2019年高考理科数学全国卷3含答案

数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅲ卷理科数学一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B = ()A .{}1,0,1-B .{}0,1C .{}1,1-D .{}0,1,22.若(1i)2i z +=，则=z ()A .1i--B .1+i-C .1i-D .1+i3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A .0.5B .0.6C .0.7D .0.84.()()42121++x x 的展开式中3x 的系数为()A .12B .16C .20D .245.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134=+a a a ，则3=a ()A .16B .8C .4D .26.已知曲线e ln x y a x x =+在点1（，）ae 处的切线方程为2=+y x b ，则()A.–1==，a e bB.1==，a e b C.–11==，a e b D.–11==-a e b ，7.函数3222xxx y -=+在[]6,6-的图象大致为()A.B.C .D.8.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD △为正三角形，⊥平面平面ECD ABCD ，M 是线段ED 的中点，则()A.=BM EN ，且直线，BM EN 是相交直线B.≠BM EN ，且直线，BM EN 是相交直线C.=BM EN ，且直线，BM EN 是异面直线D.≠BM EN ，且直线，BM EN 是异面直线9.执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于()毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共18页）数学试卷第4页（共18页）A.4122-B.5122-C.6122-D.7122-10.双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则PFO△的面积为()A .324B .322C .22D .3211.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则()A .23323log 1224ff f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞＞B .23323124l 2og f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞＞C .23332124log 2f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞＞D .23323lo 122g 4f f f--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞＞12.设函数()si 5n f x x ωπ+⎛⎫= ⎪⎝⎭()0ω＞，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是()A .①④B .②③C .①②③D .①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知a ，b 为单位向量，且·0=a b，若2=-c a ，则cos ,=a c .14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =.15.设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为.16.学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥-O EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，，，，E F G H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =AA =，，3D 打印所用原料密度为30.9 g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子数学试卷第5页（共18页）数学试卷第6页（共18页）溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.18.（12分）ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知sinsin 2A Ca b A +=.（1）求B ；（2）若ABC △为锐角三角形，且1=c ，求ABC △面积的取值范围.19.（12分）图1是由矩形ADEB ，Rt ABC △和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1=，AB 260==∠=︒，BE BF FBC .将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且⊥平面平面ABC BCGE ；（2）求图2中的二面角--B CG A 的大小.20.（12分）已知函数32()2=-+f x x ax b .（1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________数学试卷第7页（共18页）数学试卷第8页（共18页）21.（12分）已知曲线C ：22=x y ，D 为直线12=-y 上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E 205⎛⎫⎪⎝⎭，为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC，曲线3M 是弧 CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M上，且||OP =P 的极坐标.23.[选修4–5：不等式选讲]（10分）设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a -≤或1a -≥.2019年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅲ卷数学试卷第9页（共18页）数学试卷第10页（共18页）理科数学答案解析一、选择题1．【答案】A【解析】集合||11B x x =- ，则|1,0,1|A B =- ，故选A ．【考点】集合的交运算，解一元二次不等式【考查能力】运算求解2．【答案】D 【解析】 2 i 2i(1-i)2+2i1i 1+i (1+i)(1-i)2z ====+，故选D ．【考点】复数的四则运算【考查能力】运算求解3．【答案】C【解析】根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用书思图表示如下：所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为700.7100=，故选B ．【考点】韦恩图的应用与概率问题【考查能力】阅读理解4．【答案】B【解析】展开式中含3x 的项可以由“1与3x ”和“32x 与x ”的乘积组成，则3x 的系数314424812C C +=+=，故选B ．【考点】二项展开式通项公式的应用5．【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由53134a a a =+，得4234q q =+，得24q =，因为数列{}n a 的各项均为正数，所以2q =，又()231112341(12=48)15a a q q a a a a q +++=+++++=+，所以11a =，所以2314a a q ==．故选C ．【考点】等比数列通项公式的应用【考查能力】运算求解6．【答案】D 【解析】因为e ln 1xy a x '=++，所以11x yae '==+，所以曲线在点()1ae ，出的切线方程为 ( 1)(1)y a c a e x -=+-，即(1) 1y ae x =+-，所以121ae b +=⎧⎨=-⎩，解得11a eb -⎧=⎨=-⎩．故选D ．【考点】导数的几何意义7．【答案】B【解析】因为32()22x x x f x -=+，所以32()()22x xx f x f x ---==-+，且[6,6]x ∈-，所以函数3222x x x y -=+为奇函数，排除C ；当0x ＞时；3202()2x xf x x -+=恒成立，排除D ；4426412812816(4)7.971222571616f -⨯⨯===≈++，排除A ．故选B ．【考点】函数图像与性质的应用8．【答案】B【解析】取CD 的中点O ，连接ON ，EO ，因为ECD △为正三角形，所以EO CD ⊥，又平面ECD ⊥平面ABCD ，平面ECD 平面ABCD CD =，所以EO ⊥平面ABCD ．设正方形ABCD 的边长为2，则EO =，1ON =，所以2224EN EO ON =+=．得2EN =．过M 作CD 的重线，垂足为P ，连接BP ，则32MP =，32CP =，所以222222332722BM MP BP ⎛⎛⎫=+=++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭．得BM =BM EN ≠．连接BD ，BE ，因为四边形ABCD 为正方形，所以N 为BD 的中点，即EN ,MB 均在平面BDE 内，所以直线BM ，EN 是相交直线，故选B ．【考点】空间线线位置关系【考查能力】空间想象9．【答案】C【解析】执行程序框图1x =,0s =，011s =+=,12x =，不满足1100x ε=＜，所以1111222s =+=-，14x =，不满足1100x ε=＜所以211112242s =++=-，18x =，不满足1100x ε=＜所以31111122482s =+++=-，116x =，不满足1100x ε=＜所以41111112248162s =++++=-，132x =，不满足1100x ε=＜数学试卷第11页（共18页）数学试卷第12页（共18页）所以51111111224816322s =+++++=-，164x =，不满足1100x ε=＜所以61111112248642s =++++⋯+=-，1128x =，满足1100x ε=＜输出6122s =-，故选C ．【考点】程序框图【考查能力】逻辑推理、运算求解10．【答案】A【解析】不妨设点P 在第一象限，根据题意可知26c =，所以||OF =．又tan2b POF a ∠==，所以等腰三角形POF 的高222h =⨯=，所以1224PFOS ∆==．故选A ．【考点】双曲线的标准方程与几何性质，三角形的面积11．【答案】C【解析】根据函数()f x 为偶函数可知()()3331log log 4log 44f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因为2303230222log 4--<<<<，且函数()f x 在(0,)+∞单调递减，所以332122log 234f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫->-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【考点】函数的单调性、奇偶性【考查能力】化归与转化，数形结合12．【答案】D【解析】如图，根据题意知2πA B x x ＜ ，根据图象可知函数()f x 在()02π，有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据2πA B x x ＜ ，有24π29π2π55ωω＜ ，得1229510ω＜，所以④正确；当π0,10x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππππ55105x ωω++＜＜，因为1229510ω＜ ，所以ππ49ππ1051002ω+＜＜，所以函数()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以③正确．【考点】三角函数的图像与性质【考查能力】数形结合13．【答案】23【解析】设(1,0)a =，(0,1)b =，则(2,5)c =-，所以22cos ,3145a c ==⨯+．【考点】平面向量的数量积．【考查能力】运算求解14．【答案】4【解析】等差数列{}n a 的公差为d ，由213a a =，即113a d a +=，得12d a =，所以1111051111091091010210022454542555222a d a a S S a d a a ⨯⨯++⨯====⨯⨯++⨯．【考点】等比数列的通项公式和前n 项和公式【考查能力】运算求解15．【答案】15)【解析】不妨令1F ,2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知36204c -==．因为12MF F △为等腰三角形，所以易知128F M c ==，所以2284F M a =-=，设(, )M x y ，则22222113620(4)640x y F M x y x y ⎧+=⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪⎪⎩＞＞，得315x y =⎧⎪⎨=⎪⎩M 的坐标为15)．【考点】椭圆的标准方程及定义16．【答案】118．8【解析】由题得长方体1111-ABCD A B C D ，的体积为2664144cm ⨯⨯=（）．四边形EFGH 为平行四边形，如图所示，连接CE ，HF ，易知四边形EFCH 的面积为矩形11BCC B ，面积的一半，即216412cm 2⨯⨯=（），所以数学试卷第13页（共18页）数学试卷第14页（共18页）2131212cm 3O EFGH V -=⨯⨯=四棱锥（），所以该模型的体积为()314412132cm -=，所以制作该模型所需原料的质量为1320.9118.8g ⨯=（）．【考点】空间几何体体积计算【考查能力】空间想象，运算求解17．【答案】解：（1）由已知得0.700.200.15a =++，故0.35a =，10.050.150.700.10b =---=．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.1530.2040.3050.2060.1070.05 4.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.0540.1050.1560.3570.2080.15 6.00⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【解析】（1）根据()P C 的估计值为0.70及频率之和为1可求得a ，b 的值；（2）根据各组区间的中点值及频率即可计算平均值．【考点】频率分布直方图【考查能力】识图能力，阅读理解18．【答案】（1）解：由题意设正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=由180A BC ︒++=，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B =．因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，因此60B ︒=．（2）由题设及（1）知ABC △的面积4ABC S a =△．由正弦定理得()sin 120csin 31sin sin 2tan 2C A a C C C ︒-===．由于ABC △为锐角三角形，故090A ︒︒＜＜，090C ︒︒＜＜．由（1）知120A C +=︒,所以3090C ︒︒＜＜，故122a ＜＜，从而82ABC S △．因此，ABC △面积的取值范围是,82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．【考点】正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式【考查能力】化归与转化，运算求解19．【答案】解：（1）由已知得AD BE ∥，CG BE ∥，所以AD CG ∥，故AD ，CG确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面由已知得AB BE ⊥，AB BC ⊥，故AB ⊥平面BCGE ．又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．（2）作EH BC ⊥，垂足为H ．因为EHC 平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC ．由已知，菱形BCGE 的边长为2，60EBC ∠=︒，可求得1BH =，EH =H 为坐标原点，HC的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，则(1,1,0)A -，(1,0,0)C，G，CG = ，(2,1,0)AC =-．设平面ACGD 的法向量为,,n x y z =（），则00CG n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩；所以可取(3,6,n =．【解析】（1）根据AD/CG 可证明四点共面，通过证明AB 上平面BCGE 即可证明面面垂直；（2）过E 作BC 的垂线，以垂足为原点，BC 所在直线为x 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角．【考点】四点共面，面面垂直的证明，二面角的求解【考查能力】推理论证，空间想象20．【答案】解：（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-令()0f x '=，得0x =或3a x =．若0a ＞，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭ 时，()'0f x ＞；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '＜，故()f x 在(,0)-∞，,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若0a =，()f x 在(,)-∞+∞单调递减；若a 0＜，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '＞；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '＜．故()f x 在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(0,)+∞单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．（2）满足题设条件的a ，b 存在。