201X年秋九年级数学下册第26章二次函数培优专题一课件新版华东师大版

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类型之四 已知几何图形求表达式 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，过点 A、C、D 作抛物线 y＝ax2 ＋bx＋c，与 x 轴的另一交点为 E，点 A、B、D 的坐标分别为 (－2，0)、(3，0)、 (0，4)．求抛物线的表达式．
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解：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AB＝DC. 又∵A(－2，0)、B(3，0)、D(0，4)，∴C(5，4)． 把 A(－2，0)、D(0，4)、C(5，4)代入 y＝ax2＋bx＋c，
得044＝＝＝42c，a5－a＋2b5＋b＋c，c. 解得ab＝＝－1702，7， c＝4，
∴抛物线的表达式为 y＝－72x2＋170x＋4.
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【变式跟进】
2．[2018·达州改编]如图，抛物线经过原点 O(0，0)、A(1，1)、B(27，0)． (1)求抛物线的解析式； (2)连结 OA，过点 A 作 AC⊥OA 交抛物线于 C，连结 OC，求△AOC 的面 积．
∴点 A 的坐标为(－3，0)，点 B 的坐标为(1，0)． 设点 C 坐标为(0，t)(t＞0)，
∴12×4×t＝6，解得 t＝3，
∴点 C 的坐标为(0，3)． 设抛物线的解析式为 y＝a(x＋3)(x－1)， 把(0，3)代入得 a×3×(－1)＝3，解得 a＝－1， ∴抛物线的解析式为 y＝－(x＋3)(x－1)＝－x2－2x＋3.
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10Βιβλιοθήκη 解：(1)设抛物线的解析式为 y＝ax(x－72)． ∵点 A(1，1)在抛物线上， ∴1＝a(1－72)，∴a＝－25. ∴抛物线的解析式为 y＝－52x(x－72)＝－25x2＋75x.
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(2)如答图，延长 CA 交 y 轴于点 E. ∵点 A(1，1)，∴点 A 在坐标轴夹角的平分线上． ∴∠AOE＝45°. ∵AC⊥OA，∴E(0，2)． 设 AC 所在直线的解析式为 y＝kx＋b(b≠0)． 根据题意，得12＝＝bk＋，b， 解得kb＝＝－2，1， ∴AC 所在直线的解析式为 y＝－x＋2.
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类型之二 已知顶点或对称轴求表达式 在直角坐标平面内，二次函数的图象顶点为 A(1，－4)，且过点 B(3， 0)，求该抛物线的表达式．
解：∵二次函数的图象顶点为 A(1，－4)， ∴设 y＝a(x－1)2－4，把 B(3，0)代入得 a＝1， 故抛物线表达式为 y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3.
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【变式跟进】 1．已知抛物线经过两点 A(1，0)、B(0，3)，且对称轴是直线 x＝2，求其表 达式．
解：∵抛物线的对称轴是直线 x＝2，且经过点 A(1，0)， ∴由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点(3，0)． 设抛物线的解析式为 y＝a(x－1)(x－3)． 把 B(0，3)代入得 3＝3a，∴a＝1， ∴抛物线的解析式为 y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.
第26章 二次函数
培优专题(一) 待定系数法求二次函数的表达式
方法管理
归类探究
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方法管理
用待定系数法求二次函数的表达式 一般式：已知抛物线上任意三点求函数表达式，可设一般式 y＝ax2＋bx＋c. 顶点式：已知抛物线的顶点和抛物线另一点求函数表达式，可设顶点式 y＝ a(x－h)2＋k. 交点式：已知抛物线与 x 轴的交点或交点的横坐标求函数表达式，可设交点 式 y＝a(x－x1)(x－x2)．
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解：设直线 AB 为 y＝kx＋b， ∵直线 l 过点 A(4，0)和点 B(0，4)，
4k＋b＝0， k＝－1， ∴b＝4， 解得b＝4， ∴直线 AB 的解析式为 y＝－x＋4.
∵S△AOP＝92，即12×4×yP＝29，
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∴yP＝94， ∴94＝－x＋4，解得 x＝74， ∴P74，94. 把点 P74，94代入 y＝ax2，解得 a＝3469， ∴y＝3469x2.
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【变式跟进】 3．抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＜0)交 x 轴于 A、B 两点(xA<xB)，交 y 轴的正半 轴于点 C，抛物线的对称轴是直线 x＝－1，AB＝4，S△ABC＝6，求该抛物线的表 达式．
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解：∵抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＜0)交 x 轴于 A、B 两点，抛物线的对称轴是 直线 x＝－1，AB＝4，
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归类探究
类型之一 已知三点求表达式 二次函数的图象经过点 A(0，－3)、B(2，－3)、C(－1，0)． (1)求此二次函数的关系式； (2)求此二次函数图象的顶点坐标； (3)把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移几个单位，使得该图象的顶点 在原点．
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解：(1)设二次函数的关系式为 y＝ax2＋bx－3. 把点 B(2，－3)、C(－1，0)代入得 4a＋2b－3＝－3， a＝1， a－b－3＝0， 解得b＝－2， ∴y＝x2－2x－3. [也可设 y＝a(x－1)2＋k)] (2)y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴函数的顶点坐标为(1，－4)． (3)|1－0|＋|－4－0|＝5， ∴最少平移 5 个单位．
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联立直线 AC 与抛物线的解析式，得
y＝－25x2＋75x， y＝－x＋2，
解得xy11＝＝11，，或xy22＝＝5－，3， ∴C(5，－3)． ∴OA＝ 2，AC＝ （5－1）2＋（－3－1）2＝4 2， ∴△AOC 的面积＝21OA·AC＝12× 2×4 2＝4.
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类型之五 已知面积求表达式 如图，直线 l 过点 A(4，0)和点 B(0，4)，它与二次函数 y＝ax2 的图象 在第一象限内交于点 P.若 S△AOP＝29，求二次函数的解析式．
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类型之三 已知抛物线与 x 轴的交点求表达式 [2018·湖州]已知抛物线 y＝ax2＋bx－3 经过点(－1，0)、(3，0)，求 a、 b 的值．
解：把点(－1，0)，(3，0)的坐标分别代入 y＝ax2＋bx－3， 得00＝＝a9－a＋b－3b3－，3，解得ab＝＝1－，2， 即 a 的值为 1，b 的值为－2.