第一部分专题六 微专题4 导数的综合应用36张ppt-2021届高三数学二轮专题复习课件
微专题4 导数的综合应用
对点训练
②若 Δ＝1＋8a>0，即 a>－18时，令 f′(x)＝－x2＋x＋
2a＝0，得两根
x1＝1－
21＋8a，x2＝1＋
1＋8a 2.
当 x<x1 或 x>x2 时 f′(x)<0，f(x)单调递减；当 x1<x<x2 时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上所述：当 a≤－18时，f(x)的单调递减区间为(－
根．
因为 ln x≠0，所以方程可转化为 a＝xln－x1.
设g(x)＝ຫໍສະໝຸດ ln－x1，则ln g′(x)＝
x－（1xln（xx）－21）＝ln（xl＋n x1x）－21.
微专题4 导数的综合应用
对点训练
设 h(x)＝ln x＋1x－1，则 h′(x)＝1x－x12. 当 2<x<e 时，h′(x)>0，所以 h(x)在(2，e)上单调递增． 所以 h(x)>h(2)＝ln 2－12>0，于是 g′(x)>0，所以 g(x) 在(2，e)上单调递增， 所以 g(2)<g(x)<g(e)，即ln12<g(x)<e－1. 综上所述，实数 a 的取值范围是ln12，e－1.
当
a－ 0<x<
2a2－2或
a＋ x>
2a2－2时，
微专题4 导数的综合应用
对点训练
h(x)>0，即 f′(x)>0； 所以当 a> 2时，x＝a－ 2a2－2是函数 f(x)的极大值点； x＝a＋ 2a2－2是函数 f(x)的极小值点． 综上，当 a≤ 2时，函数 f(x)没有极值点； 当 a> 2时，x＝a－ 2a2－2是函数 f(x)的极大值点； x＝a＋ 2a2－2是函数 f(x)的极小值点．
专题六 函数与导数
微专题4 导数的综合应用
对点训练
大题考法 1 利用导数解决函数的单调性、极值、最
值问题
(2020·汕头模拟)设函数 f(x)＝ln x－2ax＋x2，a
∈R.
(1)若 a＝0，求函数 f(x)在[1，e]上的最小值；
(2)求函数 f(x)的极值点． 解：(1)当 a＝0 时，f(x)＝ln x＋x2(x>0)，
微专题4 导数的综合应用
对点训练
1．求函数 f(x)的极值，则先求方程 f′(x)＝0 的根， 再检查 f′(x)在方程根的左右函数值的符号．
2．若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 f′(x)＝0 根的大小或存在情况来求解．
3．求函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极 值的基础上，结合区间端点的函数值 f(a)，f(b)与 f(x)的各 极值进行比较得到函数的最值．
x1<x<x2 ＋
单调递增
x＝x2 0
极大 值
x>x2 －
单调递 减
微专题4 导数的综合应用
对点训练
当 0<a<2 时，有 x1<1<x2<4，所以 f(x)在[1，4]上的最大 值为 f(x2)，
又 f(4)－f(1)＝－227＋6a<0，即 f(4)<f(1)． 所以 f(x)在[1，4]上的最小值为 f(4)＝8a－430＝－136. 得 a＝1，x2＝2，从而 f(x)在[1，4]上的最大值为 f(x2)＝130.
则 f′(x)＝1x＋2x＝2x2x＋1，当 x∈[1，e]时，f′(x)>0，
所以 f(x)在[1，e]上是增函数，当 x＝1 时，f(x)取得
最小值 f(1)＝1，
微专题4 导数的综合应用
对点训练
所以 f(x)在[1，e]上的最小值为 1. (2)f(x)＝ln x－2ax＋x2，则 f′(x)＝2x2－2xax＋1(x>0)， 令 h(x)＝2x2－2ax＋1(x>0)， ①当 a≤0 时，h(x)>0 在(0，＋∞)上恒成立，此时 f′(x)>0， 所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 此时，函数 f(x)没有极值点； ②当 a>0 时，当 Δ＝(－2a)2－8≤0，即 0<a≤ 2时，
＋∞)，则 f′(x)＝1x－1，
令 f′(x)＝0 得 x＝1.
当 x∈(0，1)时 f′(x)>0，f(x)单调递增；
当 x∈(1，＋∞)时 f′(x)<0，f(x)单调递减．
微专题4 导数的综合应用
对点训练
所以 f(x)max＝f(1)＝0. (2)由题意知，方程 f(x)＝ln x－x－a 1＝0 在(2，e)上有实
微专题4 导数的综合应用
对点训练
1．三步求解函数零点(方程根)的个数问题． 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为 函数的图象与 x 轴(或直线 y＝k)在该区间上的交点问题． 第二步：利用导数研究该函数在该区间上单调性、极 值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象． 第三步：结合图象求解． 2．根据函数零点情况求参数范围． (1)要注意端点的取舍． (2)选择恰当的分类标准进行讨论．
微专题4 导数的综合应用
对点训练
设 f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax(a∈R)． (1)讨论 f(x)的单调区间； (2)当 0<a<2 时，f(x)在[1，4]上的最小值为－136，求 f(x)在[1，4]上的最大值．
解：(1)f′(x)＝－x2＋x＋2a，其 Δ＝1＋8a. ①若 Δ＝1＋8a≤0，即 a≤－18时，f′(x)＝－x2＋x＋ 2a≤0 恒成立，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
微专题4 导数的综合应用
对点训练
h(x)≥0 在(0，＋∞)上恒成立，此时 f′(x)≥0，
所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时，函数 f(x)没
有极值点；
当 Δ>0，即 a> 2时，令 h(x)＝0，则 x＝a± a22－2，
当a－
a2－2 a＋ 2 <x<
2a2－2时，h(x)<0，即 f′(x)<0；
微专题4 导数的综合应用
对点训练
大题考法 2 利用导数研究函数的零点
(2020·深圳模拟)已知函数 f(x)＝ln x－x－a 1.
(1)当 a＝1 时，求 f(x)的最大值．
(2)若 f(x)在区间(2，e)上存在零点，求实数 a 的取值
范围．
解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝ln x－x＋1，定义域为(0，
∞，＋∞)；
微专题4 导数的综合应用
对点训练
当
a>
－
1 8
时
，
f(x)
的
单
调
递
减
区
间
为
－∞，1－ 21＋8a和1＋ 21＋8a，＋∞，
单调递增区间为1－ 21＋8a，1＋ 21＋8a. (2)f′(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：
x
x<x1 x＝x1
f′(x) －
0
f(x)
单调递 减
极小 值
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大学高等数学ppt课件第二章4导数的应用
x1 x2
介于 x1与 x2之间
y
y f (x)
o
a y
•
bx
y f (x) •
oa
bx
于是有函数单调性的判别定理
◆函数单调性的判别定理
设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 内可导，则 （1） 如果函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 内有 f (x) 0，则函数在
例5 证明不等式 ex 1x (x0) 证明 令 f(x)ex 1x
则
f (x) ex 1
当 x 0 时 ， f ( x ) 0 , 故 函 数 在 0 , + 内 单 调 增 加
所 以 ， x 0 , ,有 f( x ) f( 0 ) 0
第四节 导数的应用
学习重点
函数的单调性的判别 函数极值及最值的确定方法 曲线凹凸向的判别及拐点的确定
◆函数的单调性
函数单调递增，则
f (x1) f (x2) 0 x1 x2
函数单调递减，则
f (x1) f (x2) 0 x1 x2
由Lagrange中值定理：
f ( ) f ( x1 ) f ( x2 )
xx0,x0 f (x) 0
则 y f (x) 在点 x 0 处取得极小值；
（ 3 ） xx0,x0 xx0,x0
f (x)同号
则 y f (x) 在点 x 0 处无极值；
x0 x 0 x0 x y
x0 x 0 x0 x
练习 求 y f(x ) x 3 3x 2的 单 调 区 间 和 极 值 2
如 y=x2 在区间 [-1，2] 内，只有极小值。 （3）极小值可以大于极大值，如某种股票的交易价格函数； （4）极值一定在区间内部取得。
介于 x1与 x2之间
y
y f (x)
o
a y
•
bx
y f (x) •
oa
bx
于是有函数单调性的判别定理
◆函数单调性的判别定理
设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 内可导，则 （1） 如果函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 内有 f (x) 0，则函数在
例5 证明不等式 ex 1x (x0) 证明 令 f(x)ex 1x
则
f (x) ex 1
当 x 0 时 ， f ( x ) 0 , 故 函 数 在 0 , + 内 单 调 增 加
所 以 ， x 0 , ,有 f( x ) f( 0 ) 0
第四节 导数的应用
学习重点
函数的单调性的判别 函数极值及最值的确定方法 曲线凹凸向的判别及拐点的确定
◆函数的单调性
函数单调递增，则
f (x1) f (x2) 0 x1 x2
函数单调递减，则
f (x1) f (x2) 0 x1 x2
由Lagrange中值定理：
f ( ) f ( x1 ) f ( x2 )
xx0,x0 f (x) 0
则 y f (x) 在点 x 0 处取得极小值；
（ 3 ） xx0,x0 xx0,x0
f (x)同号
则 y f (x) 在点 x 0 处无极值；
x0 x 0 x0 x y
x0 x 0 x0 x
练习 求 y f(x ) x 3 3x 2的 单 调 区 间 和 极 值 2
如 y=x2 在区间 [-1，2] 内，只有极小值。 （3）极小值可以大于极大值，如某种股票的交易价格函数； （4）极值一定在区间内部取得。
高考理科数学二轮课件专题导数及其应用
最优化决策
结合边际分析和弹性分析的结果， 确定经济变量的最优取值范围，为 制定经济政策提供科学依据。
05 微分方程初步知识及其应用
微分方程基本概念和分类
微分方程定义
微分方程是描述自变量、未知函数及其导数之间关系的数学方程。可分为一阶、二阶等微分方程；根据方程形式，可分为线性、非线 性微分方程。
函数能够满足问题的需求。
利用构造函数法证明不等式的步骤
03
首先构造函数，然后求导并判断函数的单调性或最值，最后根
据函数的性质证明不等式。
04 导数在优化问题中的应用
最值问题求解策略
一阶导数测试法
闭区间上连续函数的性质
通过求一阶导数并判断其符号变化来 确定函数的单调性，进而找到函数的 极值点。
对于闭区间上的连续函数，通过比较 区间端点和驻点的函数值来确定函数 的最值。
优化方法的选择
针对不同类型的优化问题 ，选择合适的优化方法， 如梯度下降法、牛顿法等 ，进行求解。
经济学中边际分析和弹性分析
边际分析
利用导数研究经济变量之间的边 际关系，如边际成本、边际收益 等，为经济决策提供定量依据。
弹性分析
通过导数研究经济变量之间的相对 变化率，如需求弹性、供给弹性等 ，揭示经济变量之间的相互影响程 度。
02
01
电路分析问题
电路中的电压、电流等物理量的变化可以通 过电路微分方程进行分析和计算。
04
03
06 总结与提高
知识体系回顾与总结
A
导数的定义与计算
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，可以 通过极限的定义进行计算。
导数的几何意义与应用
导数在几何上表示切线斜率，可以用于求 曲线的切线方程和法线方程。
结合边际分析和弹性分析的结果， 确定经济变量的最优取值范围，为 制定经济政策提供科学依据。
05 微分方程初步知识及其应用
微分方程基本概念和分类
微分方程定义
微分方程是描述自变量、未知函数及其导数之间关系的数学方程。可分为一阶、二阶等微分方程；根据方程形式，可分为线性、非线 性微分方程。
函数能够满足问题的需求。
利用构造函数法证明不等式的步骤
03
首先构造函数，然后求导并判断函数的单调性或最值，最后根
据函数的性质证明不等式。
04 导数在优化问题中的应用
最值问题求解策略
一阶导数测试法
闭区间上连续函数的性质
通过求一阶导数并判断其符号变化来 确定函数的单调性，进而找到函数的 极值点。
对于闭区间上的连续函数，通过比较 区间端点和驻点的函数值来确定函数 的最值。
优化方法的选择
针对不同类型的优化问题 ，选择合适的优化方法， 如梯度下降法、牛顿法等 ，进行求解。
经济学中边际分析和弹性分析
边际分析
利用导数研究经济变量之间的边 际关系，如边际成本、边际收益 等，为经济决策提供定量依据。
弹性分析
通过导数研究经济变量之间的相对 变化率，如需求弹性、供给弹性等 ，揭示经济变量之间的相互影响程 度。
02
01
电路分析问题
电路中的电压、电流等物理量的变化可以通 过电路微分方程进行分析和计算。
04
03
06 总结与提高
知识体系回顾与总结
A
导数的定义与计算
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，可以 通过极限的定义进行计算。
导数的几何意义与应用
导数在几何上表示切线斜率，可以用于求 曲线的切线方程和法线方程。
导数及其应用PPT课件
解：(1)
4.已知a>0,n为正整数。 (1)设y=(x-a)n, 证明y’=n(x-a)n-1; (2)设fn(x)=xn-(x-a)n , 对任意n≥a,证明：
小
求函数单调区间的步骤：
求函数极值的步骤：
结
(1)求导函数f ’(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ; (2)求方程f ’(x)=0的根；(3)检查f ’(x)在 方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处 取得最大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得最 小值。 求闭区间上函数的最值的方法：
y
极大值
极大值
x0
极小值
0
x
极小值
显然在极值处函数的导数为０．
【知识在线】:
１．函数ｙ＝２ｘ３＋４ｘ２＋１的导数是_____________. ２.函数y=f(x)的导数y/>0是函数f(x)单调递增的 （B ）
A.充要条件
C.必要不充分条件
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
(0,2) 单调递增区 ３.函数y=x2 (x-3),则f(x)的单调递减区间是_____, (-∞,0) , (2,+∞) 。 间为______________
x
f(x)
极大值 极小值
由此可得，函数在ｘ＝－ ，处取得极大值２＋ ２
在ｘ＝ ，处取得极小值２- ２ ．草图如图
y
∵ａ＞０，显然极大值必为正，
故只要看极小值的正负即可。
－
０
x
y
方程x3-3ax+2=0有惟一的实根；
－
０ y
x
方程x3-3ax+2=0有二个不同的实根 （其中有一个为二重根）；
2021高考数学二轮专题复习7.3导数的简单应用ppt课件
当 a≤1 时，函数单调递增，不成立；
当 a>1 时，函数在0，a－1 1上单调递增，在a－1 1，＋∞上单 调递减；
有且只有两个整数 x1，x2 使得 f(x1)>0，且 f(x2)>0，故 f(2)>0 且 f(3)≤0，
即 ln 2＋2－ 2a＋a>0，∴a<ln 2＋2；ln 3＋3－3a＋a≤0， ∴a≥ln 32＋3，故选 C.
π π
又
gπ6>gπ3，所以cfo6sπ6>cfo3sπ3，即
π f6>
3fπ3，故 C 正确；
π π
又
gπ4>gπ3，所以cfo4sπ4>cfo3sπ3，即
π f4>
2fπ3，故 D 正确；故选
CD. 【答案】 (2)CD
(3)[2020·山东济宁质量检测]已知函数 f(x)＝ln x＋(1－a)x＋
∴切线的方程为：y－31x30－x20＋53＝(x20－2x0)(x－x0)，
又直线过定点－1，13，
∴13－31x30－x02＋53＝(x20－2x0)(－1－x0)， 得 x30－3x0－2＝0，(x30－x0)－2(x0＋1)＝0， 即(x0＋1)(x02－x0－2)＝0，解得：x0＝2 或－1， 故可做两条切线，故选 C.
x <0
在0，π2上恒成立，
因此函数 g(x)＝cfoxsx在0，π2上单调递减，
π π
因此
g6π>g4π，即cfo6sπ6>cfo4sπ4，即
π f6>
26fπ4，故
A
错；
又 f(0)＝0，所以 g(0)＝cfo0s0＝0，所以 g(x)＝cfoxsx≤0 在0，π2上 恒成立，
当 a>1 时，函数在0，a－1 1上单调递增，在a－1 1，＋∞上单 调递减；
有且只有两个整数 x1，x2 使得 f(x1)>0，且 f(x2)>0，故 f(2)>0 且 f(3)≤0，
即 ln 2＋2－ 2a＋a>0，∴a<ln 2＋2；ln 3＋3－3a＋a≤0， ∴a≥ln 32＋3，故选 C.
π π
又
gπ6>gπ3，所以cfo6sπ6>cfo3sπ3，即
π f6>
3fπ3，故 C 正确；
π π
又
gπ4>gπ3，所以cfo4sπ4>cfo3sπ3，即
π f4>
2fπ3，故 D 正确；故选
CD. 【答案】 (2)CD
(3)[2020·山东济宁质量检测]已知函数 f(x)＝ln x＋(1－a)x＋
∴切线的方程为：y－31x30－x20＋53＝(x20－2x0)(x－x0)，
又直线过定点－1，13，
∴13－31x30－x02＋53＝(x20－2x0)(－1－x0)， 得 x30－3x0－2＝0，(x30－x0)－2(x0＋1)＝0， 即(x0＋1)(x02－x0－2)＝0，解得：x0＝2 或－1， 故可做两条切线，故选 C.
x <0
在0，π2上恒成立，
因此函数 g(x)＝cfoxsx在0，π2上单调递减，
π π
因此
g6π>g4π，即cfo6sπ6>cfo4sπ4，即
π f6>
26fπ4，故
A
错；
又 f(0)＝0，所以 g(0)＝cfo0s0＝0，所以 g(x)＝cfoxsx≤0 在0，π2上 恒成立，
2021年新课标新高考数学复习课件：§4.2 导数的应用
(5)利用结论求出极值
注:(1)在函数的整个定义域内,函数的极值不一定唯一,在整个定义域 内可能有多个极大值和极小值; (2)极大值与极小值没有必然的大小关系,极大值可能比极小值还小; (3)导数等于零的点不一定是极值点(例如: f(x)=x3,f '(x)=3x2,当x=0时,f '(0)= 0,但x=0不是函数的极值点); (4)对于处处可导的函数,极值点的导数必为零.
所以将其转化为f(x)=ex1-a
x2 ex
,即讨论h(x)=1-a·x2
ex
的零点问题,结合单调性
分类讨论.
解析 (1)证明:当a=1时, f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0. 设g(x)=(x2+1)e-x-1, 则g'(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x. 当x≠1时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)单调递减. 而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1. (2)设h(x)=1-ax2e-x. f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)只有一个零点. (i)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点. (ii)当a>0时,h'(x)=ax(x-2)e-x. 当x∈(0,2)时,h'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0. 所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.
-1,-
a
a
1
,单调减区间为
(-∞,-1),
-
a
1 a
,
.
注:(1)在函数的整个定义域内,函数的极值不一定唯一,在整个定义域 内可能有多个极大值和极小值; (2)极大值与极小值没有必然的大小关系,极大值可能比极小值还小; (3)导数等于零的点不一定是极值点(例如: f(x)=x3,f '(x)=3x2,当x=0时,f '(0)= 0,但x=0不是函数的极值点); (4)对于处处可导的函数,极值点的导数必为零.
所以将其转化为f(x)=ex1-a
x2 ex
,即讨论h(x)=1-a·x2
ex
的零点问题,结合单调性
分类讨论.
解析 (1)证明:当a=1时, f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0. 设g(x)=(x2+1)e-x-1, 则g'(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x. 当x≠1时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)单调递减. 而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1. (2)设h(x)=1-ax2e-x. f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)只有一个零点. (i)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点. (ii)当a>0时,h'(x)=ax(x-2)e-x. 当x∈(0,2)时,h'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0. 所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.
-1,-
a
a
1
,单调减区间为
(-∞,-1),
-
a
1 a
,
.
届高考数学二轮复习专题一第4讲导数及其应用精品PPT课件
要点知识整合
热点突破探究 高考动态聚焦
专 题 一
集
合
与 常 用
上
第4讲 导数及其应用
页
逻
辑
下
用
页
语
、
函
数
、
导
数
要点知识整合
热点突破探究 高考动态聚焦
专
题 一
要点知识整合
集 1．几何意义
合 与 常 用
曲线 y＝f(x)在 P(x0，f(x0))处的切线的斜率为 k＝f′(x0)(其
中 f′(x0)为 y＝f(x)在 x0 处的导数)．
集 合 与 常 用
故 f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，
从而当 1－2a≥0，即 a≤21时，f′(x)≥0(x≥0)，而 f(0) ＝0，于是当 x≥0 时，f(x)≥0.由 ex>1＋x(x≠0)可得 e－x>1
上 页
逻 辑 用 语
－x(x≠0)．从而当 a>12时，f′(x)<ex－1＋2a(e－x－1)＝e－ x(ex－1)(ex－2a)，
导 数
是最小值)．
要点知识整合
热点突破探究 高考动态聚焦
专 题 一
集
热点突破探究
合
与
典例精析
常
用
题型一 导数的几何意义
上 页
逻
辑
下
用
例1 若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴
页
语 、
的切线，则实数a的取值范围是________．
函
数
、
导
数
要点知识整合
热点突破探究 高考动态聚焦
专
题
一 集
【解析】 ∵f′(x)＝5ax4＋1x，x∈(0，＋∞)，
热点突破探究 高考动态聚焦
专 题 一
集
合
与 常 用
上
第4讲 导数及其应用
页
逻
辑
下
用
页
语
、
函
数
、
导
数
要点知识整合
热点突破探究 高考动态聚焦
专
题 一
要点知识整合
集 1．几何意义
合 与 常 用
曲线 y＝f(x)在 P(x0，f(x0))处的切线的斜率为 k＝f′(x0)(其
中 f′(x0)为 y＝f(x)在 x0 处的导数)．
集 合 与 常 用
故 f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，
从而当 1－2a≥0，即 a≤21时，f′(x)≥0(x≥0)，而 f(0) ＝0，于是当 x≥0 时，f(x)≥0.由 ex>1＋x(x≠0)可得 e－x>1
上 页
逻 辑 用 语
－x(x≠0)．从而当 a>12时，f′(x)<ex－1＋2a(e－x－1)＝e－ x(ex－1)(ex－2a)，
导 数
是最小值)．
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专 题 一
集
热点突破探究
合
与
典例精析
常
用
题型一 导数的几何意义
上 页
逻
辑
下
用
例1 若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴
页
语 、
的切线，则实数a的取值范围是________．
函
数
、
导
数
要点知识整合
热点突破探究 高考动态聚焦
专
题
一 集
【解析】 ∵f′(x)＝5ax4＋1x，x∈(0，＋∞)，
专题6导数的简单应用与定积分(理)-2021届高三高考数学二轮复习PPT全文课件
● 考向2 利用函数的单调性求参数取值(范围)
●
(1)(2020·厦门模拟)若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域内的一个子区
间 ( k － 1 ， k ＋典1 )例内 不3 是 单 调 函 数 ， 则 实 数 k 的 取 值 范 围
●是_ ______
3
1，2 ●
( 2 ) ( 20 1 9 ·安 庆 二 模 ) 若 函 数 f ( x ) ＝ x 2 － 4 e x － a x 在 R 上 存 在 单 调 递 增 区 间 ， 则 实 数 a 的 取 值 范
围为____________________.
(－∞，－2－2ln 2)
【解析】 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝4x－1x.
由 f′(x)＝0，得 x＝12.
据题意，得k－1<12<k＋1， k－1≥0
解得 1≤k＜23.
●
(2)因为f(x)＝x2－4ex－ax，所以f′(x)＝2x－4ex－a.由题意，f′(x)＝2x－4ex－a>0，
即a<2x－4ex有解．
●
令g(x)＝2x－4ex，则g′(x)＝2－4ex.
●
令g′(x)＝0，解得x＝－ln 2．
●
当x∈(－∞，－ln 2)时，函数g(x)＝2x－4ex单调递增；
●
当x∈(－ln 2，＋∞)时，函数g(x)＝2x－4ex单调递减．
●
所以当x＝－ln 2时，g(x)＝2x－4ex取得最大值－2－2ln 2，
考查角度 导数的几何意义
导数的几何意义的应用
分值 5
6
专题6导数的简单应用与定积分（理） -2021 届高三 高考数 学二轮 复习PPT 全文课 件
导数的综合应PPT课件
又 f12＝1－ln2，f(2)＝－12＋ln2， f(12)－f(2)＝32－2ln2＝lne3－2 ln16， ∵e3>16，∴f12－f(2)>0，即 f12>f(2)． ∴f(x)在区间12，2上的最大值 f(x)max＝f12＝1－ln2.
综上可知，函数 f(x)在12，2上的最大值是 1－ln2，最小值是 0.
(2)因为当x<1时，f′(x)>0； 当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0， 所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a； 当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a. 故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)＝0仅有一个实根． 解得a<2或a>52.
考点2 利用导数证明不等式问题
例 2：已知函数 f(x)＝1－ axx＋lnx. (1)若函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数，求正实数 a 的取值范 围； (2)当 a＝1 时，求 f(x)在12，2上的最大值和最小值； (3)当 a＝1 时，求证：对大于 1 的任意正整数 n，都有 lnn>12＋ 13＋14＋…＋1n.
解析：(1)∵f(x)＝1－ ax x＋lnx，∴f′(x)＝axa－x2 1(a>0)． ∵函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数， ∴f′(x)＝axa－x21≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立． ∴ax－1≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立． 即 a≥1x对 x∈[1，＋∞)恒成立． ∴a≥1.
图4－3－3
关于导数的应用，课标要求 (1)了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的 单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导 数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上 不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．
导数及其应用PPT教学课件
• 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一
个“增量”可用x1+Δx代
替x2
则平均变化率为
Vf 同样Δf=Δfy(=x=2f()x2)-ff(x(1x)1)
Vx
x2 x1
思考?
• 观察函数f(x)的图象
平均变化率 表示什么?
f(x2 ) f (x1)
x x y
r(V ) 3 3V
4
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r(1) r(0) 0.62(dm)
气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm / L)
1 0
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r(2) r(1) 0.16(dm
气球的平均膨胀率为
r(2) 2
r(1) 1
=6Δx+(Δx)2
再求 Vf 6 Vx Vx
再求 lim Vy 6 Vx0 Vx
小结：
时，原由的温度（单位：0C）为 f(x)=x2-
7x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原由键是求出：Vf Vx 3 Vx
lim 再求出 Vf Vx0 Vx
它说明在第2（h)附近，原油 温度大约以3 0C/H的速度下降； 在第6（h)附近，原油温度大
又如何求 瞬时速度呢?
如何求（比如， t=2时的）瞬时速度？
： 当Δt趋近于0时,平均
通过列表看出平均速度的变化速度趋有势什么变化趋势?
瞬时速度?
• 我们用 lim h(2 t) h(2) 13.1
t0
t
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值 -13.1”.
• 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
导数的应用教学课件ppt
乘法法则
对于两个函数f(x)和g(x)，其导数分别为f'(x)和g'(x)，则两函数积的导数为(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
幂法则
对于一个函数f(x)，其导数为f'(x)，则(x^n)'=nx^(n-1)。
导数计算的常见问题与解决方案
常见问题
在导数计算中，容易出现一些错误，如符号错误、运算错误 、化简错误等。
导数可以用来求函数的极值、单调区间、凹凸区间等
导数在其他领域中的应用
导数可以用来解决物理、经济、工程等领域中的一些问题，如物体运动时的加速 度、经济学中的边际效应、工程中的曲率等等
02
导数的计算
极限与导数
极限的定义
极限是函数在某一变化过程中， 某个变量的变化趋势，通常用符 号lim表示。
导数的定义
与其他学生或老师交流讨论，及时解决学习中遇 到的问题。
THANKS
导数的深入研究
1
深入理解导数的定义和计算方法，包括高阶导 数和复合函数的导数。
2
研究导数在函数性质、曲线形状、极值等方面 的应用，以及在实际问题中的应用。
3
探讨导数在数学中的地位和作用，以及与其他 数学分支的联系。
导数在未来的应用前景
分析导数在金融、经济、工程等领域 的应用前景，例如最优化问题、供应 链管理、计算机图形学等。
导数的应用教学课件ppt
xx年xx月xx日Biblioteka contents目录
• 导数的概念及背景 • 导数的计算 • 导数在函数性质研究中的应用 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步探讨与展望
01
对于两个函数f(x)和g(x)，其导数分别为f'(x)和g'(x)，则两函数积的导数为(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
幂法则
对于一个函数f(x)，其导数为f'(x)，则(x^n)'=nx^(n-1)。
导数计算的常见问题与解决方案
常见问题
在导数计算中，容易出现一些错误，如符号错误、运算错误 、化简错误等。
导数可以用来求函数的极值、单调区间、凹凸区间等
导数在其他领域中的应用
导数可以用来解决物理、经济、工程等领域中的一些问题，如物体运动时的加速 度、经济学中的边际效应、工程中的曲率等等
02
导数的计算
极限与导数
极限的定义
极限是函数在某一变化过程中， 某个变量的变化趋势，通常用符 号lim表示。
导数的定义
与其他学生或老师交流讨论，及时解决学习中遇 到的问题。
THANKS
导数的深入研究
1
深入理解导数的定义和计算方法，包括高阶导 数和复合函数的导数。
2
研究导数在函数性质、曲线形状、极值等方面 的应用，以及在实际问题中的应用。
3
探讨导数在数学中的地位和作用，以及与其他 数学分支的联系。
导数在未来的应用前景
分析导数在金融、经济、工程等领域 的应用前景，例如最优化问题、供应 链管理、计算机图形学等。
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• 导数的概念及背景 • 导数的计算 • 导数在函数性质研究中的应用 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步探讨与展望
01