【同步课堂】1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-人教B版(2019)高中数学选择性必修第一册课件
1.1空间向量及其运算1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系
人教B 版（2019）选择性必修第一册过关斩将第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量{,,}a b c 是空间向量的一组基底，向量{,,}a b a b c +-是空间向量的另外一组基底，若一向量p 在基底{,,}a b c 下的坐标为(1,2,3)，则向量p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为（ ）A ．13,,322⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．133,,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭2．已知a =（2，﹣1，2），b =（x ，y ，6），a 与b 共线，则x ﹣y ＝（ ） A ．5B ．6C ．3D ．93．下列向量与向量()1,2,1=-a 共线的单位向量为（ ）A．11,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭B．11,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C．1122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ D．1122⎛⎫⎪⎪⎝⎭4．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C 为线段AB 上一点且13ACAB =，则点C 的坐标为( ) A ．715,,222⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．3,3,28⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．107,1,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．573,,222⎛⎫-⎪⎝⎭5．向量()()2,4,,2,,2a x b y ==，若6a =，且a b ⊥，则x y +的值为（ ） A ．3-B ．1C ．3或1D ．3-或16．已知O 为坐标原点，(1,2,2),(2,1,4),(1,1,4)OA OB OC =-=-=，点P 是OC 上一点，则当PA PB ⋅取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A ．114,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,,222⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,,144⎛⎫⎪⎝⎭D ．()2,2,87．已知2(,2,0),(3,2,)a x b x x ==-，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ） A ．4x <-B ．40x -<<C ．04x <<D ．4x >8．在空间直角坐标系中，已知()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -，则直线AD 与BC 的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法判定9．三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，1A P λ=11A B ，113C C C M =，若PN BM ⊥，则λ=（ ）A ．12B ．13C ．23D ．3410．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则 （ ） A ．11,3a c ==B ．21,3a c ==C ．12,3a c ==D ．22,3a c ==11．己知()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，若,,a b c 三向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为（ ） A ．657B ．9C ．357D ．012．在空间直角坐标系中，A(1，1，-2)，B(1，2，-3)，C(-1，3，0)，D(x ，y ，z ) ，(x ，y ，z ∈R)，若四点A ，B ，C ，D 共面，则（ ） A ．2x +y +z =1B ．x +y +z =0C ．x -y +z =-4D ．x +y -z =013．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭14．已知向量()123a =，，，()246b =---，，，14c =，若()7a b c +⋅=，则a 与c 的夹角为（ ）A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒15．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD .已知11,AB AA ==E 为线段AB 上一个动点，则1D E CE +的最小值为（ ）A ．BC 1D ．2+16．在直三棱柱111ABC A B C -中，1,12BAC AB AC AA π∠====，已知G 和E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为（ ）A ．5⎫⎪⎪⎣⎭B ．5⎣C ．5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．5⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、填空题17．已知{,,}i j k 为单位正交基底，且3,232a i j k b i j k =-++=--，则向量2a b -的坐标是_________.18．已知空间向量(2,1,3)a =-，(1,4,2)b =--，(,5,5,)c λ=，若,,a b c 共面，则实数λ=______．19．已知空间向量()21,3,0a x x =+，()1,,3b y y =-，（其中x 、y R ∈），如果存在实数λ，使得a b λ=成立，则x y +=_____________.20．已知()cos ,1,sin a θθ=，()sin ,1,cos b θθ=，则向量a b +与a b -的夹角是__________.21．已知AB ＝(1，5，－2)，BC ＝(3，1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(1x -，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x y +=________．三、解答题22．已知空间中三点(2,0,2)A -，(1,1,2)B -，(3,0,4)C -，设a AB =，b AC =. （1）求向量a 与向量b 的夹角的余弦值； （2）若ka b +与2ka b -互相垂直，求实数k 的值.23．如图,直三棱柱111ABC A B C -,底面ABC 中,1CA CB ==,90BCA ∠=︒,棱12AA =,M 、N 分别是11A B 、1A A 的中点.（1）求BM 的长; （2）求11cos ,BA CB 的值; （3）求证:11A B C N ⊥.四、多选题24．（多选）已知(1,2,3),(2,3,4),(1,2,3)M N P --，若3PQ MN =且//PQ MN ，则Q 点的坐标可以为（ ） A ．(2,5,0) B ．(4,1,6)---C ．(3,4,1)D ．(3,2,5)---参考答案1．B 【分析】设向量p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为(,,)x y z ，则由已知可得23()()()()p a b c x a b y a b zc x y a x y b zc =++=++-+=++-+，从而可求出,,x y z 的值 【详解】设向量p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为(,,)x y z ，则23()()()()p a b c x a b y a b zc x y a x y b zc =++=++-+=++-+，所以1,2,3,x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得3,21,23,x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩故p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】此题考查空间向量基本定理的应用，属于基础题 2．D 【分析】利用两个向量共线的坐标表示列方程，解方程求得,x y 的值，进而求得x y -的值. 【详解】由于a 与b 共线，所以6212x y ==-，解得6,3x y ==-，所以9x y -=. 故选：D 【点睛】本小题主要考查两个空间向量共线的坐标表示，属于基础题. 3．C 【分析】根据一个向量共线的单位向量计算公式a a±，可得结果【详解】由||122a =++=， ∴与向量a 共线的单位向量为11,22⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭或1122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C 【点睛】本题考查向量的单位向量，属基础题题. 4．C 【分析】C 为线段AB 上一点，且3|AC |=||AB |，可得13AC AB =，利用向量的坐标运算即可得出． 【详解】∵C 为线段AB 上一点，且3|AC |=||AB |，∴13AC AB =， ∴13OC OA AB =+=（4，1，3）+13（﹣2，﹣6，﹣2），=107133⎛⎫-⎪⎝⎭，，．故选C ． 【点睛】本题考查了向量共线定理、向量的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题． 5．D 【解析】22422440a b y x x y ⋅=⨯+⨯+⨯=++=，又2246a =+== ，所以解得43x y =⎧⎨=-⎩或41x y =-⎧⎨=⎩ ，所以1x y +=或3x y +=-，故选D. 6．A 【分析】根据三点共线，可得OP OC λ=，然后利用向量的减法坐标运算，分别求得,PA PB ，最后计算PA PB ⋅，经过化简观察，可得结果. 【详解】设(,,4)OP OC λλλλ==，则(1,2,24)PA λλλ=---- (2,1,44)PB λλλ=----则2211812818103PA PB λλλ⎛⎫⋅=--=-- ⎪⎝⎭ ∴当13λ=时，PA PB ⋅取最小值为-10， 此时点P 的坐标为114,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，难点在于三点共线，审清题干，简单计算，属基础题. 7．A 【分析】根据a 与b 的夹角为钝角，则0a b <，再根据坐标关系建立不等式即可求解. 【详解】∵()2(,2,0)3,2,x x x λ≠-，∴a 与b 不共线， ∵a 与b 的夹角为钝角，∴0a b <，即3 2(2)0x x +-<，解得4x <-， 故选A. 【点睛】本题考查向量的夹角.注意向量数量积的坐标关系与向量平行的坐标关系的区别. 8．B 【分析】根据题意，求得向量AD 和BC 的坐标，再结合空间向量的数量积的运算，即可得到两直线的位置关系，得到答案. 【详解】由题意，点()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -， 可得()3,1,6AD =--，()2,0,1BC =， 又由()()2310610AD BC ⋅=⨯+-⨯+-⨯=， 所以AD BC ⊥，所以直线AD 与BC 垂直. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记空间向量的坐标运算，以及空间向量的数量积的运算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9．C 【分析】建立空间直角坐标系，求出,,,P B M N 坐标，进而求出,PN BM 坐标，由=0PN BM ⋅，即可求解. 【详解】如图，以AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -，则(),0,1P λ，11,,022N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,0B ，20,1,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,122PN λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，21,13BM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1120223PN BM λ=-+-=⋅，即23λ=. 故选:C.【点睛】本题考查空间向量坐标运算，求出各点坐标是解题的关键，属于基础题. 10．B 【解析】∵点P (a ,1,c )在直线AB 上， ∴存在实数λ使得AB BP λ=， ∴()()()0,0,13,3,0,1,1a c λ-=- ， 化为()3,3,1(,,)a c λλλλ--=- ，∴3{31ac λλλλ-=-==- ,解得3{123a c λ=-==.本题选择B 选项.11．A 【分析】由条件可得,,a b c 共面，根据共面向量的基本定理，即可求出结论. 【详解】,,a b c 三向量不能构成空间的一个基底，,,a b c 共面，()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，存在唯一的实数对(,)x y ，使得c xa yb =+，274532x y x y x y λ-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩解得337177657x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩. 故选:A. 【点睛】本题考查空间向量共面的坐标关系，属于基础题. 12．A 【解析】(0,1,1)AB =-，(2,2,2)AC =-，(1,1,2)AD x y z =--+，因为,,,A B C D 四点共面，所以,,AB AC AD 共面，即存在,λμ使得AD AB AC λμ=+，即12{1222x y z μλμλμ-=--=++=-+，消去,λμ得21x y z ++=，故选A ．13．C 【分析】设(,,)Q x y z ，根据点Q 在直线OP 上，求得(,,2)Q λλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB ⋅取得最小值，即可求解. 【详解】 设(,,)Q x y z ，由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=， 即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q .故选：C. 【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 14．C 【解析】由题意可得14a =，56b =，且2b a =-，所以7a c -⋅=，cos ,a ca c a c ⋅==71142-=-，所以0,120a c =，选C. 【点睛】本题考查向量的数量积坐标运算与运用向量求夹角，但本题更重要的是要发现2b a =-的平行关系，就可以简化运算，否则要设c 坐标，待定系数运算求坐标，运算复杂了． 15．B 【分析】由已知条件建立如图所示的空间直角坐标系，(,0,0)(01)E t t ，则1D E CE +=的最小值问题转化为求平面直角坐标系tOu 中的一个动点(,0)P t 到两定点(0,2),(1,1)M N -的距离之和的最小值的问题，即转化为求平面直角坐标系tOu 中的一个动点(,0)P t 到两定点(0,2),(1,1)M N -的距离之和的最小值的问题，由图可知当M ，P ，N 三点共线时，(,0)P t 到两定点(0,2),(1,1)M N -的距离之和最小，从而可得答案 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则1(0,0,0),(1,1,0)A D C . ∵E 为线段AB 上一个动点， ∴设(,0,0)(01)E t t ，则1D E ==，CE =故问题转化为求1D E CE +=+的最小值问题，即转化为求平面直角坐标系tOu 中的一个动点(,0)P t 到两定点(0,2),(1,1)M N -的距离之和的最小值的问题，如图所示.由此可知，当M ，P ，N 三点共线时，()1min min ||D E CE MN +====故选：B. 【点睛】此题考查空间中两线段和最小问题，转化为平面问题解决，考查空间向量的应用，属于中档题 16．A 【分析】由已知建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设(0,,0),(,0,0)D y F x ，则11,,1,,1,22GD y EF x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由GD EF ⊥可得21x y +=，从而可得1||02DF y ⎫===<<⎪⎭，进而可求出结果 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则11,0,1,0,1,22G E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(0,,0),(,0,0)D y F x ，则11,,1,,1,22GD y EF x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵GD EF ⊥，∴0GD EF ⋅=，即11022x y --+=，即21x y +=， 又∵01x <<，∴0121y <-<， ∴102y <<.又1||02DF y ⎫===<<⎪⎭，∴当25y =时，min 5DF ==； 当0y =时，||1DF =；当12y =时，1||2DF =，故线段DF 的长度的取值范围为5⎫⎪⎪⎣⎭. 故选：A 【点睛】此题考查点、线、面间的距离计算，考查空间向量的应用，考查计算能力，属于基础题 17．(5,7,7)- 【分析】由3,232a i j k b i j k =-++=--直接计算2a b -，化简后可得其坐标 【详解】解：由3,232a i j k b i j k =-++=--，得2(3)2(232)a b i j k i j k -=-++---(3)(464)(4)(6)(34)577i j k i j k i i j j k k i j k =-++---=--++++=-++，则2(5,7,7)a b -=-. 故答案为：(5,7,7)- 【点睛】此题考查空间向量的坐标运算，属于基础题 18．4 【分析】利用空间向量共面的条件，设出实数x ，y ，使c xa yb =+，列出方程组，求出λ的值即可． 【详解】 解：向量a 、b 、c 共面，∴存在实数x ，y 使得c xa yb =+，即)(2,1,(,5,5)(1,4,23)y x λ=-+--，∴245325x y x y x y λ-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩；解得324x y λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩故答案为：4. 【点睛】本题考查了空间向量的共面问题，也考查了方程组的解法与应用问题，是基础题目． 19．2 【分析】利用向量的坐标运算得出关于x 、y 、λ的方程组，解出即可得出x y +的值. 【详解】()21,3,0a x x =+，()1,,3b y y =-，且a b λ=，所以()21303x x y y λλλ⎧+=⎪=⎨⎪=-⎩，解得131x y λ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，因此，2x y +=. 故答案为：2. 【点睛】本题考查空间向量共线的坐标运算，建立方程组求解是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 20．2π【分析】利用向量坐标运算表示出a b +与a b -，根据数量积运算法则可求得()()0a b a b +⋅-=，即两向量垂直，得到夹角. 【详解】()sin cos ,2,sin cos a b θθθθ+=++，()cos sin ,0,sin cos a b θθθθ-=--()()2222cos sin sin cos 0a b a b θθθθ∴+⋅-=-+-=()()a b a b ∴+⊥-，即a b +与a b -的夹角为2π故答案为2π 【点睛】本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过向量的坐标运算求得两向量的数量积，属于基础题. 21．257【分析】由题意，可得,,AB BC BP AB BP BC ⊥⊥⊥，利用向量的数量积的运算公式列出方程组，求得,,x y z 的值，即可求解. 【详解】由题意，可得,,AB BC BP AB BP BC ⊥⊥⊥，利用向量的数量积的运算公式，可得()352015603130z x y x y z ⎧+-=⎪-++=⎨⎪-+-=⎩解得407x =，157y =-，4z =，∴401525777x y +=-=.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中根据题设条件和线面位置关系，利用向量的数量积的运算公式，列出方程组求得,,x y z 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 22．（1）10-；（2）52k =-或2k =.【分析】（1）先写出a ，b ，再根据空间向量的夹角公式直接求解即可； （2）根据空间向量垂直的坐标表示直接求解即可得答案. 【详解】（1）∵()1,1,0a AB ==，()1,0,2b AC ==-， 设a 与b 的夹角为θ，∴cos 10|a ba b θ⋅===∣；（2）∵()1,,2ka b k k +=-，()22,,4ka b k k -=+-且()()2ka b ka b +⊥-，∴2(1)(2)80k k k -++-=，即：52k =-或2k =. 【点睛】本题考查空间向量的夹角的计算，空间向量的垂直求参数，考查运算能力，是基础题.23．（123）证明见解析 【分析】（1）以C 为原点,建立空间直角坐标系C xyz -,依题意得()0,1,0B ,()1,0,1M ,根据空间两点间距离公式: d =即可求得BM 的长.（2）求出1BA 和1CB ,根据111111cos ,BA CB BA CB BA CB ⋅=⋅,即可求得11cos ,BA CB 的值.（3）求出1A B 和1C N ,11A B C N ⋅的值,根据向量垂直与数量积的关系a b ⊥时,=0a b ⋅,即可求证11A B C N ⊥. 【详解】（1）以C 为原点,建立空间直角坐标系C xyz -.如图:依题意得()0,1,0B ，()1,0,1M ，根据空间两点间距离公式: d =∴ (1BM ==（2）依题意得:()11,0,2A ,()0,1,0B ,()0,0,0C ,()10,1,2B . ∴()11,1,2BA =-,()10,1,2CB =,113BA CB ⋅=,16BA =15CB =，∴11111130cos ,BA CB BA CB BA CB ⋅==⋅. （3）依题意得()10,0,2C ,11,,222N ⎛⎫⎪⎝⎭∴()11,1,2A B =--,111,,022C N ⎛⎫= ⎪⎝⎭.∴11110022A B C N ⋅=-++=∴11A B C N ⊥【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算和平面向量数量积的坐标运算,熟练掌握向量的基本知识是解本题关键,对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题. 24．AB 【分析】首先设(),,Q x y z ，根据题意得到3PQ MN =或3PQ MN =-，从而得到132333x y z +=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩或132333x y z +=-⎧⎪-=-⎨⎪+=-⎩，再解方程组即可得到答案. 【详解】设(),,Q x y z ，∴(1,2,3)PQ x y z =+-+. 因为(1,2,3),(2,3,4)M N ，所以(1,1,1)MN =. 因为||3||PQ MN =且//PQ MN ， 所以3PQ MN =或3PQ MN =-，所以(1,2,3)3(1,1,1)x y z +-+=或(1,2,3)3(1,1,1)x y z +-+=-，132333x y z +=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩或132333x y z +=-⎧⎪-=-⎨⎪+=-⎩ 解得250x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或416x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩故Q 点的坐标为(2,5,0)或(4,1,6)---. 故选：AB 【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算，属于简单题.。
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系基础过关练题组一空间中向量的坐标1.(2020陕西西安中学高二期末)已知向量{a,b,c}是空间向量的一组基底,向量{a+b,a-b,c}是空间向量的另外一组基底,若一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为( )A.(12,32,3) B.(32,-12,3) C.(3,-12,32) D.(-12,32,3)2.(2020甘肃天水甘谷第一中学高二期末)已知{i,j,k}为单位正交基底,且a=-i+j+3k,b=2i-3j-2k,则向量a-2b的坐标是.3.(2019湖北黄冈中学高二期中)已知空间向量a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(λ,5,5),若a,b,c共面,则实数λ=.题组二空间向量平行(共线)的坐标表示4.(2020广东华南师范大学附属中学高二期末)已知a=(2,-1,2),b=(x,y,6),若a 与b共线,则x-y=( )A.5B.6C.3D.95.(2020甘肃兰州第一中学高二期末)下列向量中与向量a=(1,-√2,1)共线的单位向量是( )A.(-12,-√22,-12) B.(-12,-√22,12)C.(-12,√22,-12) D.(12,√22,12)6.(2020重庆西南大学附中高二期末)已知在空间直角坐标系Oxyz 中,O 为坐标原点,且A(4,1,3),B(2,-5,1),若C 为线段AB 上一点且|AC⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=13,则点C 的坐标为( ) A.(72,-12,52) B.(38,-3,2) C.(103,-1,73) D.(52,-72,32)7.(2019上海七宝中学高二期末)已知空间向量a=(2x+1,3x,0),b=(1,y,y-3),其中x,y∈R,若存在实数λ使得a=λb 成立,则x+y= . 题组三 空间向量数量积的坐标表示及其应用8.(2020内蒙古集宁一中高二期末)向量a=(2,4,x),b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y 的值为( )A.-3B.1C.-3或1D.3或19.(2020甘肃兰州铁路第一中学高二期末)已知O 为坐标原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,-2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,4),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,4),点P 是OC 上一点,则当PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时,点P 的坐标为( ) A.(13,13,43)B.(12,12,2)C.(14,14,1) D.(2,2,8) 10.(2019甘肃庆阳第二中学高二月考)若a=(x,2,0),b=(3,2-x,x 2),且a 与b 的夹角为钝角,则x 的取值范围是( ) A.x>4 B.x<-4C.0<x<4D.-4<x<011.(2020河北枣强中学高二期末)在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(1,0,4),C(3,0,5),D(4,1,-3),则直线AD 与BC 的位置关系是( ) A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.无法判定12.(2019上海延安中学高二期中)已知a=(cos θ,1,sin θ),b=(sin θ,1, cos θ),则向量a+b 与a-b 的夹角是 .13.(2020陕西西安高新第一中学高二期末)已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)求a 和b 的夹角θ的余弦值;(2)若向量ka+b 与ka-2b 互相垂直,求k 的值.题组四 空间直角坐标系的应用14.(2020云南曲靖第一中学高二期末)三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,AA 1=AB=AC=1,AB⊥AC,N 是BC 的中点,A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λA 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若PN⊥BM,则λ=( )A.12B.13C.23D.34能力提升练题组一 空间向量坐标的应用 1.(2019浙江诸暨牌头中学高二期末,)在空间直角坐标系中,A(3,3,0),B(0,0,1),点P(a,1,c)在直线AB 上,则( ) A.a=1,c=13B.a=1,c=23C.a=2,c=13D.a=2,c=232.(2020北京八中高二期末,)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c 三向量不能构成空间向量的一组基底,则实数λ的值为( ) A.0 B.5 C.9D.6574. (2019江西南昌八一中学高二月考,)在空间直角坐标系中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),若A,B,C,D 四点共面,则( ) A.2x+y+z=1 B.x+y+z=0 C.x-y+z=-4 D.x+y-z=04.(2019内蒙古包头第九中学高二月考,)已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,2),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),点Q 在直线OP 上运动,则当QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时,点Q 的坐标为( )A.(12,34,13) B.(12,32,34) C.(43,43,83) D.(43,43,73) 5.(2019山东寿光第一中学高二月考,)已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=√14,若(a+b)·c=7,则a 与c 的夹角为( ) A.30°B.60°C.120°D.150°6.(多选)(2019吉林长春高二期中,)已知M(1,2,3),N(2,3,4),P(-1,2,-3),若|PQ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |且PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则Q 点的坐标可以为( ) A.(2,5,0) B.(-4,-1,-6) C.(3,4,1) D.(-3,-2,-5)7.(2020陕西西安中学高二期末,)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,5,-2),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1,z),若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x+y= . 题组二 空间直角坐标系的应用 8.(2019河北张家口一中高二期中,)在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是正方形,侧棱AA 1⊥底面ABCD.已知AB=1,AA 1=√3,E 为线段AB 上一个动点,则D 1E+CE 的最小值为( ) A.2√2B.√10C.√5+1D.2+√29.(2019浙江温州高二期中,)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=π2,AB=AC=AA 1=1,已知G 和E 分别为A 1B 1和CC 1的中点,D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点),若GD⊥EF,则线段DF 的长度的取值范围为( ) A.[√55,1) B.[√55,√ C.(2√55,1) D.[2√55,1)10.(2020青海西宁五中高二期末,)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CA=CB=1,AA 1=2,∠BCA=90°,M,N 分别是A 1B 1,A 1A 的中点. (1)求BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模; (2)求cos<BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >的值; (3)求证:A 1B⊥C 1M.答案全解全析基础过关练1.B 设向量p 在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z), 则p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,所以{x +y =1,x -y =2,z =3,解得{x =32,y =-12,z =3,故p 在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(32,-12,3).2.答案 (-5,7,7)解析 由a=-i+j+3k,b=2i-3j-2k,得a-2b=(-i+j+3k)-2(2i-3j-2k)=(-i+j+3k)-(4i-6j-4k)=(-i-4i)+(j+6j)+(3k+4k)=-5i+7j+7k,则a-2b=(-5,7,7). 3.答案 4解析 易知向量a,b 不共线.∵向量a,b,c 共面,∴存在唯一的实数对(x,y),使c=xa+yb,即(λ,5,5)=x(2,-1,3)+y(-1,4,-2), ∴{2x -y =λ,-x +4y =5,3x -2y =5,解得{x =3,y =2,λ=4.4.D 因为a 与b 共线,所以x 2=y -1=62,解得x=6,y=-3,所以x-y=9.故选D.5.C 因为|a|=√12+(-√2)2+12=2,所以与向量a 共线的单位向量是(12,-√22,12)或(-12,√22,-12). 故选C.6.C ∵C 为线段AB 上一点,且3|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗=(4,1,3)+13(-2,-6,-2)=(103,-1,73).故选C.7.答案 2解析 ∵a=(2x+1,3x,0),b=(1,y,y-3),且a=λb,x,y,λ∈R,∴{2x +1=λ,3x =λy ,0=λ(y -3),解得{x =-1,y =3,λ=-1,∴x+y=2.8.C 由a=(2,4,x)且|a|=6,得6=√22+42+x 2,解得x=±4,又a⊥b,∴(2,4,x)·(2,y,2)=4+4y+2x=0,当x=4时,有4+4y+8=0,此时y=-3,当x=-4时,有4+4y-8=0,此时y=1,故x+y 的值为1或-3. 9.A 设OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,λ,4λ)(0≤λ≤1),则 PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,2-λ,-2-4λ),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-λ,-1-λ,4-4λ), 故PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(-1-λ)+(-2-4λ)(4-4λ)=18λ2-12λ-8=18×(λ-13)2-10, ∴当λ=13时,PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值-10, 此时点P 的坐标为(13,13,43).故选A.10.B 由题意可知,a·b=3x+2(2-x)<0,解得x<-4,易知a,b 不共线,故选B. 11.B ∵A(1,2,3),B(1,0,4),C(3,0,5),D(4,1,-3), ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-1,-6),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,1), 又∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×2+(-1)×0+(-6)×1=0, ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴直线AD 与BC 垂直. 故选B. 12.答案 π2解析 a+b=(cos θ+sin θ,2,sin θ+cos θ),a -b=(cos θ-sin θ,0,sin θ-cos θ),∴(a+b)·(a -b)=cos 2θ-sin 2θ+sin 2θ-cos 2θ=0, ∴(a+b)⊥(a -b), 故a+b 与a-b 的夹角为π2.13. 解析 a=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),b=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,4)-(-2,0,2)= (-1,0,2). (1)cos θ=a ·b|a ||b |=-1+0+0√2×√5=-√1010, 所以a 和b 的夹角θ的余弦值为-√1010. (2)ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), ka-2b=(k,k,0)-(-2,0,4)=(k+2,k,-4).因为ka+b 与ka-2b 互相垂直,所以(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k 2-8=0, 即2k 2+k-10=0,解得k=-52或k=2.14.C 如图,以AB,AC,AA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),A 1(0,0,1),B 1(1,0,1), ∴A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),∴A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,0,0),则P(λ,0,1),又N (12,12,0),B(1,0,0),M (0,1,23),所以PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12-λ,12,-1),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,23),所以PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ-12+12-23=0,解得λ=23.故选C.能力提升练1.B ∵点P(a,1,c)在直线AB 上, ∴存在唯一实数λ使得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBP ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-3,1),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,1,c-1), ∴(-3,-3,1)=λ(a,1,c -1), 即(-3,-3,1)=(λa,λ,λc -λ), ∴{-3=λa ,-3=λ,1=λc -λ,解得{λ=-3,a =1,c =23.故选B.2.D ∵a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),∴a 与b 不共线,又a,b,c 三向量不能构成空间向量的一组基底,∴a,b,c 三向量共面,∴存在唯一的实数对(x,y),使c=xa+yb,即{2x -y =7,-x +4y =5,3x -2y =λ,解得λ=657,故选D. 3.A AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-1,y-1,z+2),因为A,B,C,D 四点共面,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,即存在唯一的实数对(λ,μ),使得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即{x -1=-2μ,y -1=λ+2μ,z +2=-λ+2μ,消去λ,μ得2x+y+z=1,故选A. 4.C ∵点Q 在直线OP 上运动,∴O,P,Q 三点共线,∴存在唯一的实数λ使得OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,λ,2λ), ∴QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,2-λ,3-2λ),QB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-λ,1-λ,2-2λ), ∴QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6×(λ-43)2-23,当且仅当λ=43时,上式取得最小值, 此时点Q 的坐标为(43,43,83).故选C.5.C 由题意可得|a|=√14,且b=-2a,又(a+b)·c=7,所以-a·c=7, 又cos<a,c>=a ·c |a ||c |=-714=-12,所以<a,c>=120°,故选C.6.AB 设Q(x,y,z),∴PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+1,y-2,z+3). ∵M(1,2,3),N(2,3,4),∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1). ∵|PQ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |且PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 或PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(x+1,y-2,z+3)=3(1,1,1)或(x+1,y-2,z+3)=-3(1,1,1), ∴{x =2,y =5,z =0或{x =-4,y =-1,z =-6,∴Q 点的坐标为(2,5,0)或(-4,-1,-6).故选AB. 7.答案257解析 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,由题意,可得BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 利用向量数量积的运算公式,可得{3+5-2z =0,x -1+5y +6=0,3(x -1)+y -3z =0,解得x=407,y=-157,z=4,∴x+y=407-157=257.8.B 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),D1(0,1,√3),C(1,1,0).∵E为线段AB上一个动点,∴设E(t,0,0)(0≤t≤1),则D1E=2+1+3=√t2+4,CE=√(t-1)2+1,故问题转化为求D1E+CE=2+4+√(t-1)2+1的最小值问题,即转化为求平面直角坐标系tOu中的一个动点P(t,0)到两定点M(0,-2),N(1,1)的距离之和的最小值的问题,如图所示.由此可知,当M,P,N三点共线时,(D1E+CE)min=[√t2+4+√(t-1)2+1]=|MN|=√1+9=√10,故选B.min9.A 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则G (12,0,1),E (0,1,12),设D(0,y,0),F(x,0,0),则GD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,y ,-1),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,-1,-12),∵GD ⊥EF,∴GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即-12x-y+12=0,即x+2y=1,又∵0<x<1,∴0<1-2y<1,∴0<y<12.又|DF|=√x 2+y 2=√y 2+(1-2y )2=√5y 2-4y +10<y<12, ∴当y=25时,|DF|min =√5×425-85+1=√55;当y=0时,|DF|=1;当y=12时,|DF|=12,故线段DF 的长度的取值范围为[√55,1). 10.解析 以C 为原点,CA,CB,CC 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.(1)依题意,B(0,1,0),N(1,0,1),∴BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1),∴|BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3. (2)依题意A 1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B 1(0,1,2),∴BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,2),CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2),BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×0-1×1+2×2=3,|BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6,|CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,∴cos<BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3010. (3)证明:∵C 1(0,0,2),M (12,12,2),∴C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,12,0),又由(2)可得A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,-2),∴A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12+12+0=0, ∴A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥C1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴A 1B⊥C 1M.。
1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系(共2课时)高二数学(人教B版2019选择性必修第一册)
因为D是AB的中点，所以D(1，1，0),
同理可得E(0，1，2)，
所以DE= (0 − 1)2 +(1 − 1)2 +(2 − 0)2 = 5
B1
C
A
x
O
B y
当堂练习
1.(多选题)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=4
，AA1=3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立
五、对称点
在空间直角坐标系中，点P(x,y,z)，则有
P1(x,-y,-z)
• 点P关于x轴的对称点是_______
P2(-x,y,-z)
• 点P关于y轴的对称点是_______
P3(-x,-y,z)
• 点P关于z轴的对称点是_______
P4(-x,-y,-z)
• 点P关于原点的对称点是_______
使得n⊥c，且n⊥d.
解:(2)设n=(x，y，z)
− − + = 0
∙=0
则n⊥c，且n⊥d. ⇔
⇔
2 − 2 + 6 = 0
∙=0
取z=1，则x=-1，y=2，
可得满足条件的一个非零空间向量n=(-1,2,1)
当堂练习
1．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，
则Ԧ ∙ = (11 + 12 + 13) ∙ (21 + 22 + 23)
=1212+1222 + 1232 + (12 + 21)1 ∙ 2
+(12 + 21)1 ∙ 3+(12 + 21)2 ∙ 3
=12+12 + 12
1.3 空间向量的坐标表示及其运算(共47张PPT)
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表
原创1：1.1.3 第一课时 空间向量的坐标及运算
直角坐标系，则
(0，0，0) (1，1，0)
①顶点A，C的坐标分别为______________________；
1
(1，1，
)
②棱C C中点的坐标为___________；
2
1
1
( 2 ，0，2 )
③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为______________．
空间向量的坐标运算
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b2)，
(a1=b1，a2=b2，a3=b3)
a=b，则_______________________，
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
则a＋b＝_______________________，
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得．
典例精析
例3:已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设＝，
Ԧ
b＝，若向量k＋
Ԧ b与k－2
Ԧ
b互相垂直，求k的值．
Ԧ b与k－2
Ԧ
b互相垂直，
解 析：Ԧ ＝(－1＋2，1－0，2－2)＝(1，1，0)， ∵k＋
a－b＝_______________________，
λa＝ (λa1，λa2，λa3)(λ∈R) ，
a1b1＋a2b2＋a3b3
a·b＝___________________，
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a∥b⇔__________________________________
练习：已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，a－b，a·
空间中的点、直线与空间向量(同步课件)高二数学同步精品课堂(人教B版2019选择性必修第一册)
=
所以<，>= ，所以直线AE与BC所成角的大小
3
1
，
2
A
x
B
尝试与发现
设OA
，2分别是空间中直线l
1，l2的方向向量，
e , OB e , OC e
1
2
3
(1)如果l1与l2异面，那么与2可能平行吗？
(2)如果与2不平行，那么l1与l2一定异面吗？
四、异面直线与空间向量
直线BD1与直线CE不平行.
证明：以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正
z
方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的
D1
空间直角坐标系，则
1
A1
B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C(0,1,0)，E(0, ,1),
所以1 = (−1, −1,1)， =
0
又因为
−1
−
1
2
2
1
(0, − , 1)
人教B版选择性必修第一册
第1章
空间向量
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
主讲：
尝试与发现
在空间中，如何用向量表示一个点的位置？
一、点的位置向量
1.基点：在空间中我们取定点O作为基点.
2.向量表示：空间中任意一点P的位置可以用来表示.
P
3.点的位置向量：为点P的位置向量.
空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向
2
≠ ，所以1与不平行，
−1
所以直线BD1与直线CE不平行
E
C1
B1
D
C
y
A
x
B
尝试与发现
设OA
，2分别是空间中直线l
21-22版：1.1.3 第2课时 空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直(步步高)
解析 设同时垂直于a＝(2，2，1)，b＝(4，5，3)的单位向量为e＝(x，y，z)，
e·a＝0，
则e·b＝0， |e|＝1，
2x＋2y＋z＝0，
即4x＋5y＋3z＝0， x2＋y2＋z2＝1，
x＝13， 解得y＝－32，
z＝23
x＝－13， 或y＝32，
z＝－23，
故 e＝13，－23，32或 e＝－13，23，－23.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
(2)求向量a＋c与向量b＋c夹角的余弦值. 解 由(1)得，a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)， 因此向量a＋c与向量b＋c夹角θ的余弦值为 cos θ＝|aa＋＋cc|··|bb＋＋cc|＝ 53－8×12＋338＝－129.
D.0，12，－1
解析 ∵0，12，－1＝12m， ∴与 m 共线的向量是0，12，－1.
1234
2.已知向量a＝(1，2，－1)，则下列向量与a垂直的是
√ A.(0，0，1) B.(－2，1，0)
C.(1，1，2) D.(4，－1，1)
解析 (1，2，－1)·(0，0，1)＝－1≠0， (1，2，－1)·(－2，1，0)＝－2＋2＋0＝0， (1，2，－1)·(1，1，2)＝1＋2－2＝1≠0， (1，2，－1)·(4，－1，1)＝4－2－1＝1≠0， 只有B满足垂直.
知识梳理
空间向量的平行 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，y2)(a≠0).
x2＝ λx1 ， 平行：a∥b⇔b＝λa⇔y2＝ λy1 ，
z2＝ λz1. 当a的每一个坐标分量都不为零时， a∥b⇔ xx21＝yy21＝zz21 .
注意点：(1)空间向量的平行不一定有传递性，比如a∥b，a∥c，其中a＝0. (2)若两个向量平行，其中一个向量的分量有的为0时，则相应的另一个向 量的分量也一定为0.
高中数学：311《空间向量坐标》课件(新人教B版选修
VS
性质
向量积满足交换律和分配律，即 $mathbf{A} times mathbf{B} = mathbf{B} times mathbf{A}$和 $(lambdamathbf{A}) times mathbf{B} = lambda(mathbf{A} times mathbf{B}) = mathbf{A} times (lambdamathbf{B})$。
定义
两个向量的数量积的几何意义是它们 在夹角处的投影的乘积。
性质
数量积为正值时，两向量夹角为锐角 ；数量积为负值时，两向量夹角为钝 角；数量积为零时，两向量垂直。
03
向量的向量积与向量的混合积
向量的向量积的定义与性质
定义
两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的 向量积是一个向量，记作$mathbf{A} times mathbf{B}$，其模长为 $|mathbf{A} times mathbf{B}| = |mathbf{A}| cdot |mathbf{B}| cdot sin theta$，其中$theta$为$mathbf{A}$和 $mathbf{B}$之间的夹角。
混合积的几何意义
表示三个向量共同围成的平行六面体的体积。如果$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C}) > 0$，则表示$mathbf{A}$、$mathbf{B}$和$mathbf{C}$的顺序 与平行六面体的相对顺序一致；如果$mathbf{A} cdot (mathbf{B一致。
04
向量在几何中的应用
向量在解决平面几何问题中的应用
平行与垂直
利用向量判断两条直线是否平行 或垂直，以及判断两条直线是否
人教B版选择性必修第一册1-1-3-1空间向量的坐标及运算课件(34张)
A．(－1,2,5)
B．(－1,4,5)
C．(1,2,5)
D．(1,4,5)
2．已知 a＝(2，－3,1)，则下列向量中与 a 平行的是( D )
A．(1,1,1)
B．(－2，－3,5)
C．(2，－3,5)
D．(－4,6，－2)
3．(2022 河北邯郸月考)已知向量 a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，使 a⊥b 成立的 x 与
[练习 3] (2022 山东潍坊月考)设 x，y∈R，向量 a＝(x,1,1)，b＝(1，y,1)，c＝(2，－
2,2)，且 a⊥c，b∥c，则a＋b＝( C )
A．2 2
B．3
C. 5
D．4
03 课后重效果 学习测试速达标
1．(2022 河北石家庄检测)已知向量 a＝(3,5,1)，b＝(2,2,3)，c＝(4，－1，－3)，则向
[重点理解] 1．空间向量坐标的认识 (1)单位正交基底是两两互相垂直且长度为 1 的向量，即 e1·e1＝e2·e2＝e3·e3＝1，e1·e2 ＝e2·e3＝e3·e1＝0. (2)只有在单位正交基底下的分解才是空间向量的坐标，其他基底下的分解不是向量的 坐标．单位正交基底确定，空间中任一向量的坐标是唯一的． 2．空间向量坐标运算的理解 空间向量坐标运算实质上是平面向量坐标运算的推广(只是在平面向量坐标的基础上 增加了一个竖坐标)，与平面向量的坐标运算相比，空间向量的坐标运算适用范围更广， 它可以解决立体几何中的相关问题．
x2＝ 1．平行：a∥b⇔b＝λa⇔y2＝
z2＝
λx1 ， λy1 ， λz1 .
当 a 的每一个坐标分量都不为零时，
a∥b⇔_____xx_21＝__yy_12_＝_zz_21____. 2．垂直：a⊥b⇔a·b＝0⇔_________x_1x_2_＋__y_1y_2_＋_z_1_z_2＝__0________.
人教B版高中数学选修空间向量的直角坐标运算课件
1．空间向量的坐标运算 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 (1)a＋b＝________； (2)a－b＝________； (3)λa＝________(λ∈R)； (4)a·b＝________；
∴D→1A1·A→E＝(1,0,0)·(0,1，12)＝0， ∴AE⊥D1A1， 由(1)知 AE⊥D1F，且 D1A∩D1F＝D1， ∴AE⊥平面 A1D1F.
[ 例 5] 如 图 所 示 ， 直 三 棱 柱 ABC － A1B1C1 ， 底 面 △ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N 分别是A1B1、A1A的中点．
∵B→M⊥A→C1， ∴B→M·A→C1＝0， ∴－a(x－a)＋a(y－a)＋az＝0， 即 x－y－z＝0.①
又∵A→C1∥A→M，∴x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa， 即 x＝a－λa，y＝λa，z＝λa.② 由①②得 x＝23a，y＝a3，z＝a3. ∴M(23a，a3，a3)．
正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DC的 中点．
＝(0，－14，－1)．
∴|C→1G|＝
17 4.
又E→F·C→1G＝12×0＋12×(－14)＋(－12)×(－1)＝38，|E→F|＝ 23，
∴cos<E→F，C→1G>＝|E→E→FF|··C|C→→11GG|＝
51 17 .
即异面直线
EF
与
C1G
所成角的余弦值为
51 17 .