平面向量基本定理.ppt课件

三.平面向量的坐标表示
(1)如图|， i|| j若 |1，以i、 向 j为量 基
底表示 a. 向量 y
a 2i 3j 即 ： a （2,3） 4
C
结论：
3
以 原 点O为 起 点 的
2a
1
向 量OC的 坐 标 与C点的 j
x
坐 标 相 等 .
O i1 2 3 4
三.平面向量的坐标表示
(1)如图|， i|| j若 |1，以i、 向 j为量 基
O
e2 B
N
C 显然a： OM ON
根据向量共线的 , 存 条在 件唯一的一
实数1，2，使得O： M1e1,ON2e2, 故a1e1 2e2 .
M
e1 A a
C
O
e2 B
N
想一想：
确定一对不共线向 e1，e量2 后， 是否平面内任意一量个都向可以用
1e1 2e2来表示？ 呢
2.3 平面向量基本定理 及坐标表示（一）
复习引入
向量共线定理
rr r r
向 量 a ( a 0 ) 与 b 共 线 , 当 且 仅 当 有 唯 一 一 个
实 数 ， 使 b r= a r. rr 即 a与 b共 线
r rr r
b a (a 0)
练 习 . 如图平 ，行四边A形 BC两 D 条对角线 相交点 M且ACa, BDb, 用a, b表示 AB, BC.
5 b
a
2 j 4 2 O i 2 c 2
5
4x
d
课堂小结
1. 平面向量基本定理； 2.2. 平面向量的坐标的概念.
练习：
如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB= 2DC,M,N 分别是DC,AB的中点.
请大家动手, 在图中确定一组
DM C
基底，将其他向
量用这组基底表
注意：
1.基底不共线也不唯一，任意两个不共线的 向量均可作基底．
2.给定基底后，任意一个向量的表示是 唯一的．
3.把一个向量分解为两个互相垂直的向量， 叫作把向量正交分解.
定理的应用：
例 1 . 如图 已， 知e1、 向 e2,量 求作a 向 ， 使 a 2e13e2.
e1
2e1
a
讨论：
1当 ar与 eur1或 euur2共 线 时 ， 可 令
1或 2为 0即 可 使 结 论 成 立.
a
e1
e2
e1
a
e2
讨论：
⑵ 改变a的位置如下图两种情
况时怎 ，样构造平行四 ？边形
C
M
a e 1
N
B
'

e2
O
e
2
e1
O
e2
e1
a
A'
M
C
N
讨论：
⑶ 继续旋a的 转位置，如下图
求 证 ： A,B,D三 点 共 线 。
u u u ru u u r
u u u r u u u u r
例 3 .如 图 ,O A 、 O B不 共 线 ,且 A P tA B
u u u r u u u r u u u r
(t R ), 用 O A ,O B表 示 O P.
P
B
O
A
二.向量的夹角:
e2 3e2
u 例 AuB u r2=.3 ｅ uu １ r设 -ｅ 2 uｅ u １ u r， u ｅ 2 u r, u2 ru B 是 uC u r平 =4ｅ 面 uu １ r内 +ｅ u的 u2 r,u C 一 uD u r组 =8 基 ｅ uu １ r底 -9 ， ｅ uu2 r如 ,果
C C'
120 0
60
A
B
三.平面向量的坐标表示
在 平 面 坐 标 系 内 ，分我别们取 与 x轴 、 y轴方向相等的两个向单量位 i 、j作为基 底 ， 由 平 面 向 量 基理本可定知 ， 对 任 一 向 量a， 有 且 只 有 一 对x实 、y数使 得 a xi y j.
我们把 (x, y)叫做向a量的直角坐,标 记作a(x，y). 其中x叫做a在x轴上的 坐标x, y叫做a在y轴上的坐,a标(x, y) 叫做向a量的坐标表. 示
又该如何构成平形行 ？四边
N
e2
a
e1
e1
O
e2
M
M
a e 1 a
O
e2
N
一.平面向量基本定理：
如果e1, e2是同一平面内两个不
共线的向量，那么对这一平面内任
意一个向量a, 有且只有一对实数
1,
2
,
使
a

1
e1

2
e2
.
其中e1，e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一基组底 .
注：
1 、把 a=x i+y j 称为向量的基底形式.
2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式.
3、 a=x i+y j =( x , y)
4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标. 单位向量 i =（1，0），j =（0，1）
D
C
M
A
B
思考:
(1)给定平面内两个向量 e1 , e2 , 请你作出 (2)向量3e12e2, e12e2.
(2) 同一平面内的任一向量是否都可以用
形如 1e1 2e2 的线性表示？
探究：
观察如图三个不
共线向量 e1 、a 、e2 , 它 们之间会有怎样的关 系呢？
e1
a
e2Me1 ຫໍສະໝຸດ a底表示 a. 向量 y
B
a 2i 3j 即 ： a （2,3） 4
C
(2) 如图，平面内有A、B两 3
点，能否用坐标来表示向2 a
量AB 呢？
1
j
ABOBOA （4i 4j）(2i 1j)
O i1
Ax 234
(42)i (41)j 2i 3j 即： AB（2,3）
如图， a与AB相等，其中
示出来。
A
N
B
课后作业
《基础训练》24
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a (3，3), AB (3，3). 由此可
见, 相等向量的坐标相等 . y
B
4
C
3
结论：
一个向量的坐标等于
2a
1
表示此向量的有向线段的 j
Ax
终点坐标减去起点坐标。 O i 1 2 3 4
应用：

例b、 5.c如 、d,图 并， 求用 出 i，j基 它 分底 别 y
表
示 a、向
们 的 坐 . 标
已知两个非零向量 a、b , 作OAa,
OBb, 记AOB, 叫向量 a、b的
夹角.
当0o, a、b同向 ;
当180o, a、b反向 ;
当 90o, a与 b垂,记 直a作 b.
向 量 夹 角 范 围 ： 0o， 180o
例2.在等边三角形中，求 (1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。