高考理科数学《函数的图象》练习题

2014-2015高考理科数学《函数的图象》练习题
[A 组 基础演练·能力提升]
一、选择题
1．函数f (x )＝log 12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π
2
<x <π2的图象大致是( )
解析：因为f (－x )＝log 12cos(－x )＝log 1
2cos x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除A 、B ；
又f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3＝log 12cos π3＝log 1212＝1，故排除D ，应选C.
答案：C
2．(2014年广州模拟)函数y ＝
|x |a x
x
(a >1)的图象的大致形状是( )
解析：由题意知，y ＝|x |a x x ＝⎩⎨⎧
a x
，x >0
－a x
，x <0，又a >1，所以由y ＝a x 的图象可知，B 选项符合题意．
答案：B
3.如图，半径为2的⊙O 与直线MN 相切于点P ，射线PK 从PN 出发绕点P 逆时针方向旋转到PM ，旋转过程中，PK 交⊙O 于点Q ，设∠POQ 为x ，弓形PmQ 的面积为S ＝f (x )，那么f (x )的图象大致是( )
解析：利用函数的凹凸性可知选D. 答案：D
4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
3x
x ≤1
log 1
3x x >1
，则函数y ＝f (1－x )的图象大致是( )
解析：由f (x )＝⎩⎨⎧
3x x ≤1
log 1
3x
x >1
，得f (1－x )＝⎩⎨⎧
31－x x ≥0log 1
3
1－x
x <0
.
因此，x ≥0时，y ＝f (1－x )为减函数，且y >0；x <0时，y ＝f (1－x )为增函数，且y <0.故选C.
答案：C
5．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨
⎧
a ，a －
b ≤1，
b ，a －b >1.
设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x
∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴上恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )
A ．(－1,1]∪(2，＋∞)
B ．(－2，－1]∪(1,2]
C ．(－∞，－2)∪(1,2]
D ．[－2，－1]
解析：令(x 2
－2)－(x －1)≤1，得－1≤x ≤2，∴f (x )＝⎩⎨
⎧
x 2
－2－1≤x ≤2x －1x <－1或x >2
，∵y ＝f (x )
－c 与x 轴恰有两个公共点，画出函数的图象得知实数c 的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．故选B.
答案：B
6．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位长度后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2
－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．c >a >b
B ．c >b >a
C ．a >c >b
D ．b >a >c
解析：由题意得f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，则f (x )的图象关于x ＝1对称，满足f (x )＝f (2－x )，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 又由已知得f (x )在(1，＋∞)上为减函数，∴f (2)>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52>f (3)，即b >a >c . 答案：D 二、填空题
7.直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．
解析：如图，作出y ＝x 2
－|x |＋a 的图象，若要使y ＝1与其有4个交点，则需满足a －1
4
<1<a ，
解得1<a <5
4
.
答案：⎝
⎛
⎭⎪⎫1，54
8．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝
f (x )与y ＝lo
g 5x 的图象交点的个数为________．
解析：根据f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x )＝f (x ＋2)，则函数f (x )是以2为周期的函数， 分别作出函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象(如图)，可知函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象的交点个数为4.
答案：4
9．已知函数f (x )＝⎩⎨
⎧
2x ，x ≥2，
x －13
，x <2.
若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数
k 的取值范围是________．
解析：当x <2时，f ′(x )＝3(x －1)2≥0，说明函数在(－∞，2)上单调递增，函数的值域是(－∞，1)，又函数在[2，＋∞]上单调递减，函数的值域是(0,1]．因此要使方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则0<k <1.
答案：(0,1) 三、解答题
10．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，求a 的取值范围． 解析：当0<a <1时，y ＝|a x －1|的图象如图(1)所示，
由已知得0<2a <1，∴0<a <1
2
.
当a >1时，y ＝|a x －1|的图象如图(2)所示． 由已知可得0<2a <1， ∴0<a <1
2
，但a >1，故a ∈∅.
综上可知，a 的取值范围：⎝
⎛
⎭⎪⎫0，12.
11．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；
(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集； (5)求当x ∈[1,5)时函数的值域． 解析：(1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，
即m ＝4.
(2)f (x )＝x |4－x |
＝⎩⎨⎧
x x －4＝x －22
－4，x ≥4，－x x －4＝－x －22
＋4，x <4.
f (x )的图象如图所示．
(3)f (x )的单调递减区间是[2,4]．
(4)由图象可知，f (x )>0的解集为{x |0<x <4，或x >4}． (5)∵f (5)＝5>4
∴由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)．
12．(能力提升)已知定义域为R 的函数f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝|x －a 2|－a 2，且对x ∈R ，恒有f (x ＋1)≥f (x )，求实数a 的取值范围．
解析：当x ≥0时，f (x )＝|x －a 2|－a 2
＝⎩⎨⎧
－x ，0≤x ≤a 2
，x －2a 2，x >a 2
.
因为函数f (x )为奇函数，故函数f (x )的图象关于原点对称，如图所示．因为f (x ＋1)的图象可以看作由函数f (x )的图象向左平移1个单位得到，需将函数f (x )的图象至少向左平移4a 2个单位才能满足不等式f (x ＋1)≥f (x )恒成立，所以4a 2≤1，故a ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－12，12.
[B 组 因材施教·备选练习]
1．(2014年济南模拟)函数f (x )＝ln ⎝
⎛
⎭⎪⎫x －1x 的图象是( )
解析：自变量x 满足x －1
x ＝x 2－1
x
>0，当x >0时可得x >1，当x <0时可得－1<x <0，即函数f (x )
的定义域是(－1,0)∪(1，＋∞)，据此排除选项A 、D.函数y ＝x －1x 单调递增，故函数f (x )＝ln ⎝ ⎛
⎭⎪
⎫x －1x 在(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增，故选B.
答案：B
2．函数f (x )＝⎩⎨
⎧
log 3x ，x >0，
cos πx ，x <0
的图象上关于y 轴对称的点共有( )
A ．0对
B ．1对
C ．2对
D ．3对 解析：因为y ＝cos πx 是偶函数，图象关于y 轴对称．
所以，本题可转化成求函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 图象的交点个数的问题． 作函数图象如图，可知有三个交点，即函数f (x )图象上关于y 轴对称的点有3对． 答案：D
3．设方程3x ＝|lg (－x )|的两个根为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2＜0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2＞1
D ．0＜x 1x 2＜1
解析：函数y ＝3x 与函数y ＝|lg (－x )|的图象如图所示，由图示可设x 1＜－1＜x 2＜0， 则0＜3x 1＜3x 2＜1，
且⎩⎨
⎧
3x 1＝lg －x 1，3x 2＝－lg －x 2，
可得
3x1－3x2＝lg (－x1)＋lg (－x2)＝lg x1x2，∵3x1－3x2＜0，∴0＜x1x2＜1，故应选D. 答案：D。