大学理论力学全套课件4

v v ri = ri (qα , t )(α = 1,2,3, L s ) v v v v v n n ∂ri ∂ri ∂ri ∂ri ∂ ri ≠ 0, c = ∑ mi ≠0 ≠ 0 ，这时 bα = ∑ mi 则 ∂t ∂qα ∂t ∂t ∂t i =1 i =1
∴ T = T2 + T1 + T0 ，T不是广义速度的二次齐次函数。 不是广义速度的二次齐次函数
∂L & pϕ = = ϕ ml 2 sin 2 θ = const & ∂ϕ
pφ是一个循环积分。
石河子大学物理系殷保祥
例：质点在半径为l的固定光滑球面的凹面上运动（球面摆），试 例： 写出质点在运动中所存在的运动积分。 解：令质点的质量m 、已知摆长l，利用球坐标系。 解：
s = 2, q1 = θ , q2 = ϕ
1 1 2 &2 2 2 & T = ml (θ + ϕ sin θ ), V = − mgl cosθ 2 2 1 2 &2 1 & 2 sin 2 θ ) + mgl cosθ L = T − V = ml (θ + ϕ 2 2 在Lagrange函数中不显含广义坐标 ϕ ，所以 ϕ 是L的循环坐标， 所以和 ϕ 共轭的广义动量守恒，即：
d ∂L d ∂L ∂L & & && ∴ qα ( ) = ( qα )− qα LL (50) & & & dt ∂qα dt ∂qα ∂qα
将（50）式代入（49）式，得
d ∂L ∂L ∂L &α &&α − qα & ]=0 ∑ [ dt (q ∂q ) − ∂q q &α &α ∂qα α =1 s s ∂L ∂L ∂L d & && & ) − ∑( ) = 0LL (51) qα + qα 得 ∑ (qα & & ∂qα ∂qα α =1 dt α =1 ∂qα
∂T 1 & & = m2 x = mx = p x 是质点动量的x分量。 & ∂x 2
1 2 1 2 1 2 & & & mx + my + mz 2 2 2
而定义广义动量为：
∂T pα = & ∂qα
这就是我们定义的和广义坐标qα共轭的广义动量。 广义动量
q 如果L中不含有某个广义坐标 qα ， α 称为循环坐标或可遗坐标，则， 循环坐标 可遗坐标
d 即： (2T − T + V ) = 0 → d (T + V ) = 0LL (57) dt L 积分得 T + V = E （常量） L (58)
∂T2 & = 2T2 。 注意 T = T2 ，则 ∑ qα & ∂qα α =1
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
即机械能守恒，又称能量积分。 机械能守恒 能量积分 §5.3.5.3 广义能量积分 当力学体系受不稳定约束时，变换函数含时间，即 不稳定约束
v v v v s ∂r s ∂r ∂ri ∂ri 1 & & = ∑ mi ( ∑ i qα + ) ⋅ ( ∑ i q β + ) ∂t β =1 ∂q β ∂t i =1 2 α =1 ∂qα v v v v v v n s s n s n ∂r ∂ri ∂r ∂r 1 1 1 ∂r ∂r & & & qα q β + ∑ mi 2∑ i i qα + ∑ mi i i = ∑ mi ∑∑ i ∂t ∂t i =1 2 i =1 2 i =1 2 α =1 β =1 ∂qα ∂q β α =1 ∂qα ∂t
§5.3.4 循环坐标与循环积分(可遗坐标与可遗积分)
完整、保守的力学体系，在理想约束时，其运动满足保守系 Lagrange方程 ∂L d ∂L ( )− = 0(α = 1,2,3, L s ) & dt ∂qα ∂qα 运动质点m，其运动动能为 T =
∂T 自然我们把 ∂q 理解为是广义动量在qα广义坐标上的分量，因 &α
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∂L ∂T ∂L → = 当L不显含时间时， = 0 ， ∂t & & ∂qα ∂qα
d s ∂T & [ ∑ (qα ) − L] = 0 得 将(61)式代入（55）式 & dt α =1 ∂qα
d [2T2 + T1 − (T − V )] = 0 dt d d → [2T2 + T1 − (T2 + T1 + T0 − V )] = (T2 − T0 + V )] = 0 dt dt
s
& L 另外， = L(qα , qα , t )，则 s dL ∂L ∂L ∂L & && qα + qα ) + = ∑( LL (52) & dt α =1 ∂qα ∂qα ∂t
将（52）式代入（51）式，得
d dL ∂L ∂L &α ∑ dt (q ∂q ) − ( dt − ∂t ) = 0 LL(53) &α α =1 石河子大学物理系殷保祥
v v v v v s s ∂ri dqα ∂ri ∂r ∂r v dri &= & = ∑ i qα + i LL (43) ri ⋅ + =∑ ∂t dt α =1 ∂qα dt ∂t α =1 ∂qα
n 1 v2 1 v v & & & T = ∑ mi ri = ∑ mi ri ⋅ ri i =1 2 i =1 2 n
s
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∂L 当L不显含时间时， = 0 ，则 ∂t
∂L d s d s dL ∂L &α & ) − L] = 0 LL (54) (∑ qα )− = 0 → [∑ ( q & ∂qα dt α =1 & dt α =1 ∂qα dt
d s ∂T &α ∴ [∑ ( q ) − L] = 0LL (55) & dt α =1 ∂qα v v ri = ri (qα )，不显含时间t， 力学体系在稳定约束和无约束时 稳定约束和无约束
pϕ = ∂L & = ϕ ml 2 sin 2 θ = const ，pφ是一个循环积分。 & ∂ϕ
§5.3.5.能量积分与广义能量积分 §5.3.5.1动能函数(用广义坐标表示的动能) n 1 v v v2 & ，由变换方程 ri = ri (qα , t ) 得 设力学体系动能为 T = ∑ mi ri i =1 2 石河子大学物理系殷保祥
& 对上面各方程乘 qα并对s个方程求和，得
& ∑[qα
α =1
s
∂L d ∂L & ( ) − qα ] = 0LL (49) & ∂qα dt ∂qα
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∂L ∂L d ∂L d &α &&α + qα ( & )= ) q Q (q & & & ∂qα ∂qα dt ∂qα dt
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d ∂L ( ) ≡ 0 LL (41) & dt ∂qα d ∂L pα ≡ 0 ( ) = pα ，是广义动量，代入（9）式，得 & dt ∂qα 积分得 pα ≡ 常量LL (42)
∂L ≡ 0 由（8）式得 ∂qα
即广义动量守恒，也叫循环积分或可遗积分。 广义动量守恒 循环积分 可遗积分 力学体系有无循环坐标，有多少循环坐标与广义坐标的选取有关， 力学体系有无循环坐标，有多少循环坐标与广义坐标的选取有关 例如受有心力作用时的运动，当取直角坐标为广义坐标时： 1 & & L = T − V = m ( x 2 + y 2 ) − V ( x, y ) 2 显然力学体系没有循环坐标，所以没有与广义坐标对应 的循环积分。当取极坐标为广义坐标时，有
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v v v v s n ∂ri ∂ri ∂r ∂r 1 &α q β + ∑ (∑ mi i i )qα & & = ∑∑ (∑ mi )q ∂qα ∂qβ ∂qα ∂t α =1 β =1 i =1 2 α =1 i =1 v v n 1 ∂r ∂r + ∑ mi i i LL (44) ∂t ∂t i =1 2
L = T −V = 1 & & m(r 2 + r 2θ 2 ) − V (r ) 2
这时在L中不显含广义坐标θ，所以 θ是循环坐标，因而与广 义坐标θ共轭的广义动量守恒。即角动量是守恒的。
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例：质点在半径为l的固定光滑球面的凹面上运动（球面摆），试 例： 写出质点在运动中所存在的运动积分。 解：令质点的质量m 、已知摆长l，利用球坐标系。 解：
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可见，力学体系的动能是广义速度的二次齐次、一次、零次函数， 用T2、T1、T0表示，则
T = T2 + T1 + T0LL (49) 这就是力学体系的动能函数。 力学体系的动能函数
§5.3.5.2 能量积分 设有完整保守的力学体系，则力学体系满足保守系Lagrange方程：
d ∂L ∂L ( )− = 0 (α = 1,2， ，s) L & ∂qα dt ∂qα
积分得 T2 − T0 + V = h(const ) LL (62) （62）式说明h是力学体系的守恒量。T2 − T0 + V = h 有能量量纲， 是力学体系的守恒量 但不是机械能，因而称为是广义能量，（62）式称为广义能量守 广义能量 恒或广义能量积分。 恒或广义能量积分