平面向量基本定理说课稿共48页文档
平面向量基本定理 说课稿 教案 教学设计
平面向量基本定理平面向量的正交分解及坐标表示整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点．平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示．这是引进平面向量基本定理的一个原因．在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解，因为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会给问题的研究带来方便．联系平面向量基本定理和向量的正交分解，由点在直角坐标系中的表示得到启发，要在平面直角坐标系中表示一个向量，最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a＝x i＋y j.于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，而有序数对(x，y)正好是向量a的终点的坐标，这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想．三维目标1．通过探究活动，能推导并理解平面向量基本定理．2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达．3．了解向量的夹角与垂直的概念，并能应用于平面向量的正交分解中，会把向量正交分解，会用坐标表示向量．重点难点教学重点：平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示．教学难点：平面向量基本定理的运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G ，可分解为使物体沿斜面下滑的力F 1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F 2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v ，可分解为沿水平方向的速度v cos α和沿竖直方向的速度v sin α.从这两个实例可以看出，把一个向量分解到两个不同的方向，特别是作正交分解，即在两个互相垂直的方向上进行分解，是解决问题的一种十分重要的手段．如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，那么a 与e 1、e 2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底，是否会给我们带来更方便的研究呢？思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理．教师可以通过对多个向量进行分解或者合成，在黑板上给出图象进行演示和讲解．如果条件允许，用多媒体教学，通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题①给定平面内任意两个不共线的非零向量e 1、e 2，请你作出向量3e 1＋2e 2、e 1－2e 2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1＋λ2e 2的向量表示呢？②如图1，设e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究a 与e 1、e 2之间的关系．图1活动：如图1，在平面内任取一点O ，作OA →＝e 1，OB →＝e 2，OC →＝a .过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N .由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM →＝λ1e 1，ON →＝λ2e 2.由于OC →＝OM →＋ON →，所以a ＝λ1e 1＋λ2e 2.也就是说，任一向量a 都可以表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式．由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来．当e 1、e 2确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，这为我们研究问题带来极大的方便．由此可得：平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.定理说明：(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一．讨论结果：①可以．②a ＝λ1e 1＋λ2e 2.提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？ ②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？活动：引导学生结合向量的定义和性质，思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的，结合图形来总结规律．教师通过提问来了解学生总结的情况，对回答正确的学生进行表扬，对回答不全面的学生给予提示和鼓励．然后教师给出总结性的结论：不共线向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：已知两个非零向量a 和b (如图2)，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角．图2显然，当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向．因此，两非零向量的夹角在区间[0°，180°]内．如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量λ1a 1和λ2a 2，使a ＝λ1a 1＋λ2a 2.在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．例如，重力G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形．在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便．讨论结果：①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°，180°]内；向量与直线的夹角不一样．②可以．提出问题①我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？②在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的？活动：如图3，在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x 、y ，使得图3a ＝x i ＋y j . ①这样，平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )． ②其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示．显然，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)．教师应引导学生特别注意以下几点：(1)向量a 与有序实数对(x ，y )一一对应．(2)向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．如图所示，A 1B 1→是表示a 的有向线段，A 1、B 1的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则向量a 的坐标为x ＝x 2－x 1，y ＝y 2－y 1，即a 的坐标为(x 2－x 1，y 2－y 1)．(3)为简化处理问题的过程，把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点，这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了，即点A 的坐标就是向量a 的坐标，流程表示如下： a ＝x i ＋y j ⇔a 的坐标为(x ，y )⇔a ＝OA →，A (x ，y )讨论结果：①平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )．②是一一对应的．应用示例思路1例1如图4，在ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H 、M 是AD 、DC 的中点，F 使BF ＝13BC ，以a ，b 为基底分解向量AM →与HF →.图4活动：教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解，让学生自己动手、动脑．教师可以让学生到黑板上板书步骤，并对书写认真且正确的同学提出表扬，对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励．解：由H 、M 、F 所在位置，有AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a . HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－AH →＝AB →＋13BC →－12AD → ＝AB →＋13AD →－12AD →＝a －16b . 点评：以a 、b 为基底分解向量AM →与HF →，实为用a 与b 表示向量AM →与HF →.变式训练已知向量e 1、e 2(如图5(1))，求作向量－2.5e 1＋3e 2.图5作法：(1)如图5(2)，任取一点O ，作OA →＝－2.5e 1，OB →＝3e 2.(2)作OACB .故OC →就是求作的向量.图6活动：本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ，其关键是把a 、b 、c 、d 表示为基底i 、j 的线性组合．一种方法是把a 正交分解，看a 在x 轴、y 轴上的分向量的大小．把向量a 用i 、j 表示出来，进而得到向量a 的坐标．另一种方法是把向量a 移到坐标原点，则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标．同样的方法，可以得到向量b 、c 、d 的坐标．另外，本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系：a 与b 关于y 轴对称，a 与c 关于坐标原点中心对称，a 与d 关于x 轴对称等．由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标．解：由图可知，a ＝AA 1→＋AA 2→＝x i ＋y j ，∴a ＝(2,3)．同理，b ＝－2i ＋3j ＝(－2,3)；c ＝－2i －3j ＝(－2，－3)；个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③活动：这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解，教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵．让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底．解析：平面内向量的基底是不唯一的．在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；而零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可作为基底中的向量．综上所述，②③正确．答案：B点评：本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解．思路2例1如图7，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →.图7活动：平面向量基本定理是平面向量的重要定理，它是解决平面向量计算问题的重要工具．由平面向量基本定理，可得到下面两个推论：推论1：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数λ1、λ2，使得λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0.推论2：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数a 1，a 2，b 1，b 2，使得a＝a 1e 1＋a 2e 2＝b 1e 1＋b 2e 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1，a 2＝b 2. 解：∵AM →＝AN →＋NM →，BM →＝BN →＋NM →，∴由AM →＋2BM →＋3CM →＝0，得(AN →＋NM →)＋2(BN →＋NM →)＋3CM →＝0.∴AN →＋3NM →＋2BN →＋3CM →＝0.又∵A 、N 、B 三点共线，C 、M 、N 三点共线，由平行向量基本定理，设AN →＝λBN →，CM →＝μNM →，∴λBN →＋3NM →＋2BN →＋3μNM →＝0.∴(λ＋2)BN →＋(3＋3μ)NM →＝0.由于BN →和NM →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋2＝0，3＋3μ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1. ∴CM →＝－NM →＝MN →.∴CN →＝CM →＋MN →＝2CM →＝2a .点评：这里选取BN →，NM →作为基底，运用化归思想，把问题归结为λ1e 1＋λ2e 2＝0的形式来解决.例2如图8，△ABC 中，AD 为△ABC 边上的中线且AE ＝2EC ，求AG GD 及BG GE的值．图8以明了本题的真正用意，怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后，然后结合向量的相等进行求解比值．又∵AG ＝λGD ＝λ(AD －AG )，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →. ① 又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)，∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →. 又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →. ② 比较①②，∵AB →、AC →不共线，∴⎩⎨⎧λ2(1＋λ)＝11＋μ，λ2(1＋λ)＝2μ3(1＋μ).解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32. 点评：本例中，构造向量在同一基底下的两种不同表达形式，利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组，从而进一步求得结果.1．已知G 为△ABC 的重心，设AB ＝a ，AC ＝b ，试用a 、b 表示向量AG .答案：如图9，AG →＝23AD →，图9而AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ， ∴AG →＝23AD →＝23(12a ＋12b )＝13a ＋13b . 点评：利用向量加法、减法及数乘的几何意义．2．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3,2)，求x .答案：∵A (1,2)，B (3,2)，∴AB →＝(2,0)．∵a ＝AB →，∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，x ＝－1或x ＝4. ∴x ＝－1.点评：先将向量AB →用坐标表示出来，然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决．课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，向量的夹角与垂直的定义，平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法、定义法、归纳与类比、数形结合、几何作图．作业。
高中数学人教A版(2019)必修第二册 6.3.1平面向量基本定理说课稿
高中数学人教A版（2019）必修第二册6.3.1平面向量基本定理说课稿一、教材分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修2第六章《平面向量及其应用》第三节《平面向量基本定理及其坐标表示》第一课时。
本节首先由向量的概念和运算得出平面向量基本定理.平面向量基本定理是平面向量中的重要内容.此定理表明平面内的任一向量可以由同一平面内的两个取定的不共线向量表示，而且表示式是唯一的.因而向量的运算可以归结为两个取定的不共线向量的运算，这为利用向量运算解决问题带来了方便.由此定理还可引出向量的坐标的概念，进而引出向量运算的坐标表示。
1.平面向量基本定理平面向量基本定理告诉我们，同一平面内任一向量都可表示为两个取定的不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的起点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一个点都可以通过取定的两个不共线的向量得到表示。
也就是说，平面内的任意一个点可以由平面内的一个点及两个取定的不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因，下面对其中的思想作一概述.用向量表示几何元素是容易的，并且很直接.选一个定点，那么，任何一个点都可以用一个向量来表示.对于一条直线l，如果我们的兴趣只在于它的方向，那么用一个与l平行的非零向量图片就行了；如果想确定这条直线的位置，则还要在l上任选一点。
这样，一个点A，一个向量图片就在原则上确定了直线l，这是对直线的一种定性刻画。
如果想具体地表示l上的每一个点，我们需要实数k和向量图片的乘法图片.这时，l上的任意一点X都可以通过点A和某个图片来表示（图6-17）.希望在“实际”上控制直线l，可以看作是引入图片的一个原因.再来看平面.两条相交直线确定一个平面 a.一个定点，两个不共线的向量便“原则”上确定了平面α，这是对平面的一种定性刻画.但在讨论几何问题时，常常涉及平面α上的某一点X，为了具体地表示它，我们需要引进向量的加法.这时，平面α上的点X就可以表示为（相对于定点A），这样点X 就成为可操作的对象了（图6-18）.在解决几何问题时，这种表示能发挥很重要的作用.虽然向量的加法、数乘运算有非常坚实的物理背景，但当我们舍弃了这种背景而只从纯粹数学的角度来看问题的话，上述考虑可使我们看到引进相应的向量运算的理由，这可以使我们更容易接受并喜爱向量运算。
平面向量的基本定理及坐标表示-说课稿
平面向量的基本定理及坐标表示说课稿第一课时各位评委、各位老师，大家好。
我是....今天，我说课的内容是：人教A版必修四第二章第三节《平面向量的基本定理及坐标表示》第一课时，下面，我将从教材分析、教法分析、学法指导、教学过程以及设计说明五个方面来阐述一下我对本节课的设计。
一、教材分析：1、教材的地位和作用：向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。
本课时内容包含“平面向量基本定理”和“平面向量的正交分解及坐标表示”.此前的教学内容由实际问题引入向量概念，研究了向量的线性运算，集中反映了向量的几何特征,而本课时之后的内容主要是研究向量的坐标运算，更多的是向量的代数形态。
平面向量基本定理是坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位.2、教学目标：根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下三个方面来确定本节课的教学目标。
（1）知识与技能了解向量夹角的概念，了解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
（2）过程与方法通过对平面向量基本定理的探究，以及平面向量坐标建立的过程，让学生体验数学定理的产生、形成过程，体验由一般到特殊、类比以及数形结合的数学思想，从而实现向量的“量化”表示。
（3）情感、态度与价值观引导学生从生活中挖掘数学内容，培养学生的发现意识和应用意识，提高学习数学的兴趣，感受数学的魅力。
3、教学重点和难点：根据教材特点及教学目标的要求，我将教学重点确定为———平面向量基本定理的探究，以及平面向量的坐标表示教学难点：对平面向量基本定理的理解及其应用二、教法分析：针对本节课的教学目标和学生的实际情况，根据“先学后教，以学定教”原则，本节课采用由“自学—探究—点拨—建构—拓展”五个环节构成的诱导式学案导学方法。
三、学法指导教学矛盾的主要方面是学生的学。
6.3.1平面向量基本定理说课稿-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.3.1 平面向量基本定理教材介绍：本节课取自人教A版（新课标）高中必修第二册第六章平面向量及其应用 6.3.1平面向量基本定理下面我将从以下6个方面阐述我对本节课的设想和实践：1.教学背景分析2.教学目标确定3.教学重点难点4.教学过程设计5.教学结果评价6.教学设计特色一．教学背景分析1.本节课教学内容的功能和地位：（1）从知识结构上来讲：平面向量基本定理在第六章的平面向量及其应用中起着承上启下的作用，揭示了平面向量的基本关系，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，为后续平面向量的应用奠定基础。
（2）从解决问题的思想方法角度来看：向量在高中数学中具有重要地位，是解决空间立体几何和三角函数问题的一种常用工具。
探究平面向量基本定理向量，可以帮助学生在平面向量基本概念的基础上，进一步体会转化思想。
2.学生情况分析（1）学生认知基础：学生在前面已经掌握了向量的基本概念和基本运算，特别是向量线性运算和向量共线的充要条件都为学生学习本节内容提供了知识准备；学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成和力的分解，同时作图习惯已经养成，这为我们学习向量分解提供了充分的认知准备。
（2）学生认知困难：由于转化思想在向量中应用较少，学生很难做到灵活应用。
3.本节课教学设计的出发点基于物理学科中力的合成与分解等相关知识来探究平面向量基本定理，符合学生的认知规律，同时通过图形展示，数形结合的方式直观呈现使抽象概念和定理更容易被学生接受，综合上述分析我将本节课的教学目标确立为以下三个：二．教学目标确定1.知识与技能目标：了解平面向量基本定理的条件和结论，会用它来表示平面上的任一向量，为向量坐标化奠定基础，同时培养学生发现规律、归纳概括的能力和自主探索的能力。
2.过程与方法目标：通过交流合作小组探究等学习方式，借助数学语言和工具关注平面向量基本定理的产生、形成过程，体验定理所蕴涵的数学思想方法。
平面向量的基本定理(说课稿)
平面向量的基本定理（说课稿）尊敬的各位评委老师，大家上午好！今天我说课的内容选自普通高中课程标准实验教科书《数学（必修四）》第二章第三节第二课时——平面向量的基本定理。
下面，我将从以下七个方面介绍我对本节课的教学设想：一、说教材；二、说学情；三、说教法及依据；四、说学法及依据；五、说教学过程；六、说板书设计；七、说教学反思。
一、说教材1、教材的地位和作用向量是近代数学中重要而又基本的数学概念，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它有着极其丰富的实际背景，又有着广泛的实际应用，具有很高的教育价值。
而平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进一步研究向量问题的基础；是进行向量运算的基本工具，是解决向量或利用向量解决问题的基本手段。
并且平面向量基本定理蕴涵了一种十分重要的数学思想——转化思想，具有十分广阔的应用空间。
2、教学目标的确定根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，我制定了以下的三维教学目标：知识与技能目标：了解平面向量基本定理的条件和结论，会用它来表示平面上的任一向量，为向量坐标化打下基础。
过程与方法目标：通过对平面向量基本定理的学习过程，让学生体验数学定理的产生、形成过程，体验定理所蕴涵的数学思想方法。
情感态度与价值观目标：通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一3、教学的重点和难点掌握了平面向量基本定理，可以使向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题就转化为学生熟知的数量运算，所以我认为对平面向量基本定理的应用是本节课的重点。
另外对向量基本定理的理解这一点对于初学者来说有一定难度，所以是本节的难点。
突破难点的关键是在充分理解平行向量的基本定理和向量的平行四边形法则，通过多方位多角度的设计有关训练题从而加深对定理的理解。
所以，我把本节课的教学重点和难点设置如下：重点：平面向量基本定理的应用难点：平面向量基本定理的理解二、说学情前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，学生对向量的物理背景有了初步的了解,如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备。
平面向量的基本定理(精品说课稿)
尊敬的各位评委各位老师：大家好，我是高中数学组号考生，今天我说课的题目是《平面向量的基本定理》。
下面我将从说教材、说学情、说教学目标、说教学过程等几个方面来展开我的说课。
首先来说说教材。
本课是北师大版高中数学必修四第二章第6节课内容，向量是沟通代数和几何的桥梁，为研究几何问题提供了新的工具和方法，同时对更新和完善中学数学知识结构起着重要作用。
向量集数、形于一身，有着极其丰富的实际背景。
平面向量基本定理是共线向量基本定理的一个推广，平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进一步研究向量问题的基础；是进行向量运算的基本工具，是解决向量或利用向量解决问题的基本手段。
分析完了教材，再来说说学情。
高二年级的学生，在此之前学生已学习了向量的概念、向量的加减法、数乘向量，都为此节课做了充分的准备，由于我们的学生认识问题还不够深入，其思维能力和判断分析能力尚在培养形成之中。
鉴于此种情况，教师要充分利用他们的兴趣引导学生进入特定的教学意境，如何理解平面向量的基本定理，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个生长点。
基于以上教材地位、学情特点以及新课标的要求，我确定了以下三维教学目标：1、了解平面向量基本定理的条件和结论，会用它来表示平面上的任一向量，为向量坐标化打下基础，这是本课教学的重点。
2、通过对平面向量基本定理的学习过程，体验数学定理的产生、形成过程，体验定理所蕴涵的数学思想方法，使学生的思维能力得到训练，而对向量基本定理的理解也是本课教学的难点。
3、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。
培养学生认识客观事物的数学本质的能力，意识到数学源于生活。
数学课程标准倡导“合作、自主、探究”的学习方法，教学过程应重视学生的实践活动，引导学生主动地获取知识，全面提高学生的数学素养。
231《平面向量基本定理》说课稿
2、3、1 《平面向量基本定理》说课稿高三数学今天,我说课的内容就是:人教版全日制普通高级中学教科书第一册(下)、第二章第二节《平面向量的基本定理》第一课时,我将从教材分析、学情分析、教法分析、教学过程以及教学评价五个方面来阐述一下我对本节课的设计一、说教材1、关于教材地位及作用向量就是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景。
本课时内容包含“平面向量基本定理”与“平面向量的正交分解及坐标表示”、此前的教学内容由实际问题引入向量概念,研究了向量的线性运算,集中反映了向量的几何特征,而本课时之后的内容主要就是研究向量的坐标运算,更多的就是向量的代数形态。
平面向量基本定理就是坐标表示的基础,坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系,这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,也决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位、2、关于教学目标的确定与分析根据教学内容的特点,依据新课程标准的具体要求,我从以下三个方面来确定本节课的教学目标。
(1)知识与技能:①了解平面向量基本定理及其意义,会做出由一组基地所表示的向量②会把任意向量表示为一组基地的线性组合。
掌握线段中点的向量表达式(2)过程与方法:通过平面向量基本定理的得出过程,体会由特殊到一般的思维方法,培养学生的归纳总结能力;体验用基底表示平面内任一向量的方法、(3)情感态度与价值观:引导学生从生活中挖掘数学内容,培养学生的发现意识与应用意识,提高学习数学的兴趣,感受数学的魅力那么为了实现以上的教学目标在教学中要注意把握一下几点1、了解平面向量基本定理的条件与结论,会用它来表示平面内的任意向量,为向量坐标化打下基础,2、通过对平面向量基本定理的归纳,抽象、概况,体验定理的产生与形成过程,提高学生抽象的能力与概括的3、通过对定理的应用增强向量的应用意识,进一步体会向量就是处理几何问题的强有力的工具。
3、重点与难点的分析根据教材特点及教学目标的要求及学生的认知规律,我认为本节课的本节课的重点亦就是本节课的难点。
平面向量的基本定理理说课成稿
教材分析： （一）教材地位分析平面向量基本定理研究的是平面内任意两个不共线向量的线性组合表示，是用坐标表示平面的向量的理论基础，是对平面内任一向量进行分解的重要依据。
具有承上启下的作用，对于今后进一步学习向量和利用向量解决实际问题具有重要作用（二）教学目标分析1．知识目标：了解平面向量基本定理及其意义，掌握平面内任何一个向量都可以用不共线的两个向量表示，能够在具体问题中选取基底，使其他向量都能用基底来表示 。
2．能力目标：培养学生观察、抽象概括，合作交流能力；培养学生的归纳总结能力，体会 “特殊-一般-特殊” 的思想方法。
3．德育目标：培养学生独立思考及勇于探求、敢于创新的精神、培养自主学习的意识； （三）重点、难点分析重点：．平面向量基本定理难点：平面向量基本定理的理解及其应用突破难点的几项措施：1.创设恰当的问题情境，激发学生的学习兴趣；2.通过小组合作讨论分析，弄清平面向量基本定理的探究形成过程3.通过归纳分析，明确平面向量基本定理的本质4．借助多媒体教学，动漫展示定理中实数1a ,2a 的一般性。
二、教法分析本节课采用引导发现法，并且使用“精导自主，互动训练”的教学模式实施教学，通过教师精导，学生自主、合作完成教学目标，充分体现学生的主体地位和教师的主导作用。
引导发现法更重视学生的参与，有利于教师及时发现学生学习过程中存在的问题，便于教师及时调整教学策略，从而让学生在自主探索建构知识体系的过程中深化对知识的理解，实现以学定教、分层教学，渗透数形结合和转化的数学思想,把课堂变为学堂。
三、学法指导学情分析：前几节课已经学习了向量的线性运算，向量共线的条件，学生对向量的物理背景有了初步的了解，都为学习本节课做了充分准备。
学法指导：教师平等的参与学生的自主探究活动，通过启发、引导、激励来体现教师的主导作用，根据学生的认知情况和情感发展来调整整个学习活动的梯度和层次，引导学生全员全过程参与，保证学生的认知水平和情感体验分层次向前推进。
平面向量基本定理的说课稿
“平面向量基本定理”的说课稿江苏省常州市第五中学 张志勇一、教材内容分析1、教材地位向量具有数形二重性，是数学中解决几何问题的工具，可以使复杂问题简单化、直观化，使代数问题几何化、几何问题代数化。
而平面向量基本定理是把几何问题向量化的理论基础，它说明了同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，它在本章中的理论意义主要是引出向量的坐标表示，在今后学习空间向量时还要推广为空间向量基本定理，是引出空间向量用三维坐标表示的基础。
因此该定理应是本章中的核心内容，它的理论意义远远大于它在解题中的作用。
值得注意的是，向量中有三个重要定理，教学中要注意它们的比较联系及相应的层次性一维空间：向量共线定理二维空间：平面向量基本定理三维空间：空间向量基本定理其中向量共线定理与平面向量基本定理是特殊与一般的关系，但课本中对这两个定理的表述方式有所不同，在教学中如果进行适当的补充和深化（如下表所示），可以使这两个定理的意义和层次性更加清晰。
与非零向量a 共线的充要条且只有一个实数不共线，则向量p 与向量要条件是存在实数对。
(深化后的形式，选自选修)2、教学目标(1)、知识与技能：了解平面向量的基本定理，会把任一向量表示为一组基底的线性组合，初步利用定理解决问题（如相交线交成线段比的问题等）。
(2)、过程与方法：在操作实践中归纳猜想得出定理，在与共线定理的比较中加强纵向联系。
(3)、情感、态度与价值观：培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的全过程，改善数学学习信念。
3 重点、难点本课的重点是平面向量基本定理，这也是本节课的难点。
解决这一难点的关键是在充分理解向量加法的平行四边形法则和向量共线的充要条件的基础上，分层次设计探究问题，让学生在操作实践中加深对该定理的理解；同时以例题的形式拓展学生的思路。
二、教法分析对“定理”的理解：（1）、实数对()12,k k 的存在性和惟一性：平面内任一向量a 均可用给定的一组基底,a b 线性表示成1122a k e k e =+，且这种表示是惟一的，其几何意义是任一向量都可沿两个不平行的方向分解为两个向量的和，且分解是惟一的。
《平面向量基本定理》的说课稿
/平面向量基本定理0的说课稿吕俊平(湖北省阳新县高级中学435200)1关于教学内容的解析本节课主要内容是平面向量基本定理及其应用,学生在前面已经掌握了向量的基本概念、向量的加减运算法、实数与向量的积、向量共线充要条件,这些都是学习本节内容的基础知识,本节课内容是教材第5章中最重要的内容之一.向量具有数和形的两种特征,是数学中解决几何问题的工具,可以使复杂问题简单化、直观化,使代数问题几何化、几何问题代数化,解决起来更加简捷;而平面向量基本定理是把几何问题向量化的理论基础,这一定理说明了同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合.定理本身蕴涵着严谨、条理的数学思维方式,通过合理引导,可以培养学生良好的个性心理品质和较高的数学素养.本节课的重点是平面向量基本定理,也是本节课的难点.突破难点的关键是在充分理解向量加法的平行四边形法则和向量共线的充要条件的基础上,多方位、多角度设计有关训练题,从而加深对该定理的理解.2关于教学目标的确定通过本节课的教学,应达到如下目标:知识目标:了解平面向量的基本定理,会作出由给定的一组基底所表示的向量,会把任一向量表示为一组基底的线性组合.能力目标:着重培养学生获取知识的能力.德育目标:培养学生勇于探索、勇于创新的精神,是本节课深层次的目标.3关于教学程序的设计3.1复习铺垫,创设情景首先,复习向量共线的充要条件、向量加法的平图3图42巧设问题,适当推广教师在课堂上巧妙设置问题,让学生对课本中的一些结论作适当的推广,既能使之吃透课本,又可培养他们主动探究的学习习惯.如:试说明菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半(华东师大版八年级上册第105页练习2).笔者教学时先在黑板上给出已知对角线具体长度的菱形,再用字母代替对角线的长,让学生用对角线表示菱形的面积获得结论.在这个过程中学生也掌握了菱形面积公式的推导,但就此打住未免显得有些浅尝辄止.于是我趁热打铁,让学生继续探究:还有哪些四边形的面积等于它的两条对角线长的积的一半?学生分组讨论后大部分小组得出以下两个结论:正方形的面积等于它的两条对角线长的积的一半;对角线互相垂直的等腰梯形的面积等于它的两条对角线长的积的一半.也有少数学生给出了完整的归纳:对角线互相垂直的四边形的面积等于它的两条对角线长的积的一半.巧设问题,放手给学生发挥,既能让他们学以致用,巩固课本要求掌握的内容,也能让学生的思维获得进一步的拓展和提升.教师引导学生对课本例题或习题的解法作深入探究、对课本的一些结论进行适当的推广,以养成从不同角度思考问题的习惯,这有助于发散思维的培养.多问几个/为什么0亦可增强学生的探究精神和批判精神.要特别强调的是,教师帮助学生对已探究的问题作归纳、总结是/以学生为主体,教师为主导0的教学模式中必不可少的一个环节.且探究和推广要适度,必须建立在学生已有的认知水平之上.(收稿日期:2007-09-25) 20数学教学研究2007年第12期行四边形法则,为新课的学习做好准备,并出示思考题:K 1a 与a 的关系,K 2b 与b 的关系,K 1a +K 2b 与a ,b 的关系各是怎样的?对平面向量基本定理的理解是个难点,这样做可分散难点,有利于后面的教学.其次,创设/最近发展区0,调动学生已有的知识和认识经验,由平行四边形法则在力的分解中的应用导入向量的分解,从而进入定理的推导.¹(学生完成作图)如图1,小船在力F 的作用下前行,作出纤夫甲、乙所用的力F 1,F 2.º(师生共同作图)作出向量a 在e 1,e 2方向的分向量,如图2.使用几何画板教学软件,既可以展示作图的过程,也可以展示任意向量a 都可分解成两个与e 1,e 2共线向量的和,从而更有利于学生观察、理解、总结平面向量基本定理.图1 图2图33.2 导出定理,深入理解启发学生观察OA 与e 1,OB 与e 2的关系,如图3,由向量共线的充要条件得出,存在K 1,K 2使得=K 1e 1,=K 2e 2,从而得出a =K 1e 1+K 2e 2.于是引出平面向量基本定理:如果e 1,e 2是同一平面内两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数K 1,K 2,使a =K 1e 1+K 2e 2.我们把不共线的向量e 1,e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.板书时以不同的语气、语速重复定理,读出个人的语言特色,以引起学生的注意,促使学生自动感知定理中的重点词句,剖析定理的实质:任意性(向量a 是平面内的任一向量);存在性(任何一个向量都可以表示成向量e 1与e 2的一个线性组合);唯一性(在给定基底的前提下这个线性组合是唯一的,即实数K 1和K 2唯一确定).加深学生对定理的理解,让学生自读定理,记忆定理.通过以下2个练习,加强学生对基底的认识,深入理解定理.练习1 下列说法正确的是( ).(A )一个平面内只有一对不共线的向量可以作为表示该平面所有向量的基底(B)一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底(C)零向量不可作为基底中的向量.练习2 设O 是平行四边形ABCD 的两对角线交点,且有下列向量组:(A )AB 与AD (B)DA 与BC (C)CA 与DC (D)OD 与OB.其中可作为这个平行四边形所在平面的基底的是( ).3.3 运用定理,解决问题1)教师出示自学提纲,学生阅读教材例题.¹例3中运用了向量哪些有关概念、运算以及哪些几何作图知识?º例4中运用了平行四边形哪些性质以及向量的哪些运算?»例5中运用了向量的哪些运算?例题中的条件AP =tAB (t I R )表示3点A,B,P 有怎样的关系?若该条件换成AB =K BP,你能用OA,OP 表示OB 吗?2)针对出示问题作答,师生共同解析例题.3)学生借鉴尝试练习,教师矫正评价归纳.图4练习3 如图4,已知向量e 1,e 2,求作向量-1.5e 1+2e 2.说明 通过本题归结出求作向量K 1e 1+K 2e 2的一般步骤:先根据已知条件及向量数乘的定义作出向量K 1e 1和K 2e 2;再根据向量加法的平行四边形法则,作出向量K 1e 1+K 2e 2.图5练习4 如图5,平行四边形的两条对角线相交于点M,又M E =DE,M F =13M C,且=a ,=b ,用a ,b 表示拓展 将所求AE,AF 删掉,变更图形,抹去AE,直接求EF.说明 该题比教材中例4复杂些,它是平面向量基本定理应用的基本模式,有利于学生深入理解定理中的/任意性0,并进一步掌握给定基底后如何表示其他向量的方法)))/走路法0,比如表示EF212007年第12期 数学教学研究一堂/推理与证明0的探究课丁益民(江苏省泰州市民兴实验中学 225300)新课程标准提出:学生的数学学习应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式,发挥出学生学习的主动性,使学生的学习过程成为在教师引导下的/再创造0过程.教师应充分做好课堂活动引导者的角色,引导学生进行/提出问题)解决问题0教学活动的探究.笔者在讲苏教版选修2-2/推理与证明0时上了一节课,感受颇多写下拙文.1 教学预想构想通过如下一道例题的教学,将直接证明的若干方法渗透其中,安排了消元法,构造函数法、方程根法等多种方法.准备题:已知a +b +c =1,a 2+b 2+c 2=1,求证-13<c [1.2 教学变化上课抄题时,突来想法,把事先准备好的题目改成了如下的开放题:已知a +b +c =1(1),a 2+b 2+c 2=1(2),你有哪些结论呢?问题一提出,同学讨论开了,有些学生找不着探究方向,有些学生得到了一些简单的结论却放弃了.就是研究如何由E 点走到F 点,这样的路径很多,我们当然要选择最佳路径.练习5 已知向量OA,OB 不共线,OP =(1-t)OA +tOB (t I R ),求证:P,A,B 三点共线.说明 本题是教材例5的变式,可以培养学生的逆向思维.解决此题的关键是将某一向量所表示成两个不共线向量的线性组合式变形为两向量共线的条件形式.3.4 课尾小结,布置作业小结 本节课主要讲授了平面向量基本定理,同学们要领会运用该定理的关键是掌握向量加法的平行四边形法则和向量共线的充要条件.作业 A 组:教材第109页第1,2题,第110页第5,6,7题.B 组:¹四边形ABCD 的两条对角线相交于点M,且M A +MC =0,MB +MD =0.求证:四边形ABCD 图6是平行四边形.º已知向量OA,OB 不共线,OP =K OA +L OB (K ,L I R ).求证:P,A,B 三点共线的充要条件是K +L =1.»如图6,OC 是v ABO 的中线,PQ 交OC 与G 点,且OG =23OC.已知OP =m OA,OQ =n OB,则1/m +1/n 的值为( ).(A )1/3 (B)3/2 (C)2/3 (D )3.4 教学方法的选择从平面向量基本定理的导出到定理的运用,所采用的教学方法是引导发现法和尝试指导法,这种教学方法符合以下教育过程的规律:1)间接经验与直接经验相结合的规律.为了构建知识的探究过程,从相关学科中创设情景,抓住学生的数学直觉,引导学生类比、联想物理学中力的分解知识,并同化和顺应到以共线向量为基础,通过把一个向量在其他两个向量上的分解,让学生领悟该定理的本质.2)教师主导作用与学生主体作用相结合的规律.数学教学是数学活动的教学,/问题是数学的心脏0.通过精心设计问题,深化学生对定理的理解;通过引导学生自学,使学生学会自己探索知识,发现结论,逐步掌握自己主动获取知识的本领.3)掌握知识与发展智力相统一的规律.数学学习是一种复杂的心智活动,课堂教学既要面向全体学生,又要注意学生的个体差异,课堂上做到练有层次,布置课外作业,既有巩固知识的基础题,也有训练能力的思考题,遵循分层教学和因材施教的教学原则.(收稿日期:2007-10-07)22数学教学研究 2007年第12期。