第2课时函数的单调性与最值.docx
第2课时函数的单调性和最值
作 业
渔
a<0 时，函数 f(x)在(－1,1)上为增函数．
高考调研·新课标高考总复习
高三数学（理）
第二章 第2课时
课 前 自 助
法二 对 f(x)求导，有 f′(x)＝－xa2－x2＋121，
餐
∵x∈(－1,1)，∴(x2－1)2>0，x2＋1>0，
∴当 a<0 时，f′(x)>0，f(x)在(－1,1)上为增函数，
第二章 第2课时
思考题 2 求下列函数的单调区间．
课 前 自 助
(1)f(x)＝ 3－12x－x2；
餐
(2)f(x)＝log1(－x2＋4x＋5)；
2
(3)y＝x－ln(x－1)．
【解析】 (1)∵3－2x－x2>0，∴－3<x<1.
课
授 人
由一元二次函数图象可知 f(x)的递减区间
时 作
以 渔
是(－3，－1]，递增区间为(－1,1)．
自 助 餐
－x12－(x1－x11)＝x2－x1＋x11－x12＝x2－x1＋xx2－1x2x1＝(x2－
x1)(1＋x11x2)
∵1≤x1<x2≤3，∴f(x2)－f(x1)>0
∴
授
f(x)＝x－1x在[1,3]上为增函数
课 时
人 以
∴最小值为 f(1)＝0，最大值为 f(3)＝38.
作 业
渔
解法二 在[1,3]上，y＝x 为增函数，y＝1x为减函数，
业
渔
(2)由11＋ －xx≥0 得 x∈(－1,1]，此即为递减区间．
高考调研·新课标高考总复习
高三数学（理）
第二章 第2课时
第2讲函数的单调性与最值共8页文档
第2讲函数的单调性与最值【2019年高考会这样考】1．利用函数的单调性求单调区间．2．利用函数的单调性求最值和参数的取值范围．【复习指导】本节复习时，首先回扣课本，应从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念，重点解决：(1)函数单调性的判断及其应用；(2)求函数的最值；再者复习时也必须精心准备，对常见题型的解法要熟练掌握．基础梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，①若f(x1)＜f(x2)，则f(x)在区间D上是增函数；②若f(x1)＞f(x2)，则f(x)在区间D上是减函数．(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝1x分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接． 两种形式设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1＜x 2，那么①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 四种方法 函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性． (4)图象法：利用图象研究函数的单调性．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)函数f (x )＝1－1x －1( )． A ．在(－1，＋∞)上单调递增 B ．在(1，＋∞)上单调递增 C ．在(－1，＋∞)上单调递减 D ．在(1，＋∞)上单调递减 答案 B2．若y ＝(2k ＋1)x ＋b 是R 上的减函数，则有( )． A ．k ＞12B ．k ＜12C ．k ＞－12D ．k ＜－12解析 由题意，知2k ＋1＜0.∴k ＜－12. 答案 D3．如果二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，那么 A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2D ．a ≥2解析 二次函数的对称轴为x ＝－13(a －1)，则－13(a －1)≥1.即a ≤－2. 答案 C4．(2019·长春模拟)下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )． A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析 结合函数的图象可知C 正确． 答案 C5．(2019·江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________________________________________________________________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞考向一 函数单调性的判断【例1】►判断函数f (x )＝x ＋ax (a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性． [审题视点] 可采用定义法或导数法判断． 解 法一 设x 1＞x 2＞0，则 f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1－a x 2＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x 1x 2.当a ≥x 1＞x 2＞0时，x 1－x 2＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x 1x 2＜0， 有f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax (a ＞0)在(0，a ]上为减函数； 当x 1＞x 2≥a 时，x 1－x 2＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x 1x 2＞0， 有f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax (a ＞0)在[a ，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a ＞0)在(0，a ]上为减函数；在[a ，＋∞)上为增函数．法二 f ′(x )＝1－a x 2，令f ′(x )＞0则1－ax 2＞0， ∴x ＞a 或x ＜－a (舍)．令f ′(x )＜0，则1－ax 2＜0， ∴－a ＜x ＜a .∵x ＞0，∴0＜x ＜a . ∴f (x )在(0，a )上为减函数；在(a ，＋∞)上为增函数，也称为f (x )在(0，a ]上为减函数；在[a ，＋∞)上为增函数．对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解；(2)可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行． 【训练1】 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ＞0)的单调性． 解 函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， ∵f ′(x )＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2，∵a ＞0，∴f ′(x )＜0.故函数f (x )在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减．【例2】►(2019·许昌高三调研)求函数y＝log 12(x2－3x＋2)的单调区间．[审题视点] 先确定定义域，再利用复合函数的单调性求解．解令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝log 12u与u＝x2－3x＋2的复合函数．令u＝x2－3x＋2＞0，则x＜1或x＞2.∴函数y＝log 12(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝32，且开口向上.∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y＝log 12u在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y＝log 12(x2－3x＋2)的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．判断函数的单调性要注意：(1)注意函数的定义域；(2)熟记基本函数的单调性，判断复合函数(或复杂函数)的单调性时要注意分解为基本函数来考虑．【训练2】函数y＝13＋2x－x2的单调递增区间是()．A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－1,1) D．(1,3)解析依题意3＋2x－x2＞0，即－1＜x＜3.∴函数的定义域为(－1,3)．又函数y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4在(1,3)上单调递减，所以原函数的单调递增区间是(1,3)．答案 D【例3】►(2019·昆明模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．[审题视点] (1)将a 值代入f (x )解析式，通过判断f (x )的单调性求最小值；(2)分a ≥0和a ＜0两种情况讨论．解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，在[)1，＋∞上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝72. (2)f (x )＝x ＋ax ＋2，x ∈[1，＋∞)．①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数． 最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )＞0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3＞0， 即a ＞－3，∴－3＜a ≤0.②当0＜a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为增函数， f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.∴a ＋3＞0，a ＞－3.∴0＜a ≤1.③当a ＞1时，f (x )在[1，a ]上为减函数，在(a ，＋∞)上为增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上的最小值是f (a )＝2a ＋2,2a ＋2＞0，显然成立． 综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3，＋∞)．(1)已知函数的解析式，能够判断函数的单调性，确定函数的单调区间，反之，已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值和范围，可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解．(2)不等式m ＞f (x )恒成立⇔m ＞f (x )max ，m ＜f (x )恒成立⇔m ＜f (x )min . 【训练3】 (2019·江西)设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；(2)当0＜a ＜2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．解 (1)由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a ，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a ；令29＋2a ＞0，得a ＞－19. 所以，当a ＞－19时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间．(2)已知0＜a ＜2，f (x )在[1,4]上取到最小值－163，而f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a 的图象开口向下，且对称轴x ＝12，∴f ′(1)＝－1＋1＋2a ＝2a ＞0，f ′(4)＝－16＋4＋2a ＝2a －12＜0，则必有一点x 0∈[1,4]，使得f ′(x 0)＝0，此时函数f (x )在[1，x 0]上单调递增，在[x 0,4]上单调递减， f (1)＝－13＋12＋2a ＝16＋2a ＞0，∴f (4)＝－13×64＋12×16＋8a ＝－403＋8a ＝－163⇒a ＝1.此时，由f ′(x 0)＝－x 20＋x 0＋2＝0⇒x 0＝2或－1(舍去)，所以函数f (x )max ＝f (2)＝103.难点突破3——函数最值问题的求解方法函数的最值也是函数最重要的性质之一，高考不但在选择题或者填空题中对此进行考查，还会出现在解答题中的某一问，如在应用问题以及数列、解析几何等问题中，甚至在函数导数的综合解答题中进行考查．函数的最值问题的考查形式主要有两种：一是求函数的最值，常见求函数最值的方法有：配方法、换元法、单调性法、数形结合法、基本不等式法及导数法等．注意：不论用什么方法求函数的最值均应考虑其定义域；二是已知函数最值，求参数的取值范围． 一、配方法配方法是求二次函数最值的基本方法．【示例】► 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3在区间[－1,1]上的最小值为－3，求实数a 的值． 二、换元法所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它化归为简单的基本初等函数，从而使问题易于解决． 【示例】► 已知函数y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2(a ∈R ，a ≠0)，求函数y 的最小值． 三、单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后根据单调性求函数的最值，这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．【示例】► 设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________. 四、数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法．这种方法借助几何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，又可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径．因此，在学习中，我们对这种方法要细心研读，认真领会，并正确地应用到相关问题的解决之中．【示例】► 对a ，b ∈R ，记max|a ，b |＝⎩⎨⎧a ，a ≥b ，b ，a ＜b .函数f (x )＝max||x ＋1|，|x －2||(x ∈R )的最小值是________． 五、导数法设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，在区间(a ，b )内可导，则f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值应为f (x )在(a ，b )内的各极值与f (a )、f (b )中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法．【示例】► 函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是________．。
函数的单调性与最值(含解析)-11页word资料
第三节函数的单调性与最值[知识能否忆起]一、函数的单调性1．单调函数的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 二、函数的最值[小题能否全取]1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析：选D 由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( )A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－12解析：选D 函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 是减函数， 则2k ＋1<0，即k <－12.3．(教材习题改编)函数f (x )＝11－x 1－x的最大值是( ) A.45B.54C.34D.43解析：选D ∵1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴0<11－x 1－x ≤43. 4．(教材习题改编)f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________.解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 85．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m <n ，则f (m )______f (n )；若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，则实数x 的取值范围是______．解析：由题意知f (m )>f (n )； ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，即|x |<1，且x ≠0.故－1<x <1且x ≠0. 答案：> (－1,0)∪(0,1) 总结 1.函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．2．函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．[注意] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．典题导入[例1] 证明函数f (x )＝2x －1x在(－∞，0)上是增函数．[自主解答] 设x 1，x 2是区间(－∞，0)上的任意两个自变量的值，且x 1<x 2.则f (x 1)＝2x 1－1x 1，f (x 2)＝2x 2－1x 2， f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－1x 1－⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 2 ＝2(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫2＋1x 1x 2 由于x 1<x 2<0，所以x 1－x 2<0,2＋1x 1x 2>0， 因此f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 故f (x )在(－∞，0)上是增函数．由题悟法对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；(2)可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．以题试法1．判断函数g(x)＝－2xx－1在 (1，＋∞)上的单调性．解：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，则g(x1)－g(x2)＝－2x1x1－1－－2x2x2－1＝2x1－x2x1－1x2－1，由于1<x1<x2，所以x1－x2<0，(x1－1)(x2－1)>0，因此g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)．故g(x)在(1，＋∞)上是增函数．求函数的单调区间典题导入[例2] (2012·长沙模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎨⎧f x ，f x ≤k ，k ，fx ＞k ，取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)[自主解答] 由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以f 12(x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≥1，12，－1＜x ＜1，2x，x ≤－1.故f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)． [答案] C若本例中f (x )＝2－|x |变为f (x )＝log 2|x |，其他条件不变，则f k (x )的单调增区间为________．解析：函数f (x )＝log 2|x |，k ＝12时，函数f k (x )的图象如图所示，由图示可得函数f k(x)的单调递增区间为(0， 2 ]．答案：(0， 2 ]由题悟法求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．以题试法2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( )A．[1,2] B．[－1,0] C．[0,2] D．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．典题导入[例3] (1)若f (x )为R 上的增函数，则满足f (2－m )<f (m 2)的实数m 的取值范围是________．(2)(2012·安徽高考)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.[自主解答] (1)∵f (x )在R 上为增函数，∴2－m <m 2. ∴m 2＋m －2>0.∴m >1或m <－2.(2)由f (x )＝⎩⎨⎧－2x －a ，x <－a2，2x ＋a ，x ≥－a2，可得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞，故3＝－a2，解得a ＝－6.[答案] (1)(－∞，－2)∪(1，＋∞) (2)－6由题悟法单调性的应用主要涉及利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意：一是函数定义域的限制；二是函数单调性的判定；三是等价转化思想与数形结合思想的运用．以题试法3．(1)(2013·孝感调研)函数f(x)＝1x－1在[2,3]上的最小值为________，最大值为________．(2)已知函数f(x)＝1a－1x(a>0，x>0)，若f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则a＝__________.解析：(1)∵f′(x)＝－1x－12<0，∴f(x)在[2,3]上为减函数，∴f(x)min＝f(3)＝13－1＝12，f (x )max ＝12－1＝1. (2)由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，所以⎩⎨⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f2＝2，即⎩⎨⎧1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25. 答案：(1)12 1 (2)251．(2012·广东高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝( )A ．－7B ．1C ．17D ．25解析：选D 依题意，知函数图象的对称轴为x ＝－－m 8＝m8＝－2，即 m ＝－16，从而f (x )＝4x 2＋16x ＋5，f (1)＝4＋16＋5＝25.3．(2013·佛山月考)若函数y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增解析：选B ∵y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，∴a <0，b <0，∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程x ＝－b2a<0，∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数．4．“函数f (x )在[a ，b ]上为单调函数”是“函数f (x )在[a ，b ]上有最大值和最小值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若函数f (x )在[a ，b ]上为单调递增(减)函数，则在[a ，b ]上一定存在最小(大)值f (a )，最大(小)值f (b )．所以充分性满足；反之，不一定成立，如二次函数f (x )＝x 2－2x ＋3在[0,2]存在最大值和最小值，但该函数在[0,2]不具有单调性，所以必要性不满足，即“函数f (x )在[a ，b ]上单调”是“函数f (x )在[a ，b ]上有最大值和最小值”的充分不必要条件．5．(2012·青岛模拟)已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( )A ．f (4)>f (－6)B ．f (－4)<f (－6)C ．f (－4)>f (－6)D ．f (4)<f (－6)解析：选C 由(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0知f (x )在(0，＋∞)上递增，所以f (4)<f (6)⇔f (－4)>f (－6)．6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上有( )A ．最小值f (a )B ．最大值f (b )C ．最小值f (b )D ．最大值f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 解析：选C ∵f (x )是定义在R 上的函数，且 f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， ∴f (0)＝0，令y ＝－x ，则有f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0.∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是R 上的奇函数．设x 1<x 2，则x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)>0.∴f (x )在R 上是减函数．∴f (x )在[a ，b ]有最小值f (b )． 7．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎨⎧－x 2＋3x ，x >0，x 2－3x ，x ≤0.作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，328．(2012·台州模拟)若函数y ＝|2x －1|，在(－∞，m ]上单调递减，则m 的取值范围是________．解析：画出图象易知y ＝|2x－1|的递减区间是(－∞，0]， 依题意应有m ≤0. 答案：(－∞，0]9．若f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：设x 1>x 2>－2，则f (x 1)>f (x 2)， 而f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2＝2ax 1＋x 2－2ax 2－x 1x 1＋2x 2＋2＝x 1－x 22a －1x 1＋2x 2＋2>0，则2a －1>0. 得a >12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 10．求下列函数的单调区间：(1)y ＝－x 2＋2|x |＋1； (2)y ＝a 1－2x －x 2(a >0且a ≠1)．解：(1)由于y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎨⎧－x －12＋2，x ≥0，－x ＋12＋2，x <0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令g (x )＝1－2x －x 2＝－(x ＋1)2＋2，所以g (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．当a >1时，函数y ＝a 1－2x －x 2的增区间是(－∞，－1)，减区间是(－1，＋∞)； 当0<a <1时，函数y ＝a 1－2x －x 2的增区间是(－1，＋∞)，减区间是(－∞，－1)． 11．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立， ∴a ≤1. 综上所述，a 的取值范围为(0,1]． 12．(2011·上海高考)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．解：(1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2x 2)＋b (3x 1－3x 2)．∵2x 1<2x 2，a >0⇒a (2x 1－2x 2)<0， 3x 1<3x 2，b >0⇒b (3x 1－3x 2)<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数． 同理，当a <0，b <0时，函数f (x )在R 上是减函数．(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x＋2b ·3x>0， 当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a2b ，则x >log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ； 同理，当a >0，b <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x <－a2b ， 则x <log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .1．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13解析：选C 由f (2－x )＝f (x )可知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f (x )＝ln x ，可知当x ≥1时f (x )为增函数，所以当x <1时f (x )为减函数，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1<⎪⎪⎪⎪⎪⎪13－1<|2－1|，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)． 2．(2012·黄冈模拟)已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为( )A.14B.12C.22D.32解析：选C 显然函数的定义域是[－3,1]且y ≥0，故y 2＝4＋21－xx ＋3＝4＋2－x 2－2x ＋3＝4＋2－x ＋12＋4，根据根式内的二次函数，可得4≤y 2≤8，故2≤y ≤22，即m ＝2，M ＝22，所以m M ＝22.3．函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x >0，y >0都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x >1时，有f (x )>0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并加以证明；(3)若f (4)＝2，求f (x )在[1,16]上的值域．解：(1)∵当x >0，y >0时， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，∴令x ＝y >0，则f (1)＝f (x )－f (x )＝0.(2)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1，∵x 2>x 1>0.∴x 2x 1>1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0. ∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)由(2)知f (x )在[1,16]上是增函数． ∴f (x )min ＝f (1)＝0，f (x )max ＝f (16)，∵f (4)＝2，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )， 知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫164＝f (16)－f (4)，∴f (16)＝2f (4)＝4， ∴f (x )在[1,16]上的值域为[0,4]． 1．求函数f (x )＝x 2＋x －6的单调区间．解：设u ＝x 2＋x －6，y ＝u . 由x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.结合二次函数的图象可知，函数u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．又∵函数y ＝u 是递增的，∴函数f (x )＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．2．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.(1)试求f(0)的值；(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论；(3)设A＝{(x，y)|f(x2)·f(y2)>f(1)}，B＝{(x，y)|f(ax－y＋2)＝1，a∈R}，若A∩B＝∅，试确定a的取值范围．解：(1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．因为f(1)≠0，所以f(0)＝1.(2)任取x1，x2∈R，且x1<x2.在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，若取m＋n＝x2，m＝x1，则已知条件可化为：f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)．由于x2－x1>0，所以0<f(x2－x1)<1.为比较f(x2)，f(x1)的大小，只需考虑f(x1)的正负即可．在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝x，n＝－x，则得f(x)·f(－x)＝1.因为当x>0时，0<f(x)<1，所以当x<0时，f(x)＝1f－x>1>0.又f(0)＝1，所以综上可知，对于任意的x1∈R，均有f(x1)>0.所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0. 所以函数f(x)在R上单调递减．(3)f(x2)·f(y2)>f(1)，即x2＋y2<1.f(ax－y＋2)＝1＝f(0)，即ax－y＋2＝0.由A∩B＝∅，得直线ax－y＋2＝0与圆面x2＋y2<1无公共点，所以2a2＋1≥1，解得－1≤a≤1.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、生气，就是拿别人的过错来惩罚自己。
第2节 函数的单调性与最值
4.若函数f(x)=(m-1)x+b在R上是增函数,则f(m)与f(1)的大小关系是( A ) (A)f(m)>f(1) (B)f(m)<f(1) (C)f(m)≥f(1) (D)f(m)≤f(1)
解析:因为f(x)=(m-1)x+b在R上是增函数, 所以m-1>0,所以m>1,所以f(m)>f(1).故选A.
2.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单 调时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值).
3.“对勾函数”y=x+ a (a>0)的增区间为(-∞,- a ]和( a ,+∞);减区间为[- a ,0) x
和(0, a ],且函数 y=x+ a (a>0)是奇函数. x
【跟踪训练2】 (1)(2018·湖南省永州市高三一模)定义max{a,b,c}为a,b,c
中的最大值,设M=max{2x,2x-3,6-x},则M的最小值是( )
(A)2
(B)3
(C)4
(D)6
解析:(1)画出函数M=max{2x,2x-3,6-x}的图象,如图所示, 由图可知,函数M在 A(2,4) 处取得最小值22=6-2=4, 即M的最小值为4, 故选C.
解析:不同单调区间不能用并集,①假;[1,+∞)是y=f(x)的增区间的子集,②假;
当x→-∞时,f(x)=log2(3x+1)→0,但不等于0,即无最小值,③假;只有x1,x2取D 内任意数都满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0时,f(x)在D上才是增函数,④假. 答案:①②③④
考点专项突破
从而 f(x2)-f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1), 故当 a∈(1,3)时,f(x)在[1,2]上单调递增.
高三高考数学复习课件2-2函数的单调性与最值
【答案】
1 x0<x<3
或1<x<3
角度三 求参数范围
【例 6】 (1)如果函数 f(x)＝ax2＋2x－3 在区间(－∞，4)上是
单调递增的，则实数 a 的取值范围是( )
A．a>－41
B．a≥－14
C．－41≤a<0
D．－41≤a≤0
(2)已知 f(x)＝（ ax，2－x≥a）1 x＋1，x<1，满足对任意 x1≠x2，都有 f（x1）x1－ －fx（2 x2）>0 成立，那么 a 的取值范围是________．
对称，当 x2>x1>1 时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0 恒成立，设 a＝f－12， b＝f(2)，c＝f(3)，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．c>a>b
B．c>b>a
C．a>c>b
D．b>a>c
【解析】根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称， 且在(1，＋∞)上是减函数，因为 a＝f－21＝f25，且 2<52<3，所 以 b>a>c.
§2.2 函数的单调性与最值
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增_函__数____或减_函__数_____，那 么 就 说 函 数 y ＝ f(x) 在 这 一 区 间 具 有 ( 严 格 的 ) 单 调 性 ， __区__间__D__叫做y＝f(x)的单调区间．
跟踪训练 2 (1)函数 y＝ x－x(x≥0)的最大值为________．
(2)(2016·北 京 高 考 ) 函 数
第二章2.2函数的单调性与最值
跟踪训练3
由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)， 因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，
x>0， 所以有x－8>0， xx－8≤9，
解得 8<x≤9.
解析答案
(2)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ 值范围是D ( C.(0,1) 解析 ) A.(－1,0)∪(0,1)
3 fx1－fx2 [2，2) >0 成立，那么 a 的取值范围是________. x1－x2
解析
由已知条件得f(x)为增函数，
2－a>0， ∴a>1， 2－a×1＋1≤a，
3 3 解得2≤a<2，∴a 的取值范围是[2，2).
思维升华 解析答案
(1)f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋ f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是( B ) A.(8，＋∞) C.[8,9] 解析 2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)， B.(8,9] D.(0,8)
定 当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2) ， 当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2) ，那么， 就称函数f(x)在区间A上是减少的
义 那么，就称函数f(x)在区间A上
是增加的
答案
图像描述 自左向右看图像是_______ 上升的 下降的 自左向右看图像是_______
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间A上是 增加的 或是 减少的，那么就称A为单调区间.
由图像可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数.
解析答案
命题点2 解析式含参函数的单调性
第二章 第二节 函数的单调性与最值
x1x 2
1＞0,
∴ (x2 x1)x1x2 1＞0.
x12 1
x
2 2
1
因此当a＞0时,f(x1)-f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2),此时函数在(-1,1)上是减少的;
当a＜0时,f(x1)-f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2),此时函数在(-1,1)上是增加的.
记作ymax=f(x0)
M是f(x)的_最__小__值, 记作ymin=f(x0)
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）. （1）函数 y 1 的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( )
x (2)对于函数f(x),x∈D,若x1,x2∈D且(x1-x2）［f(x1)-f(x2)］ ＞0,则函数f(x)在D上是增加的.( )
（3）函数y=|x|是R上的增函数.( )
（4）若函数满足f(2)＜f(3)，则函数f(x)在［2,3］上是增加
的.( )
【解析】（1）错误.当x1=-1,x2=1时,x1＜x2,但f(x1)＜f(x2), 因此(-∞,0)∪(0,+∞)不是函数的单调区间. （或2）fx(1x正1)x确2＜f.(0(x,x21)＜-x02,)［因f此(x函1)数-ff((xx2))］在＞D上0⇒是增fx(加1x1的)x2＞.f (0x, 2 )＞0 （3）错误.函数y=|x|在(-∞,0)上是减少的,在［0,+∞)上是 增加的. （4）错误.单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义 域和相应区间就谈不上单调性. 答案：（1）×（2）√（3）×（4）×
2 答案：(, 1)
2
4.f(x)=x2-2x,x∈［-2,3］递增的单调区间为______, f(x)max=_______. 【解析】f(x)=(x-1)2-1,故f(x)递增的单调区间为 ［1,3］,f(x)max=f(-2)=8. 答案：［1,3］ 8
(完整版)函数的单调性与最值(含例题详解)
函数的单调性与最值一、知识梳理1．增函数、减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2，则 有：(1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格 的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 3．函数的最值注意：1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间 只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集 符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但 f (x )·g (x )，()1f x 等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． [试一试]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．y ＝x ＋1x解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8二、方法归纳1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性 判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不 等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域． [练一练]1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －x C ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |答案：C2．函数f (x )＝1x 2＋1在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________．答案：15 110三、考点精练考点一 求函数的单调区间1、函数()()5log 21f x x =+的单调增区间是________． 解析：要使()5log 21y x =+有意义，则210x +>，即12x >-，而5log y u =为()0,+∞ 上的增函数，当12x >-时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.答案：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2．函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________．解析：y ＝x －|1－x |＝1,121,1x x x ≥⎧⎨-<⎩作出该函数的图像如图所示．由图像可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]． 答案：(－∞，1]3．设函数y ＝f (x )在(),-∞+∞内有定义．对于给定的正数k ，定义函数()()()(),,k f x f x k f x k f x k⎧≤⎪=⎨>⎪⎩取函数()2xf x -=，当k ＝12时，函数()k f x 的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选C 由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以()122,11,1122,1x x x f x x x -⎧≥⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤-⎩，故()12f x 的单调递增区间为(－∞，－1)．[解题通法]求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即： (1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法．考点二 函数单调性的判断 [典例] 试讨论函数()()0kf x x k x=+>的单调性． [解] 法一：由解析式可知，函数的定义域是()(),00,-∞⋃+∞．在(0，＋∞)内任取1x ，2x ，令12x x <，那么()()()()122121212121211211x x k k k f x f x x x x x k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >.故当)12,x x ∈+∞时，()()12f x f x <，即函数在)+∞上单调递增．当(12,x x ∈时，()()12f x f x >，即函数在(上单调递减． 考虑到函数()()0kf x x k x=+>是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(,-∞单调递增，在()上单调递减． 综上，函数f (x )在(,-∞和)+∞上单调递增，在()和(上单调递减． [解题通法]1．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底． 2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确． [针对训练]判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1，＋∞)上的单调性．解：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 则()()()()()12121212122221111x x x x g x g x x x x x ----=-=----， 由于1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 考点三 函数单调性的应用 角度一 求函数的值域或最值1．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0， f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． 解：(1)证明：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R ， 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0. 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵当x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3,3]上也是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞) 时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 角度三 解函数不等式3．已知函数()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：选B 作出函数f (x )的图像，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．角度四 求参数的取值范围或值4．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B.13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D.13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：选B 函数f (x )是R 上的减函数，于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-⨯≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，由此解得a ≤138， 即实数a 的取值范围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. [解题通法]1．含“f ”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．巩固练习一、选择题1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A 解析：f (x )对称轴x ＝a ，当a ≤1时f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为 f (x )在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．2．已知函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案：C 解析：由题知f (x )在R 上是增函数，由题得2－a 2>a ，解得－2<a <1. 3．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ( ) A ．4B ．5C ．6D ．7答案：C解析：由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x ，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图 象的最高点．4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0,1)D ．(0,1]答案：D 解析:f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区 间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1.5．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能答案：A 解析：∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1. 又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)，f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3)，f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1)， ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)． ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.] 二、填空题6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)． ①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f (x )是减函数；③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增函数． 答案：[0，32]解析：()()()()3030x x x y x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩画图象如图所示：可知递增区间为[0，32]．8．设0<x <1，则函数y ＝1x ＋11－x 的最小值是________．答案：4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x (1－x )，当0<x <1时，x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14，∴y ≥4.三、解答题9．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． (1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解：由题意a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．∵h ′(x )＝2－1x 2，x ∈(1，＋∞)，∴2－1x 2>0，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3. ∴a 的取值范围为(－∞，3]．10．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围． 解：设f (x )的最小值为g (a )，则只需g (a )≥0，由题意知，f (x )的对称轴为－a2.(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73.又a >4，故此时的a 不存在．(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7.又a <－4，故－7≤a <－4.综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时， 有()()0f a f b a b+>+成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它； (2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2， 则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数， ∴()()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=-+-由已知得()()()12120f x f x x x +->+-，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴112111121111x x x x ⎧+<⎪-⎪⎪-≤+≤⎨⎪⎪-≤<⎪-⎩∴－32≤x <－1.(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f (x )≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]成立．下面来求m的取值范围．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，自然对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2，或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或|m|≥2.。
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第2课时函数的单调性与最值
【A级】基础训练
1.（原创题）已知函数尸沧）满足/（・2）＞A・i）/（・i）＜/（0）,则下列结论正确的是（）•
A.函数y=/（兀）在区间[-2,-1] h单调递减，在区间卜1,0]上单调递增
B.函数y=/U）在区间1-2,-1]±单调递增，在区间卜1,0]上单调递减
C.函数尹=心）在区间卜2,0]上最小值是/（-I）
D.以上的三个结论都不正确
2.（2014・吉林模拟）已知函数心）=（。
＞0,
且aHl）是R上的减函数，则a的取值范围是
（）.
A. (0,1)
3.（2014 •江西模拟）函数J（x）=\x\和g（x）=x（2-x）的递增区间依次是（）.
A.（・8,0],（・oo,l]
B.（・8,0],[l,+8）
c. [0,+g）,（gl]
D. [0,+g）,[l,+g）
4.（2014 -河南模拟）已知定义在R上的函数./（x）是增函数,则满足Xx）＜/（2x-3）的x的取值范围
是_______ .
5.（2014・浙江模拟）已知.心）是定义在R上是奇函数,且当兀＞0时金）*+a,若./«在R上是单调函数,则实数d的最小值是 _______ .
6.（2013 •河南模拟）定义在R上的偶函数/（X）在[0,+oo）上是增函数，则方程.心）=/（2「3）的所有
实数根的和为________ .
/（JT）=丄—丄（d＞0,JT＞0）・
7.己知函数「 a X
（1）求证金）在（0, +oo）上是单调递增函数;
⑵若/（X）在上的值域是，求Q的值.
& (2014 •太原模拟)函数/(x)对任意的加,都有/(〃?+〃)=/(〃)并且x>0时，恒有加>1.
(1)求证7U)在R上是增函数；
(2)若夬3)=4,解不等式加2+/5)V2.
【B级】能力提升
1.(2014 •山东模拟)已知函数&)=,・2处+5在(・oo,2]上是减函数,且对任意的X]A2e[l^+l], 总有|心)介2)04,则实数G的取值范围为().
A.[l,4]
B. [2,3]
C.[2,5]
D. [3,+oo)
2.(2014 •丹东模拟)若/(x)=-x2+2av与g(x)二在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )•
A. (-1,0)U(0,1)
B. (-l,0)U((),l]
C. (0,1)
D. (0,1]
3.(2014・陕西模拟)函数y=r-T x是().
A.奇两数，在区间(0,+oc)上单调递增
B.奇函数，在区间(0,+oo)上单调递减
C.偶函数，在区间(4,0)上单调递增
D.偶函数，在区间(a,0)上单调递减
4.(2014・山东模拟)已知一系列函数有如下性质：
函数jr+在(0,1)上是减函数，在[l,+oo)上是增函数；
函数y=x+在(0,)上是减函数，在[,+oo)上是增函数；
函数y=x+在((),)上是减函数，在[,+oo)上是增函数；
利用上面所提供的信息解决问题：
若函数尸x+(x>0)的值域是[6,+oo),则实数m的值是_________ .
5.(2014・北京模拟)函数.心)的定义域为力，若x}^A 11.彼)=心2)吋总有则称./W为
单函数例如:函数./（X）=2X+1（X GR）是单函数
術数A X）=X2（X丘R）是单函数；
參旨数函数,Ax）=2v（xeR）是单函数；
./（X）为单函数丸1卫丘力且X|工也,则代X1）工/（疋）；
④住定义域上具有单调性的函数一定是单函数.
其中的真命题是_______ •（写出所有真命题的编号）
6.（2014・上海模拟）设函数./U戶在区间（・2,+g）上是增函数，那么a的取值范围是_ .
7.（创新题）已知./（兀）是定义在［-1,1］上的奇函数，且如）=1,若必丘卜l,l］,a+bH0时，有
弘工严）＞0
d+b 成立.
（1）判断加：）在［・1,1］上的单调性，并证明它;
⑶若./U）w加2.2阿+1对所冇的GW卜1,1］恒成立，求实数加的取值范围.
参考答案与解析
【A 级】
1. D
2. B
3.C
4. (3,+s)
5. -1
6. 4
7. (1)设孔 >乂1 >0,则孔—力1 >0,乂［孔>0 9 因为/a )ra )=(+—+) — (»—+)
务,2］上单调递增, 所以，（ + ）=*/⑵=2. 所以易得a = -l-
・
8.
(1 )设 Q <乂2 空
所以乂2 —〉0・
当工>0时,/(x)>b
所以/(X2 一才1 )>1・
/(^2)=/［(.r 2—^1)+心］=/(工2—工1)+于(心)—1， 所以 f (X2)—
/(工1 ) = / (心—)— 1 >0*/(冲)< / (力2)・ 所以于(工)在R 上为增函数.
(2)因为m 皿W R 9不妨设〃2 = " = 19
所以 /(1 + 1) = /(1) + /(1)-1^>/(2) = 2/( 1)-1,
/(3) = 4^>/(2 + 1)=4^>/(2)+/(1)-1 = 4^>3/(1)-2 = 4. 所以 /(1) = 2,/(2) = 2X2-1 = 3.
所以 /(u 2+u-5)<2 = /(l)・
因为于(小在R 上为增函数，
所以 a 2 ~\~a — 5< 1亠一3<G <2，即 a C ( — 3^2)・
【B 级】
1 1 工
2 _
XI X2 XI
所以 /（JT2）＞/（J1）.
所以*刃在（O.+x ）上是单调递增的. },2］上的值域是［ （2）因为心在
—>0, b 2
又心）在
l.B 2.D 3. A 4.2 S ②③④ 6. ［l,+oo）
7.
（1 ）任取JC\ 9 =2 & ［— 1 ・ 1 ］■且Xl <工2，则一vTz G C — 1 9 叮. 因为*乂）为奇函数，
7CrL\t Z（・（口―工所以/（XI ）= /（O-1）+/（ - J2）=
2），
.ri 十（一X2）
由已他，得- >0"1 —口<0 ,
乂1 十（—JC2）
所以f(X\ )—/(工2)<0.即 / ( 乂1 )</(工2)・所以于Q)在［—1,1］上单调递增.
(2)因为心在［—1,1］上单调递增，
所以
1冬乂+ 9冬1,
V
1勺一0
所以一—1.
(3)因为久1)=1金)在卜1,1］上单调递增.
所以在卜1,1］上金)W1.
问题转化为加2.2伽+1 $ 1,即加2.2加?$0,对aG ［-1,1］成立.
卜•而來求m的取值范围.
设g(a)=・2〃？・
(D^i加=(),贝|J g(Q)=()20,对0丘卜1,1］恒成立.
②若加H0贝J g⑷为a的一次函数，若g(d)$o,对67^1-1,1］恒成立，必须g(・l)20,H. g(l)20,
所以mW・2,或m22.
所以tn的取值范围是m=0或加22或W・2.。