第二章 2.2 二次函数的图象与性质(2)
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二次函数的图象与性质-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版) (2)
即可．
【详解】解：抛物线y=(x-3)2的顶点坐标是(3,0)，
故选A．
2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图像上，
则下列结论正确的是（
）
A．y3＜y2＜y1
B．y1＜y2＜y3
C．y1＜y3＜y2
D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【分析】根据二次函数图像与性质，结合-2＜0确定开口向下，
当x>0时，y随x的增大而减小，
当x=0时，ymax=0.
抛物线关于y轴对称.
-4 -2 0
-3
-6
-9
顶点坐标是（0，0）；是抛物线
上的最高点.
2
4
x
要点归纳
y＝x2
y＝－x2
y
图象
位置开
口方向
对称性
顶点
最值
增减性
O
y
x
O
x
开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 y=x2和y=－x2的图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握y=ax2的图象，知道它的图象是一条抛物线；
2、掌握用描点法画y=x2和y=-x2的图象；
3、掌握y=ax2的图象与性质，并灵活运用该图像的性质解决
时呢？
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
问题4 当x取何值时，y的值最小？
最小值是什么？
x=0时，ymin=0.
【详解】解：抛物线y=(x-3)2的顶点坐标是(3,0)，
故选A．
2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图像上，
则下列结论正确的是（
）
A．y3＜y2＜y1
B．y1＜y2＜y3
C．y1＜y3＜y2
D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【分析】根据二次函数图像与性质，结合-2＜0确定开口向下，
当x>0时，y随x的增大而减小，
当x=0时，ymax=0.
抛物线关于y轴对称.
-4 -2 0
-3
-6
-9
顶点坐标是（0，0）；是抛物线
上的最高点.
2
4
x
要点归纳
y＝x2
y＝－x2
y
图象
位置开
口方向
对称性
顶点
最值
增减性
O
y
x
O
x
开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 y=x2和y=－x2的图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握y=ax2的图象，知道它的图象是一条抛物线；
2、掌握用描点法画y=x2和y=-x2的图象；
3、掌握y=ax2的图象与性质，并灵活运用该图像的性质解决
时呢？
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
问题4 当x取何值时，y的值最小？
最小值是什么？
x=0时，ymin=0.
二次函数的图像和性质(共82张PPT)
y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像
2.2.二次函数的图象和性质(2)
2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,c),(0,0). (2)最值不同:分别是c和0.
3.联系: y=ax²+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象沿y轴整体平移|c|个单位 得到的.(当c>0时向上平移;当c<0时,向下平移).
独立
知识的升华
作业
P36 习题2.3 1,2题.
祝你成功
3.实验探究系数与图象间的关系
a与图象的关系
a决定 图象的 形状
开口方向 开口大小
当a > 0 时 开口向上 当a < 0 时开口向下 a 越大图象开口越小
a 越小图象开口越大
c与图象的关系
当c＝0时图象过原点 C 确定图 象与y轴 当 c > 0时图象与y轴正半轴相交 的交点
当c < 0时图象与y轴负半轴相交
第二章《二次函数》
在同一坐标系中作出二 次函数y=2x²+1的图象与二 次函数y=2x²的图象
y
9 8
y=2x2
函数y=2x2+1的图象是什
6
么形状?
5
它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
它与y=2x2的图象有什么 相同和不同?
-4 -3
4
3
2
1
x -2 -1 o 1 2 3 4
y=2x2+1
4、将抛物线y=x2+1的图像向下平移一个单位，
将得到 y=x2 的图像；如果向上平移 一个单位，将得到 y=x2+2 的图像.
5、若抛物线y=-3x2+c的顶点坐标为（0，-5），
则ｃ＝＿-＿5＿，二次函数关系式为＿y=＿-３＿＿x2＿-５，
那么它的图像是由y=-3x2怎样移动得来的？
3.联系: y=ax²+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象沿y轴整体平移|c|个单位 得到的.(当c>0时向上平移;当c<0时,向下平移).
独立
知识的升华
作业
P36 习题2.3 1,2题.
祝你成功
3.实验探究系数与图象间的关系
a与图象的关系
a决定 图象的 形状
开口方向 开口大小
当a > 0 时 开口向上 当a < 0 时开口向下 a 越大图象开口越小
a 越小图象开口越大
c与图象的关系
当c＝0时图象过原点 C 确定图 象与y轴 当 c > 0时图象与y轴正半轴相交 的交点
当c < 0时图象与y轴负半轴相交
第二章《二次函数》
在同一坐标系中作出二 次函数y=2x²+1的图象与二 次函数y=2x²的图象
y
9 8
y=2x2
函数y=2x2+1的图象是什
6
么形状?
5
它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
它与y=2x2的图象有什么 相同和不同?
-4 -3
4
3
2
1
x -2 -1 o 1 2 3 4
y=2x2+1
4、将抛物线y=x2+1的图像向下平移一个单位，
将得到 y=x2 的图像；如果向上平移 一个单位，将得到 y=x2+2 的图像.
5、若抛物线y=-3x2+c的顶点坐标为（0，-5），
则ｃ＝＿-＿5＿，二次函数关系式为＿y=＿-３＿＿x2＿-５，
那么它的图像是由y=-3x2怎样移动得来的？
2.2.2二次函数的性质与图象(2)
预习反馈
小 1组★★ 2组★ 3组★ 4组★★ 5组★ 6组★★ 7组★ 8组★★ 李艳丽 匙永明 刘选和 殷森 组 优 王家明 王彩云 赵晓阳 赵芃 史东岳 闫永洁 秀 个 人 得分 4 4 4 5 1 4 2 2
9组★★
匙红芳 韩静
3
姜珊
杜
彬 朱清华 刘仲轩 朱照纬
刘梦佳 田小桐 曹秀敏 赵雪婷 董金明 王 宁 刘柄鑫 张春艳
存在问题
1、不会选择恰当的形式求解二次函数的解析式； 2、二次函数区间最值问题： 分类不明确、步骤不条理、结论不完整；
3、不会利用二次函数的单调性解决含参问题。
合作探究
内容：
1、二次函数的性质。 2、总结：含参二次函数的求值问题。 3、小组内的其他疑问。
6+3分钟
目标要求：
（1）人人参与，热烈讨论，大声发表自己的 见解 （2）手不离笔、随时记录，组长调控好节奏
精彩点评（20分钟）
展示问题 展示位置 小组 点评
目标：
（1）点评对错、规 范(布局、书写)、思 路分析（步骤、易错 点），总结规律方法 （用彩笔） （2）其它同学认真 倾听、积极思考,重 点内容记好笔记。有 不明白或有补充的要 大胆提出。 （3）力争全部达成 目标，A层多拓展、 质疑,B层注重总结， C层多整理，记忆。 科研小组成பைடு நூலகம்首先要 质疑拓展。
例1（1）
后黑板
7组
例1（2）
例1（3） 例1变式 例2 例3
后黑板
后黑板 后黑板 前黑板 前黑板
8组
9组 3组 5组 6组 2组 1组
4组
整理巩固
要求: 整理巩固探究问题
落实基础知识 完成知识结构图
课堂评价
2.2 二次函数的图象与性质(2)
议一议
二次函数 y = 2 x² + 1 的图象与二次函数 y = 2 x² 的图象有什么关系？ 它是轴对称图形吗？它 的开口方向、对称轴和 顶点坐标分别是什么？
你能通过平移画出y=2x²-1的图像吗？ 说说你是怎么做的。
二次函数 y = 2 x²，y = 2 x² + 1，y = 2 x² - 1 的图象都是抛物线，并且形状相同，只是 位置不同．将二次函数 y = 2 x² 的图象向上 平移 1 个单位，就得到函数 y = 2 x² + 1 的图象；将二次函数 y = 2 x² 的图象向下平 移 1 个单位，就得到函数 y = 2 x² - 1 的 图象．
课堂小结：
形如y=ax²的二次函数图像，|a|越大，图像开口反 而越小。
二次函数y=ax²与y=ax²+c的图像都是抛物线，开 口方向和形状都相同。 C＞0时，把y=ax²向上平移c个单位得到y=ax²+c， C＜0时，把y=ax²向下平移c个单位得到y=ax²+c。
布置作业：
• 习题2.3的1、2、3题。
结论
• 二次函数y=ax²与y=ax²+c的图像都是抛物线， 开口方向和形状都相同 • C＞0时，把y=ax²向上平移c个单位得到y=ax²+c • C＜0时，把y=ax²向下平移c个单位得到y=ax²+c
检测反馈
二次函数 y=-2x²-12的图象与二次函数 y=2x²+12的图象有什么关系？它是轴对称图形 吗？ 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什 么？先想一想，如果需要，画图看一看．
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
（第2课时）
复习引入：回顾二次函数y=x²
2.2.2 二次函数的图象与性质(课件)九年级数学下册课件(北师大版)
的值和函数解析式 m+1>0 ①
解: 依题意有: m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2.
随堂练习
1.若二次函数y=axa2－2 的图象开口向下，则a 的值为( )
A.2
B. －2
C.4
D. －4
2.已知二次函数y=(2－a)xa2－14，在其图象对称轴的左侧，y
问题1. 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么
？
二次函数 开口 方向
顶点 坐标
对称轴
10 8
y =2x2 向上 (0,0) y轴
6
y =2x2＋ 1
向上 (0,1)
y轴
4 2
y=2x2－1 向上 (0,-1) y轴 －4 －2 －2
y = 2x2＋1 y = 2x2－1
开口方向 对称轴 顶点
a>0，开口向上， a＜0，开口向下
y轴
原点（0，0）
（0，c）
增减性
a>0时，在对称轴左侧递 a>0时，在对称轴左侧递减， 减，在对称轴右侧递增； 在对称轴右侧递增；a<0时， a<0时，在对称轴左侧递 在对称轴左侧递增，在对 增，在对称轴右侧递减 称轴右侧递减
最值 最大（小）值是0 最大（小）值是c
(1)比较a，b，c，d 的大小； (2)说明a与c，b与d的数量关系.
解：（1）由抛物线的开口方向， 知a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0. 由抛物线的开口大小，知|a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|， 因此a ＞ b，c ＜ d.∴ a ＞ b ＞ d ＞ c. （2）∵①与③，②与④分别关于x 轴对称， ∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反. ∴ a+c=0，b+d=0.
解: 依题意有: m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2.
随堂练习
1.若二次函数y=axa2－2 的图象开口向下，则a 的值为( )
A.2
B. －2
C.4
D. －4
2.已知二次函数y=(2－a)xa2－14，在其图象对称轴的左侧，y
问题1. 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么
？
二次函数 开口 方向
顶点 坐标
对称轴
10 8
y =2x2 向上 (0,0) y轴
6
y =2x2＋ 1
向上 (0,1)
y轴
4 2
y=2x2－1 向上 (0,-1) y轴 －4 －2 －2
y = 2x2＋1 y = 2x2－1
开口方向 对称轴 顶点
a>0，开口向上， a＜0，开口向下
y轴
原点（0，0）
（0，c）
增减性
a>0时，在对称轴左侧递 a>0时，在对称轴左侧递减， 减，在对称轴右侧递增； 在对称轴右侧递增；a<0时， a<0时，在对称轴左侧递 在对称轴左侧递增，在对 增，在对称轴右侧递减 称轴右侧递减
最值 最大（小）值是0 最大（小）值是c
(1)比较a，b，c，d 的大小； (2)说明a与c，b与d的数量关系.
解：（1）由抛物线的开口方向， 知a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0. 由抛物线的开口大小，知|a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|， 因此a ＞ b，c ＜ d.∴ a ＞ b ＞ d ＞ c. （2）∵①与③，②与④分别关于x 轴对称， ∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反. ∴ a+c=0，b+d=0.
数学北师大版九年级下册第二章二次函数图像和性质教案
2.2二次函数的图像和性质（第二课时）教学目标知识与技能1、能作出2ax y =和c ax y +=2的图像||，并研究它们的性质.2、比较2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同.理解a 与c 对二次函数图像的影响. 过程与方法1、经历探索二次函数2ax y =和c ax y +=2的图像的作法和性质的过程||，进一步获得将表格、表达式、图像三者联系起来的经验.2、通过比较2ax y =||， c ax y +=2与2x y =的图像和性质的比较||，培养学生的比较、鉴别能力.情感、态度与价值观让学生积极投身于数学学习活动中||，有助于培养他们的好奇心与求知欲.经过自己的努力得出的结论||，不仅使他们记忆犹新||，还能建立自信心.由学生自己思考在经过合作交流完成的数学活动||，不仅能使学生学到知识||，还能使他们互相增进友谊.教学重点、难点教学重点：描点法画出二次函数c ax y +=2的图象||，理解二次函数c ax y +=2的性质||，理解函数c ax y +=2与函数2ax y =的相互关系是教学重点会用描||。
教学难点：正确理解二次函数c ax y +=2的性质||，理解抛物线c ax y +=2与抛物线2ax y =的关系是教学的难点||。
关键：掌握2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同.理解a 与c 对二次函数图像的影响. 突破方法： 根据设问层层深入逐个破解||，然后进行类比、归纳、总结的探索模式学习||，最后得出2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同及a 与c 对二次函数图像的影响教学准备:教师准备：多媒体课件（用于展示操作过程||，引导讨论||，出示答案）．学生准备：课前预习||，两张坐标纸画图工具．教学过程(一)创设问题情景||，引入新课知识回顾：1．二次函数2x y =的图象是____||，它的开口向_____||，顶点坐标是_____；对称轴是______||，在对称轴的左侧||，y 随x 的增大而______||，在对称轴的右侧||，y 随x 的增大而______||，函数2ax y =与x ＝______时||，取最______值||，其最______值是______||。
2.2 二次函数的图像与性质第二课时
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向 增减性
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
对称轴
顶点坐标
当x<0 (在对称轴的左侧) 时,y随着x的增大而减小.
y=ax2(a>0)
y
当x>0 (在对称轴的右侧) 时, y随着x的增大而增大.
抛物线y=ax2在x轴的上方(除 顶点外),顶点是它的最低点,开
口向上,并且向上无限伸展;当
x=0时,函数y的值最小,最小值 是0.
0
x
y=a（x-h）²+k （a>0）
=2(x-2)2-1
化成y=a（x-h）²+k 的形式呗
因此二次函数 =2x2-8x+7图像开口向上； 对称轴x=2，顶点坐标x（2,-1）. 配方后的表达式通常 称为配方式或顶点式
例2
求二次函数y=ax2+bx+c图像的对称轴和顶点坐标. 解: 把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方，得
y ax bx c
（x+3）²-1/2的图像，你是怎样得到的？与同伴交流.
议一议
二次函数y=a（x-h）²+k与y=ax²的图像有什么关系？
一般地，平移二次函数的图像便可得到二次函数的图 像.因此，二次函数的图像是一条抛物线，它的开口方向，
对称轴和顶点坐标如下表所示：
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5
2．将抛物线 y＝－2x2 向上平移 6 个单位长度，所得抛物线的函数
表达式为( C )
A．y＝－2x2－6 B．y＝2x2－6 C．y＝－2x2＋6 D．y＝－2(x－6)2
6
3．把二次函数 y＝x2－4 的图象向上平移 3 个单位，所得函数表
达式为( D )
A．y＝x2－7 B．y＝(x＋3)2 C．y＝(x－3)2－4 D．y＝x2－1
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质(2)
1
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2
二次函数 y＝ax2＋c(a，c 是常数，a≠0)图象及性质：
1.
开口方向 顶点坐标 对称轴
y＝ax2＋c
a＞0 a＜0
向上 向下
( 0，c )
y轴
3
2．(1)把抛物线 y＝x2 向上平移 k(k＞0)个单位，就得到抛物
14
解：设抛物线 y＝ax2－2， 把点(1，1)代入可得 a＝3， ∴y＝3x2－2.
15
14．(1)若将抛物线 y＝2x2＋3 绕其顶点旋转 180°，所得抛物线的
表达式为 y＝－2x2＋3；
(2) 抛 物 线 y ＝ 4x2 ＋Байду номын сангаас1 关 于 x 轴 对 称 的 抛 物 线 的 表 达 式
为 y＝－4x2－1 ；
12
12．若抛物线 y＝ax2＋c 经过点(－1，2)，(0，－4)，求该抛物线 的表达式．
解：将(－1，2)与(0，－4)代入抛物线表达式得： ac＝＋－c＝42，解得：ac＝＝－6，4， 则抛物线表达式为 y＝6x2－4.
13
13．一条抛物线的开口方向、对称轴与 y＝12x2 相同，顶点纵坐标 是－2，且抛物线经过点(1，1)，求这条抛物线的函数关系式．
7
4．下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( C )
A．y＝2x2 与 y＝3x2 B．y＝21x2＋2 与 y＝2x2＋21 C．y＝x2 与 y＝x2＋2 D．y＝x2＋2 与 y＝－x2－2
8
5．在同一直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋c 与二次函数 y＝ax2
＋c 的图象大致为( B )
10．函数 y＝－3x2＋3，当 x >0时，函数值 y 随 x 的增大而减小．当 x ＝0时，函数取得最大 值，最 大 值 y＝ 3 ．
11
三、解答题 11．已知抛物线 y＝ax2＋c 向下平移 2 个单位后，所得抛物线为 y
＝－3x2＋2.试求 a、c 的值．
解：抛物线 y＝ax2＋c 向下平移 2 个单位后得到： y＝ax2＋c－2 所以 ax2＋c－2＝－3x2＋2，a＝－3，c＝4.
9
二、填空题
6．抛物线 y＝2x2 向上平移 3 个单位，就得到抛物线 y＝2x2＋3． 7．抛物线 y＝2x2 向下平移 4 个单位，就得到抛物线 y＝2x2－4 ．
8．将二次函数 y＝5x2－3 向上平移 7 个单位后所得到的抛物线表
达式为 y＝5x2＋4 ．
10
9．抛物线 y＝x2－9 的开口向上 ，顶点坐标是(0，－9)，对称轴 是 y轴．
(3)若抛物线 y＝ax2＋c 与 y＝－2x2＋5 关于 x 轴对称．求 a，c 的值．
解：a＝2, c＝－5.
16
线 y＝ax2＋k ；
(2) 把抛 物 线 y ＝x2 向 下平 移 k(k＞ 0)个 单位 ，就 得 到抛 物
线 y＝ax2－k .
4
一、选择题
1．将二次函数 y＝x2 的图象向下平移 1 个单位. 则平移后的二次
函数的表达式为( A )
A．y＝x2－1
B．y＝x2＋1
C．y＝(x－1)2
D．y＝(x＋1)2