江西省进贤县第一中学2021届高三教学质量检测数学试题

故选：ABD.
【点睛】
本题考查线线垂直、线面垂直、线面平行以及异面直线所成角的判断，属于中等题.
12．BCD
【解析】
【分析】
利用函数 是定义在R上的奇函数，且 时， ，求出 在R上的解析式，判断A错；由A分别令 ，解出零点，判断B对；由A令 ，求出解集，判断C对；当 时，对函数求导判断出单调区间，求出最值，再利用奇函数的对称性得出函数的值域，要证明 ， ，即证明 最大值与最小值的差的绝对值小于 ，D对．
19．有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪 元，送餐员每单制成 元；乙公司无底薪， 单以内（含 单）的部分送餐员每单抽成 元，超过 单的部分送餐员每单抽成 元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其 天的送餐单数，得到如下频数分布表：
送餐单数
38
39
40
41
42
甲公司天数
利用导数研究函数的单调性，根据单调性可做大致图象，由数形结合，建立不等式即可求解.
【详解】
，
当 时， ， 在R上单调递增﹐ 在R上只有一个零点， 在R上也只有一个零点，故 至多有两个零点，不满足题意.
当a＞0时，令f'(x)＝3x2－a＝0，解得x＝± ，
由 ，得 或 ，
由 ，得 ，
所以函数f(x)在(－∞，－ )，( ，＋∞)上单调递增，在(－ ， )上单调递减，
10
10
15
10
5
乙公司天数
10
15
10
10
5
（1）从记录甲公司的 天送餐单数中随机抽取 天，求这 天的送餐单数都不小于 单的概率；
（2）假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：
①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；
②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.
【详解】
对于A，当 时， ，则由题意得 ，
∵函数 是奇函数，
∴ ，且 时， ，A错；
∴ ，
对于B，当 时，由 得 ，
当 时，由 得 ，
∴函数 有3个零点 ，B对；
对于C，当 时，由 得 ，
当 时，由 得 ，
∴ 的解集为 ，C对；
对于D，当 时，由 得 ，
由 得 ，由 得 ，
∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
16．在 中，若 ，则 的最大值为_____.
四、解答题
17．已知二次函数 满足 ， ，若 ， 是 的两个零点，且 .
（1）求 的解析式；
（2）若 ，求 的最大值.
18．已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， ， .
（1）若函数 恰有三个不相同的零点，求实数 的值；
（2）记 为函数 的所有零点之和.当 时，求 的取值范围.
又由余弦定理 ，
代入可得 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
则 ，所以 ，
即 ，所以 ，
则 的最大值为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了同角三角函数关系式的综合应用，正弦和角公式化简三角函数关系式，正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，基本不等式求最值，综合性强，属于难题.
17．（1） ；（2） .
【解析】
【详解】
， ，
，
故选：C.
【点睛】
本题考查解不等式及集合的并运算，考查运算求解能力，属于基础题.
4．C
【解析】
结合指数函数的性质可知： ，
函数 的导函数： ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
本题选择C选项.
5．D
【解析】
【分析】
作出函数 的图像，和函数 的图像，结合图像可知直线 介于 与 轴之间，利用导数求出直线 的斜率，数形结合即可求解.
20．如图，四边形 与 均为菱形， ，且 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
21．已知函数 ， ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时， 恒成立，求k的取值范围；
（3）设n ，求证： ．
参考答案
1．A
【解析】
试题分析： ，则复数 的共轭复数为 ；选A
考点：1.复数运算；2.共轭复数；
【详解】
满足 的复数对应的点的轨迹是圆，圆心对应的复数是 ，半径为2，
表示点 到1对应的点的距离，又 ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】
本题考查复数的几何意义，考查圆上的点到定点距离的最值问题，解题方法是把圆上的点到定点的距离转化为求定点到圆心距离．
8．A
【解析】
【分析】
求得 的值，利用平面向量数量积的定义可求得向量 、 夹角的余弦值.
设BC的中点为D，连结AD，过点P作PO 平面ABC，交AD于点O，
则AO=PO=R=2，AD=3，AB=BC= ，
所以 ，
所以挖去的正三棱锥的体积为 .
【点睛】
本题主要考查了组合体的结构特征，以及三棱锥的体积的计算，以及空间中线线、线面、面面位置关系等基础题知识，其中解答中根据组合体的结构特征，求得正三棱锥的底面边长和三棱锥的高，利用体积公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.
3．已知集合 ，集合 ，则 等于（）．
A． B． C． D．
4．指数函数 （ ，且 ）在 上是减函数，则函数 在其定义域上的单调性为（ ）
A．单调递增B．单调递减
C．在 上递增，在 上递减D．在 上递减，在 上递增
5．已知函数 ，若 ，则a的取值范围是（）
A． B． C． D．
6．设函数 ，则函数的图像可能为（）
2．A
【解析】
【分析】
由函数零点存在性定理结合 、 ，即可得解.
【详解】
因为函数 在 上单调递增，
且 ， ，
所以函数 的零点所在的大致区间为 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了函数零点存在性定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
3．C
【解析】
【分析】
解不等式化简集合 ，再进行并集运算，即可得答案；
6．B
【解析】
【分析】
先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后再利用特殊值判断.
【详解】
由 ，即 ，
解得 ，
所以函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ，
所以 是偶函数，故排除AC，
又 ，故排除B
故选：D
【点睛】
本题主要考查函数图象的识别以及函数性质的应用，属于基础题.
7．A
【解析】
【分析】
求出圆心坐标和半径，利用 表示点 到1对应的点的距离，由这点到圆心的距离加减半径可得．
∴函数在 上有最小值 ，且 ，
又∵当 时， 时 ，函数在 上只有一个零点，
∴当 时，函数 的值域为 ，
由奇函数的图象关于原点对称得函数 在 的值域为 ，
∴对 ，都有 ，D对；
故选：BCD．
【点睛】
本题考查导数在函数求值域中的应用，考查函数的性质，考查函数的表示方法，属于中档题．
13．
【解析】
【分析】
对于 ： 定义域为 ，关于原点对称， ，所以 是偶函数，故 正确；
对于 ： ，定义域为 ， ，所以 是偶函数，故 正确；
故选：CD
【点睛】
本题主要考查了利用偶函数的定义判断函数的奇偶性，属于基础题.
10．ABD
【解析】
【分析】
运用不等式的性质以及正数大于负数判断.
【详解】
因为 ＜ 等价于 ，
当a＞b，ab＞0时， ＜ 成立，故B、D正确.
【详解】
设平面向量 、 的夹角为 ， ，则 ，
由平面向量数量的定义可得 .
故选：A.
【点睛】
本题考查利用平面向量的定义求解向量夹角的余弦值，考查计算能力，属于基础题.
9．CD
【解析】
【分析】
利用偶函数的定义逐一判断，即可得正确选项.
【详解】
对于 ： ，定义域为 ， ，所以 是奇函数，故 不正确；
对于 ： ，定义域为 ， ，且 所以 是非奇非偶函数，故 不正确；
【解析】
【分析】
根据同角三角函数中的商数关系式，结合正弦和角公式化简，并由正弦定理将角化为边，代入余弦定理即可表示出 ，再由基本不等式即可求得 的取值范围，进而结合同角三角函数关系式求得 的取值范围，即可求得 的最大值.
【详解】
在 中， ，
则 ，
通分化简可得 ，
由正弦和角公式可得 ，
所以 ，
由正弦定理代入可得 ，即 ，
18．（1） 或 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）作出函数 的图象，函数 恰有三个不相同的零点，即直线 与函数 的图象有三个不同的交点，由图象可得实数 的值；
（2）由 的图象可知，当 时， 有6个不同的零点，利用函数的奇偶性结合对称性得出 ，进而可得 的取值范围．
【详解】
（1）作出函数 的图象，如图，
【分析】
（1）根据题意可得 的对称轴为 ，零点为 ， ，设 ，由 即可求解.
（2）利用基本不等式即可求解.
【详解】
（1） ， ， 是 的两个零点，且 .
的对称轴为： ，可得 ， .
设
由 ，得 ，
所以
（2）∵ ，
当且仅当 ， 即时等号成立，
∴ 的最大值是 .
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.
设BC的中点为D，连结AD，过点P作PO 平面ABC，角AD于点O，则A0=PO=R=2，AD=3，AB=BC= ，由此能求出挖去的正三棱锥的体积，得到答案.