2.3.1平面向量基本定理 优秀课件
高一数学人教A版必修4课件：2.3.1 平面向量基本定理
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解 决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向 量向基底化归，使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹 角为 π－∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
新人教版数学必修4同步课件：平面向量基本定理
(方法 2)因为������������ = ������������ + ������������,
而������������
=
1 2
������������
=
1 2
(������������
−
������������ ),
所以������������
=
������������
+
1 2
(������������
分析根据平面向量基本定理,结合向量的线性运算进行求解.
解(1)(方法 1)如图,因为������������ = ������������ + ������������, ������������ = ������������ + ������������, 所以 2������������ = ������������ + ������������ + ������������ + ������������.
的其他向量的基底的是( )
A.①②
B.①③
C.①④ D.③④
解析∵������������ 与������������ 不共线,������������ 与������������ 不共线,∴①③可以作为基底,
其他两组分别共线,故不可以,选 B.
答案B
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
平面向量基本定理的应用
2.3.1 平面向量基本定理
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核心素养培养目标
核心素养形成脉络
1.理解基底的定义,并能判断两个向量是否是 平面向量基本定理
基底.培养数学抽象及逻辑推理素养. 2.理解并掌握平面向量基本定理,会用基底表 示平面向量.培养数学抽象、数学运算素养. 3.掌握两个向量夹角以及两个向量垂直的定 义.培养数学运算、数学抽象素养.
2020版人教A数学必修3 课件：2.3.1 平面向量基本定理
2.(2018·黄石市高一检测)已知平行四边形ABCD,则下列各组向量中,是 该平面内所有向量基底的是( D ) (A) AB , DC (B) AD , BC (C) BC , CB (D) AB , DA
解析:由于 AB , DA 不共线,所以是一组基底.
3.如图,M,N 是△ABC 的一边 BC 上的两个三等分点,若 AB =a, AC =b,则
正解:由已知得 BA = OA - OB =2a-2b, BC = OC - OB =(-a+3b)-2b=-a+b, 显然 BA =-2 BC ,可见 BA 与 BC 共线,且是反向共线,故 BA 与 BC 的夹角 为 180°.
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(1)对基底的理解 ①基底的特征 基底具备两个主要特征:a.基底是两个不共线向量; b.基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作 为这个平面内所有向量的一组基底的条件. ②零向量与任意向量共线,故不能作为基底. (2)准确理解平面向量基本定理 ①平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量都可以 沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的. ②平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何 问题时,我们可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化归, 使问题得以解决.
题型三 任意一向量基底表示的唯一性应用 [例 3] 如图所示,在△ABC 中,点 M 是 AB 的中点,且 AN = 1 NC ,BN 与 CM 相
2 交于 E,设 AB =a, AC =b,试用基底 a,b 表示向量 AE .
解:易得 AN = 1 AC = 1 b, AM = 1 AB = 1 a,
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第二章 2.3 2.3.1 平面向量基本定理
2．3.1平面向量基本定理1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底[点睛]对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．2．向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角范围0°≤θ≤180°特殊情况θ＝0°a与b同向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥bθ＝180°a与b反向[点睛]当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时，夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°.用基底表示向量[典例]如图，在平行四边形ABCD中，设对角线AC＝a，BD＝b，试用基底a，b表示AB，BC.[活学活用]如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，BA＝a，BC＝b.试以a，b为基底表示EF，DF，CD.向量夹角的简单求解[典例]已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b 与a的夹角又是多少？[活学活用]如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量AB与向量BC的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的夹角．平面向量基本定理的应用[典例]NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，若CM＝a，CN＝b，试用a，b表示CP，2．[变条件]若本例中的点N 为AC 的中点，其它条件不变，求AP ∶PM 与BP ∶PN .层级一 学业水平达标1．已知平行四边形ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD 与CD 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°2．设点O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB . A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④3．若AD 是△ABC 的中线，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则以a ，b 为基底表示AD ＝( ) A ．12(a －b )B ．12(a ＋b )C ．12(b －a )D ．12b ＋a4．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC ＝e 1，DC ＝e 2，则OC ＝( ) A ．12(e 1＋e 2)B ．12(e 1－e 2)C ．12(2e 2－e 1)D ．12(e 2－e 1)5．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则( ) A ．AD ＝－13AB ＋43AC B ．AD ＝13AB －43ACC ．AD ＝43AB ＋13AC D ．AD ＝43AB －13AC6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为______．7．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5k2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝______.8．如下图，在正方形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，BD ＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC 可表示为______，在以a ，c 为基底时，AC 可表示为______．9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM ＝13BC ，CN ＝13CA ，AP ＝13AB ，若AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 将MN ，NP ，PM 表示出来．10．证明：三角形的三条中线共点．层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ＝2DC ，设AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 可用基底a ，b 表示为( )A ．12(a ＋b )B ．23a ＋13bC ．13a ＋23bD ．13(a ＋b )2．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD ＝a ，BE ＝b ，则BC ＝( ) A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －23bD ．－23a ＋23b3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( ) A ．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e 1＋λ2e 1＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面α内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对4．已知非零向量OA ，OB 不共线，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λAB (λ∈R)，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝05．设e1，e2是平面内的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝________a ＋________b.6．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．8．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：AM＝34AB＋14AC.(1)求△ABM与△ABC的面积之比．(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设BO＝x BM＋y BN，求x，y的值．。
2.3.1《平面向量的基本定理》
平移
e11
分解
共同起点
Ba
e2
O
A
e
a OA OB OA 1e1 OB 2 e2 a 1e1 2e2
平面向量基本定理：
如果 e1, e2是同一平面内两个不共线的向量，那么
对这一平面内任意一个向量 a, 有且只有一对实数1, 2, 使 a 1e1 2 e2 .
其 中e1，e2 叫 做 表 示 这 一 平 面 内 所有 向量的一组基底.
平面向量基本定理：
如果 e1, e2是同一平面内两个不共线的向量，那么
对这一平面内任意一个向量 a, 有且只有一对实数1, 2, 使 a 1e1 2 e2 .
问 1：在刚才我们总结的定理中，基底 e1，e2 是不是唯一的呢？
平面向量基本定理：
如果 e1, 是同一平面内两个不共线的向量，那么
2.3.1平面向量的基本定理
1、知道平面向量基本定理；
2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的 向量来表示，初步应用向量解决实际问题；
3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都 能够用基底来表示.
问题情境
如何求此时竖直和水平方向速度？
如图，有非零向量a ,怎样判定b与a共线 ？
a b
这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.
（2）能够在具体问题中适当的选取基底，使其它向量都 能够统一用这组基底来表达.
课本 习题2.3 1 ~2
敬请指导
.
向量b与非零向量a共线, 当且仅当有唯一一个实数，使b a .
观察如图三个不共线向量e1、a、e2 , 它们之间会有 怎样的关系呢？
e1
a
e2
将三个向量的起点移到同一点：
e1
人教A版高中数学必修四课件：第二章2.3.1平面向量基本定理 (共16张PPT)
x
e2
O
a 3e1 2e2
3 a x 4y 2
yn
A
a 3m 2n
当a 0时, 有且只有1 2 0时可使 0 1 e1 2 e2 , (e1 , e2不共线).
若1与2中只有一个为零 , 情况会是怎样?
若2 0, 则a 1 e1 ,即a与e1共线, 若1 0, 则a 2 e2 ,即a与e2共线,
本题在解决过程中用到了两向量共 线的等价条件这一定理，并用基向量表 示有关向量,用待定系数法列方程，通 过消元解方程组。这些知识和考虑问题 的方法都必须切实掌握好。
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理 学中的力的分解模型来理解，它说明在
同一平面内任一向量都可以表示为不共
线向量的线性组合，该定理是平面向量
D
A
N M B
C
例2.用向量的方法证明: 1 平行四边形OACB中, BD BC , OD与BA 3 1 相交于E , 求证 : BE BA. 4 D B C E
O
A
例3.证明: 向量OA, OB, OC的终点A, B, C共线 的等价条件是存在实数 、 且 1， 使得 OC OA OB.
问题 3 : 设 e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, a是这一平面内的任一向 量, 我们来通过作图研 究a与e1 , e2 之间的关系?
平面向量基本定理: 如果e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, 那 么对于平面内的任一向 量a , 有且只有一对实数
1 , 2 , 使得a 1 e1 2 e2 .
坐标表示的基础，其本质是一个向量在
其他两个向量上的分解。
2. 在实际问题中的指导意义在于
高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
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明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点一 ：平面向量基本定理的提出
2.3.1
思考 3 上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量 e1，e2 叫做表示这一 平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少 组？不同基底对应向量 a 的表示式是否相同？ 答 同一平面内可以作基底的向量有无数组， 不同基底对应向量 a 的表示式不相同．
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
探要点、究所然
2.3.1
探究点一 ：平面向量基本定理的提出
思考 1 如图所示，e1，e2 是两个不共线的向量，试用 e1，e2 表示向量A→B，
C→D，E→F，G→H，H→G，a.
答 通过观察，可得： A→B＝2e1＋3e2，C→D＝－e1＋4e2，E→F＝4e1－4e2， G→H＝－2e1＋5e2，H→G＝2e1－5e2，a＝－2e1.
思考 4 平面向量的基底唯一吗？ 答 不唯一．只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底．
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点二 ：平面向量基本定理的证明
2.3.1
(1)证明定理中 λ1，λ2 的存在性． 如图，e1，e2 是平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内任一向量，a 能 否表示成 λ1e1＋λ2e2 的形式，请通过作图探究 a 与 e1、e2 之间的关系．
填要点、记疑点
2.3.1
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面 内的 任意 向量 a， 有且只有一对 实数 λ1，λ2，使 a＝ λ1e1＋λ2e2 . (2)基底：把 不共线 的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内 所有 向量的一组
基底．
明目标、知重点
填要点、记疑点
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探要点、究所然 当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点三 ：向量的夹角
思考 1 已知 a、b 是两个非零向量，过点 O 如何作出它们的夹角 θ？
2.3.1
答 过点 O 作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB＝θ，就是 a 与 b 的夹角．
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
明目标、知重点
1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义. 2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
2.3.1
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
探要点、究所然
2.3.1
[情境导学] 在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且 力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的 分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？
明目标、知重点
填要点、记疑点
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探要点、究所然 当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点二 ：平面向量基本定理的证明
答 如图所示，在平面内任取一点 O，作O→A＝e1，O→B＝e2，O→C＝a，
2.3.1
过点 C 分别作平行于 OB，OA 的直线，交直线 OA 于点 M，交直线 OB 于 点 N，有O→M＝λ1O→A，O→N＝λ2O→B， ∵O→C＝O→M＋O→N，∴a＝λ1e1＋λ2e2.
明目标、知重点
填要点、记பைடு நூலகம்点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点一 ：平面向量基本定理的提出
2.3.1
思考 2 根据上述分析，平面内任一向量 a 都可以由这个平面内两个不共 线的向量 e1，e2 表示出来，从而可形成一个定理．你能完整地描述这个 定理的内容吗？
答 若 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意 向量 a ， 有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
探要点、究所然
2.3.1
探究点二 ：平面向量基本定理的证明
(2)证明定理中 λ1，λ2 的唯一性． 如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线的向量，a 是和 e1、e2 共面的任一向 量，且存在实数 λ1、λ2 使 a＝λ1e1＋λ2e2，证明 λ1，λ2 是唯一确定的．(提示： 利用反证法) 答 假设存在另一组实数 λ′1，λ′2 也能使 a＝λ′1e1＋λ′2e2 成立，则 λ′1e1＋λ′2e2＝λ1e1＋λ2e2. ∴(λ′1－λ1)e1＋(λ′2－λ2)e2＝0. ∵e1、e2 不共线，∴λ′1－λ1＝λ′2－λ2＝0，∴λ′1＝λ1，λ′2＝λ2. ∴使 a＝λ1e1＋λ2e2 成立的实数对 λ1，λ2 是唯一的．
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点三 ：向量的夹角
2.3.1
思考 2 两个非零向量夹角的范围是怎样规定的？确定两个向量夹角时， 要注意什么事项？
答 两个非零向量夹角的范围是 0°≤θ≤180°， 确定两个向量夹角时要注意先使向量的始点相同，再确定大小．
第二章 平面向量的线性运算
§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理
本节知识目录
明目标、知重点
平
面
向
填要点、记疑点
量
基
本
探要点、究所然
定
理
当堂测、查疑缺
2.3.1
探究点一 平面向量基本定理的提出 探究点二 平面向量基本定理的证明 探究点三 向量的夹角
明目标、知重点
填要点、记疑点
2. 两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个非零向量 a 和 b，如图，
作O→A＝a，O→B＝b，则 ∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)
叫做向量 a 与 b 的夹角．
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
填要点、记疑点
2.3.1
①范围：向量 a 与 b 的夹角的范围是 [0° ，180°] ． ②当 θ＝0°时，a 与 b 同向 ． ③当 θ＝180°时，a 与 b 反向 ． (2)垂直：如果 a 与 b 的夹角是 90°，则称 a 与 b 垂直，记作 a⊥b .