2018苏教版高中数学必修四同步模块综合检测题及答案解析3套
高中数学模块综合检测苏教版必修4
(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝__________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－6π＋π3＝cos π3＝12.答案：122．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2θ＜1，则θ所在的象限为__________．解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2θ＜1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，∴sin 2θ＞0，∴2k π＜2θ＜2k π＋π(k ∈Z)， ∴θ表示第一或第三象限的角． 答案：第一或第三象限3．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么a ·b 的值为__________．解析：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×4×cos120°＝16×(－12)＝－8.答案：－84．已知sin α＋cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为__________．解析：∵sin α＋cos α＝－52，∴1＋2sin αcos α＝54，∴sin αcos α＝18.∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝8. 答案：85．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝__________.解析：|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25×12＋32－10×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝49，∴|5a －b |＝7.答案：76．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，则y 的表达式为__________．解析：由T 2＝2π3－π6，求出周期T ＝π，ω＝2，然后可求得φ＝π6.答案：y ＝2sin(2x ＋π6)7．若a ⊥b ，c 与a 及c 与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝__________.解析：由a ⊥b ，得a ·b ＝0，由题意，得a ·c ＝|a ||c |cos60°＝1×3×12＝32，b ·c ＝|b ||c |cos60°＝2×3×12＝3，所以(a ＋2b －c )2＝a 2＋4b 2＋c 2＋4a ·b －4b ·c －2a ·c ＝|a |2＋4|b |2＋|c |2＋4a ·b －4b ·c －2a ·c ＝1＋16＋9－4×3－2×32＝11.答案：118．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x (x ∈R)的单调递增区间是__________． 解析：因为(π3－x )＋(π6＋x )＝π2，所以y ＝2sin(π3－x )－sin(π3－x )＝sin(π3－x )＝－sin(x －π3)．由2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋32π(k ∈Z)，得2k π＋56π≤x ≤2k π＋116π(k∈Z)，故原函数的单调递增区间是[2k π＋56π，2k π＋116π](k ∈Z)．答案：[2k π＋56π，2k π＋116π](k ∈Z)9．若A ＋B ＝π3，tan A ＋tan B ＝233，则cos A cos B ＝________.解析：由sin A cos A ＋sin B cos B ＝A ＋B cos A cos B ＝sinπ3cos A cos B ＝233，可求得cos A cos B ＝34.答案：3410．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝__________.答案：－811．已知|p |＝22，|q |＝3，p 、q 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|为__________．解析：∵AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(5p ＋2q ＋p －3q )＝12(6p －q )， ∴|AD →|＝ |AD ―→|2＝12p －q 2＝ 1236p 2－12p ·q ＋q 2 ＝12 22－12×22×3×cos π4＋32＝152.答案：15212．关于平面向量a ，b ，c ，下列是真命题的是__________． ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°； ④若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .解析：由a ·b ＝a ·c 得a ·(b －c )＝0，有三种情形：a ＝0或b －c ＝0或a ⊥(b －c )，所以①错误；由a ∥b ，即1－2＝k6得k ＝－3，②正确；因为|a |＝|b |＝|a －b |，所以a ，b 的夹角为60°，从而a 与a ＋b 的夹角为30°，故③错误；若b ＝0，此时a 与c 不一定平行，故④错误．答案：②13．设f (x )是以5为周期的奇函数，且f (－3)＝1，tan α＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos 2α－2的值为__________．解析：由1cos 2α－2＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－2＝8，得 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos 2α－2＝f (8)＝f (5＋3)＝－f (－3)＝－1. 答案：－114．如果a ＝(cos α＋sin α，2010)，b ＝(cos α－sin α，1)，且a ∥b ，那么1cos2α＋tan2α＋1的值是__________．解析：由a ∥b ，得cos α＋sin α＝2010(cos α－sin α)， ∴cos α＋sin αcos α－sin α＝2010.∴1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝1＋sin2αcos2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝ α＋cos α2α＋sin αα－sin α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝2010.∴1cos2α＋tan2α＋1＝2010＋1＝2011. 答案：2011二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为120°.求： (1)|a ＋b |及|a －b |；(2)向量a ＋b 与a －b 的夹角．解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝2×2×cos120°＝－2，所以|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝22＋22＋2×(－2)＝4，所以|a ＋b |＝2，同理可求得|a －b |＝2 3.(2)因为(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝22－22＝0，所以(a ＋b )⊥(a －b )，所以a ＋b 与a －b 的夹角为90°.16．(本小题满分14分)已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，a ·b ＝25，求52sin2α－4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π42cos2α2的值．解：∵a ·b ＝(cos2α，sin α)·(1,2sin α－1)＝cos2α＋sin α·(2sin α－1)＝cos2α＋2sin 2α－sin α＝cos2α＋(1－cos2α)－sin α＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴52sin2α－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42cos2α2＝102sin αcos α－4⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos α－22sin α1＋cos α＝102sin αcos α－22cos α＋22sin α1＋cos α＝102×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋22×351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝102×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×(－4)＋22×3 ＝－242＋82＋62＝－10 2.17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x ，且f (0)＝2，f (π3)＝12＋32. (1)求f (x )的最大值与最小值；(2)若α－β≠k π(k ∈Z)，且f (α)＝f (β)，求tan(α＋β)的值．解：(1)因为f (0)＝2a ＝2，所以a ＝1，因为f (π3)＝12a ＋34b ＝12＋32，所以b ＝2.所以f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以f (x )的最大值为2＋1，最小值为1－ 2.(2)若f (α)＝f (β)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2β＋π4，所以2α＋π4＝2k π＋2β＋π4或2α＋π4＝2k π＋π－⎝⎛⎭⎪⎫2β＋π4，即α－β＝k π(舍去)或α＋β＝k π＋π4，k ∈Z ，所以tan(α＋β)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π4＝1. 18．(本小题满分16分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.(1)求cos(α－β)；(2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，且sin β＝－513，求sin α.解：(1)∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)．又∵|a －b |＝255，∴α－cos β2＋α－sin β2＝255，∴2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35.(2)∵0＜α＜π2，－π2＜β＜0,0＜α－β＜π，sin β＝－513，cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45，cos β＝1213.sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝3365. 19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2＋sin x ＋b .(1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调增区间；(2)当a ＜0且x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[3,4]，求a ＋b 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2cos 2x 2＋sin x ＋b ＝1＋cos x ＋sin x ＋b ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b ＋1.由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z)，所以当a ＝1时，f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－34π，2k π＋π4(k ∈Z)． (2)由(1)知f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b ，因为x ∈[0，π]，所以π4≤x ＋π4≤5π4，又因为a ＜0时，x ＋π4＝π2时，f (x )有最小值，所以2a ＋a ＋b ＝3.当x ＋π4＝54π时，f (x )有最大值，所以－a ＋a ＋b ＝4，所以a ＝－2＋1，b ＝4，所以a ＋b ＝5－ 2.20．(本小题满分16分)(2010年高考山东卷)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ，所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω＞0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12.当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.。
2017_2018学年高中数学阶段质量检测四模块综合检测苏教版必修3201801251104
阶段质量检测(四)模块综合检测[考试时间：90分钟试卷总分：120分]一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．任何一个算法都必须有的基本结构是________．2．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．3．在某路段路测点，对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为如图所示的频率分布直方图，则车速不小于90 km/h的汽车约有________辆．4．A是半径为r的圆O上的一定点，A′是圆上任意一点，则弦AA′长度小于r的概率为________．5．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显^ 示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y＝0.254x＋0.321.由回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．6．下面一段伪代码，输出的结果是________．i←1Doi←i＋2s←i2－1 Until i≥8End Do Prints7．在一个边长为1 000米的正方形区域的每个顶点处都设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被监测得到．那么随机投放一个爆破点被监测到的概率为________.8.某算法的流程图如图所示，则输出的S＝________.9．(陕西高考改编)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品. 用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是________．10．(山东高考改编)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：8 7 79 4 0 1 0 x 9 1则7个剩余分数的方差为________．11．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．12.如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内1方任意抛掷一质点它，落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长4体的体积是________．13．(新课标Ⅰ高考改编)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是________．14．(山东高考改编)执行下面的流程图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为________．二、解答题(本大题共4小题，共50分)15．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求f(x)有零点的概率；(2)若a，b都是从区间[0,4]上任取的一个数，求f(1)＞0的概率．16．(新课标Ⅰ高考)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1.7 1.90.80.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41．60.5 1.80.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？A药B药0.1.2.3.17．(山东高考)(本小题满分12分)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：A B C D E身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82体重指标19.2 25.1 18.5 23.3 20.9(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．18．(本小题满分14分)某中学共有1 000名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试，数学成绩如下表所示：[30,60 [60,90数学成绩分组[0,30) [90,120) [120,150]) )人数60 90 300 x 160(1)为了了解同学们前段复习的得失，以便制定下阶段的复习计划，学校将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率；(2)已知本次数学成绩的优秀线为110分，试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数；(3)作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)答案1．顺序结构212．解析：抽取的男运动员的人数为×48＝12.48＋36答案：12频率3．解析：频率＝×组距＝(0.02＋0.01)×10＝0.3，频数＝频率×样本总体＝0.3×200＝组距60(辆)．答案：604．解析：如图，在图上取B、C两点使∠AOB＝∠AOC＝60°，则AB＝AC＝r.当A′在弧BA C上时满足120πr2πr 1 AA′<r.而弧BAC(区域d)的长度为＝，圆(区域D)周长为2πr，故所求概率为.180 3 31答案：3^ ^5．解析：以x＋1代x，得y＝0.254(x＋1)＋0.321，与y＝0.254x＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．答案：0.2546．解析：执行循环体依次得i＝3，s＝32－1；i＝5，s＝52－1；i＝7，s＝72－1；i＝9，s＝92－1＝80，结束．答案：807．解析：爆破点所在区域为正方形区域，其面积为S正方形＝1 000×1000＝106，可检测到的区域为四个半径相同的四分之一圆，其面积为S圆＝π×2002＝4×104π，依据几何概型的S圆 4 × 104ππ计算公式可得随机投放一个爆破点被监测到的概率为P＝＝＝.S正方形106 25π答案：258．解析：执行算法，依次得k＝2，S＝2×1＋2＝4；k＝3，S＝2×4＋3＝11；k＝4，S＝2×11＋4＝26，这时k>3，输出S＝26.答案：269．解析：由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件为二等品的概率为0.45.答案：0.4510．解析：由图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝1 3691×7，x＝4.s2＝[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝.7 736答案：711．解析：可取点P(m，n)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共六种，其中满足在圆2 1x2＋y2＝9内部的点有(2,1)，(2,2)．所以P＝＝.6 31答案：312．解析：设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面2＋4h 1 1展开图内的概率P＝＝，解得h＝3或h＝－(舍去)，故长方体的体积为 2h＋2 2h＋1 4 21×1×3＝3.答案：313．解析：从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足取出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3)，(2,4)，故所求概率2 1是＝.6 31答案：314．解析：输入ε＝0.25后，程序执行如下：①Error!②Error!③Error!此时输出的n的值为3.答案：315．解：(1)a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，则基本事件的总数为5×5＝25.f(x)有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0.即a2≥4b；而事件“a2≥4b”包含12个基本事件：(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所12以f(x)有零点的概率P1＝.25(2)a，b都是从区间[0,4]上任取的一个数，f(1)＝－1＋a－b＞0，即1× 3 × 32 9 a－b＞1，由右图可知f(1)＞0的概率P2＝＝.4 × 4 32－为16．解：(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数y.1由观测结果可得x＝×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2012.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y＝×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.920＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x>y，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：A药B药6 0. 5 5 6 8 98 5 5 2 2 1. 1 2 2 3 4 6 7 8 99 8 7 7 6 5 4 3 3 2 2. 1 4 5 6 75 2 1 0 3. 27从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B107药疗效的试验结果有的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A药的疗效更好．1017．解：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在1.78以下的事件有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．因此选到3 1的2人的身高都在1.78以下的概率为P＝＝.6 2(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．718．解：(1)分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为样本容量 1，故甲同学被抽到的概率P＝.总体中个体总数10(2)由题意x＝1 000－(60＋90＋300＋160)＝390.故估计该中学达到优秀线的人数m＝160＋390×120－110＝290.120－90(3)频率分布直方图，如右图所示．60 × 15＋90 × 45＋300 × 75＋390 × 105＋160 × 135 x＝1000＝90.估计该学校本次考试的数学平均分为90分．。
高中数学苏教版必修4模块综合测评含解析
7．函数y＝sin 的值域为________．
【解析】∵0≤x≤ ，∴ ≤2x＋ ≤
∴y＝sin 的值域为 .
【答案】Байду номын сангаас
8.如图1，在△ABC中，E，F分别是边AC，BC的中点，D是EF的中点，设 ＝a， ＝b，则 ＝________.(用a，b表示)
图1
【解析】 ＝ ＝ ＝ ( － )＝ (－b＋a)．
＝ ＝ a， ＝ ＋
＝ a＋ (－b＋a)＝ a－ b.
【答案】 a－ b
9．若b＝(1,1)，且a·b＝2，(a－b)2＝3，则|a|＝________.
【解析】 由(a－b)2＝3，得a2－2a·b＋b2＝3，
则a2－2×2＋2＝3，故a2＝5，|a|＝ .
【答案】
10．函数f(x)＝sin 的单调递减区间是________．
(2)由(1)得 ＝2tanα，即 ＝2x，
所以
由此得，cosα＝cos(π－β)，
由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.
又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝ ，而α＞β，所以α＝ ，β＝ .
18．(本小题满分16分)已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f(x)．
(1)求证：tan(α＋β)＝2tanα.
模块综合测评
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)
1．sin 330°＝________.
【解析】sin 330°＝sin(330°－360°)＝sin(－30°)＝－ .
【答案】 －
2．已知角α的终边经过点P(4，－3)，则2sinα＋cosα的值等于________．
2018-2019学年最新苏教版高中数学必修四全册模块综合检测题及答案解析-精品试卷
模块综合检测卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．当|a|＝|b|≠0，且a ，b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( )A ．平行B ．相等C ．相交但不垂直D ．垂直解析：根据向量的几何意义，作OA →＝a ，OB →＝b ， 则在▱CAOB 中，OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b ，因为|a|＝|b|，即OA ＝OB ，所以▱CAOB 是菱形． 所以AB⊥OC，即BA →⊥OC →.所以(a ＋b)⊥(a－b)． 答案：D2．已知角α的终边经过点P(4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于( )A ．－35 B.45 C.25 D ．－25解析：因为α的终边过点P(4，－3)， 所以x ＝4，y ＝－3，r ＝|OP|＝5. 所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝45.所以2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.答案：D3．下列各向量中，与a ＝(3，2)垂直的是( ) A ．(3，－2) B ．(2，3) C ．(－4，6)D ．(－3，2)解析：(3，2)·(－4，6)＝3×(－4)＋2×6＝0. 答案：C4．要得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，只需将函数y ＝3sin 2x的图象( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π8个单位长度D ．向右平移π8个单位长度解析：因为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8，所以由y ＝3sin 2x的图象向左平移π8个单位长度可得y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．答案：C5．(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋sin 2xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x 2＋sin x解析：A 为奇函数，B 、C 为偶函数，D 中，y ＝x 2＋sin x 是非奇非偶函数．答案：D6．已知函数f(x)＝(sin x －cos x)sin x ，x ∈R ，则f(x)的最小正周期是( )A ．πB ．2π C.π2D ．2解析：f(x)＝sin 2x －sin xcos x ＝1－cos 2x 2－12sin 2x ＝12－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.答案：A7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f(x)是奇函数B ．y ＝f(x)的周期为πC ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f(x)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称解析：由题意得y ＝f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x.显然A ，B ，C 均错误，只有D 正确． 答案：D8．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( )A.32 B ．－32C ．±32D ．±12解析：由sin θ－cos θ＝22，得1－2sin θcos θ＝12，则sin 2θ＝12.即1－2sin θcos θ＝12，所以sin 2θ＝12.因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ >cos θ，所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.所以2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－32.答案：B9．函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z解析：由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，所以2πω＝2，所以ω＝π.由π·14＋φ＝π2＋2kπ，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，所以f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2kπ<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x<2k ＋34，k ∈Z ，所以f(x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.答案：D10．先令函数y ＝cos x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再把图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，则所得图象对应的函数表达式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4解析：第一步变换后所得函数表达式是y ＝cos 2x ，第二步变换后所得函数表达式是y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x答案：B11．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋kπ，11π12＋kπ(k∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋kπ，5π12＋kπ(k ∈Z)解析：由题可得y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由π2＋2kπ≤2x －π3≤3π2＋2kπ，k ∈Z ， 得5π12＋kπ≤x ≤11π12＋kπ，k ∈Z ， 所以原函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋kπ，11π12＋kπ(k∈Z)． 答案：C12．已知向量a ＝(2cos φ，2sin φ)，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，b ＝(0，－1)，则a 与b 的夹角为( )A ．φ B.π2－φ C.π2＋φ D.3π2－φ 解析：|a|＝ （2cos φ）2＋（2sin φ）2＝2， |b|＝1，a·b＝－2sin φ，设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a·b |a||b|＝－2sin φ2×1＝－sin φ＝sin(－φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－φ，则cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－φ，且3π2－φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以θ＝3π2－φ. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)13．已知等腰三角形底角的余弦值等于45，则这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设此三角形的底角为α，顶角为β，则cos α＝45，sin α＝35，所以sin β＝sin (π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×45＝2425. 答案：242514．(2014·陕西卷)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝________．解析：因为a∥b，所以sin 2θ·1－cos 2θ＝0.所以2sin θcos θ－cos 2θ＝0.因为0<θ<π2，所以cos θ >0.所以2sin θ＝cos θ.所以tan θ＝12.答案：1215．在等腰梯形ABCD 中，已知AB∥DC，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF→＝16DC →，则AE →·AF →的值为________． 解析：取BA →，BC →为一组基底，则AE →＝BE →－BA →＝23BC →－BA →，AF→＝AB →＋BC →＋CF →＝－BA →＋BC →＋512BA →＝－712BA →＋BC →，所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23BC →－BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－712BA →＋BC →＝712|BA →|2－2518BA →·BC →＋23|BC →|2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918.答案：291816．(2015·天津卷)已知函数f(x)＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f(x)＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2kπ，k ∈Z.又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2， 所以ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知|a|＝1，|b|＝2，a 与b 的夹角为θ.(1)若a∥b，求a·b； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.解：(1)因为a∥b，所以θ＝0°或180°， 所以a·b＝|a||b|cos θ＝± 2. (2)因为a －b 与a 垂直，所以(a －b)·a＝0，即|a|2－a·b＝1－2cos θ＝0. 所以cos θ＝22.又0°≤θ ≤180°，所以θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，求sin α及tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3.解：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22(sin α－cos α)＝7210，所以sin α－cos α＝75.①因为cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α) (cos α＋sin α)＝－75(cos α＋sin α)， 所以cos α＋sin α＝－15.②由①②得：sin α＝35，cos α＝－45.所以tan α＝－34.所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan α＋31－3tan α＝3－341＋334＝48－25311.所以sin α＝35，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝48－25311.19．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)若A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos (β－α)的值；(2)已知点C 是单位圆上的一点，且OC →＝OA →＋OB →，求OA →和OB →的夹角θ.解：(1)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，45，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1213，则x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1，又x 1>0，所以x 1＝35，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45.x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝1，又x 2<0，所以x 2＝－513.所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－513，1213.所以sin α＝45，cos α＝35，sin β＝1213，cos β＝－513，所以cos (β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×35＋1213×45＝3365. (2)根据题意知|OA →|＝1，|OB →|＝1，|OC →|＝1， 又OC →＝OA →＋OB →，所以四边形CAOB 是平行四边形． 又|OA →|＝|OB →|，所以▱CAOB 是菱形．又|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以△AOC 是等边三角形． 所以∠AOC＝60°.所以∠AOB＝120°. 即OA →与OB →的夹角θ为120°.20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x ·cos x.(1)当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f(x)的值域；(2)用五点法在下图中作出y ＝f(x)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的简图；(3)说明f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．解：f(x)＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin xcos x ＝2cosx ⎝⎛⎭⎪⎫sin xcos π3＋cos xsin π3－3·sin 2x ＋sin xcos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π3≤2x ＋π3≤4π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.所以当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f(x)的值域为[－3，2]．(2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 2x ＋π30 π2 π 3π2 2π 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π32－2图象如图所示．(3)法一：由以下变换可得f(x)的图象：先将y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12，最后将纵坐标伸长为原来的2倍．法二：由以下变换可得f(x)的图象：先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，再将图象向左平移π6个单位长度，最后将纵坐标伸长为原来的2倍．21．(本小题满分12分)(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x)，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m⊥n，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m⊥n，则m·n＝0.由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0，所以tan x ＝1.(2)因为m 与n 的夹角为π3，所以m·n＝|m|·|n|cos π3，即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又因为x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4.所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.22．(本小题满分12分)已知f(x)＝2cos2ωx2＋3sin ωx ＋a 的图象上相邻两对称轴的距离为π2.(1)若x∈R，求f(x)的递增区间；(2)若x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f(x)的最大值为4，求a 的值．解：由f(x)＝2cos 2ωx2＋3sin ωx ＋a ＝3sin ωx ＋cos ωx ＋a ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a ＋1.因为f(x)的图象上相邻对称轴的距离为π2，故T 2＝π2⇒T ＝π⇒ω＝2πT＝2， 所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1.(1)由－π2＋2kπ≤2x ＋π6≤π2＋2kπ(k∈Z)，解得－π3＋kπ≤x ≤π6＋kπ(k∈Z)，所以f(x)的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋kπ，π6＋kπ(k∈Z)．(2)若x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则π6≤2x ＋π6≤7π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.所以f(x)max ＝2＋a ＋1＝4. 所以a ＝1.。
2018-2019学年最新苏教版高中数学必修四《任意角的三角函数》同步练习题及答案解析-精品试卷
必修四《任意角的三角函数》一、 填空题1. 若－π2＜α＜0，则点Q(cos α，sin α)位于第________象限． 2. 已知角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则sin α－cos α＝__________． 3. 若角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则α＝__________．4. 若△ABC 中，cos A ·cos B<0，则此三角形的形状是____________．5. 若f(cos x)＝cos 2x ，则f(sin 15°)＝________．6. 若sin A ＝45，且A 是三角形的一个内角，则5sin A ＋815cos A －7＝________． 7. 若sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则4sin 2 α－3sin αcos α－5cos 2α＝______． 8. 已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________． 9. 已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ＝________． 10. 下列四个命题中正确的有________．(填序号)① 若α是第一象限角，则sin α＋cos α＞1；② 存在α使sin α＝13，cos α＝23同时成立； ③ 若|cos 2α|＝－cos 2α，则α终边在一、二象限；④ 若tan (5π＋α)＝－2且cos α>0，则sin (α－π)＝255. 二、 解答题11. 化简：(1)sin [α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）·cos （α＋2n π）(n∈Z)； (2)cos α1＋sin α－sin α1＋cos α－2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α.12. (1) 已知角θ的终边上有一点P(x ，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值；(2) 已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x<1，f （x －1）－1，x>1，求f(13)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43的值．13. 已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1) 求sin A ·cos A ；(2) 判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3) 求tan A 的值．1. 四 解析：因为－π2＜α＜0，则cos α＞0，sin α＜0. 2. 3－12 解析：因为点P 是单位圆上一点，所以sin α＝32，cos α＝12，sin α－cos α＝3－12. 3. 2k π－π3，k ∈Z 解析：∵ P(1，－3)，∴ α＝2k π－π3，k ∈Z. 4. 钝角三角形 解析：∵ cos A ·cos B<0，∴ A 是钝角或者B 是钝角．5. －32 解析：f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝－32.6. 6或－34 解析：∵ sin A ＝45，且A 是三角形的一个内角，∴ cos A ＝±35， ∴ 5sin A ＋815cos A －7＝4＋8±9－7＝6或－34. 7. 1 解析：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得sin α＝2cos α， ∴ tan α＝2.∴ 4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1. 8. －3125 解析：将sin θ＝2cos θ－25代入平方关系得⎝⎛⎭⎪⎫2cos θ－252＋cos 2θ＝1，解得cos θ＝－725或35(不符，舍去)，从而sin θ＝－2425，故sin θ＋cos θ＝－3125. 9. －23 解析：因为0<θ<π4，所以cos θ>sin θ，即sin θ－cos θ<0.又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，所以sin θ－cos θ＝－23. 10. ①④ 解析：对于①，在α终边上任取一点(x ，y)，则x ＞0，y ＞0，sin α＝y x 2＋y 2，cos α＝x x 2＋y 2，sin α＋cos α＝x ＋y x 2＋y 2＞x ＋y x 2＋y 2＋2xy＝1，∴ ①正确；由⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232≠1知②不正确；对于③，取α＝π2，则||cos 2α＝－cos 2α成立，但是π2终边不在一、二象限，∴ ③不正确；对于④，由tan(5π＋α)＝－2得tan α＝－2，cos α＝－12sin α，又cos α>0，∴ sin α<0，再由sin 2α＋cos 2α＝1，可得sin α＝－255，∴ sin (α－π)＝－sin α＝255，④正确． 11. 解：(1) 原式＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α. (2) 原式＝1＋sin α＋cos α1＋sin α＋cos α(cos α1＋sin α－sin α1＋cos α)－2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α＝11＋sin α＋cos α[（1＋sin α＋cos α）cos α1＋sin α－（1＋cos α＋sin α）sin α1＋cos α]－2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α＝11＋sin α＋cos α(cos α＋cos 2α1＋sin α－sin α－sin 2α1＋cos α)－2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α＝11＋sin α＋cos α(cos α＋1－sin α－sin α－1＋cos α)－2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α ＝2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α－2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α＝0. 12. 解：(1) ∵ θ的终边过点(x ，－1)(x≠0)，∴ tan θ＝－1x. 又tan θ＝－x ，∴ x 2＝1，∴ x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22，sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22，sin θ＋cos θ＝－ 2. 综上，sin θ＋cos θ＝0或－ 2.(2) f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋f(43－1)－1＝12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝－12＋cos π3＝0. 13. 解：(1) ∵ sin A ＋cos A ＝15 ①，两边平方得1＋2sin Acos A ＝125，∴ sin A ·cos A ＝－1225. (2) 由(1)sin Acos A ＝－1225<0，且0<A<π，可知cos A<0，∴ A 为钝角，∴ △ABC 是钝角三角形．(3) ∵ (sin A －cos A)2＝1－2sin Acos A ＝1＋2425＝4925. 又sin A>0，cos A<0，sin A －cos A>0，∴ sin A －cos A ＝75②， ∴ 由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35， 则tan A ＝sin A cos A ＝－43.。
2017-2018学年高一数学苏教版必修4章末综合测评3
章末综合测评(三) 三角恒等变换(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上)1.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，则cos 2α＝________. 【解析】 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，得cos α＝35，所以cos 2α＝2cos 2 α－1＝－725.【答案】 －7252.若sin αsin β＝1，则cos(α－β)＝________.【解析】 ∵sin αsin β＝1，∴sin α＝－1，sin β＝－1或sin α＝1，sin β＝1.由sin 2α＋cos 2α＝1得cos α＝0.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝0＋1＝1. 【答案】 13.sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°＝________. 【解析】 原式＝－sin 17°cos 47°＋cos 17°sin 47° ＝sin(47°－17°) ＝sin 30° ＝12 【答案】 124.化简：2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝________.【解析】 原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α. 【答案】 tan 2α5.若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________.【解析】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，∴cos α＝－255，∴tan α＝－12， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. 【答案】 －43 6.化简：cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－7π8－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋7π8＝________.【解析】 原式＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π42－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π42＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(cos x －sin x )＋22(cos x ＋sin x )＝22cos x . 【答案】 22cos x7.已知sin α2－cos α2＝－55，450°＜α＜540°，则tan α2＝________. 【导学号：48582152】【解析】 已知等式两边平方得sin α＝45，450°＜α＜540°， ∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos αsin α＝2. 【答案】 28.tan 19°＋tan 41°＋3tan 19°tan 41°的值为________. 【解析】 tan 19°＋tan 41°＝tan 60°(1－tan 19°tan 41°) ＝3－3tan 19°tan 41°∴原式＝3－3tan 19°tan 41°＋3tan 19°tan 41°＝ 3. 【答案】39.设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝62，则a ，b ，c 的大小关系是________.【解析】 a ＝2sin 59°，b ＝2sin 61°，c ＝2sin 60°， 所以a ＜c ＜b . 【答案】 a ＜c ＜b10.为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象向________平移________个单位.【解析】 y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12故将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位得到y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象. 【答案】 右 π1211.函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －32图象的对称轴方程为________.【解析】 ∵y ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∴由2x ＋π3＝k π＋π2得x ＝k π2＋π12(k ∈Z ). 【答案】 x ＝k π2＋π12，k ∈Z12.已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 34π，cos 34 π落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3的值为________.【解析】 由题意知，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 34π，cos 34 π在第四象限，且落在角θ的终边上，所以tan θ＝－1，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝tan θ＋tan π31－tan θtan π3＝－1＋31＋3＝2－ 3.【答案】 2－ 313.设α，β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β的值为________. 【解析】 由tan α2＝12，得sin α＝2tan α21＋tan 2 α2＝11＋14＝45，∵α∈(0，π)，∴cosα＝35，由sin(α＋β)＝513<sin α，α，β∈(0，π)，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos(α＋β)＝－1213.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1665. 【答案】 －166514.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos x ＋a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值为2，则常数a 的值为________.【解析】 f (x )＝2sin x cos π6＋cos x ＋a ＝3sin x ＋cos x ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a ，又－π3≤x ＋π6≤2π3，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤1，∴a ＋2＝2，则a ＝0.【答案】 0二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知sin α＝cos 2α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin 2α.【解】 ∵sin α＝1－2sin 2α，即2sin 2α＋sin α－1＝0， ∴sin α＝－1或sin α＝12.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝12，α＝π6.∴cos α＝32.∴sin 2α＝2×12×32＝32.16.(本小题满分14分)求1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°1tan 5°－tan 5°的值.【解】 原式＝2cos 210°2sin 20°－2sin 10°·1－tan 25°2tan 5° ＝cos 210°2sin 10°cos 10°－2sin 10°·cos 10°sin 10° ＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝32.17.(本小题满分14分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝41313.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，且sin β＝－45，求sin α的值. 【解】 (1)a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，|a －b |2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)，∴1613＝2－2cos(α－β)，∴cos(α－β)＝513.(2)由0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sin β＝－45， 可知cos β＝35，且0＜α－β＜π，∵cos(α－β)＝513， ∴sin(α－β)＝1213. ∴sin α＝sin(α－β＋β)＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝1213×35＋513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝1665.18.(本小题满分16分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－277，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝12且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. 求：(1)cos α＋β2；(2)tan(α＋β).【导学号：48582153】【解】 (1)∵π2＜α＜π，0＜β＜π2， ∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝217，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝32.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－277＋217×12 ＝－2114.(2)又α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＋β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，且cos α＋β2＜0，故tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＜0，∴tan α＋β2＝－533.∴tan(α＋β)＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β21－tan 2α＋β2＝5311.19.(本小题满分16分)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12. (1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (α)的值. (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间. 【解】 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12 ＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)∵0＜α＜π2，sin α＝22，∴α＝π4. 从而f (α)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .20.(本小题满分16分)如图1，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y ＞x ＞0.图1(1)将十字形的面积表示成θ的函数； (2)求十字形的最大面积. 【解】 (1)设S 为十字形面积，则S ＝2xy －x 2＝2sin θcos θ－cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＜θ＜π2.(2)S ＝2sin θcos θ－cos 2θ＝sin 2θ－12cos 2θ－12＝52×⎝ ⎛⎭⎪⎫255sin 2θ－55cos 2θ－12＝52sin(2θ－φ)－12(设φ为锐角且tan φ＝12) 当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π2时，S 最大. 即当θ＝π4＋φ2时，十字形取得最大面积52－12.。
2018-2019学年苏教版必修4模块检测试卷含参考答案
模块检测（苏教版必修4）建议用时 实际用时满分 实际得分150分钟160分一、填空题（每小题5分，共70分）1.函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为 ．2．化简：sin 13cos 17sin 17cos 13︒︒+︒︒= ． 3.已知(,3)x =a ，(3,1)=b ，且⊥a b ，则x = .4.已知tan 2α=，则sin 2cos cos sin αααα+-= ．5.若1sin cos 3αα+=，则sin 2α= . 6.已知扇形的半径为8 cm ，圆心角为45°，则扇形的面积是 cm 2．7.已知4sin 5θ=，且cos(π)0θ->，则πcos 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ = ． 8.要得到2πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，需要将函数y = sin 2x 的图象 .9．若ππ0,022αβ<<<<，且72cos 10α=，tan β=34，则αβ+= ． 10.函数sin y x =的定义域是 . 11.已知,a b 满足：3,2,+4===a b a b ，则-a b = .12.设02πθ<≤，已知两个向量1(cos ,sin ),OP θθ=uuu r 2(2sin ,2cos )OP θθ=+-uuu r ，则向量12P P uuu r长度的最大值是 .13.已知四边形ABCD 为平行四边形，(1,2),(0,A B -0),(1,7)C ，则D 点坐标为 . 14.给出下列四个命题： ①函数π2sin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴是5π12x =； ②函数tan y x =的图象关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称； ③正弦函数在第一象限为增函数； ④若12ππsin 2sin 244x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12πx x k -=， 其中k ∈Z .以上正确的有 .（请把正确命题的序号填在横线上）二、解答题（共90分） 15.（14分）（1）已知1cos 3α=，求cos(2π)sin(π)πsin tan(3π)2αααα-+⎛⎫++ ⎪⎝⎭··的值；（2）已知tan 2α=，求2sin sin cos ααα+的值．16.（14分）已知53cos(),sin 135αββ+=-=，,αβ均为锐角.（1）求cos(2)αβ+的值；（2）求sin α的值．17.（14分）已知(1,2),(3,2)==-a b .（1）当k 为何值时，k +a b 与3-a b 垂直？（2）当k 为何值时，k +a b 与3-a b 平行？平行时它们是同向还是反向？18．（16分）函数π()sin()0,0,2f x A x A ωαω⎛=+>>- ⎝π2α⎫<<⎪⎭的最小正周期是π，且当π6x =时()f x 取得最大值3．（1）求()f x 的解析式及单调增区间．（2）若0[02π)x ∈，，且03()2f x =，求0x ．（3）将函数()f x 的图象向右平移(0)m m >个单位长度后得到函数()y g x =的图象，且()y g x =是偶函数，求m 的最小值．19.（16分）已知(3sin ,cos ),(cos ,x m x x =+=a b cos )m x -+且()f x =g a b .（1）求函数()f x 的解析式；（2）当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值是-4，求此时函数()f x 的最大值，并求出相应的x 的值．20.（16分）某港口的水深y (米)是时间t（024t ≤≤，单位：小时）的函数，下表是每天时间t 与水深y 的关系：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10 经过长期观测，()y f t =可近似的看成是函数y =sin A t b ω+.（1）根据以上数据，求出()y f t =的解析式.（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？模块检测（苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3. 4. 5． 6． 7. 8. 9． 10． 11. 12. 13． 14．三、解答题15.16.17.18.19.20.模块检测（苏教版必修4）答案一、填空题1.πv 解析：∵ 函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴ 2ω=，∴ 2π π2T ==．2.12 解析：1sin 13cos 17cos 13sin 17sin 302+==. 3.-1 解析：∵ (,3)x =a ，(3,1)=b ，且⊥a b ，∴ 330x =+=g a b .解得1x =-.4.-4 解析：由tan 2α=，得sin 2cos tan 2224cos sin 1tan 12αααααα+++===----．5.89- 解析：由1sin cos 3αα+=，得112sin cos 9αα+=，∴ 82sin cos 9αα=-，∴ 8sin 29α=-.6.8π 解析：∵ 在扇形中，半径8 cm r =，圆心角α=45°=π4，∴ 弧长π82π(cm)4l =⨯=，∴ 扇形的面积2112π88π(cm )22S lr ==⨯⨯=．7.34310-- 解析：∵ 4sin 5θ=，且cos(π)cos 0θθ-=>-，∴ 3cos 5θ=-．∴ πππ3143343cos cos cos sin sin 333525210θθθ--⎛⎫+==-⨯-⨯= ⎪⎝⎭-.8.向右平移π3个单位 解析：将函数sin 2y x =的图象向右平移π3个单位，可得到πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，即2πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象. 9.π4 解析：由条件可得22sin 1cos 10αα=-=，∴ 1tan 7α=．∴ tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==-·.由0παβ<+<，得π4αβ+=. 10.[2π,2ππ],k k k +∈Z 解析：由题意得sin 0x ≥，∴ 2π2ππ,k x k k +∈Z ≤≤，故函数的定义域为[2π,k2ππ],k k +∈Z .11.10 解析：∵ 3,2==a b ，∴ 229,4==a b .又+4=a b ，∴ 22216++=g a b a b ，∴ 23=g a b ， ∴ 222210+-==-g a b a b a b ，∴ 10-=a b .12.32 解析：由向量的减法知1221(2sin cos 2cos sin )PP OP OP θθθθ=-=+---，uuu r uuu r uuu r， ∴ 2212(2sin cos )(2cos sin )PP θθθθ=+-+--uuu r2244(sin cos )(sin cos )44(sin cos )(sin cos )θθθθθθθθ=+-+-+-+++108cos θ=-.∵ 02πθ<≤，∴ 1cos 1θ-≤≤，则当cos 1θ=-时，向量12P P uuu r的长度有最大值是32.13.（0,9） 解析：设(,)D x y ，则BA CD =uu r uu u r .又(1,2),(1,7)BA CD x y =-=--uu r uu u r ，∴ 11,7 2.x y -=-⎧⎨-=⎩解得0,9.x y =⎧⎨=⎩ ∴ (0,9)D .14.①② 解析：把5π12x =代入函数π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2y =，为最大值，故①正确．结合函数tan y x =的图象可得点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数tan y x =的图象的一个对称中心，故②正确．③正弦函数在第一象限为增函数，不正确，如39060>，都是第一象限角，但sin 390sin 60< ．若12ππsin 2sin 244x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有12ππ22π244x k x -=+-，或12ππ22ππ244x k x ⎛⎫-=+-- ⎪⎝⎭，k ∈Z ， ∴ 12πx x k -=或123ππ+4x x k +=，k ∈Z ，故④不正确．二、解答题15.解：（1）cos(2π)sin(π)cos sin πcos tan sin tan(3π)2αααααααα-+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭g g g g =cos α=13． （2）因为tan 2α=， 所以2sin sin cos ααα+ =222sin sin cos sin cos ααααα++=22tan tan tan 1ααα++=222221++ =65. 16.解：（1）由题意知124sin(),cos 135αββ+==，∴ 5412356cos(2)cos[()]cos()cos sin()sin 13513565αβαββαββαββ+=++=++=-⨯-⨯=--． （2）1245363sin sin[()]sin()cos cos()sin =13513565ααββαββαββ⎛⎫=+=+-+=⨯--⨯ ⎪⎝⎭-．17.解：(1,2)+(3,2)(3,22)k k k k +==-+-a b ，3(1,2)3(3,2)(10,4)---=-a b =. （1）由()(3)k +⊥-a b a b ，得()(3)10(3)4(22)2380,k k k k +-=-+=-=-g a b a b 解得19k =.（2）由()(3)k +-a b a b ∥，得4(3)10(22)k k --=+,解得13k =-.此时1041,(10,4)333k ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭a b ，所以它们方向相反．18.解：（1）由题意知2π3,πA ω==.∴ 2ω=.∴ ππ3sin 2366f α⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴ ππ22π62k α⨯+=+()k ∈Z . 又ππ22α-<<，∴ π6α=.∴ π()3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由πππ2π22π262k x k -++≤≤()k ∈Z ，得ππππ36k x k -+≤≤()k ∈Z ，∴()f x 的单调增区间是πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .（2）∵ 00π3()3sin 262f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即0π1sin 262x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴ 0ππ22π66x k +=+或0π5π22π()66x k k +=+∈Z .∴ 0πx k =或0ππ()3x k k =+∈Z .又0[02πx ∈，），∴ 0π4π0,π,,33x =. （3）由条件可得ππ()3sin 2()3sin 2266g x x m x m ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又()g x 是偶函数，∴ ()g x 的图象关于y 轴对称，∴ 当0x =时，()g x 取最大值或最小值，即π3sin 2+36m ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，∴ ππππ2π(),()6226k m k k m k -+=+∈=--∈Z Z . 又0m >，∴ m 的最小值是π3.19.解：（1）()(3sin ,cos )(cos ,cos )f x x m x x m x ==+-+g g a b ，即22()3sin cos cos f x x x x m =+-． （2）∵ 223sin 21cos 2π1()sin 22262x x f x m x m +⎛⎫=+-=++- ⎪⎝⎭，又ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴ ππ5π2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴ π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴ 211422m -+-=-， ∴ 24m =，∴ max 15()1422f x =+-=-，此时ππ262x +=，π6x =．20.解：（1）由题意知13713710,322b A +-====，周期为12，因此2ππ12,6T ωω===，故π()3sin 10(024)6f t t t =+≤≤.（2）要想船舶安全，必须深度()11.5f t ≥，即π3sin 1011.56t +≥，∴ π1sin 62t ≥，故ππ5π2π2π,666k t k k ++∈Z ≤≤.解得121512,k t k k ++∈Z ≤≤. 又024t ≤≤，当0k =时，15t ≤≤； 当1k =时，13t ≤≤17，故船舶安全进出港的时间段为（1：00∼5：00），（13：00∼17：00）．。
高中数学 模块综合检测卷 苏教版必修4
模块综合检测卷(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·湖北卷)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322 B.3152 C ．－322 D ．－3152解析：∵AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，∴AB →·CD →＝(2，1)·(5，5)＝15，|CD →|＝52＋52＝5 2.所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos<AB →，CD →>＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.答案：A2．(2013·浙江卷)已知α∈R，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43解析：由已知可求得tan α＝－3或13，∴tan 2α＝－34，故选C.答案：C3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中A >0，|φ|<π2的图象如图所示，则f (0)＝( )A ．1 B.12 C.22 D.32解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，∴ω＝2.把⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入函数式中，可得φ＝π3，f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故f (0)＝sin π3＝32.答案：D4．若O 、A 、B 是平面上不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( ) A.AB →＝OA →＋OB → B.AB →＝OB →－OA →C.AB →＝－OB →＋OA →D.AB →＝－OB →－OA → 解析：根据向量的表示可知选B. 答案：B5．(2014·安徽卷)设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解析：根据已知条件判断出f (x )是以2π为周期的周期函数，然后进行求解． ∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数． 又f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－12. ∵当0≤x <π时，f (x )＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0.∴f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.故选A.答案：A6．为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)B ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)C ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)解析：f (x )＝2sin x 向左平移π6得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝g (x )，把g (x )图象横坐标伸长到原来的3倍得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π6. 答案：B7．若向量a ＝(1，2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4解析：2a ＋b ＝(3，3)，a －b ＝(0，3)， 则(2a ＋b )·(a －b )＝3×0＋3×3＝9， |2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设2a ＋b 与a －b 的夹角为θ，且θ∈[0，π]， 则cos θ＝932×3＝22，得θ＝π4，故选C.答案：C 8．函数f (x )＝sin x －12，x ∈(0，2π)的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π3解析：如下图所示，∵sin x ≥12，∴π6≤x ≤5π6.答案：B9.(2013·湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]解析：因为a ·b ＝0，即a ⊥b ，又|a |＝|b |＝1，所以|a ＋b |＝2，不妨让a ，b 固定，设u ＝a ＋b ，则|c －u |＝1，即c 的终点在以u 对应点为圆心，半径为1的圆上．则当c 与u 方向相同时，|c |max ＝2＋1，当c 与u 方向相反时，|c |min ＝2－1，所以|c |的取值范围是[2－1，2＋1]．故选A.答案：A10．已知在△ABC 中，向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12, 则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形解析：如图，设AB→||AB →＝AE →，AC →||AC →＝AF →，则原式化为：（AE →＋AF →)·BC →＝0，即AD →·BC →＝0，∴AD →⊥BC →.∵四边形AEDF 是菱形， ∴∠EAD ＝∠DAC . ∵AE →·AF →＝||AE→||AF →cos ∠BAC ＝12， ∴cos ∠BAC ＝12.∴∠BAC ＝60°，∴∠BAD ＝∠DAC ＝30°. △ABH ≌△ACH ⇒AB ＝AC ，∵∠BAC ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．(2014·天津卷)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．解析：根据条件把向量AF →，AE →用向量AB →，AD →表示出来，然后根据向量数量积公式求解．AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋1λDC →＝AB →·AD →＋1λAB →·DC →＋13BC →·AD →＋13λBC →·DC →＝2×2×cos 120°＋1λ×2×2＋13×2×2＋13λ×2×2×cos 120°＝－2＋4λ＋43－23λ＝103λ－23， 又∵AE →·AF →＝1，∴103λ－23＝1.∴λ＝2.答案：212．(2013·上海卷)若cos x cos y ＋sin x sin y ＝12，sin 2x ＋sin 2y ＝23，则sin(x ＋y )＝________．解析：cos(x －y )＝12，sin 2x ＋sin 2y ＝2sin(x ＋y )·cos(x －y )＝23，故sin(x ＋y )＝23.答案：2313．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝_____________________________________.解析：先利用三角恒等变换求得函数的最大值，再利用方程思想求解．y ＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎪⎫15sin x －25cos x ，设15＝cos α，25＝sin α，则y ＝5(sin x cos α－cos x sin α)＝5sin(x －α)． ∵x ∈R ，∴x －α∈R. ∴y max ＝ 5.又∵x ＝θ时，f (x )取得最大值，∴f (θ)＝sin θ－2cos θ＝ 5. 又sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝15，cos θ＝－25，即cos θ＝－255.答案：－25514．已知函数f (x )＝sin ωx ，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，有下列命题： ①当ω＝2时，f (x )g (x )的最小正周期是π2；②当ω＝1时，f (x )＋g (x )的最大值为98；③当ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2个单位长度可以得到函数g (x )的图象．其中正确命题的序号是______________(把你认为正确的命题的序号都填上)． 解析：①ω＝2时，f (x )g (x )＝sin 2x ·cos 2x ＝12sin 4x ，周期T ＝2π4＝π2.故①正确．②ω＝1时，f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos 2x ＝sin x ＋1－2sin 2x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －142＋98，故当sin x ＝14时，f (x )＋g (x )取最大值98.故②正确．③当ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2得到sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin 2x ，故③不正确．答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，求AB 的长．解析：∵E 为CD 的中点，∴BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12DC →＝AD →－12AB →.∵AC →·BE →＝1，AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →·(AD →＋AB →)＝|AD →|2－12|AB →|2＋12AB →·AD→＝1，即1－12|AB →|2＋12|AB →|cos 60°＝1，∴－12|AB →|2＋14|AB →|＝0，解得|AB →|＝12.16.(本小题满分12分)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13. (1)求tan α的值；(2)求2sin 2α－sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α的值．解析：(1)∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝13， ∴tan α＝－12.(2)原式＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－tan α＋1tan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝85. 17．(本小题满分14分)(2014·广东卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32. (1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ.解析：(1)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝A sin 2π3＝A sin π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，故f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－θ＋π4＝32，∴3⎣⎢⎡⎦⎥⎤22（sin θ＋cos θ）＋22（cos θ－sin θ）＝32.∴6cos θ＝32.∴cos θ＝64.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104.∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 18．(本题满分14分)(2013·安徽卷)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间[0，2]上的单调性．解析：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝22cos ωx (sin ωx ＋cos ωx )＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋2⇒2π2ω＝π⇒ω＝1.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2，ω＝1.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，令2x ＋π4＝π2解得x ＝π8，∴y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减． 19.(本题满分14分)(2013·上海卷)(6分＋8分)已知函数f (x )＝2sin(ωx )，其中常数ω>0.(1)若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围；(2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解析：(1)因为ω>0，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω≥－π2，2π3ω≤π2⇒0<ω≤34.(2)f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.g (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.20．(本小题满分14分)已知向量m ＝(sin x ，－cos x )，n ＝(cos θ，－sin θ)，其中0<θ<π.函数f (x )＝m·n 在x ＝π处取得最小值．(1)求θ的值；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若sin B ＝2sin A ，f (C )＝12，求A .解析：(1)∵f (x )＝m ·n ＝sin x cos θ＋cos x sin θ＝ sin(x ＋θ)，且函数f (x )在x ＝π处取得最小值， ∴sin(π＋θ)＝－1, 即sin θ＝1. 又0<θ<π，∴θ＝π2.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x .(2)∵f (C )＝12，∴cos C ＝12.∵0<C <π，∴C ＝π3.∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝2π3－A .代入sin B ＝2sin A 中， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝2sin A .∴sin 2π3cos A －cos 2π3 sin A ＝2sin A .∴tan A ＝33. ∵0<A <π，∴A ＝π6.。
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模块综合检测(C)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．若角600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是________．2．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为________．3．已知α、β为锐角，且a ＝(sin α，cos β)，b ＝(cos α，sin β)，当a ∥b 时，α＋β＝________.4．设向量a ＝(cos α，12)，若a 的模长为22，则cos 2α＝________. 5．已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A 、B 、D 三点共线，则k ＝________.6．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°＝________.7．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝________.8．已知cos 4α－sin 4α＝23，α∈(0，π2)，则cos(2α＋π3)＝________. 9．已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是________．(填“锐角”、“直角”或“钝角”)10．已知函数f (x )＝(1＋cos 2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是最小正周期为________的________(填“奇”、“偶”或“非奇非偶”)函数．11．设0≤θ≤2π，向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→的模长的最大值为________．12．若θ∈[0，π2]，且sin θ＝45，则tan θ2＝________. 13．若向量AB →＝(3，－1)，n ＝(2,1)，且n ·AC →＝7，那么n ·BC →＝________.14．若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2<θ<π2. (1)若a ⊥b ，求θ；(2)求|a ＋b |的最大值．16．(14分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π.(1)求f (x )的解析式；(2)若α∈(－π3，π2)，f (α＋π3)＝13，求sin(2α＋5π3)的值．17．(14分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R .(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈[－π3，π3]，求x ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在[0，π]上的图象．18．(16分)已知x ∈R ，向量OA →＝(a cos 2x,1)，OB →＝(2，3a sin 2x －a )，f (x )＝OA →·OB →，a ≠0.(1)求函数f (x )的解析式，并求当a >0时，f (x )的单调增区间；(2)当x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为5，求a 的值．19．(16分)已知函数f (x )＝3sin 2(x ＋π4)－cos 2x －1＋32(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)若A 为锐角，且向量m ＝(1,5)与向量n ＝(1，f (π4－A ))垂直，求cos 2A 的值．20．(16分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值； (2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．模块综合检测(C)1．－4 3解析 ∵600°＝360°＋240°，是第三象限角．∴a <0.∵tan 600°＝tan 240°＝tan 60°＝a －4＝3， ∴a ＝－4 3.2．6解析 a ·b ＝6－m ＝0，∴m ＝6.3.π2解析 ∵a ∥b ，∴sin αsin β－cos αcos β＝0即cos(α＋β)＝0.∵0<α＋β<π.∴α＋β＝π2. 4．－12解析 ∵|a |＝cos 2α＋14＝22， ∴cos 2α＝14. ∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－12. 5．－8解析 若A 、B 、D 三点共线，则AB →∥BD →，设AB →＝λBD →.∵BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，∴2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，k ＝－4λ.∴k ＝－8. 6．1解析 tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°＝tan(17°＋28°)(1－tan 17°tan 28°)＋tan 17°tan 28°＝1－tan 17°tan 28°＋tan 17°tan 28°＝1.7．4解析 ∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(6,3)，∵(8a －b )·c ＝(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30， ∴x ＝4.8.13－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23. 又2α∈(0，π)．∴sin 2α＝53. ∴cos(2α＋π3)＝12cos 2α－32sin 2α＝13－156. 9．锐角解析 ∵△ABC 是锐角三角形，∴A ＋B >π2.∴π2>A >π2－B >0. ∵函数y ＝sin x ，x ∈(0，π2)是递增函数， ∴sin A >sin(π2－B )．即sin A >cos B . ∴p ·q ＝sin A －cos B >0.∴p 与q 所成的角是锐角．10.π2偶 解析 f (x )＝(1＋cos 2x )1－cos 2x 2＝12(1－cos 22x )＝12－12×1＋cos 4x 2＝14－14cos 4x ， ∴T ＝2π4＝π2，f (－x )＝f (x )，为偶函数． 11．3 2 解析 |P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2 ＝10－8cos θ≤18＝3 2.12.12 解析 ∵sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2sin θ2cos θ2sin 2θ2＋cos 2θ2＝2tan θ21＋tan 2θ2＝45. ∴2tan 2θ2－5tan θ2＋2＝0， ∴tan θ2＝12或tan θ2＝2. ∵θ∈[0，π2]，∴θ2∈[0，π4]． ∴tan θ2∈[0,1]，∴tan θ2＝12. 13．2解析 n ·BC →＝n ·(AC →－AB →)＝n ·AC →－n ·AB →＝7－(2,1)·(3，－1)＝7－5＝2.14.12解析 由题意知tan[ω(x －π6)＋π4]＝tan(ωx ＋π6)， 即tan(ωx ＋π4－πω6)＝tan(ωx ＋π6)． ∴π4－π6ω＝k π＋π6，得ω＝－6k ＋12， 则ωmin ＝12(ω>0)．15．解 (1)若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0.由此得tan θ＝－1(－π2<θ<π2)，∴θ＝－π4. (2)由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得a ＋b ＝(sin θ＋1,1＋cos θ)，|a ＋b |＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin (θ＋π4)， 当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值， 即当θ＝π4时，|a ＋b |的最大值为2＋1. 16．解 (1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，∴T ＝2π，则ω＝2πT ＝1.∴f (x )＝sin(x ＋φ)．∵f (x )是偶函数，∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )． 又0≤φ≤π，∴φ＝π2，∴f (x )＝cos x . (2)由已知得cos(α＋π3)＝13. ∵α∈(－π3，π2)．∴α＋π3∈(0，5π6)． ∴sin(α＋π3)＝223. ∴sin(2α＋5π3)＝－sin(2α＋2π3) ＝－2sin(α＋π3)cos(α＋π3)＝－429. 17．解 (1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin(2x ＋π6)＋1. 由2sin(2x ＋π6)＋1＝1－3得sin(2x ＋π6)＝－32. ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6， ∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4. (2)－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )， 即－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z ) 得函数单调增区间为[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z ). x 0 π6 π3 π2 2π3 5π6π y 2 3 2 0 －10 218．解 (1)f (x )＝2a cos 2x ＋3a sin 2x －a ＝3a sin 2x ＋a cos 2x ＝2a sin(2x ＋π6)． 当a >0时，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )． 故函数f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )． (2)由(1)知f (x )＝2a sin(2x ＋π6)． 当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]． 若a >0，当2x ＋π6＝π2时， f (x )max ＝2a ＝5，则a ＝52； 若a <0，当2x ＋π6＝7π6时， f (x )max ＝－a ＝5，则a ＝－5.所以a ＝52或－5. 19．解 (1)f (x )＝3sin 2(x ＋π4)－cos 2x －1＋32＝3[22(sin x ＋cos x )]2－cos 2x －1＋32＝3sin x cos x －cos 2x －12＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin(2x －π6)－1， 所以f (x )的最小正周期为π，最小值为－2.(2)由m ＝(1,5)与n ＝(1，f (π4－A ))垂直， 得5f (π4－A )＋1＝0， ∴5sin[2(π4－A )－π6]－4＝0，即sin(2A －π3)＝－45. ∵A ∈(0，π2)，∴2A －π3∈(－π3，2π3)， ∵sin(2A －π3)＝－45<0， ∴2A －π3∈(－π3，0)， ∴cos(2A －π3)＝35.∴cos 2A ＝cos[(2A －π3)＋π3] ＝35×12＋45×32＝43＋310. 20．解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4， ∴f (x )＝b ·c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋ cos x )．令t ＝sin x ＋cos x (0<x <π)，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t ≤ 2.则y ＝g (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋22)2－32，－1<t ≤ 2. ∴t ＝－22时，y 取得最小值，且y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22. 由于0<x <π，故x ＝11π12. 所以函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12. (2)∵a 与b 的夹角为π3， ∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)． ∵0<α<x <π，∴0<x －α<π.∴x －α＝π3. ∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0.∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，sin(2α＋π3)＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0.∴tan 2α＝－35.。
高中数学新同步苏教必修4模块测评 含解析
模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．角α终边经过点(1，－1)，则cos α＝( )A ．1B .22C ．－1D ．－22 B [角α终边经过点(1，－1)，所以cos α＝112＋(－1)2＝22.]2．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且|AB →|＝λ|DC →|，设AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →等于( )A ．λa ＋bB ．a ＋λbC .1λa ＋bD ．a ＋1λbC [AC →＝AD →＋DC →＝b ＋1λAB →＝b ＋1λa .]3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝( )A ．－33B .33 C ．－3 D . 3C [由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，得sin φ＝－32，又|φ|＜π2，所以cos φ＝12，所以tan φ＝－3.]4．已知sin 2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜2α＜π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)＝( )A ．－1B ．－2C ．－211D .211 B [由sin 2α＝35，且π2＜2α＜π，可得cos 2α＝－45， 所以tan 2α＝－34，所以tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)] ＝tan 2α－tan (α－β)1＋tan 2αtan (α－β)＝－34－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×12＝－2.]5．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(3，－3)，则a ，b 的坐标分别为( )A ．(4,0)，(－2,6)B ．(－2,6)，(4,0)C ．(2,0)，(－1,3)D ．(－1,3)，(2,0)C [设a ＝(x a ，y a )，b ＝(x b ，y b )，则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x a ＋x b ＝1，x a －x b ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧y a ＋y b ＝3，y a －y b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x a ＝2，x b ＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧y a ＝0，y b ＝3.所以a ＝(2,0)，b ＝(－1,3)．] 6．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的一个单调递减区间为( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3 B .⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6 C .⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，2π3 A [令π2＋2k π＜2x ＋π6＜3π2＋2k π(k ∈Z )，得π6＋k π＜x ＜2π3＋k π(k ∈Z )，所以选A .]7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝35，－π2＜α＜0，则sin 2α的值是( )A .2425B .1225C ．－1225D ．－2425D [由已知得sin α＝－35，又－π2＜α＜0，故cos α＝45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×45＝－2425.]8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( ) A .13 B .23 C ．－13 D ．－23 D [sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α) ＝－23.]9．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( ) A .π3 B .π2 C .2π3 D .3π4C [因为|a ＋b |＝1，所以|a |2＋2a·b ＋|b |2＝1，所以cos θ＝－12.又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.]10．下列命题中正确的是( )A ．y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝sin x 的图象 B ．y ＝sin x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝cos x 的图象C ．当φ＜0时，y ＝sin x 的图象向左平移|φ|个单位长度可得y ＝sin(x ＋φ)的图象D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到的A [A 选项，y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度，得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin x的图象，故A 正确；B 选项，y ＝sin x 的图象向右平移π2个单位长度，得y ＝sin x －π2＝－cos x 的图象，故B 错误；C 选项，y ＝sin x 的图象向左平移|φ|个单位长度，得y ＝sin(x ＋|φ|)＝sin(x －φ)的图象，故C 错误；D 选项，y ＝sin 2x 的图象应向左平移π6个单位长度，得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin2x ＋π3的图象，故D 错误．]11．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形C [由AB →＋CD →＝0，即AB →＝DC →，可得四边形ABCD 为平行四边形，由(AB →－AD →)·AC →＝0，即DB →·AC →＝0，可得AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 为菱形．]12．已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么sin 2θ等于( )A .223B ．－223C .23D ．－23 A [因为sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12·sin 22θ， 所以1－12·sin 22θ＝59， 所以sin 22θ＝89.因为π＋2k π＜θ＜3π2＋2k π，k ∈Z ， 所以2π＋4k π＜2θ＜3π＋4k π，k ∈Z ， 所以sin 2θ＞0， 所以sin 2θ＝223.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于________． －25[据三角函数的定义，可知|OP |＝5，∴sin α＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.]14．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的单调递减区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z [由π2＋2k π＜2x －π6＜3π2＋2k π，k ∈Z 得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z .]15.如图，在△ABC 中，E ，F 分别是边AC ，BC 的中点，D 是EF 的中点，设AC →＝a ，BC →＝b ，则AD →＝________.(用a ，b 表示)34a －14b [ED →＝12EF →＝1212AB →＝14(CB →－CA →)＝14(－b ＋a )． AE →＝12AC →＝12a ，AD →＝AE →＋ED → ＝12a ＋14(－b ＋a )＝34a －14b .] 16．给出下列4个命题：①函数y ＝tan x 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π2，0，k ∈Z 对称；②函数f (x )＝sin|x |是最小正周期为π的周期函数； ③设θ为第二象限的角，则tan θ2＞cos θ2，且sin θ2＞cos θ2； ④函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值为－1. 其中正确的命题是________．①④ [①点(k π，0)(k ∈Z )，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )是正切函数的对称中心，∴①对； ②f (x )＝sin|x |不是周期函数，∴②错；③θ2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π，π2＋k π，k ∈Z ，当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，sin θ2＜cos θ2.∴③错；④y ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54，∴当sin x ＝－1时，y min ＝－1，∴④对．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知tan α＝12， 求1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(－α)－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．[解] 原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α ＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2(sin α－cos α)(sin α＋cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1，又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.18．(本小题满分12分)设e 1，e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A ，B ，C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m ，n 的值．[解] 以O 为原点，e 1，e 2的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy (图略)，则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)， 所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n ,0)，又因为A ，B ，C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →，所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎪⎨⎪⎧mn －5m ＋n －5＝0，m ＝2n ，解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝5.19．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． [解] (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)， 由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12，而α＞β， 所以α＝5π6，β＝π6.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. [解] (1)f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.21．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． [解] (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x . 若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3) ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3； 当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－23.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π12时，求函数y ＝fx ＋π12－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最值．[解] (1)由题图得34T ＝116π－π3＝96π＝32π， ∴T ＝2π，∴ω＝2πT ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝0，得A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋φ＝0，∴116π＋φ＝2k π，φ＝2k π－116π. ∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π6. 又由f (0)＝2，得：A sin φ＝2，A ＝4， ∴f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2)将f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝4sin2x ＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝4sin2x －π6＋π6＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得：k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(3)y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6－2×4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π4＋cos x sin π4－42cos x ＝22sin x ＋22cos x －42cos x ＝22sin x －22cos x ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，512π，x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34π，π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12， ∴函数的最小值为－4，最大值为2.。
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2018苏教版高中数学必修四同步模块综合检测题
及答案解析3套
模块综合检测(A)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．sin 2010°＝________.
2．已知△ABC 中，tan A ＝－512
，则cos A ＝________. 3．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ(θ为锐角)，
且a ∥b ，则tan θ＝________. 4．已知向量a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )，若a ⊥b ，则实数k ＝________.
5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →＝________.
6．已知sin(π－α)＝－2sin(π2
＋α)，则sin αcos α＝________. 7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2
，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为____________．
8．若|a |＝2cos 15°，|b |＝4sin 15°，a ，b 的夹角为30°，则a ·b ＝________.
9．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13
CA →＋λCB →，则λ＝________. 10．已知A (1,2)，B (3,4)，C (－2,2)，D (－3,5)，则向量AB →在CD →上的投影为________．
11．若2α＋β＝π，则y ＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是________．
12．已知向量a ＝(sin(α＋π6)，1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3
)＝________. 13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ≤π2
)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点(2，－12
)，则函数f (x )＝________. 14．已知向量OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →夹角的范围是________．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知向量a ＝(sin x ，32
)，b ＝(cos x ，－1)． (1)当a ∥b 时，求2cos 2x －sin 2x 的值；
(2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2
，0]上的最大值．
16．(14分)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．
(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b ＋c |的最大值；
(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .
17．(14分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2
)． (1)求sin θ和cos θ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π2
，求cos φ的值．
18．(16分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12
，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π16
]上的最小值．
19．(16分)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1sin (π4＋x )sin (π4
－x ). (1)求f (－1112
π)的值；
(2)当x ∈[0，π4)时，求g (x )＝12
f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．
20．(16分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255
. (1)求cos(α－β)的值；
(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513
，求sin α.
模块综合检测(A)
1．－12
解析 sin 2010°＝sin (5×360°＋210°)
＝sin 210°＝sin (180°＋30°)＝－sin 30°＝－12
. 2．－1213
解析 ∵cos 2A ＋sin 2A ＝1，且sin A cos A ＝－512
， ∴cos 2A ＋(－512
cos A)2＝1且cos A<0， 解得cos A ＝－1213
. 3．1
解析 ∵a ∥b ，∴(1－sin θ)(1＋sin θ)－12
＝0. ∴cos 2θ＝12
， ∵θ为锐角，∴cos θ＝22
， ∴θ＝π4
，∴tan θ＝1. 4．3
解析 ∵a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )．
∴b ＝(a ＋b )－a ＝(1，k )－(2,1)＝(－1，k －1)．
∵a ⊥b .∴a ·b ＝－2＋k －1＝0
∴k ＝3.
5．16。