大学物理竞赛辅导(力学)
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大学物理竞赛力学辅导2016
这样可得
maCx mg sin f r maC y N mg cos J f r r
以上三式中， aCx和 aCy是圆柱体质心在 x 轴和 y 轴方 向的加速度，是圆柱体对其通过质心的几何轴转 动的角加速度。因斜面粗糙，圆柱体下降时没有滑 动，只能在斜面上作纯粹滚动，那么此时
力 学 基 本 概 念 及 补 充
力学部分主要公式：
d P （1). 牛顿第二定律 F dt d L （2). 角动量定理 M dt
对于质点,角动量 L r P 对于刚体,角动量 L J (3). 保守力与势能关系 F E p
(4). 三种势能 重力势能
aC R 纯滚动条件为 圆柱对质心的转动惯量为
F l f R JC
1 2 J C mR 2
aC
F
联立以上四式，解得
2F (R l ) aC 3mR
由此可见
R 2l f F 3R
l<r/2, f>0, 静摩擦力向后 l>r/2, f<0, 静摩擦力向前 l=r/2, f=0
Ff 1
m2 g
FN1
l
对O点 l m2 gl cos m1 g cos 2 Ff 1l cos FN1l sin 0
m1g
FN2
O Ff 2
Ff 1 1FN1
则质心在此期间经过的距离为：
1 2 12 v s v0t aC t 2 49 g
则纯滚动时质心的速率为：
2 0
v0
Ff
5 vC v0 gt v0 7
例题 质量为m、半径为r的均质球位于倾角为θ的 斜面的底端，开始时，球的质心速度为零，球相对 于质心的转动角速度为ω0，如图所示。球与斜面之 间的摩擦系数为μ，球在摩擦力作用下沿斜面向上 运动，求解球所能上升的最大高度。 解：一开始，小球与斜面间 为滑动摩擦，有一定的质心 速度；随时间增加，质心速 度变小，当滚动角速度满足 纯滚动条件 v r ， C 即转为纯滚动。因此，整个 过程分为两步求解：
01 物理竞赛辅导资料07 力学三把“金钥匙
物理竞赛辅导资料：力学三把“金钥匙”解决动力学问题，一般有三种途径：①牛顿第二定律和运动学公式(力的观点)；②动量定理和动量守恒定律(动量观点)；③动能定理、机械能守恒定律、功能关系、能的转化和守恒定律(能量观点)。
——以上这三种观点俗称求解力学问题的三把“金钥匙”。
三把“金钥匙”的合理选取：研究某一物体所受力的瞬时作用与物体运动状态的关系(或涉及加速度)时，一般用力的观点解决问题；研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般选用动量定理；涉及功和位移时优先考虑动能定理；若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用时，优先考虑两大守恒定律，特别是出现相对路程的则优先考虑能量守恒定律。
一般来说，用动量观点和能量观点比用力的观点解题简便，因此在解题时优先选用这两种观点；但在涉及加速度问题时就必须用力的观点。
有些问题，用到的观点不只一个，特别像高考中的一些综合题，常用动量观点和能量观点联合求解，或用动量观点与力的观点联合求解，有时甚至三种观点都采用才能求解，因此，三种观点不要绝对化。
下面通过历年高考题说明各个观点的应用。
〖典型例题透析〗力学观点与能量观点的综合〖例1〗(1991年上海高考)如图所示，长为l 的轻绳一端系于固定点O ，另一端系质量为m 的小球。
将小球从O 点正下方4l 处，以一定初速度水平向右抛出，经一定时间绳被拉直，以后小球将以O 为支点在竖直平面内摆动。
已知绳刚被拉直时，绳与竖直线成600角，求：⑴小球水平抛出时的初速度v 0；⑵在绳被拉紧的瞬间，支点O 受到的冲量I ；⑶小球摆到最低点时，绳所受的拉力T 。
〖命题意图〗考查平抛运动、运动合成、冲量、机械能守恒定律及其应用、牛顿第二定律。
〖解题思路〗⑴小球在绳拉直前做平抛运动，令做平抛运动的时间为t ，则有：水平方向：lsin 600=v 0t …………①竖直方向：0260214cos l gt l =+…………② 由①、②式解得：g l t 2=，gl v 6210= ⑵在绳拉直前瞬时，小球速度的水平分量为v o ，竖直分量为gt ，如图所示。
大学物理竞赛辅导-力学部分ppt课件
可获得的最大加速度为
，可获得的最大速度值为
。
解： ①质心 的最大加速度
N kx (m1 m2 )ac
k ac m1 m2 x
xl
kl acmax m1 m2
k m1
F m2
f m1
N
F
f
m2
18
②质心 的最大速度
m2过平衡位置时的速度
1 2
kl 2
1 2
m
v2 2 max
10
1、可变质量系统
例3、一雨滴的初始质量为 m0 ，在重力的影响下，
由静止开始降落。假定此雨滴从云中得到质量，
其质量的增长率正比于它的瞬时质量和瞬时速度
的乘积：
dm kmv
式中为常量。试证明dt 雨滴的速率实际上最后成为
常量，并给出终极速率的表达式。忽略空气的阻
力。
11
解：由变质量的运动方程：
a (2R )2 (R 2t 2 )2 R 4 2t 4
B
vc
A 30
例、质量为m，半径为R 的均匀球体，从一倾角为的斜面上滚 下。设球体与斜面间的摩擦系数为m，求使该球体在斜面上只
滚不滑时, 角的取值范围。
解：球体对中心轴的转动惯量为Jc = (2/5)mR2
k m1
v2max
kl m2
=0
v c max
(
m1v1 m1
m2v m2
2
)max
km2 l m1 m2
F m2
19
例：（11th,12）质量为 M 的刚性均匀正方形框架，在某边的中点
开一个小缺口，缺口对质量分布的影响可以忽略。将框架放在以
大学物理竞赛专题辅导之力学
力学基本定律 ma = F 2r d 加速度 a= 2
dt
作用力
电 磁 相 互 作 用
, mg 运动轨道椭圆、 万有引力 GMm 2 r q1q2 1 抛物线、双曲线 库仑力
4 0 r 2
洛伦兹力 弹性力
qvB
-kx
圆周运动
x A cos( t )
动静摩擦力、安培力、核力…..
能够由牛顿第二定律严格求解坐标的问题并不多
力学动量、角动量、动能三大定理
ma = F dP F dt dJ d r P rF L dt dt d 1 mv 2 F dr 2
动量定理
角动量定理
动能定理 冲量定理 冲量矩定理
2 2
题目给出初始速度v0>0的限制，因此初始速度满足的 2 条件是 qRB qRB (1) 0<v Rq
0
2m
2m
(2)设质点到达最低点b处的速度大小为v,则机械能守 1 mv 2 = 1 mv 2 2mgR 恒得到 2 0 2 (2) 2
v 2 = v0 4 gR
2
2
又因为 0 q 2 ，所以上式中
qBR qBR 0 Rg cos q 2m 2m
2
因而左端
2 v1 2 Rg (1 cos q ) 0
这样得到两种夹角范围初始速度满足的条件是 2 2 ) ( 0 v v q 0 q 0 2 2 Rg (1 cos q ) 2 2
P F t J L
力学的守恒定律 动量、角动量、能量守恒
力学的物理模型 质点、质点组、刚体
dt
作用力
电 磁 相 互 作 用
, mg 运动轨道椭圆、 万有引力 GMm 2 r q1q2 1 抛物线、双曲线 库仑力
4 0 r 2
洛伦兹力 弹性力
qvB
-kx
圆周运动
x A cos( t )
动静摩擦力、安培力、核力…..
能够由牛顿第二定律严格求解坐标的问题并不多
力学动量、角动量、动能三大定理
ma = F dP F dt dJ d r P rF L dt dt d 1 mv 2 F dr 2
动量定理
角动量定理
动能定理 冲量定理 冲量矩定理
2 2
题目给出初始速度v0>0的限制，因此初始速度满足的 2 条件是 qRB qRB (1) 0<v Rq
0
2m
2m
(2)设质点到达最低点b处的速度大小为v,则机械能守 1 mv 2 = 1 mv 2 2mgR 恒得到 2 0 2 (2) 2
v 2 = v0 4 gR
2
2
又因为 0 q 2 ，所以上式中
qBR qBR 0 Rg cos q 2m 2m
2
因而左端
2 v1 2 Rg (1 cos q ) 0
这样得到两种夹角范围初始速度满足的条件是 2 2 ) ( 0 v v q 0 q 0 2 2 Rg (1 cos q ) 2 2
P F t J L
力学的守恒定律 动量、角动量、能量守恒
力学的物理模型 质点、质点组、刚体
物理竞赛--力学复习第1讲运动学
ax
dv x dt
0
ay
dv y dt
6m s2
a
dv dt
18t , 1 9t 2
a
ax2
a
2 y
6m s2
an
a2 a2
6 1 9t 2
或 ( x2 y2 )3/ 2 [22 (6t)2 ]3/ 2 2(1 9t 2 )3/ 2
yx yx 6 2 6t 0
dt 角加速度： d
dt
切向加速度：at
dv dt
R
法向加速度：an
v2 R
R 2
二.基本运动规律
(1)直线运动：x x(t)
v dx dt
a
dv dt
d2x dt 2
(2)匀变速直线运动：
v x
v0 x0
at v0t
1 2
at
2
v2 v02 2a( x x0 )
5
0 t
(3)匀变速圆周运动：
a
x2
y2
(d
bc2
b)2 sin3
y 0
9
例题3、细杆OL绕O以匀角速率ω转动,并推动小环C在
固图定),求的小钢环丝的A速B上度滑v动和, O加点速与度钢a丝. 间的垂直距离为d (如
L
解:这是一维问题
A o x B
x d tan
d
v
xi
d cos2
i
d2
d
x
2
i
o
C
x
ar
vr&
r &x&i
t) j
dt
质点的加速度：a加
2(a Rcos
dv dt t )i
XHY---周培源大学生力学竞赛辅导( 动力学基础)
n i 1 i i C
t2 d (mv ) F mv2 mv1 F d t I 质点 t1 dt (e) d 质点系 ( m i vi ) F i dt dp x (e) Fx ( e ) p p I 2x 1x x dt dp y (e) (e) p p I Fy 2y 1y y dt (e) p2 z p1z Iz dpz (e) Fz dt
A l
O
l
C l B
F
已 知 ： OA=l ， AB=2l ， FAB 。 求 从0--90时， O 力F的功。
y
A
l
l
C
x
l B
F
• 解1：建立坐标系如图。
根据功的解析表达式，有
2 1 2 1
Fx F sin xB 3l cos dxB 3l sin d F F cos y B l sin dy B l cos d y
0
C2
• 平面运动刚体上力系的功
W12 M C d FR' d rC
1
C1
2
质点系的动能
质点系的动能
a. 平动刚体的动能
1 2 T mi vi i 2
1 1 2 2 T mi vi mvC 2 i 2
1 1 2 T mi vi J z 2 2 i 2
则rC = 常矢量；(质心位置守恒)
动量矩定理
• 动量矩 L O
M
i 1
n
O
(mi vi )
Lz M z (mi vi )
i 1
n
LO rC mvC LC
t2 d (mv ) F mv2 mv1 F d t I 质点 t1 dt (e) d 质点系 ( m i vi ) F i dt dp x (e) Fx ( e ) p p I 2x 1x x dt dp y (e) (e) p p I Fy 2y 1y y dt (e) p2 z p1z Iz dpz (e) Fz dt
A l
O
l
C l B
F
已 知 ： OA=l ， AB=2l ， FAB 。 求 从0--90时， O 力F的功。
y
A
l
l
C
x
l B
F
• 解1：建立坐标系如图。
根据功的解析表达式，有
2 1 2 1
Fx F sin xB 3l cos dxB 3l sin d F F cos y B l sin dy B l cos d y
0
C2
• 平面运动刚体上力系的功
W12 M C d FR' d rC
1
C1
2
质点系的动能
质点系的动能
a. 平动刚体的动能
1 2 T mi vi i 2
1 1 2 2 T mi vi mvC 2 i 2
1 1 2 T mi vi J z 2 2 i 2
则rC = 常矢量；(质心位置守恒)
动量矩定理
• 动量矩 L O
M
i 1
n
O
(mi vi )
Lz M z (mi vi )
i 1
n
LO rC mvC LC
(优选)大学物理竞赛辅导力学.
（优选）大学物理竞赛辅导力 学.
质点运动学
1、描述质点运动的 基本量：
1)位置矢量 r xi yj zk
r x2 2)位移 3)速度
4)加速度
y2 z2
v
r dr
dt
a
dv
dt
cos x , cos y , cos z
r rrຫໍສະໝຸດ i yj zkvxv
i v
v
yj
一 质心
有n 个质点组成的质点系，其质心位置可由下式确定
rc
m1r1 m2r2 miri mnrn
m1 m2 mi mn
n mi ri
i 1 n
mi
n
i 1
若取 m' mi 为质点系内各质点的质量总和
i
上式可写为
m' drc
n
dt i1
1m'rc
mi
质点系的动量定理
t2
t1
n i1
Fi外
dt
n i1
mivi2
-
n i1
miv i1
3）质点系的动量守恒定律（惯性系）
n
如 Fi 0
则
mivi 常矢量
i 1
i
n
如 Fix 0 i 1
则
mivi x 常量
i
注意：
1、动量守恒定律
只适用于惯性系。定律中的速度应 是对同一惯性系
求：v,
a
以及 轨迹方程 等。
解法：求导
若已知
r
r (t)
则
v
dr
dt
a
dv dt
d
2
r
dt 2
若已知 s s( t )
质点运动学
1、描述质点运动的 基本量：
1)位置矢量 r xi yj zk
r x2 2)位移 3)速度
4)加速度
y2 z2
v
r dr
dt
a
dv
dt
cos x , cos y , cos z
r rrຫໍສະໝຸດ i yj zkvxv
i v
v
yj
一 质心
有n 个质点组成的质点系，其质心位置可由下式确定
rc
m1r1 m2r2 miri mnrn
m1 m2 mi mn
n mi ri
i 1 n
mi
n
i 1
若取 m' mi 为质点系内各质点的质量总和
i
上式可写为
m' drc
n
dt i1
1m'rc
mi
质点系的动量定理
t2
t1
n i1
Fi外
dt
n i1
mivi2
-
n i1
miv i1
3）质点系的动量守恒定律（惯性系）
n
如 Fi 0
则
mivi 常矢量
i 1
i
n
如 Fix 0 i 1
则
mivi x 常量
i
注意：
1、动量守恒定律
只适用于惯性系。定律中的速度应 是对同一惯性系
求：v,
a
以及 轨迹方程 等。
解法：求导
若已知
r
r (t)
则
v
dr
dt
a
dv dt
d
2
r
dt 2
若已知 s s( t )
大学物理竞赛力学辅导2016
Ek
E p (x)
Ep
(x)
1 2
kx2
AE
B
Ek
Ep
Ep(h) mgh
Ep
o H H
重力势能
h
Ep
o
x
弹性势能
E
o Ek
Ek0
x
Ep
Ep
(r)
G
Mm r
引力势能
势能曲线的作用：
（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。
（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置 所受保守力的大小和方向。
若：a0 a0 a0
r ，即：相对运动趋势向前， r ，即：相对运动趋势向后， r，即：无相对运动趋势，
f0 向后。
f
' 0
向前。
f0 0
2h
r 2h
r 2h
r
1 1 1
刚体平面平行运动的求解:
（1）求质心的运动。 利用质心运动定律，设质心在Oxy平面内运动，
RB
RB
A R A RG vC
G
车轮中心前进的距离与质心转过的角度的关系
xR
则
vc R
总结
关于“纯滚动”问题，判断静摩擦力方向：静摩擦力与相对运动趋势相反。
F F ma0 a0 m
Fh I Fh
I
此时：这样看待圆柱体的运动： O点以过O’ 点为瞬心轴转动。
a rβ
(9).转动惯量
N
J (ri2mi ) J
r 2dm
dmdl dmdS
i 1
dmdV
刚体的平面平行运动
一、刚体的平面平行运动
E p (x)
Ep
(x)
1 2
kx2
AE
B
Ek
Ep
Ep(h) mgh
Ep
o H H
重力势能
h
Ep
o
x
弹性势能
E
o Ek
Ek0
x
Ep
Ep
(r)
G
Mm r
引力势能
势能曲线的作用：
（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。
（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置 所受保守力的大小和方向。
若：a0 a0 a0
r ，即：相对运动趋势向前， r ，即：相对运动趋势向后， r，即：无相对运动趋势，
f0 向后。
f
' 0
向前。
f0 0
2h
r 2h
r 2h
r
1 1 1
刚体平面平行运动的求解:
（1）求质心的运动。 利用质心运动定律，设质心在Oxy平面内运动，
RB
RB
A R A RG vC
G
车轮中心前进的距离与质心转过的角度的关系
xR
则
vc R
总结
关于“纯滚动”问题，判断静摩擦力方向：静摩擦力与相对运动趋势相反。
F F ma0 a0 m
Fh I Fh
I
此时：这样看待圆柱体的运动： O点以过O’ 点为瞬心轴转动。
a rβ
(9).转动惯量
N
J (ri2mi ) J
r 2dm
dmdl dmdS
i 1
dmdV
刚体的平面平行运动
一、刚体的平面平行运动
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v v v
AC
AB
BC
aAC aAB aBC
2.质点运动的几种典型形式
1) 匀变速直线运动
x
x0
v0t
1 2
at2
v v0 at v2 v02 ＋ 2a(x - x0 )
2) 抛体运动 运动方程
x
v0
cos
t
y
v0
sin
t
-
1 2
gt
2
3) 匀变速圆周运动
0
＋
w0t
1 2
t 2
w＝w0 t
(t2
t1
Fi )dt 0
n
(2) 若 Fi 0 或 ΣF外«F内，则系统无论沿那个方向的动量都守恒； i 1
n
若 Fi 0，但若某一方向的合外力零，或该方向 ΣF外«F内
i 1
则该方向上动量守恒；
(3)系统内各量必须是同一时刻，对同一惯性系的物理量 ；
(4)若作用时间极短，而系统又只受重力作用，则可略去重力， 而运用动量守恒。
4）质心
几种系统的质心
▲ 两质点系统
· · m1
C× m2
r1
r2
m1 r1 = m2 r2
▲
连续体 z
dm
r
×C
rC
r dm
m
rc m
xC
xdm m
0
x
y
……
▲均匀杆、圆盘、圆环、球，质心为其几何中心。
▲ “小线度”物体的质心和重心是重合的。
F外
dP dt
d dt
(mv C
)
m
i 1
i 1
上式表明：系统内各质点的动量的矢量和等于系统
in=1 =F质内 心0的速度乘in1 以ddP系ti 统i的n1 质Fi外量。
即F外
m‘
dvC dt
m’aC
上式表明：作用在系统上的合外力等于系统的总质量 乘以系统质心的加速度。
(2)a( x) dvx
dt
dv
(3)a(v x )
x
dt
dv
vx
x
dx
分离变量
例：一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0， 以后加速度均匀增加，每经过τ秒增加a0，求经过 t 秒后质点的速度和运动的距离。
解：据题意知，加速度和时间的关系为：
a
a0
a0
t
a dv dv adt dt
v
0tadt
t( 0
a0
a0
t
)dt
v
a0t
a0
2
t2
v dx dx vdt dt
x
0tvdt
t( 0
a0t
a0
2
t2
)dt
x
a 0
t2
a 0
t3
2 6
例，一足球运动员在正对球门前25m处，以20m/s的初 速度罚任意球。已知门高3.44m，若要在垂直于球门 的竖直平面内将足球直接踢进球门，问他应在与地面 成什么角度的范围内踢出足球？（足球可视为质点）
dt
a
dv
dt
d 2r dt 2
若已知 s s( t )
则
v
ds dt
0
v0 ,
a
dv dt
0
v2
n0
2） 已知：a 及初值条件
解法：积分
求:
v
及
r (t)
(1)a(t ) dv dt
v
v0
t
t0
a(
t
)dt
v(t ) dr dt
r-
r 0
t
t0
v(t
)dt
一维直线运动 (直线运动中可用标量代替矢量）
rc
m1r1 m2r2 miri mnrn m1 m2 mi mn
n miri
i 1 n
mi
n
i 1
若取 m' mi 为质点系内各质点的质量总和
上式可写为 i1m'rc n miri 此式对时间求导为：
m'
drc dt
n i 1
mi
dri dt
i1 即m'vc n mivi n pi
质点(系)动力学
1、牛顿三定律 适用于低速宏观惯性系
2、力的瞬时效应
F
ma
m
dv
m
d
2
r
dt 1）质点的角动量（固定点） L
dt 2
r
mv
合外力对固定点的力矩
M
r
F
2）质点（系）的角定律
若 M 0 ，则
L
r
mv
常
矢
量
同一问题中的力矩和角动量都是对于惯性系中的 同一固定点。
vz2
a
ax2
a
2 y
az2
在自然坐标系的表述:
(1) 位置
r r(s) P点起轨迹的弧长S ——弧坐标
（2） 速度
v
ds dt
0
v0 ,
(3) 加速度
a
dv
dt 0
v2
n0
矢量性： 瞬时性： 相对性：
a
a2
a2 n
dv
2
v2
2
dt
叠加性：
二、相对运动
r r r
AC
AB
BC
-
n i1
miv i1
3）质点系的动量守恒定律（惯性系）
n
如 Fi 0 i 1 n
如 Fix 0 i 1
则
mivi 常矢量
i
则
mivi x 常量
i
注意：
1、动量守恒定律
只适用于惯性系。定律中的速度应 是对同一惯性系
的速度，动量和应是同一时刻的动量之和。
2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
质点（系）动力学 3、力的时间积累效应
1）冲量：
I
t
2
Fdt
t1
动量： P＝mv
2）质点的动量定理 平均冲力概念
I
t2 t1
Fdt
mv2
-
mv1
F
1
t2
Fdt
mv2
- mv1
t2 - t1 t1
t2 - t1
质点系的动量定理
t2
t1
n i1
Fi外
dt
n i1
mivi2
dvC dt
有
F外 maC
— 质心运动定理
质心的运动如同一个在质心位置处的质点的
运动，该质点集中了整个质点系的质量和所受
的外力。 在质点力学中所谓“物体”的运动，
实际上是物体质心的运动。
思考
·C 纸 × 拉力
球往哪边 移动？
质心 质心运动定理
一 质心
有n 个质点组成的质点系，其质心位置可由下式确定
竞赛内容
质点运动学
1、描述质点运动的基本量：
1)位置矢量
r
xi
yj
zk
r x2 2)位移
y2
z2
r
cos
xi
x , cos y , cos
r r yj zk
z r
3)速度 4)加速度
v dr dt
a dv dt
vxi vy j vzk
v
v
vx2
vy2
axi ay j azk
4) 线量和角量关系
ds Rd
an
v2 R
Rw 2
w 2w02 ＋ 2 ( - 0 )
v ds R d Rw
dt dt
a
dv dt
R dw
dt
R
v w r
3、运动学中的两类问题(按求解时所用数学方法的不同）：
1） 已知：质点的运动学方程
求：v, a 以及 轨迹方程 等。 解法：求导
若已知 r r(t) 则 v dr
3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多）—— —近似守恒条件。
4、动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方 向为零。）——部分守恒条件
5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。是比牛顿 定律更普遍的最基本的定律
n
(1) 守恒条件是 Fi 0 而不是 i 1