结构力学第四章知识讲解
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第四、五章结构力学讲课内容
第四章三铰拱（共计2学时）§4-1 概述1、拱式结构的特征及应用应用：门、窗、桥、巷道、窑洞特征：杆轴是曲线，竖向荷载作用下有水平推力。
和曲梁比较（重点！！）2、拱的形式（重点讲解各类型拱的异同点）三铰拱两铰拱无铰拱静定结构：三铰拱（由两条曲杆用铰相互联结，并各自与支座用铰相联结而成）。
有两种形式：无拉杆三铰拱、有拉杆的三铰拱及其变化形式、做成折线即为三铰刚架带拉杆的三铰拱超静定结构：无铰拱、两铰拱3、拱的优缺点优点：在竖向荷载作用下拱存在水平推力作用，导致其所受的弯矩远比梁小，压力也比较均匀；若合理选择拱轴，弯矩为0，主要承受压力。
缺点：需要坚固而强大的地基基础来支承；（要强调带拉杆三铰拱的优点）水平支座反力的存在（拱式结构或推力结构）4、拱的名称跨度：L；拱高：拱顶到两支承边线距离，f；拱脚铰、拱顶铰；对称拱、斜拱（不对称拱）；f/l：矢跨比、高跨比。
高跨比对拱的主要性能有比较大的影响（1－1/10）。
若f－0，三铰共线或接近共线，瞬变体系。
平拱：两拱趾在同一水平线上的拱；斜拱：两拱趾不在同一水平线上的拱5、计算方法数解法、图解法§4-2 三铰拱的数解法（以竖向荷载作用下三铰平拱为例，本章重点）重点推导竖向荷载作用下三铰平拱的支座反力和内力的计算公式，并和相应简支梁进行比较。
一、支座反力的推导（此图要解释含义）三铰平拱承受竖向荷载作用：三铰拱相当梁：对三铰拱及相当梁结构，根据静力平衡条件（解释三铰结构的静力平衡方程形式）：∑===H B AHF H F FX ,0结论：（这是重点，帮助学生理解记忆，并要活用）（1）在竖向荷载作用下，三铰平拱的竖向反力与相当梁的竖向力相同，与拱轴形状及拱高无关；（2）三铰平拱在竖向荷载作用下，水平推力F H 等于相应梁C 截面的弯矩除以拱高而得。
F H 仅与荷载及三个铰的位置有关，而与拱轴无关。
（推广到三铰刚架在竖向荷载作用下水平支反力的计算）（即只与拱的矢跨比f/l 有关，f/l ↑，H ↓；f/l ↓，H ↑）和拱轴形状无关。
《结构力学》第四章静定拱
受力特点概述
静定拱在荷载作用下，拱身主要承受 压力作用，这使得拱具有较好的受压 性能。
拱身受压力作用
由于拱的曲线形状和荷载作用位置的 不同，拱身内力分布通常不均匀，需 要进行详细的内力分析。
内力分布不均匀
静定拱在荷载作用下，其变形主要以 压缩变形为主，弯曲变形相对较小。
变形以压缩为主
影响因素分析
面内失稳
1
拱在面内发生屈曲，导致承载力急剧下降。
面外失稳
2
拱在面外方向发生侧倾或扭转，失去原有形状。
局部失稳
3
拱的局部区域发生失稳，如拱脚的局部压曲等。
提高稳定性的措施
合理选择拱的轴线形式 使拱在受力时能够均匀分布荷载，避 免应力集中。
加强拱的横向联系
通过设置横撑、横系梁等构件，增强 拱的横向稳定性。
贰
静定拱的受力特点
受力分析基本假设
拱身是理想弹性体 在分析中，假设拱身材料符合胡克定律， 即应力与应变成正比关系。 荷载作用在拱的节点上 为简化计算，通常将荷载（如均布荷载、 集中力等）作用在拱的节点上进行分析。 忽略拱身自重影响 在分析中，通常忽略拱身自重对受力的影 响，或将其简化为等效荷载进行处理。
增加拱的刚度
采用高强度材料、增加截面尺寸等措 施，提高拱的整体刚度。
考虑施工方法和顺序
合理的施工方法和顺序可以有效减少 拱在施工过程中的变形和应力，有利 于提高稳定性。
陆
静定拱的工程应用
桥梁工程中的应用
拱桥
静定拱是拱桥的主要结构形式，能够承受较大的竖向荷载和水平推 力，具有良好的经济性和美观性。
习题一
某静定拱的跨度为L，矢高为f，承受均布 荷载q作用，试求其拱脚处的水平推力H和 竖向反力V。
《结构力学》_第4章_2014-1解析
当截面B同时产生三种相对位移时，在 i－ i 方向所产生的位移，即是三
M Q N Md F Q d F N d
2、局部变形时的位移公式
基本思路：在刚性杆中，取微段 ds 设为变形体，分析局部变形所引起的位移。
d
ds
i
ds
ds d
ds
d
R
d
i
静定结构由于支座移动不会产生内力和变形。代入 1 得到支座移动时的位移计算公式： ic
F
RK
CK
F
Rk
Ck 0
cA
A
B
C
l 3
2l 3
D
l
B A
1 3
c
1
D
已知位移 c A ，求： ⑴ C点的竖向位移 c ⑵ 杆CD的转角 1 (1) 1 c cD 0 3
i
B
d
B
A
B
Q
d
B
A N
A 1
i
Q
FN
i A
N
1
A
B
FN
A
ห้องสมุดไป่ตู้
虚功方程：
F Q 1 sin
F N 1 cos
虚功方程：
1 Q F Q d 0
者的叠加，有：
Q F Q d
1 N F N d 0
N F N d
1、局部变形时静定结构的位移计算
在静定结构局部变形所引起的位移。在杆件中取微段d s设为变形体，分 析局部变形所引起的位移。 例1：悬臂梁在截面 B 处由于某种原因产生相对转角 d（图a示），试求 A 点 在 i－ i 方向的位移 m 。 i 解：图 ( a ) 中实际位移状态可改用图 ( b ) ( a ) 来表示。在 B 处加铰，把实际位移表示 为刚体体系的位移状态。 为求未知位移，虚设力系如图 ( c ) 示。 在A点沿拟求位移方向虚设单位荷载，在 ( b ) 铰B处还必须虚设一对弯矩。 由平衡条件： M 1 sin a
结构力学 第四章 三铰拱
杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水 平反力。 平反力。
FP
曲梁
三铰拱
第四章 三铰拱
三、拱常用的形式
静定拱
三铰拱
两铰拱
超静定拱
无铰拱
第四章 三铰拱
四、拱的有关概念
顶铰 拱轴线 平拱 拱趾铰 跨度 拱趾铰 拱轴线 拱（矢）高
斜拱
拉杆拱
第四章 三铰拱 §4-2 三铰拱的支座反力和内力 一、支反力 1、竖向反力 A ∑ M A = 0, VB l − M ABP = 0 H A
第四章 三铰拱
第四章 三铰拱
§4-1 概述 §4-2 三铰拱的支座反力和内力 §4-3 压力线与合理拱轴
第四章 三铰拱
§4-1 概述 实例——拱桥 一、实例 拱桥 拱桥是承受轴向压力为主的拱圈或拱肋作为主要 承受轴向压力为主 拱桥是承受轴向压力为主的拱圈或拱肋作为主要 承重构件的桥梁,拱结构由拱圈(拱肋)及其支座组成。 承重构件的桥梁,拱结构由拱圈(拱肋)及其支座组成。
第四章 三铰拱 [例4-1]三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线： 1]三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线： 三铰拱及其所受荷载如图所示 y=4fx(l-x)/l2，求支座反力，并绘制内力图。 求支座反力，并绘制内力图。 解: (1) 反力计算
4 × 4 + 1× 8 ×12 0 VA = VA = 16 = 7kN ( ↑ ) 7kN
M ABP VB = l l 同跨度同荷载简支梁(代 同跨度同荷载简支梁( 的支座反力： 梁）的支座反力：
i i
P
q
C
f
B
l1
l − l1
HB VB
∑ Pa =
VA
结构力学第四章
Wex =∫dWe+∫dWn =∫dWe =δWe
2.利用平衡条件计算 所有微段的外力虚功之和 Ude 微段位移分 刚体位移 ab ab 为两部分 变形位移 ab ab 微段外力功 在刚体位移上的功dWg 分为两部分 在变形位移上的功dWi 微段外力功 dW= dWg+dWi 所有微段的外力功之和:
1 YA c 0
bc / a
(1)所建立的虚功方程, 实质上是几何方程。 (2)虚设的力状态与实际位移状 态无关，故可设单位广义力 P=1 (3)求解时关键一步是 找出虚力状态的静力 平衡关系。 (4)是用静力平衡法来解几何问题。
单位位移法的虚功方程 单位荷载法的虚功方程
三、图形分解 求 B
20 A
MP
20
A
B
40
B
20 kN m
A
20 kN m
EI
40 B
40 kN m 10 m
1
40 kN m
Mi
1/ 3
2/3
1 1 2 B ( 10 40 EI 2 3 1 1 500 10 20 ) ( ) 2 3 3EI
三、图形分解
微段受力
微段拉伸
微段剪切
微段弯曲
整个平面杆系结构，结构的虚变形功为
Ude =Σ∫[FNkδεm+FQkδγm+Mkδθm]ds
§4-3. 虚功原理
一、变形体的虚功原理
原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功Wex，恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚 功之和Ude。也即恒有如下虚功方程成立
求 B
2.利用平衡条件计算 所有微段的外力虚功之和 Ude 微段位移分 刚体位移 ab ab 为两部分 变形位移 ab ab 微段外力功 在刚体位移上的功dWg 分为两部分 在变形位移上的功dWi 微段外力功 dW= dWg+dWi 所有微段的外力功之和:
1 YA c 0
bc / a
(1)所建立的虚功方程, 实质上是几何方程。 (2)虚设的力状态与实际位移状 态无关，故可设单位广义力 P=1 (3)求解时关键一步是 找出虚力状态的静力 平衡关系。 (4)是用静力平衡法来解几何问题。
单位位移法的虚功方程 单位荷载法的虚功方程
三、图形分解 求 B
20 A
MP
20
A
B
40
B
20 kN m
A
20 kN m
EI
40 B
40 kN m 10 m
1
40 kN m
Mi
1/ 3
2/3
1 1 2 B ( 10 40 EI 2 3 1 1 500 10 20 ) ( ) 2 3 3EI
三、图形分解
微段受力
微段拉伸
微段剪切
微段弯曲
整个平面杆系结构，结构的虚变形功为
Ude =Σ∫[FNkδεm+FQkδγm+Mkδθm]ds
§4-3. 虚功原理
一、变形体的虚功原理
原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功Wex，恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚 功之和Ude。也即恒有如下虚功方程成立
求 B
《结构力学》第四章 静定结构的位移计算 (3)
A M k M P ds
B EI
2
R 1
cos
( FP R
sin
)
Rd
0
EI
d
FPR3
2EI
FPk 1
A
B Bx 2 By 2
B kP
B
A M k M P ds B EI
2
(1)
(FPR sin
)
Rd
0
EI
R
O
FP R2 （
）
EI
（1）梁与刚架
三、结构的外力虚功
作用在结构上的外力可能是单个的集中力、力 偶、均布力，也可能是一个复杂的力系，为了 书写方便，通常将外力系的总虚功记为：
W = Fk × km
其中，Fk为作功的力或力系，称为广义力; km为广义力作功的位移，称为广义位移。 下面讨论几种常见广义力的虚功。
1) 集中力的虚功
Pk
k
M
4EIk
GAl 2
kP
若截面为矩形，则：A bh, I bh3 /12,k 6 l 1, 2
h / l 1 , 10
h/l 1 , 15
则：
Q kP
( h)2
Q
M kP
l
kP 25% kMP
对于粗短杆来说，剪 切变形产生的位移不可忽
Q
kP 1%
1
m
ds
第i根杆件静力状态上的力在位移状态的位移上所 作的虚功：
Vi
s FNk
mds
s FQk mds
s Mk
1
m
ds
整个杆件结构各个截面上的内力在位移状态的位 移上的所作的总虚功：
N
N
N
B EI
2
R 1
cos
( FP R
sin
)
Rd
0
EI
d
FPR3
2EI
FPk 1
A
B Bx 2 By 2
B kP
B
A M k M P ds B EI
2
(1)
(FPR sin
)
Rd
0
EI
R
O
FP R2 （
）
EI
（1）梁与刚架
三、结构的外力虚功
作用在结构上的外力可能是单个的集中力、力 偶、均布力，也可能是一个复杂的力系，为了 书写方便，通常将外力系的总虚功记为：
W = Fk × km
其中，Fk为作功的力或力系，称为广义力; km为广义力作功的位移，称为广义位移。 下面讨论几种常见广义力的虚功。
1) 集中力的虚功
Pk
k
M
4EIk
GAl 2
kP
若截面为矩形，则：A bh, I bh3 /12,k 6 l 1, 2
h / l 1 , 10
h/l 1 , 15
则：
Q kP
( h)2
Q
M kP
l
kP 25% kMP
对于粗短杆来说，剪 切变形产生的位移不可忽
Q
kP 1%
1
m
ds
第i根杆件静力状态上的力在位移状态的位移上所 作的虚功：
Vi
s FNk
mds
s FQk mds
s Mk
1
m
ds
整个杆件结构各个截面上的内力在位移状态的位 移上的所作的总虚功：
N
N
N
结构力学 教学课件 ppt 作者 贾影 第4章静定结构位移计算
这种利用虚功原理，沿所求位移方向虚设单位荷载（F=1）求结 构位移的方法，称为单位荷载法。应用这种方法，每次可以计算一
个位移。求位移时首先要虚设力状态，在所求位移地点沿所求位移
方向加一个单位荷载，单位荷载的方向自定，如果所求位移结果为
正值，即表示实际位移方向与虚设的单位力方向相同，为负则相反。
单位荷载法不仅可以用于计算结构的线位移，还可以计算任意 的广义位移，只要虚设的单位荷载与所计算的广义位移相对应即可。
式中， We ——体系的外力虚功
Wi
——体系的内力虚功
这里，几何可能的位移和变形是指位移和变形是微小的，约束条件允许的位移，
变形是协调的。
虚功原理有两种情况，一种是虚设位移求力，称为虚位移原理；一种是虚设力 系求位移，称为虚力原理。本章主要应用虚力原理来求静定结构的位移，采用
的方法是单位荷载法。
4.3 单位荷载法计算位移
F 1 dW ydy F 2
这样的功常称为外力实功。
而当做功的力与相应位移彼此独立
无关时，也就是力在不是由它本身引起
的位移上做功，则所做的功称为虚功， 简支梁在C点因F作用而达到实曲线平衡
位置后，如果由于各种原因（如其他荷
载或温度变化等）使梁继续发生微小变 形到虚线位置，力对相应位移所做的功
本章先介绍虚功原理，然后讨论在荷载等外界因素的作用下静定结
构位移的计算方法。
4.1.3 基本假定 在计算结构位移时，为了使计算简化，通常采用以下几个假定： 1）结构的材料在线弹性范围内工作，且符合胡克定律，即应力与应变成 线性关系。 2）结构的位移是微小的，不影响变形后荷载的作用位置。 符合上述假定的结构体系称为线弹性变形体系。由于线弹性体系的 位移与荷载成比例，因此在计算位移时可以应用叠加原理。对于实际结 构的位移计算，按照上述假定的结果精确度是满足要求的。 对于位移与荷载不成比例的体系称为非线性变形体系。线性变形体 系和非线性变形体系统称为变形体系。这里只讨论线性变形体系。
结构力学课件 第四章 影响线
FP C
ab F l
MC的变化规律
• 分析：
A
a
D
B b
1. 该图线的含义：每一纵坐标值都是MC的值；不同点的纵坐标值代表FP移
动到不同位置时MC的大小。（举例说明） 2. 每一点的MC与FP均成正比，其比例系数称为MC的影响系数，用 M C 表
示，即 M C
MC 。 若将该影响系数的变化规律用图线来表示，则该图线 F
d 3
5d 12
MD影响线
1 6
5d 6
FQD影响线
2 3
5 6
1 3
x
FP=1
F
d d
1 3 2 3 1 3
d
d
d
FQF影响线
1 2
1 3
1 3
1 2
1 6
1 3
FQF左影响线
2 3
5 6
1 3
FQF右影响线
x
FP=1
2d 3
E
d d d d d
1
FQE影响线
2d 3
ME影响线
§4-4 静力法作桁架的影响线
就称为MC的影响线。
二、 影响线
F P=1
A
a
C
ab ab F ll
b
B
M 的影响线 M 的变化规律 C C • 定义：在单位移动荷载FP=1作用下，表示结构上某量值Z的变化规律的图线， 称为Z的影响线。 • 说明：1. Z可以是反力、弯矩、剪力、轴力 2. 求Z的影响线，就是求在单位移动荷载FP=1作用下Z的大小。 3. 在Z的影响线中，横坐标表示的是FP=1的作用位置； 纵坐标表示 的是影响系数 Z 的大小。 （比较：弯矩图、弯矩影响线） • 计算方法：1.静力法 2.机动法（虚功原理）
ab F l
MC的变化规律
• 分析：
A
a
D
B b
1. 该图线的含义：每一纵坐标值都是MC的值；不同点的纵坐标值代表FP移
动到不同位置时MC的大小。（举例说明） 2. 每一点的MC与FP均成正比，其比例系数称为MC的影响系数，用 M C 表
示，即 M C
MC 。 若将该影响系数的变化规律用图线来表示，则该图线 F
d 3
5d 12
MD影响线
1 6
5d 6
FQD影响线
2 3
5 6
1 3
x
FP=1
F
d d
1 3 2 3 1 3
d
d
d
FQF影响线
1 2
1 3
1 3
1 2
1 6
1 3
FQF左影响线
2 3
5 6
1 3
FQF右影响线
x
FP=1
2d 3
E
d d d d d
1
FQE影响线
2d 3
ME影响线
§4-4 静力法作桁架的影响线
就称为MC的影响线。
二、 影响线
F P=1
A
a
C
ab ab F ll
b
B
M 的影响线 M 的变化规律 C C • 定义：在单位移动荷载FP=1作用下，表示结构上某量值Z的变化规律的图线， 称为Z的影响线。 • 说明：1. Z可以是反力、弯矩、剪力、轴力 2. 求Z的影响线，就是求在单位移动荷载FP=1作用下Z的大小。 3. 在Z的影响线中，横坐标表示的是FP=1的作用位置； 纵坐标表示 的是影响系数 Z 的大小。 （比较：弯矩图、弯矩影响线） • 计算方法：1.静力法 2.机动法（虚功原理）
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位移协调系（位移状态m）：在结构的边界和内部都必须是分段光滑 连续的，在边界上满足位移边界条件且是微小的位移系。
虚功原理：
设有一变形体系，分布存在两个独立无关的静力平衡系和位移协调 系，则力系中的外力经位移系中的位移所作的虚功恒等于变形体系 各微段外力在变形位移上虚功和。即：
以平面刚架为例证明虚功原理： 静力平衡力系k： 截面内力分量：
求解步骤：
（1）解除所求约束力的约束，代之以约束力，得k状态。 （2）沿所求约束力的方向给以一位虚位移，得m状态。 （3）由虚位移原理建立虚功方程，求解约束力。
例 利用单位位移法求两跨静定梁在图示荷载下的支座D的反力和截面E的 弯矩。 解 ： 1.求支座反力 ：
（1）解除D支座，代之一约束力 ，得 静力状态k；
恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的虚功和。
静力平衡系
位移协调系
（虚拟）
（真实）
单位荷载法：
在应用虚力原理时，特别的假设单位荷载。
求解步骤：
（1）沿所求位移的方向加上对应的单位虚力，得静力状态k。 （2）实际位移状态m，建立虚功方程。
例 试用单位荷载法求图示两跨静定梁，由于中间支座B向下移动 ， 中间铰C的竖向位移 。 解： 1.建立静力状态k： 2.建立虚功方程：
静力状态k的集中力 在位移状态m的位移Δkm 上所作的虚功：
2.力偶虚功： 静力状态k的力偶 在位移状态m的角位移θkm 上所作的虚功：
3.均布力虚功： 静力状态k的均布力在位移状态m 上所作的虚功：
4.等量反向共线的两集中力的虚功：
静力状态k的力在位移状态m 上所作的虚功： 平衡力系在刚体位移上的虚功=？
解：（1）桁架各杆的剪力和弯矩为零，轴力为常数，建立虚力方程，位移公式简 化为
式中，l为杆件长度 （2）求 FNP, FNk
（3）列表计算 （4）计算
§4-7 图乘法
使用条件：均质、常截面直杆； 至少一个内力图按直线变化。
位移计算公式中的积分可以用图乘法：
（1）用一内力图的面积A乘以该内力图面积的形心所对应的直线内力图 的纵距 ； （2）面积A与纵距 在杆轴同侧，则乘积 取正号，反之取负号。
（2）虚设单位位移 ， 得位移状态m；
（3）虚功方程：
2.求截面E的弯矩 ： （1）将截面E换成铰，并加上 ， 得k状态； （2）沿 正向给单位虚位移 得m状态； （3）虚功方程
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§4-5 虚力原理、单位荷载法
虚力原理：
变形体系在任意外来因素作用下的位移系协调的充分必要条件是，当有
任意虚拟的静力平衡系时，力系中的外力经位移系中的位移所作的虚功
返回
§4-6 杆件结构的位移计算公式及荷载作用 下的位移计算
一、位移公式
单位荷载法：
二、荷载作用下的位移计算公式
荷载作用下:
例 求简支梁AB，受均布荷载q时跨度中点的挠度。已知E、I。
解：1. 建立虚力状态： 2. 内力公式：
取 ，设矩形截面
一般地：
在梁的计算中可略去轴力、剪力的影响； 在深梁的计算中必须考虑剪力的影响。
四、结构各微段外力在变形位移上的虚功和。
取微段进行分析： 微段静力状态k的力在位移状态m 上所作的虚功：
第i杆件的虚功： 平面杆件结构各微段外力在变形位移上的虚功和（虚变形功）：
返回
§4-3 虚功原理
静力平衡系（静力状态k）：满足结构整体和局部平衡条件以静力边界 条件，并遵循作用和反作用定律的力系。
结构力学第四章
二、结构位移计算的目的
（1） 结构设计必须经过刚度校核。 （2）结构施工阶段常常需要估算结构可能变更位置以便作出相应的工 程措施。 （3）结构位移计算是分析超静定结构以及结构动力分析，稳定分析等 的基础。
三、虚功原理是结构位移计算的基础。
返回
§4-2 外力虚功与虚变形功
一、功
二、实功与虚功
返回
§4-4 虚位移原理与单位位移法
虚位移原理：
变形体系在力系作用下成平衡的必要与充分条件是，当有任意
虚拟的位移协调系（即虚位移）时，力系中的外力经位移系中
的位移所作的虚功恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的
虚功和。
位移协调系Βιβλιοθήκη 静力平衡系（虚拟）
（真实）
单位位移法：
在应用虚位移原理时，特别的假设发生单位位移。
微段外力满足平衡条件：
位移协调系m： 各点的位移分量：
按微段计算k状态的力在m状态的位移所作虚功：
按结构整体计算k状态的力在m状态的位移所作虚功： 外力虚功：
各截面内力虚功总和为零。 显然有：
虚功原理的讨论：
（1）试用线性、非线性、小变形问题。 （2）利用虚功原理解决平衡问题、几何问题。 （3）刚体虚功原理： 或
1.位移是作功的力引起的。 实功：
Δp相对于Fp而言为实位移。
2.位移不是作功的力引起的 虚功：
3.实功计算不满足叠加原理；虚功计算满足叠加原理。
三、结构的外力虚功
静力状态：结构在k处所方向受广义力 作用处于平衡状态。 位移状态：结构由于其它原因而产生位移。其中k处所方向的广义位移 为Δkm k状态的外力在m状态的虚位移上所作的虚功： 1、集中力的虚功
常见图形的面积和形心位置：
常见图形图乘结果：
例 求图示刚架C点的水平线 。
解：1.建立虚力状态： 2.作 图： 3.图乘：
例 设有一矩阵钢筋混凝土渡槽，如图（a）所示，槽深的计算简图如图
（b）所示，试求槽内最高水位时A、B两点的相对位移。已
知 E I 2 . 1 1 0 7 k N / m 2 2 . 8 1 1 0 3 m 4 5 . 9 。1 （1 0 设4 k N 结. m 构, 自水 重 1 不0 k 计N ，/ m 并3 略去轴 力及剪力对位移的影响）。
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例 求图示四分之一圆弧的曲梁的自由端的角位移与线位移
解：1. 角位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
2. 竖向位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
2. 水平位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
例 求图示对称桁架在荷载作用下结点4的竖向位移，设 E 2 1 0 0 kN /cm 2，图 中括弧内的数值为杆件截面面积A（ c m 2 ）。
解： （1）建立虚力状态
（2）分别作内力图 M p , Mk
（3）用图乘法计算位移
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§4-8 支座移动、温度改变时的位移计算
虚功原理：
设有一变形体系，分布存在两个独立无关的静力平衡系和位移协调 系，则力系中的外力经位移系中的位移所作的虚功恒等于变形体系 各微段外力在变形位移上虚功和。即：
以平面刚架为例证明虚功原理： 静力平衡力系k： 截面内力分量：
求解步骤：
（1）解除所求约束力的约束，代之以约束力，得k状态。 （2）沿所求约束力的方向给以一位虚位移，得m状态。 （3）由虚位移原理建立虚功方程，求解约束力。
例 利用单位位移法求两跨静定梁在图示荷载下的支座D的反力和截面E的 弯矩。 解 ： 1.求支座反力 ：
（1）解除D支座，代之一约束力 ，得 静力状态k；
恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的虚功和。
静力平衡系
位移协调系
（虚拟）
（真实）
单位荷载法：
在应用虚力原理时，特别的假设单位荷载。
求解步骤：
（1）沿所求位移的方向加上对应的单位虚力，得静力状态k。 （2）实际位移状态m，建立虚功方程。
例 试用单位荷载法求图示两跨静定梁，由于中间支座B向下移动 ， 中间铰C的竖向位移 。 解： 1.建立静力状态k： 2.建立虚功方程：
静力状态k的集中力 在位移状态m的位移Δkm 上所作的虚功：
2.力偶虚功： 静力状态k的力偶 在位移状态m的角位移θkm 上所作的虚功：
3.均布力虚功： 静力状态k的均布力在位移状态m 上所作的虚功：
4.等量反向共线的两集中力的虚功：
静力状态k的力在位移状态m 上所作的虚功： 平衡力系在刚体位移上的虚功=？
解：（1）桁架各杆的剪力和弯矩为零，轴力为常数，建立虚力方程，位移公式简 化为
式中，l为杆件长度 （2）求 FNP, FNk
（3）列表计算 （4）计算
§4-7 图乘法
使用条件：均质、常截面直杆； 至少一个内力图按直线变化。
位移计算公式中的积分可以用图乘法：
（1）用一内力图的面积A乘以该内力图面积的形心所对应的直线内力图 的纵距 ； （2）面积A与纵距 在杆轴同侧，则乘积 取正号，反之取负号。
（2）虚设单位位移 ， 得位移状态m；
（3）虚功方程：
2.求截面E的弯矩 ： （1）将截面E换成铰，并加上 ， 得k状态； （2）沿 正向给单位虚位移 得m状态； （3）虚功方程
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§4-5 虚力原理、单位荷载法
虚力原理：
变形体系在任意外来因素作用下的位移系协调的充分必要条件是，当有
任意虚拟的静力平衡系时，力系中的外力经位移系中的位移所作的虚功
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§4-6 杆件结构的位移计算公式及荷载作用 下的位移计算
一、位移公式
单位荷载法：
二、荷载作用下的位移计算公式
荷载作用下:
例 求简支梁AB，受均布荷载q时跨度中点的挠度。已知E、I。
解：1. 建立虚力状态： 2. 内力公式：
取 ，设矩形截面
一般地：
在梁的计算中可略去轴力、剪力的影响； 在深梁的计算中必须考虑剪力的影响。
四、结构各微段外力在变形位移上的虚功和。
取微段进行分析： 微段静力状态k的力在位移状态m 上所作的虚功：
第i杆件的虚功： 平面杆件结构各微段外力在变形位移上的虚功和（虚变形功）：
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§4-3 虚功原理
静力平衡系（静力状态k）：满足结构整体和局部平衡条件以静力边界 条件，并遵循作用和反作用定律的力系。
结构力学第四章
二、结构位移计算的目的
（1） 结构设计必须经过刚度校核。 （2）结构施工阶段常常需要估算结构可能变更位置以便作出相应的工 程措施。 （3）结构位移计算是分析超静定结构以及结构动力分析，稳定分析等 的基础。
三、虚功原理是结构位移计算的基础。
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§4-2 外力虚功与虚变形功
一、功
二、实功与虚功
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§4-4 虚位移原理与单位位移法
虚位移原理：
变形体系在力系作用下成平衡的必要与充分条件是，当有任意
虚拟的位移协调系（即虚位移）时，力系中的外力经位移系中
的位移所作的虚功恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的
虚功和。
位移协调系Βιβλιοθήκη 静力平衡系（虚拟）
（真实）
单位位移法：
在应用虚位移原理时，特别的假设发生单位位移。
微段外力满足平衡条件：
位移协调系m： 各点的位移分量：
按微段计算k状态的力在m状态的位移所作虚功：
按结构整体计算k状态的力在m状态的位移所作虚功： 外力虚功：
各截面内力虚功总和为零。 显然有：
虚功原理的讨论：
（1）试用线性、非线性、小变形问题。 （2）利用虚功原理解决平衡问题、几何问题。 （3）刚体虚功原理： 或
1.位移是作功的力引起的。 实功：
Δp相对于Fp而言为实位移。
2.位移不是作功的力引起的 虚功：
3.实功计算不满足叠加原理；虚功计算满足叠加原理。
三、结构的外力虚功
静力状态：结构在k处所方向受广义力 作用处于平衡状态。 位移状态：结构由于其它原因而产生位移。其中k处所方向的广义位移 为Δkm k状态的外力在m状态的虚位移上所作的虚功： 1、集中力的虚功
常见图形的面积和形心位置：
常见图形图乘结果：
例 求图示刚架C点的水平线 。
解：1.建立虚力状态： 2.作 图： 3.图乘：
例 设有一矩阵钢筋混凝土渡槽，如图（a）所示，槽深的计算简图如图
（b）所示，试求槽内最高水位时A、B两点的相对位移。已
知 E I 2 . 1 1 0 7 k N / m 2 2 . 8 1 1 0 3 m 4 5 . 9 。1 （1 0 设4 k N 结. m 构, 自水 重 1 不0 k 计N ，/ m 并3 略去轴 力及剪力对位移的影响）。
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例 求图示四分之一圆弧的曲梁的自由端的角位移与线位移
解：1. 角位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
2. 竖向位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
2. 水平位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
例 求图示对称桁架在荷载作用下结点4的竖向位移，设 E 2 1 0 0 kN /cm 2，图 中括弧内的数值为杆件截面面积A（ c m 2 ）。
解： （1）建立虚力状态
（2）分别作内力图 M p , Mk
（3）用图乘法计算位移
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§4-8 支座移动、温度改变时的位移计算