE ⊥，∴ADE ∠即为二面角A CD F --的平面角， ∴60ADE ∠=︒，又∵AD DE D =，∴CD ⊥平面ADE ，又∵CD ⊂平面CDEF ，∴平面CDEF ⊥平面ADE ，作AO DE ⊥于O ，则AO ⊥平面CDEF .连结CO ，所以直线AC 与平面CDEF 所成角为ACO ∠，AC =AO =所以sin 13AO ACO AC ∠==. 直线AC 与平面CDEF20. 解析：（1）因为数列{}n a 中，11a =，214a =，()*1(1),2,3,4,n n n n a a n N n n a +-=∈=-. 所以2321(21)1412724a a a -===--，34312(31)17131037a a a ⨯-===--， 故317a =，4110a =. （2）当2n ≥时，1(1)1111(1)(1)(1)1n n n n n nn a n a n a n a n a n a +---=-==----， 所以当2n ≥时，11n n n b b n -=-，故*11()n n n b b n N n++=∈. 由累乘得1n b nb =，又13b =，所以3n b n =.（3）因为*1sin 3()cos cos n n n c n N b b +=∈⋅， 所以sin 3sin[(33)(3)]cos(33)cos(3)cos(33)cos(3)n n n c n n n n +-==+⋅+⋅*tan(33)tan 3 ()n n n N =+-∈. 所以123n n S c c c c =++++(tan 6tan3)(tan9tan 6)(tan12tan9)(tan(33)tan3)n n =-+-+-+++- ()tan 33tan3n =+-.21. 解析：（1）设0(,4)C x -，则1002(4)6k x x --==--，2002(4)2k x x ---==--， 由12k mk =可得3m =，所以存在m 的值为3；（2）证明：直线CB 方程为22y k x =-，与圆方程联立得：22224y k x x y =-⎧⎨+=⎩， 所以，222(1)40k x x k x +-=，解得0x =或22241k x k =+， 所以2222222422,11k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 同理可得2112211422,11k k Q k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，即222222212218,9191k k Q k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 所以2222222222222222221822911311244911PQk k k k k k k k k k k ---++-==--++. 所以直线PQ 的方程为222222222222314141k k k y x k k k ⎛⎫---=- ⎪++⎝⎭， 即2223114k y x k -=-，所以，直线PQ 经过定点()0,1-. 22. 解析：（1）5a =时()0f x >即()2540f x x x =-+->的解集为()1,4M =， 函数23()ln 2ln 3x y g g ex x x e ⎛⎫=⋅=-- ⎪⎝⎭， 当()1,4x ∈时，令()[)2ln 0,2ln 2234,3t x y t t y =∈⇒=--⇒∈--.（2）()()()()()()(),,f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩. ①因为()101g =⇒为()g x 的一个零点，因为211(1)1(1)04a f a a <⇒=---<， ∴()()110h g ==，即1为()h x 的零点.②当1x >时，()0g x >，()()0h x g x ≥>，∴()h x 在()1,+∞上无零点.③当01x <<时，()0g x <，()g x 在()0,1上无零点，∴()h x 在()0,1上的零点个数是()f x 在()0,1上的零点个数，∵()()210104f a =--<，()()2111104f a a =---<，21a ∆=-， （i ）当12102a a -<⇒<时，函数()f x 无零点，即()h x 在()0,1上无零点 （ii ）当12102a a -=⇒=时，函数()f x 的零点为14，即()h x 在()0,1上有零点14. （iii ）当121012a a ->⇒<<时，21024a a f -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，函数()f x 在()0,1上有两个零点，即函数()h x 在()0,1上有两个零点。
高二数学高中二年级下册期中考试数学试题
班级 姓名 考号密 封 线 内 不 得 答 题高中二年级下册期中考试数学试题(时间100分钟 满分100分)卷I 选择题一、选择题：(本大题共10小题；每小题4分；共40分；在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的.)1．点A 在直线l 上；l 在平面α外；用符号表示正确的是 （ ） （A ）A ∈l ；l ∉α（B ）A ∈l ；l ⊄α （C ）A ⊂l ；l ⊄α （D ）A ⊂l ；l ∈α 2．以下四个结论：① 若a ⊂α； b ⊂β；则a ； b 为异面直线； ② 若a ⊂α； b ⊄α；则a ； b 为异面直线； ③ 没有公共点的两条直线是平行直线；④ 两条不平行的直线就一定相交。
其中正确答案的个数是 （ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 3．已知P 为△ABC 所在平面α外一点；P A=PB=PC ；则P 点在平面α内的射影一定是△ABC 的 ( )A 、内心B 、外心C 、垂心D 、重心 4．下面叙述正确的是（ ） A ．过平面外一点只能作一条直线与这个平面平行B ．过直线外一点只能作一个平面与这条直线平行C ．过平面外一点只能作一个平面与这个平面垂直D ．过直线外一点只能作一个平面与这条直线垂直5．(如右图)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中；AC 与B 1D 所成的 角为（ ） A 、6πB 、4πC 、3πD 、2π6．直线a 与平面α所成的角为30o ；直线b 在平面α内；若直线a 与b 所成的角为ϕ； 则 ( ) A 、0º<ϕ≤30º B 、0º<ϕ≤90º C 、30º≤ϕ≤90º D 、30º≤ϕ≤180º7．已知三个平面OAB 、OBC 、OAC 相交于点O ；︒=∠=∠=∠60AOC BOC AOB ；则交线OA 与平面OBC 所成的角的余弦值是（ ） A ．33 B ．36 C ．32 D ．22 8．有共同底边的等边三角形ABC 和BCD 所在平面互相垂直；则异面直线AB 和CD 所成角的余弦值为 （ ）A ．13B ．14 CD9．正方体1AC 中截面1ABC 和截面11A B C 所成的二面角的大小为（ ） A ．045 B ．060 C． D．10．已知平面//α平面β；MN 和GH 是夹在α、β间的两条线段；MN GH ⊥；10MN =直线MN 与α成60︒角；则线段GH 的最小值是 （ ） A． B．C． D．A 1 C BAB 1C 1D 1 DAB CDM PA BC D P FE卷II 主观题二．填空题（本大题4小题；每小题4分；共16分）11．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中；AB ＝BC ＝3；AA 1＝4；则异面直线AB 1与 A 1D 所成的角的余弦值为12.如图；ABCD 是边长为2的正方形；MA 和PB 都与平面ABCD 垂直； 且MA PB 2=2=；设平面PMD 与平面ABCD 所成二面角为α； 则=αsin13．正四面体V —ABC 的棱长为2a ；E ；F ；G ；H 分别是VA ；VB ；BC ；AC 的中点；则四边形EFGH 面积是________________ 。
2022-2023学年安徽省合肥市高二年级下册学期期中检测 数学【含答案】
2022-2023学年第二学期高二年级期中检测数学试卷注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.请考生将答案写在答题卷上，写在试卷上无效.3.请考生在答题卷规定的位置写班级，姓名和考号，交卷时只交答题卷，试卷无须上交.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）1.曲线ln y x x =在点(,)e e 处的切线方程为A.2y x e =- B.2y x e =-- C.2y x e =+ D.=1y x --【答案】A 【解析】【分析】由题意利用导函数研究函数的切线方程即可.【详解】由题意可得：'ln 1y x =+，则曲线的斜率为'|ln 12x e k y e ===+=，切线方程为：()e 2e y x -=-，即2y x e =-.本题选择A 选项.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.2.数列{}n a 的通项公式为()()132nn a n =--，则{}n a 的第5项是A.13B.13- C.15- D.15【答案】B 【解析】【详解】分析:把n=5代入()()132n n a n =--，即得{}n a 的第5项.详解：当n=5时，()()551352a =-⨯-=-13.故选B.点睛：求数列{}n a 的某一项，只要把n 的值代入数列的通项即得该项.3.函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是A.0a > B.0a ≥ C.a<0 D.0a ≤【答案】C 【解析】【详解】因为2()31f x ax '=+，所以221()31030f x ax a x =+=⇒=-<'，即a<0，应选答案C ．4.若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-处取得极值，则=a （）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D 【解析】【分析】求出函数的导数，由题设可得()30f '-=，从而可求a ，注意检验.【详解】因为32()39f x x ax x =++-，所以2()323f x x ax '=++，又函数32()39f x x ax x =++-在3x =-处取得极值，所以()327630f a -=-+='，即5a =．此时()()()23103313f x x x x x =++=++'，当3x <-或13x >-时，()0f x '>，当133x -<<-时，()0f x '<，故3x =-是()f x 的极大值点，故5a =符合题意．故选：D ．5.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（）A.53B.103C.56 D.116【答案】A 【解析】【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d 关系式，即可求出结论.【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，依题意可得，15535()51002a a S a +===，33451220,7()a a a a a a ∴=++=+，6037(403)d d ∴+=-，解得556d =，1355522033a a d ∴=-=-=.故选:A.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.6.若数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，则2018a 的值为A.2 B.-3C.12-D.13【答案】B 【解析】【详解】12a =由题，111nn na a a ++=-，所以3124234512341111113,,,2112131a a a a a a a a a a a a ++++==-==-====----故数列{}n a 是以4为周期的周期数列，故2018504422 3.a a a ⨯+===-故选B.7.已知数列{}n a 的前n 项和1233n n S a =+，则{}n a 的通项公式n a =（）A.12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B.112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭C.112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.112n n a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】令1n =，解得13a =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，得数列的递推公式，根据等比数列的定义，通项公式，即可得到所求．【详解】令1n =，则112313a a =+，解得11a =，当2n ≥时，111233n n S a --=+，则111133n n n n n a S S a a --=-=-，即112n n a a -=-，2n ≥，所以数列{}n a 是以1为首项，12-为公比的等比数列，所以1111122n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C ．8.中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得()A.78石B.76石C.75石D.74石【答案】A 【解析】【分析】由只知道甲比丙多分三十六石，求出公差31a a 36d 18312--===--，再由等差数列的前n 项和的()3132S 3a 181802⨯=+⨯-=，能求出甲应该分得78石，得到答案．【详解】由题意，今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，所以31a a 36d 18312--===--，所以()3132S 3a 181802⨯=+⨯-=，解得1a 78(=石)．∴甲应该分得78石．故选A ．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n 项和基本量的运算，其中解答中熟记等差数列的性质和前n 项和，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分）9.如图是导数()y f x '=的图象，下列说法正确的是（）A.()1,3-为函数()y f x =的单调递增区间B.()3,5为函数()y f x =的单调递减区间C.函数()y f x =在0x =处取得极大值D.函数()y f x =在3x =处取得极小值【答案】AB 【解析】【分析】根据原函数与导函数图象的关系及极值的定义一一判定即可.【详解】对于A 、B 选项，由导函数的图象可知()1,3-上导函数为正，()3,5上导函数为负，故A 、B 正确；对于C 、D 选项，由导函数的图象可知0x =处导函数不为零，在3x =处导函数为零，其左侧导函数为正号，右侧导函数为负号，故3x =处应取得极大值，故C 、D 选项错误.故选：AB10.（多选）等差数列{}n a 是递增数列，且753a a =，前n 项和为n S ，则（）A.0d > B.10a >C.当5n =时，n S 最小 D.当0n S >时，n 的最小值为8【答案】AD 【解析】【分析】先求得13a d =-，结合数列{}n a 的单调性判断AB 选项的正确性，结合二次函数的性质、一元二次不等式判断CD 选项的正确性.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由753a a =，可得()11634a d a d +=+，即13a d =-．又由等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故A 正确，B 错误；因为()11217222n n a a n d d d S n n ++-⎡⎤⎣⎦==-，由772222dn d -=-=⨯，可知当3n =或4n =时n S 最小，故C 错误；令27022n d dS n n =->，解得0n <（舍去）或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确．故选：AD ．11.若函数()1x f x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为()A.2B.1C.0D.1-【答案】BCD 【解析】【分析】数形结合考查两个函数的图象只有一个交点，因为两函数图象都过原点，则求函数()1x f x e =-过原点的切线．【详解】解：函数()1x f x e =-的导数为()x f x e '=；所以过原点的切线的斜率为1k =；则过原点的切线的方程为：y x =；所以当1a 时，函数()1x f x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公共点；故选：BCD【点睛】本题考查数形结合思想，考查函数零点，函数的切线的求法；属于基础题．12.已知函数()3e xf x x =⋅，则以下结论正确的是（）A.()f x 在R 上单调递增B.()()125log 2e lnπf f f -⎛⎫<< ⎪⎝⎭C.方程()1f x =-有实数解D.存在实数k ，使得方程()f x kx =有4个实数解【答案】BCD 【解析】【分析】对于A 项，利用导函数计算即可判定，对于B 项，通过求导判定函数单调区间，再比较自变量即可；对于C 项，求导判定函数的极值再数形结合即可判定，对于D 项，分类讨论，分离参数求导函数及数形结合即可判定.【详解】由()()()32e e 3x xf x x f x x x '=⋅⇒=⋅⋅+，显然当3x <-时，()0f x '<，即()y f x =在(),3-∞-上单调递减，当3x >-时，()0f x ¢>，即()y f x =在()3,-+∞上单调递增，故A 错误；对于B 项，易知1-025511ln π>lne=1=e >e log 5log 232e =>=>>-，由()y f x =在()3,-+∞上单调递增可知B 正确；对于C 项，由上知()y f x =在3x =-处取得极小值，而()3327e1f --=-<-，故C 正确，如图所示；对于D 项，()f x kx =，即()3e R xx kx x ⋅=∈，当0x =，显然成立，即0x =是其一根，当0x ≠时，原方程等价于2e x k x =⋅，令()()()2e e 2xxg x x g x x x '=⋅⇒=⋅⋅+，令()0g x '<，解得20x -<<，即()y g x =在()2,0-上单调递减，令()0g x '>，解得<2x -或0x >时，即()y g x =在()0,∞+和(),2-∞-上单调递增，故()y g x =在2x =-处取得极大值，在0x =处取得极小值，()()242,00eg g -==，又x →-∞时，()0y g x +=→，可得()y g x =的大致图象，如图所示，当240,e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2e x k x =⋅有三个不同的根，且均不为零，综上所述D 正确；故选：BCD三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13.已知526,526a c =+=-，若,,a b c 三个数成等差数列，则b =__________.【答案】5【解析】【分析】由等差中项即可求解.【详解】由等差中项可得2b a c =+，所以52652652b -++==，故答案为：514.函数()2ln f x a x bx =+在点()()11f ，处的切线方程为43y x =-，则=a _____，b =____.【答案】①.2a =②.1b =【解析】【分析】由题得()2af x bx x+'=，由导数的几何意义可得()()1114f f '==，，解方程组即得解.【详解】由题得()2af x bx x+'=，由导数的几何意义可得()()1114f f '==，，即1b =，2141ab +⨯=，所以2,1a b ==.故答案为：(1).2a =(2).1b =【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.15.已知数列{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若215a ≤≤，327a ≤≤，则6S 的取值范围是_______.【答案】[3,60]【解析】【分析】根据等差数列的通项公式列不等式组，将6S 表示为23,a a 的线性和的形式，由此求得6S 的取值范围.【详解】依题意1115227a d a d ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，设()()61116152S a d x a d y a d =+=+++，由6152x yx y =+⎧⎨=+⎩解得3,9x y =-=()()111533189263a d a d ⎧-≤-+≤-⎪⎨≤+≤⎪⎩，两式相加得6360S ≤≤，即6S 的取值范围是[]3,60.【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n 项和公式，考查取值范围的求法，属于中档题.16.若函数f （x ）＝x 3﹣3x 在区间（a ，6﹣a 2）上有最小值，则实数a 的取值范围是______【答案】[)2,1-【解析】【分析】根据题意求出函数的导数，因为函数f （x ）在区间（a ，6﹣a 2）上有最小值，所以f ′（x ）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a ＜1＜5﹣a 2，进而求出正确的答案．【详解】由题意可得：函数f （x ）＝x 3﹣3x ，所以f ′（x ）＝3x 2﹣3．令f ′（x ）＝3x 2﹣3＝0可得，x ＝±1；()f x ∴在1∞--（，）上递增，在（-1，1）上递减，在（1，+∞）上递增，因为函数f （x ）在区间（a ，6﹣a 2）上有最小值，则其最小值必为f （1），∴1∈（a ，6﹣a 2）即a ＜1＜6﹣a 2，又结合函数的性质可得：f （a ）＝a 3﹣3a ≥f （1）＝﹣2，且6﹣a 2﹣a ＞0，联立解得：﹣2≤a ＜1．故答案为[﹣2，1）．【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间与函数的最值的问题，属于中档题．四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知函数()323f x ax bx x =+-在1x =±处取得极值．（1）讨论()1f 和()1f -是函数()f x 的极大值还是极小值；（2）过点()0,16A 作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．【答案】（1）()12f -=是极大值，()12f =-是极小值；（2）；【解析】【详解】试题分析：（1）先求出函数的导数，由函数()323f x ax bx x =+-在1x =±处取得极值，则()()110f f '-'==得到关于,a b 的方程组，求出,a b ，可以得到函数的解析式，再去判断函数的单调性，从而得出函数的极大值与极小值；（2）点()0,16A 不在曲线上，先设切点坐标()00,M x y ，然后写出切线的方程，再根据点()0,16A 在切线上，得到关于0x 的方程，求出0x ，从而得出切点坐标和切线方程；试题解析：（1）()2323f x ax bx '=+-，依题意得，()()110f f '-'==，即323=0{3230a b a b +---=解得1,0a b ==．()33f x x x ∴=-，()()()233=311f x x x x =-'-+．令()0f x '=，得．若()(),11,x ∈-∞-⋃+∞，则()0f x '>，故()f x 在(),1-∞-上是增函数，()f x 在()1,+∞上是增函数．若()1,1x ∈-，则()0f x '<，故()f x 在()1,1-上是减函数．()12f ∴-=是极大值；()12f =-是极小值．（2）曲线方程为33y x x =-．点()0,16A 不在曲线上．设切点为()00,M x y ，则点M 的坐标满足30003y x x =-．()20033f x x ='-，故切线的方程为()()200031y y x x x -=--．注意到点()0,16A 在切线上，有()()()320000163310x x x x --=--化简得30=8x -，解得0=2x -，因此切点为()2,2M --，切线方程为．考点：导数的应用；18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式（2）若数列{}n n b a -是等差数列，且12b =，314b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）13n n a -=；（2）2312n n -+【解析】【分析】（1）当1n =时，求得11a =，当2n ≥时，递推作差得13n n a a -=，即13nn a a -=，得到数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）求得21n c n =-，得到1213n n n n b c a n -=+=-+，利用分组求和，即可求解．【详解】（1）当1n =时，1112231S a a ==-，所以11a =，当2n ≥时，因为231n n S a =-，所以11231n n S a --=-，两式作差得13n n a a -=，即13nn a a -=，因为11a =，所以数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，故13n n a -=；（2）令n n n c b a =-，则1111c b a =-=，3331495c b a =-=-=，所以数列{}n c 的公差3151222c cd --===，故21n c n =-，所以1213n n n n b c a n -=+=-+，所以()212113312132n n n n n T n +---=+=+-.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，以及数列的“分组求和”的应用，其中解答中根据数列的通项和前n 项和之间的关系，求得数列的通项公式，再利用等差、等比数列的前n 项和公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．19.一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降，温度T （单位：℃）与时间t （单位：min ）之间的关系由函数()T f t =给出．（1）判断()f t '的正负，并说明理由．（2）()34f '=-的实际意义是什么？如果()365f =℃，你能画出函数()f t 在3t =时图象的大致形状吗？【答案】（1）负（2）第三分钟的水温，平均每分钟下降4︒【解析】【分析】（1）利用导函数的意义解释即可.（2）根据图像过(0,80)︒，(3,65)︒即可画出大致图象.【详解】（1）因为()f t '的意义为()f t 在t 附近函数值的瞬时变化率，热红茶的温度T 随时间t 的增加而减小，故()0f t '<，()f t '的符号为负.（2）()34f '=-的实际意义表示在第三分钟附近红茶的温度约以每分钟4C ︒速率下降.函数的图象过(0,80)︒，(3,65)︒，大致图象如下：20.已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+.（1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）令3(1)n n b n a =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T 【答案】（1）见解析（2）1(33)26n n T n +∴=-⋅+【解析】【分析】（1）将式子合理变形，即可化成1121n n a a ++=+，从而证明{}1n a +是以首项为2，公比为2的等比数列，并利用等比数列通项公式求出{}n a 的通项公式.（2）由数列{}n b 的通项公式是由等比数列与等差数列通项公式乘积得到，即可判断其可运用错位相减法求解前n 项和n T .【详解】（Ⅰ）证明：由题意可得：112(1)n n a a ++=+，则1121n n a a ++=+，又112a +=故{}1n a +是以首项为2，公比为2的等比数列，所以11222n n n a -+=⨯=，故21n n a =-（2）由（1）知32nn b n =⋅12313262923(1)232n n n T n n -∴=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ 234123262923(1)232n n n T n n +∴=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅12313(222232n n n T n +∴-=⨯++++⋅ ）-1(33)26n n T n +∴=-⋅+【点睛】本题主要考查了等比数列的证明，以及错位相减法的运用，属于中档题.对于等比数列的证明主要有两种方法：（1）定义法，证得*1,0)(2,n n a qq n n N a -≠=≥∈即可，其中q 为常数；（2）等比中项法：证得211n n n a a a +-=即可.21.正项数列{}n a 的前n 项和Sn 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)令221(2)n n n b n a +=+，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn ＜564.【答案】（1）2;n a n =（2）见解析【解析】【详解】（1）因为数列的前项和满足：，所以当时，，即解得或，因为数列都是正项，所以，因为，所以，解得或，因为数列都是正项，所以，当时，有，所以，解得，当时，，符合所以数列的通项公式，;（2）因为，所以，所以数列的前项和为：，当时，有，所以，所以对于任意，数列的前项和.22.已知函数()ln f x x x =（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若对任意()0,x ∞∈+，()232x mx f x -+-≥成立，求实数m 的最大值．【答案】（1）单调增区间是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，极小值11e ef ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值（2）4【解析】【分析】（1）求导，再根据导函数的符号求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可求出极值；（2）对任意(]0,x ∈+∞，()232x mx f x -+-≥成立，即22ln 3x x x m x++≤恒成立，构造函数()()22ln 30x x x g x x x++=>，利用导数求出函数()g x 的最小值即可得解.【小问1详解】由()()ln 0f x x x x =>，得()1ln f x x '=+，令()0f x ¢>，得1ex >；令()0f x '<，得10ex <<，∴()f x 的单调增区间是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()f x 在1e x =处有极小值11e ef ⎛⎫=-⎪⎝⎭，无极大值；【小问2详解】由()232x mx f x -+-≥及()ln f x x x =，得22ln 3x x x m x++≤恒成立，令()()22ln 30x x x g x x x++=>，则()2223x x g x x +-'=，由()01g x x '>⇒>，由()001g x x '<⇒<<，所以()g x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，所以()()min 14g x g ==，因此4m ≤，所以m 的最大值是4．。
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高二年级下学期期中考试数学科试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．一所中学有高一、高二、高三共三个年级的学生1600名，其中高三学生400名.如果通过分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个容量为80人的样本，那么应当从高三年级的学生中抽取的人数是（ ）A ．10B ．20C ．30D ．402．（理科）已知~(,)B n p ξ，E ξ=8，D ξ=1.6，则n 与p 的值分别为（ ） A ．10和0.8 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．40和0.8（文科）从总体中抽取的样本数据共有m 个a ，n 个b ，p 个c ，则总体的平均数x 的估计值为（ ） A ．3a b c ++ B ．3m n p++ C ．3ma nb pc++ D ．ma nb pc m n p++++3．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率是14，乙解出这个问题的概率是12，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是（ ） A ．34B ．18C ．78D ．584．若*(31)()nx n N -∈的展开式中各项的系数和为128，则2x 项的系数为（ ）A ．189B ．252C ．-189D ．-2525．从6名田径运动员中选出4人参加4×100 m 接力赛，若甲、乙两人都不能跑第一棒，则不同的参赛方案有（ ）种．A ．180B ．240C ．300D ．3606．已知n 为奇数，且n ≥3，那么112217777n n n n n n n C C C ---+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅被9除所得的余数是（ ）A ．0B ．1C ．7D ．87．某仪表显示屏上有一排八个编号小孔，每个小孔可显示红或绿两种颜色灯光．若每次有且只有三个小孔可以显示，但相邻小孔不能同时显示，则每次可以显示（ ）种不同的结果．A ．20B ．40C ．80D ．1608．现有20个零件，其中16个一等品，4个二等品．若从20个零件中任取2个，那么至少有一个是一等品的概率是（ ） A ．11164220C C C B ．111619220C C C C ．2162201C C -D ．11216416220C C C C +9．七张卡片上分别写有0、0、1、2、3、4、5，现从中取出三张后排成一排，组成一个三位数，则共能组成（ ）个不同的三位数．A ．100B ．105C ．145D ．15010．把一枚质地不均匀．．．．．的硬币连掷5次，若恰有一次正面向上的概率和恰有两次正面向上的概率相同（均不为0也不为1），则恰有三次正面向上的概率是（ ） A ．40243B ．1027C ．516D ．1024311．以三角形的三个顶点和它内部的四个点共7个点为顶点，能把原三角形分割成无重叠的小三角形的个数是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11 12．在2006()x y z ++的展开式中，合并同类项后共有（ ）项．A ．12007C B ．22007C C ．22008C D ．32008C 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．（理科）若随机变量2~(2,2)N ξ，则1()4D ξ的值为__________________．（文科）在某市高三数学统考的抽样调查中，对90分 以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为_____________人．14．方程2551616x x x C C --=的解集是____________________． 15．若某人投篮的命中率为p ，则他在第n 次投篮才首次命中的概率是________________．16．从1到10这10个数中任取不同的三个数，相加后能被3整除的概率是_____________． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）从集合A={1，3，6，8，9}和集合B={2，4，5，9}各取一个数分别记作m 、n ，（1）求m >n 的概率；（2）求m <n 的概率．18．（本小题满分12分）有A 、B 、C 、D 四封信和1号、2号、3号三个信箱，若四封信可以随意投入信箱，投完为止．（1）求3号信箱恰好有一封信的概率；（2）求A 信没有投入1号信箱的概率．19．（本小题满分12分）若非零实数m 、n 满足2m +n =0，且在二项式12()mn ax bx （a >0，b >0）的展开式中当且仅当常数项是系数最大的项，（1）求常数项是第几项；（2）求a b的取值范围．20．（本小题满分12分）在一次由甲、乙、丙三人参加的围棋争霸赛中，比赛按以下规则进行，第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者．根据以往战绩可知，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，（1）求比赛以乙连胜四局而告终的概率；（2）求比赛以丙连胜三局而告终的概率．21．（本小题满分12分）学校文艺队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有3人，会跳舞的有5人．现从中选2人，其中至少有一人既会唱歌又会跳舞的概率为35．(1)求文艺队的人数；(2) （理科）设ξ为选出的2人中既会唱歌又会跳舞的人数，求Eξ．（文科）若选出的2人一人唱歌，一人跳舞，求有多少种不同的选派方案？22．（本小题满分14分）一个口袋中装有三个红球和两个白球．第一步：从口袋中任取两个球，放入一个空箱中；第二步：从箱中任意取出一个球，记下颜色后放回箱中．若进行完第一步后，再重复进行三次第二步操作，（理科）设ξ表示从箱中取出红球的个数，求ξ的分布列，并求出Eξ和Dξ．（文科）分别求出从箱中取出一个红球、两个红球、三个红球的概率．参考答案一．B 、（理）A （文）D 、D 、C 、B C 、D 、D 、B 、A B 、C二．（13）（理）14（文）810； （14）{1，3}； （15）1(1)n p p --； （16）720三．（17）（1）P （m >n ）=13331542+++=⨯； ------（6分）（2）P （m <n ）=431195420+++=⨯． ------（12分） (或利用P （m <n ）=1- P （m >n ）-P (m =n )=119125420--=⨯) （18）（1）设3号信箱恰好有一封信的概率为P 1， -------（1分）则P 1 =134423C ⋅=3281； ------（6分）（2）设A 信没有投入1号信箱的概率为P 2， -------（7分）则132242333C P ⋅== ． ------（12分） （19）（1）设12112()()r m r n rr T C ax bx -+=为常数项， ------（1分）则可由(12)020,0,0m r nr m n m n -+=+=≠≠⎧⎨⎩------（3分）解得 r=4， ------（5分）所以常数项是第5项． ------（7分） （2）由只有常数项为最大项且a >0，b >0，可得48457512124843931212C a b C a b C a b C a b>>⎧⎨⎩ -------（10分） 解得8954ba <<------（12分）（20）（1）设乙连胜四局的概率为1P ，则1(10.4)0.5(10.4)0.50.09P =-⨯⨯-⨯= -------（6分） （2）设丙连胜三局的概率为2P ，则20.40.6(10.5)0.6(10.4)0.50.6(10.5)0.162P =⨯⨯-⨯+-⨯⨯⨯-= ------（12分） （21）（1）设文艺队中既会唱歌又会跳舞的人数为x ，则只会唱歌的人数为3-x ，只会跳舞的人数为5-x ，总人数为8-x 当x =1时，选出的2人中至少有1人既会唱歌又会跳舞的概率P =162727C C =,不合题意--------(2分) 当2≤x ≤3时，由选出的2人中至少有1人既会唱歌又会跳舞的概率P =11282228835x xx xxC C C CC ---+=-------(4分）可解得2x =, 所以文艺队共有6人． -------（6分）（或验证x =2,x =3时，选出的2人中至少有1人既会唱歌又会跳舞的概率,得2x =） （2）（理）由24262(0)5C P Cξ===，1124268(1)15C C P Cξ===，22261(2)15C P Cξ===，------（9分）得28101251515E ξ=⨯+⨯+⨯=23-------（12分）（文）若从既会唱歌又会跳舞的队员中选出1名队员唱歌，则有11248C C =种不同的选派方案， --------（8分）若从只会唱歌的队员中选出1名队员唱歌，则有11155C C =种不同的选派方案， - -------（10分）因此，共有8+5=13种不同的选派方案． --------（12分） （22）（理）解法一：设ξ表示从箱中取出红球的个数，则ξ可以取0、1、2、3， -------（1分）1）当0ξ=时，完成事件有两种可能，第一种可能是：第一步取出的2个球都是白球，此时事件发生的概率为2225110C C=；第二种可能是：第一步取出的2个球1红1白，此时事件发生的概率为11322353240C C C =，因此137(0)104040P ξ==+=-------(3分)2) 当1ξ=时，完成事件只有一种可能：第一步取出的2个球1红1白，此时事件发生的概率为1113232359(1)240C C C P C ξ===⋅ -------(5分)3）当2ξ=时，完成事件只有一种可能：第一步取出的2个球1红1白，此时事件发生的概率为1123232359(2)240C C C P C ξ===⋅ -------(7分)4）当3ξ=时，完成事件有两种可能，第一种可能是：第一步取出的2个球1红1白，此时事件发生的概率为11322353240C C C =⋅；第二种可能是：第一步取出的2个球都是红球，此时事件发生的概率为2325310C C =，因此333(3)40108P ξ==+= --------(9分)所以ξ的分布列为--------（10分）79939012340404085E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= --------（12分）22229799999363(0)(1)(2)(3)5405405405850D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= ------（14分）解法二：第一步操作结束后，箱子中没有红球的概率为2225110C C =，箱子中有1个红球的概率为11322535C C C=，箱子中有2个红球的概率为2325310C C=， -------（3分）则30313137(0)1()010521040P C ξ==⨯++⨯=⨯，123131139(1)0()010*******P C ξ==⨯+⨯+⨯=， 223131139(2)0()010*******P C ξ==⨯+⨯+⨯=， 33313133(3)0()11052108P C ξ==⨯++⨯=⨯， --------（9分）以下同解法一（文）解法一：设从箱中取出一个红球、两个红球、三个红球的概率分别为123P P P 、、 ----（2分） 从箱中取出一个红球时，完成事件只有一种可能：第一步取出的2个球1红1白，此时事件发生的概率为11132312359240C C C P C ==⋅ --------(6分)从箱中取出两个红球时，完成事件只有一种可能：第一步取出的2个球1红1白，此时事件发生的概率为11232322359240C C C P C ==⋅ -------(10分)从箱中取出三个红球时，完成事件有两种可能，第一种可能是：第一步取出的2个球1红1白，此时事件发生的概率为11322353240C C C =⋅；第二种可能是：第一步取出的2个球都是红球，此时事件发生的概率为2325310C C=，因此333340108P =+=------(14分)解法二：设从箱中取出一个红球、两个红球、三个红球的概率分别为123P P P 、、 ----（2分） 第一步操作结束后，箱子中没有红球的概率为2225110C C =，箱子中有1个红球的概率为11322535C C C =，箱子中有2个红球的概率为2325310C C =， -------（5分）则12311311390()010*******P C =⨯+⨯+⨯=， --------（8分） 22321311390()010*******P C =⨯+⨯+⨯=， --------（11分） 3333131330()11052108P C =⨯++⨯=⨯． -------（14分）。