沪科版数学七年级下册数学：8.3平方差公式
平方差公式
大胆猜想
(a b)(a b) __a_2___b_2___
两数和 两数差 两数平方差
两数和与这两数差的积等于 这两数的平方差
做一做
下图是一个边长为a的大正方形,割去
一个边长为b的小正方形.小明将绿色
和黄色两部分拼成一个长方形. 问:小明能拼成功吗?
a
a
b
解决问题
8.3平方差公式
观察等式
(1) (a 2)(a x) 9 x2 32 x2
(3) (2m n)(2m n) 4m2 n2
(2m)2 n2
比较等号两边的式子，等号
的左边有什么特征？等号的
a
a
a
b
a-b
b
长方形的面积为：__(_a____b_)_(_a___b__) __
原图实际面积为：_____a__2___b__2____
(a b)(a b) a2 b2
概括总结
平方差公式 (a b)(a b) a2 b2
公式中的字母的意义很 广泛,可以代表常数,单项 式或多项式.
平方差公式的特征：
（1）等号左边是两个 二项式相乘.一项相同， 一项互为相反数.
（2）等号右边是乘式 中两项的平方差.（相 同项的平方减去相反项 的平方）
例运1用平方差公式计算:
(1)
(a 4)(a 4)
(2)
(
1 2
a
1 3
b)(
1 2
a
1 3
b)
(3) (4k 3)(4k 3) (4) (1 x)( x 1)
(a b)(a b) a2 b2
练一练
1.计算：
(1)(x+5)(x-5) (2)(2-3x)(3x+2) (3)(2m+3n)(2m-3n)
2.下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么?如果能够，怎样计算?
(1)(2c+3b)(2c−3b); (2)(x−y)(y−x); (3)(d+2b)(2d+b); (4)(a−b)(a+b); (5)(2x+y)(y−2x).
思考题
想一想： 下列X 式子能用平方差公式计算吗？
(1)(a b c)(a b c)
(2)1002 992 982 972 L 22 1
1、通过本节课学习，你学到了什么? 2.你认为平方差公式的用处是什么? 3.怎么使用平方差公式? 4.你还有什么疑惑?
课后作业： P71习题8.3第2题（必做） 第3题（选做）
能力提高
例2用平方差公式计算:
(1)1999 2001; (2)(x 3)(x 3)(x2 9).
解：(1)1999 2001
(2)原式
=（2000-1）（2000 1）
=20002 -12
=(x2 9)(x2 9)
=3999999
=(x2)2 92
=x4 81.
沪科版七年级下册数学：8.3 完全平方公式和平方差公式 (共14张PPT)
10000 800 16
=10816
2 1982
21982 200 22
40000 800 4
39204
12
思考：
a b c2
解 a b c2 a b c2
a b2 2a bc c2
a2 2ab b2 2ca b c2
b
直接求：总面积=(a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2 a (a+b)2=a2+2ab+b2
a
b
完全平方公式 (a+b)2= a2 +2ab+b2
公式特点：
1、左边为两数和的平方； 2、右边为三项，其中两项为左边两数的平方的和， 另一项为两数乘积的2倍
3、公式中的a,b可以表示数，也可以是代数式
1
x
2
6
1
x
3
y
2
6
1
x
2
2
1
x
3
y
3
y
2
6 6
1 x2 xy 9 y2
(2)
0.2a
1Leabharlann b220.2a 1 b2
2
2
0.2a
1 2
b
0.2a
1
b
2
0.2a2
2 2
0.2a
1
b
1
b
2
2 2
0.04a2 0.2ab 1 b2 4
变式2：
11042
11042 100 42
a b2
a ba b
a2 ab ab b2
沪科版数学七年级下册完全平方公式与平方差公式课件
无中生有
计算51 ×49 解：原式=(50+1) ×(50 –
1) =50² – 1² =2500 – 1
=2499
项数变化
计算(x+y+1)(x+y –1) 解：原式=(x+y)² – 1²
= x²+2xy+y² – 1
逆用公式
a2−b2 = (a+b)(a−b)
• 计算84²– 83² 解：原式=(84+83) ×(84–83)
a
a
b a+b a −b
a+b a −b
b+b a −b
a&;bb)(aa−bb)= a2−b2
两数和与这两数差的积,
等于 这两数的平方差.
公式变形:
1、(aa−b)(aa+bb) = a2−b2 2、(−b+ aa)(bb+a)a= a2−b2
公式的结构特征
（1）左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全 相同，另一项互为相反项。
例 利用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5−6x)；(2) (x+2y)(x−2y); (3) (−m+n)(−m−n).
相同项
平方
解: (1) (55+6x6)x(5−566xx)= 52 − (6x)2
相反项
(2) (x+22yy) (xx−22yy)
平方
= 25− 36x2 ;
= x2− ( 2y )2
解：原式 =(2–1)
= ( 2²– 1 ) = ( 24 – 1 ) = ( 28 – 1)
( 2+1 )( 2²+1 )(24+1 )( 28+1 ) ( 2²+1 )( 24+1 )( 28+1) ( 24+1 )( 28+1) ( 28+1 ) =216 – 1
沪科版数学七年级下册《8.3 完全平方公式与平方差公式》教学设计1
沪科版数学七年级下册《8.3 完全平方公式与平方差公式》教学设计1一. 教材分析《8.3 完全平方公式与平方差公式》是沪科版数学七年级下册的一章，本章主要介绍完全平方公式和平方差公式的概念及其应用。
这两个公式是初等数学中的重要工具，对于学生来说，掌握这两个公式不仅有助于解决初中数学问题，而且对于今后的学习也具有重要意义。
二. 学情分析初七年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于因式分解、整式乘法等概念有一定的了解。
但是，对于完全平方公式和平方差公式的推导和应用可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过已有的知识体系来理解和掌握这两个公式。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握完全平方公式和平方差公式的概念和应用。
2.过程与方法：通过学生的自主探究和合作交流，培养学生的解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 教学重难点1.完全平方公式和平方差公式的推导过程。
2.如何运用完全平方公式和平方差公式解决实际问题。
五. 教学方法采用“问题驱动”的教学方法，引导学生通过问题来探究和发现完全平方公式和平方差公式，再通过例题来巩固和应用这两个公式。
同时，鼓励学生进行合作交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备相关的PPT课件，用于辅助教学。
2.准备一些相关的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题来引导学生思考：已知一个正方形的边长为a，求这个正方形的面积。
学生可以很容易地得出答案为a²。
然后，教师提出问题：如果我们知道一个正方形的边长，我们能不能求出它的面积呢？这就是我们今天要学习的完全平方公式和平方差公式。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT课件，呈现完全平方公式和平方差公式的推导过程，引导学生理解和掌握这两个公式。
完全平方公式： (a±b)² = a²±2ab+b²平方差公式：(a+b)(a-b) = a²-b²3.操练（15分钟）教师给出一些练习题，让学生运用完全平方公式和平方差公式进行解答。
沪科版七年级数学下册第八章8.3完全平方公式与平方差公式PPT课件全套
头(乘)尾两倍在中央，
中间符号照原样．
（来自《点拨》）
知1－讲
例1 利用乘法公式计算： (1)(2x＋y)2. (2)(3a－2b)2.
解： 运用公式计算，要先识别a，b在具体式子中分别表示什么.
(1)(2x＋y)2＝(2x)2＋2· (2x)y＋y2
(a ＋b)2＝ a2 ＋ 2 a b＋b2 ＝4x2＋4xy＋y2. (2)(3a－2b)2＝(3a)2－2· (3a)(2b)＋(2b)2 (a － b )2 ＝ a 2 － 2 a b ＋ b2.
知1－练
1
计算： 2 1 (1) (2)(a＋b)(－a－b)； －2a－ 2 b ； (3)(3m－2n)(2n－3m)．
（来自《点拨》）
2
给多项式4x2＋1加上一个单项式，使它成为一个完 全平方式，则加上的单项式不可以是( A．4x C．4x4 B．－4x D．－4x4
（来自《典中点》）
（来自《教材》）
＝9a2－12ab＋4b2.
知1－讲
总
结
在应用公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2时关键是弄清 题目中哪一个相当于公式中的a，哪一个相当于公式 中的b，同时还要确定是用两数和的完全平方公式还
是两数差的完全平方公式；解(1)(2)题时还用到了互
为相反数的两数的平方相等．
（来自《点拨》）
b2的和(差)．
（来自《点拨》）
知3－讲
例3 (1)若(x－5)2＝x2＋kx＋25，则k的取值是多少？ (2)先化简，再求值：
(1＋a)(1－a)＋(a－2)2，其中a＝－3；
(3)已知x2－4x＋1＝0， 求代数式(2x－3)2－(x＋y)(x－y)－y2的值． 导引： 对于(1)把左边的式子展开后对比各项，可得解；
初中数学沪科版七年级下册-8.3-完全平方公式与平方差公式-同步分层作业(含解析)
8.3 完全平方公式与平方差公式简记为：“首平方，尾平方， 积的 2 倍放中间”两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫做完全平方公式.公式特征：1. 积为二次三项式；2. 积中的两项为两数的平方；3. 另一项是两数积的 2 倍，且与原式中间的符号相同；4. 公式中的字母 a ，b 可以表示数、单项式和多项式.注意：1. 项数、符号、字母及其指数2. 不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号，变形成符合公式的形式才行。
3. 弄清完全平方公式和平方差公式的区别（公式结构特点及结果）常用结论：a 2 +b 2 = (a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab ，4ab = (a + b)2 - (a - b)2.平方差公式：(a + b)(a − b) = a 2 − b 2两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用基础过关练一、单选题1．已知非负实数,,a b c 满足24,0a b a b c +=-+<，则下列结论一定正确的是（ ）A ．()2222a b a ab b +=++B C ．()()224a b a b ab -=+-D 二、填空题11．如图，用四个长为a ，宽为b 的长方形大理石板不重叠地拼成一个大正方形拼花图案，正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形，当拼成的这个大正方形的边长比中间小正方形的边长多6时，大正方形的面积+=12．已知x y13．化简：(x-14．定义：若三个正整数培优提升练三、解答题19．问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1________图2________；（用字母a，b表示）数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题（1）已知7a b +=，12ab =，求22a b +的值；（2）已知()()202420222023x x --=，求()()2220242022x x -+-的值．拓展运用：如图3，点C 是线段AB 上一点，以AC ，BC 为边向两边作正方形积分别是1S 和2S ．若AB m =，12S S S =+，则直接写出Rt ACF 的面积．（用(1)【知识生成】请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含方法一： ；方法二： ；(2)【得出结论】22(2)()23a b a b a ab b ++=++．(1)根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为______；(2)已知等式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++，请你画出一个相应的几何图形加以解释．故选：C ．8．C【分析】根据积的乘方、合并同类项、平方差公式、单项式的除法等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：A ．()326-=-b b ，故选项错误，不符合题意；B ．3332a a a +=，故选项错误，不符合题意；C ．()()22224x y x y x y +-=-，故选项正确，符合题意；D ．62422÷=a a a ，故选项错误，不符合题意．故选：C ．9．D【分析】此题考查了完全平方式．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m 的值．【详解】解：216x mx ++ 是完全平方式，8m ∴=±．故选：D ．10．D【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出两幅图中阴影部分的面积，再关键两幅图阴影部分面积相等即可得到答案．【详解】解：左边一幅图阴影部分面积为22a b -，右边一幅图阴影部分面积为()()a b a b +-，∵两幅图阴影部分面积相等，∴()()22a b a b a b -=+-，故选：D ．11．2【分析】本题考查用图象法验证完全平方公式，准确识图列出()22(4)a b b b a a +--=是解题关键．分别表示出每个长方形石板的面积和图中大、小正方形的面积，然后列出等量关系计算求解．【详解】解：每个长方形石板的面积为ab ，中间小正方形的边长为a b -，面积为2()a b -；大正方形的边长为a b +，面积为2()a b +，所以()22(4)a b b b a a +--=；当()()6460a b a b ab +--=⎧⎨=⎩时，解得53a b =⎧⎨=⎩，∴2a b -=，故答案为：2．12．22x y m n x y m n +=+⎧∴⎨-=-⎩或x y m n x y n m+=+⎧⎨-=-⎩解得x m y n =⎧⎨=⎩或x n y m=⎧⎨=⎩．故都有2006200620062006x y m n +=+．21．（1）2x xy +，6；（2）244 24m m -，．【分析】本题考查了整式乘法混合运算，求代数式的值．（1）分别用乘法公式及单项式乘多项式的法则展开，再合并同类项，最后代值求解即可；（2）用平方差公式展开再合并同类项，由已知得26m m -=，然后整体代入求值即可．【详解】解：（1）2()()()()x y x x y x y x y +-++-+222222x xy y x xy x y =++--+-2x xy =+，当2x =-，1y =-时，原式2(2)(2)(1)6=-+-⨯-=；（2）2(2)(2)(4)m n m n n m +-+-22244m n n m=-+-244m m =-，由260m m --=，得26m m -=，原式24()4624m m =-=⨯=．22．(1)()24m n mn +-；()2m n -(2)()()224m n mn m n +-=-(3)6a b -=或6a b -=-．【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察．（1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即()24m n mn +-，图②中的阴影部分正方形的边长等于m n -，即面积为()2m n -；（2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系；（3）由（2）中的等量关系即可求解．【详解】（1）解：方法一：()24m n mn +-；方法二：()2m n -，故答案为：()24m n mn +-；()2m n -；（2）解：代数式()2m n +，()2m n -，mn 之间的等量关系为：。
沪科版数学七年级下完全平方公式与平方差公式(第1课时,完全平方公式)课件
+(
=
)2
（4）原式=（2a）2-2·2a·5+52
2
y +y+
=4a2-20a+25
注意每一项系数
例2.运用完全平方公式计算:
（1）(-2s+t)2
解:
（2） (-2x-1)2
（1）(-2s+t)2= (t-2s)²
= t² -2·2s·t +(2s)2
=t2-4st+4s2
=(2x+1)2
2
2
口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放
( a b) a 2ab b
2
2
2
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不
丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；
巩固练习
（1） ( 2a
3)
2
（2）
1
(3
t)2
3
（3）
(b 3)
思考： （1）完全平方展开有几项？
2
（4）
( 2 a 3 y ) 2
（5）
(0.5m 0.2n) 2
（6）
(1 3x)(3x 1)
（2）每一项的符号特征？
相信你能行
课堂练习：
1、计算：
(1)(a
2
1 2
沪科版数学七年级下
8.3完全平方公式与平方差公式
第一课时
完全平方公式
知识回顾
1、多项式乘以多项式的 根据是什么？
——分配率
2、如何进行多项式与多项式乘法运算？
(m+b)(n+a)= mn
+ ma + bn + ba
沪科版数学七年级下册8.3《完全平方公式与平方差公式》教学设计
沪科版数学七年级下册8.3《完全平方公式与平方差公式》教学设计一. 教材分析《完全平方公式与平方差公式》是沪科版数学七年级下册第八章第三节的内容。
本节内容主要介绍完全平方公式和平方差公式的概念及其应用。
这两个公式是初中学段数学的重要知识点，也是解决代数问题的重要工具。
本节内容承上启下，为后续学习二次函数、一元二次方程等知识打下基础。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了有理数的运算、整式的乘法等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。
但学生对完全平方公式和平方差公式的理解和应用还不够深入，需要通过本节课的学习，让学生熟练掌握这两个公式，并能够运用到实际问题中。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握完全平方公式和平方差公式的概念及其应用。
2.过程与方法：通过探究、合作、交流的方式，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.完全平方公式和平方差公式的记忆和理解。
2.如何将公式运用到实际问题中，解决相关问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究、发现规律。
2.运用合作学习法，让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题。
3.运用实例讲解法，让学生通过具体例子，理解并掌握公式的应用。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示完全平方公式和平方差公式的推导过程及应用实例。
2.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾已学的有理数的运算、整式的乘法等知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示完全平方公式和平方差公式的推导过程，让学生直观地感受公式的来源和意义。
同时，给出一些应用实例，让学生初步了解公式的应用。
3.操练（10分钟）学生在小组内讨论，如何运用完全平方公式和平方差公式解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生遇到的疑问。
4.巩固（10分钟）教师出示一些练习题，让学生独立完成。
8.3 完全平方公式与平方差公式 课件 2023-2024学年沪科版数学七年级下册
言叙述你的 发现.
③ (2m + 1)( 2m - 1) = 4m2 - 1 = (2m)2 - 12
④ (5y + z)(5y - z) = 25y2 - z2 = (5y)2 - z2
想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了
什么规律？
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差.
知识要点
平方差公式：(a + b)(a − b) = a2 − b2.
合作探究
平方差公式
算一算：看谁算得又快又准. ① (x + 1)( x - 1)；
② (m + 2)( m - 2)；
③ (2m + 1)(2m - 1)；
④ (5y + z)(5y - z).
① (x + 1)( x - 1) = x2 - 1 = x2 - 12
用自己的语
② (m + 2)( m - 2) = m2 - 4 = m2 - 22
3. 运用完全平方公式计算：
(1) (6a + 5b)2； = 36a2 + 60ab + 25b2.
(2) (4x－3y)2 ； =16x2－24xy + 9y2.
(3) (2m－1)2 ； = 4m2－4m + 1.
(4) (－2m－1)2 . = 4m2 + 4m + 1.
4. 若 a + b = 5，ab = - 6，求 a2 + b2，a2 - ab + b2. 解：a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = 52 - 2×(-6) = 37，
沪科版数学七年级下册
第8章 整式乘法与因式分解
沪科版七年级数学下册课件8.平方差公式
平方差公式 注意
1.符号表示:(a+b)(a-b)=a2-b2
2.紧紧抓住 “一同一反” 这一特征, 在应用时, 只有两个二项式的积才 有可能应用平方差公式; 对于不能 直接应用公式的, 可能要经过变形 才可以应用
课堂小测
1.下列运算中, 可用平方差公式计算的是 ( C )
A.(x＋y)(x＋y)
当 x＝1, y＝2时, 原式＝5×12－5×22＝－15.
新知探究
例4 对于任意的正整数n, 整式(3n＋1)(3n－1) －(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
解：原式＝9n2－1－(9－n2) ＝10n2－10.
因为(10n2－10)÷10=n2-1, 且n为正整数,
所以 n2-1为整数, 即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．
课堂小测
4.利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a- 3b);
（2）(3+2a)(－3+2a);
原式=(a)2－(3b)2 =a2－9b2 .
原式=(2a+3)(2a-3) =(2a)2－32
（3）(－2x2－y)(－2x2+y).
=4a2－9.
原式=(-2x2 )2－y2 =4x4－y2.
课堂小测
解：李大妈吃亏了． 理由: 原正方形的面积为a2,
改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16. 因为a2＞a2－16, 所以李大妈吃亏了．
新知探究
方法总结: 解决实际问题的关键是根据题意列出算 式,然后根据公式化简算式, 解决问题．
课堂小结
内容
两个数的和与这两个数的差的 积, 等于这两个数的平方差
沪科版数学七年级下册《8.3 完全平方公式与平方差公式》教学设计1
沪科版数学七年级下册《8.3 完全平方公式与平方差公式》教学设计1一. 教材分析《8.3 完全平方公式与平方差公式》是沪科版数学七年级下册的教学内容。
本节内容是在学生已经掌握了有理数的混合运算、完全平方公式的基础上进行的。
本节课的主要内容是完全平方公式与平方差公式的推导、理解和应用。
这两个公式在数学中有着广泛的应用，是解决二次方程、二次不等式等方面的重要工具。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对有理数的混合运算、完全平方公式有一定的了解。
但是，对于完全平方公式与平方差公式的推导过程和应用可能还不太熟悉。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究来理解公式的推导过程，并通过大量的练习来巩固公式的应用。
三. 教学目标1.理解完全平方公式与平方差公式的推导过程。
2.掌握完全平方公式与平方差公式的应用。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.完全平方公式与平方差公式的推导过程。
2.完全平方公式与平方差公式的应用。
五. 教学方法1.引导发现法：引导学生通过观察、思考、探究来发现完全平方公式与平方差公式的推导过程。
2.实例分析法：通过具体的例子来引导学生理解完全平方公式与平方差公式的应用。
3.练习法：通过大量的练习来巩固学生的理解和应用能力。
六. 教学准备1.PPT课件：制作相关的PPT课件，用于辅助教学。
2.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固学生的理解和应用能力。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习完全平方公式，引导学生思考如何推导出平方差公式。
2.呈现（15分钟）利用PPT课件，呈现完全平方公式与平方差公式的推导过程，引导学生观察和思考。
3.操练（20分钟）让学生通过计算一些具体的例子，来理解和掌握完全平方公式与平方差公式的应用。
4.巩固（15分钟）让学生通过解决一些实际问题，来巩固对完全平方公式与平方差公式的理解和应用。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：完全平方公式与平方差公式在实际问题中的应用。